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2023年高考数学考法专练——三角函数图象与性质
考法一 、五点法画图
例1、作出函数在上的图象.
解：令，列表如下：
X 0
x
y 0 0 0
描点连线得图象如图所示.
例2、利用“五点法”作出函数，的图象．
解：先找出五个关键点，列表如下：
0
0 1 2 1 0
描点作出函数图象如下：
跟踪练习
1、当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律
（1）；（2）；（3）.
解：（1）该图象与的图象关于轴对称，故将的图象作关于轴对称的图象即可得到的图象.
（2）将的图象在轴上方部分保持不变，下半部分作关于轴对称的图形，即可得到的图象.
（3）将的图象在轴右边部分保持不变，并将其作关于轴对称的图形，即可得到的图象.
2、用“五点法”作下列函数的简图.
（1）；（2）.
解：（1）列表如下：
描点连线如图：
（2）列表如下：
描点连线如图：
3、已知函数.
（1）完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出在上的简图；
0
（2）求不等式的解集.
解：（1）由函数，可得完成表格如下：
0
1 1
可得在的大致图象如下：
（2）由，可得，即，
当时，由，得.
又由函数的最小正周期为，
所以原不等式的解集为().
考法二、 定义域
例1、函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
解：由，得，解得．
所以函数的定义域是.选：D．
例2、函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
解：由，因为，所以，
即，故选：A
例3、函数()的定义域是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解：由题意，得，则，即，
∴.故选：A.
跟踪练习
1、函数的定义域是____________．
答案：
解：因为，所以，即，即，解得，故函数的定义域为故答案为：
2、函数的定义域为______
答案：
解：要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0．
利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．
在[0，2π]内，满足sinx＝cosx的x为，，
再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为
．
3、函数的定义域为________.
答案：
解：由题知：，所以.
解得：，.
所以函数的定义域为
故答案为：
4、函数的定义域是________.
答案：
解：由已知，得，即，则.
因此，函数的定义域为.
故答案为：．
5、函数的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．且
答案：C
解：在内，由，得，由，得或，
所以或，所以函数的定义域为
，故选：C
6、函数定义域为（　　）
A． B．
C． D．
答案：A
解：由题意，函数有意义，则满足，即
解得，
所以函数的定义域.故选：A.
7、函数定义域为（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
解：由函数式知：，
∴，即.故选：B.
8、函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
解：对于函数，，可得，解得，
因此，函数的定义域是.故选：A.
考法三、 值域与最值
例1、函数y＝cos，x∈的值域是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解：因为x∈，所以，所以.故选：B.
例2、函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解：由
因为 所以当时故选：B
例3、函数，其中的值域为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解：，令，则原函数为，
该函数对称轴为，开口向上，故
又，
的值域为故选：B
跟踪练习
1、函数在区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解：函数
因为，所以，，
所以函数的值域为，故选：B
2、函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解：，
令，则，函数转化为，
时，，时，，函数的值域为.故选：D.
3、已知函数，的一个零点为，一条对称轴是x=，则函数，的值域为（ ）
A．[-1，1] B．[-1，5]. C．[-1，2+2]. D．[-5，1]
答案：D
解：根据题意可得(k1，k2∈Z)，解得，因为，所以，所以，k1∈Z，因为，所以，所以，所以
2，因为，，，所以g(x)的值域为[一5，1].
故选：D.
4、若，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
解：由题意，作出函数的图象，如图所示，
当时，可得，
则；
当时，可得，则，
所以函数的值域为.故选：B.
5、在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解：，，即，
故函数的值域为；故选：C.
6、函数的最小值是（ ）
A．-3 B．-1 C． D．3
答案：C
解：由题意，函数，
令，可得，
当时，即时，函数取得最小值，最小值为.故选：C.
7、函数的值域是________________.
答案：
解：由题意，
因为，所以，所以，
所以函数的值域为，故答案为：.
8、已知函数是偶函数，则函数的最大值为
答案：
解：因为函数是偶函数，
所以，即，化简可得：，
解得：，即.又因为，，
所以（当且仅当时两个“”同时成立）.
9、已知函数在处取得最小值，则
答案：
解：∵函数在处取得最小值，
∴，∴，又解得：
10、已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________．
答案：
解：∵x∈，∴x＋∈，∵当x＋∈时，f(x)的值域为，
∴由函数的图象(图略)知≤a＋≤，∴≤a≤π.
考法四、 解析式
例1、已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．若方程在上有两个不相等的实数根，则实数
D．将函数的图象向左平移个单位可得到一个偶函数
答案：C
解：根据函数的部分图象，
可得，，∴.再根据五点法作图，可得，
∴，.排除A；排除B；
在上，，方程在上有两个不相等的实数根，则实数，故C正确；将函数的图象向左平移个单位，可得的图象，故所得函数为奇函数，故D错误；故选C.
例2、已知函数在上的大致图象如图所示，则的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解：由题意，可得，可得，
解得且，
又由，即，解得，
当且仅当时，满足题意，
所以函数的最小正周期为.故选：B.
例3、如图是下列哪个函数的图象（ ）
A．， B．，
C．， D．，
答案：C
取，，只有C满足，排除ABD；
将的图象沿轴进行对称变换得的图象，再将的图象沿轴上移1个单位，得，的图象，如选项C所示.故选：C．
跟踪练习
1、函数（其中，，的图象如图所示，为了得到的图象，只需将图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
答案：C
解：根据函数（其中，，的图象，
可得，，即，．
将代入，可得，
则，，
又，，故．
故把图象向左平移个单位长度，即可得到的图象.故选：C．
2、将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数g(x)＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象．已知函数g(x)的部分图象如图所示，则下列关于函数f(x)的说法正确的是（ ）
A．f(x)的最小正周期为
B．f(x)在区间上单调递减
C．f(x)的图象关于直线x＝对称
D．f(x)的图象关于点成中心对称
答案：D
解：根据g(x)的部分图象，可得A＝2，，∴ω＝2．
结合五点法作图，可得2×（﹣）+φ＝，∴φ＝，
故g(x)＝2sin（2x+）．
由题意，把g(x)的图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位，
可得f(x)＝2sin（3x+﹣π）＝2sin（3x﹣）的图象，
故f(x)的最小正周期为，故A错误；
在区间上，3x﹣∈[0，]，f(x)没有单调性，故B错误；
令x＝，求得f(x)＝0，不是最值，f(x)的图象不关于直线x＝对称，故C错误；
令x＝，求得f(x)＝0，故f(x)的图象关于（，0）对称，故D正确，故选：D．
3、函数（）的图象如图，下列说法正确的是（ ）
A．的周期为
B．的图象关于对称
C．的图象关于对称
D．将图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象
答案：C
解：根据的图象，结合五点法作图可得，
∴，故.
故它的周期为，故A错误；
令，求得，故B错误；
令，求得，为最大值，故C正确；
将图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，故D错误，故选：C.
4、函数的部分图象如图所示，则下列叙述错误的是（ ）
A．函数的图象可由的图象向右平移个单位得到
B．函数在区间上是单调递增的
C．函数在区间上的值域为
D．是函数图象的一条对称轴
答案：D
解：根据图象可得，所以函数的解析式为.
对于A，，故可由的图像向右平移个单位得到的图象，故该选项正确；
对于B，可求得的单增区间为，故是它的一个单增区间，而，故该选项正确；
对于C，，由余弦函数的图象可得，所以该选项正确；
对于D，，不是函数的最值，故不是对称轴，所以该选项错误.故选：D
5、函数的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列结论中：
①；②函数的最小正周期为；
③函数在区间上单调递增；④函数关于点中心对称
其中正确结论的个数是（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
答案：C
解：解：由图可知： ，，即，
又，，由图可知：，
又，，且，
，故，
当时，，解得：，满足条件，，
故，对①，由上述可知①错误；对②，，的最小正周期为，故②正确；
对③，令，即，
令，此时单调递增区间为，且，故③正确；
对④，，不是对称中心，故④错误；故选：C.
6、（多选）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递减 D．若，则的值为
答案：BD
解：由函数的部分图象知，，且，
所以，解得；又，所以，
即，；又，所以；所以．
对于：函数的最小正周期，不对；
对于：当时，可得，则关于点，对称；对；
对于：令，可得，则在区间上是单调递增，错误；
对于：，所以，所以，所以
，对故选：．
7、（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数f(x)在上单调递减
C．函数g(x)＝cos2x的图象可由函数f(x)的图象向左平移个单位得到
D．函数f(x)的图象关于（，0）中心对称
答案：AC
解：对于A：根据函数的图象：φ＝（k∈Z），解得φ＝（k∈Z），
由于|φ|＜，
所以当k＝0时，φ＝．
由于f（0）＝，所以A，解得A＝．
所以f(x)＝，故A正确；
对于B：令（k∈Z），
解得：（k∈Z），
所以函数的单调递减区间为[]（k∈Z），
故函数在[]上单调递减，在[]上单调递增，故B错误；
对于C：函数f（x＋）＝，故C正确；
对于D：令（k∈Z），解得（k∈Z），
所以函数的对称中心为（）（k∈Z），由于k为整数，故D错误；
故选：AC．
8、（多选）已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A．的振幅为2 B．为的对称中心
C．向右平移单位后得到的函数为奇函数 D．在上的值域为
答案：ABC
解：观察图象得：A=2，周期T，则，
由得，而，则，
所以有，显然A正确；，B正确；
向右平移得是奇函数，C正确；
时，，，，D错误.故选：ABC
考法五、 伸缩平移变换
例1、要得到函数的图象，则（ ）
A．可将函数的图象向右平移个单位得到
B．可将函数的图象向左平移个单位得到
C．可将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来倍得到
D．可将函数的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来2倍得到
答案：C
解：对于A选项：变换后，故A错误；
对于B选项：变换后，故B错误；
对于C选项：变换后，故C正确；
对于D选项：变换后，故D错误.故选：C.
例2、要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
答案：B
解：因为，
所以，要得到函数，只需要将函数得图象向右平移个单位长度即可.
故选：B.
例3、将函数的图象向右平移个单位后得到一个奇函数的图象，则该函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
解：A选项，将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，函数显然不是奇函数，故A错；
B选项，将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，函数显然是偶函数，故B错；
C选项，将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，函数显然是偶函数，故C错；
D选项，将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，函数显然是奇函数，故D正确.故选：D.
跟踪练习
1、将函数的图像向左平移个最小正周期后，所得图像对应的函数为（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
解：由题意知：图象平移个单位，∴.故选：A
2、把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解：解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.故选：B.
3、为了得到函数的图象，可以将函数的图象作怎样的平移变换得到（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
答案：B
解：，
，
∴向左平移个单位得到.故选：B
4、将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解：由题意可得，
当时，，所以，
所以函数在上的值域为．故选：B
5、已知函数，现将的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在的值域为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解：将函数的图象向左平移个单位长度，
得到的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
得到函数的图象， ，
∵ ，所以，
∴，∴，∴在上的值域为，故选：A.
6、若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，则函数在上的最大值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
答案：A
解：函数的图象向左平移个单位长度后，
图象所对应解析式为：，
由关于轴对称，则，
可得，，又，所以，
即，
当时，，
所以当时，即时，.故选：A．
7、已知函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数的图象向左平移后得到偶函数的图象，则函数在下列区间上是单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解：函数f(x)＝sin(ωx+θ)(ω＞0，)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，则T＝π，所以ω＝2，
将函数f(x)的图象向左平移后，得到g(x)＝sin(2xθ)是偶函数，故，
解得，由于，所以当k＝0时．
则，令，解得，
当k＝0时，单调递减区间为，由于，故选：D.
8、函数图像向右平移个单位后所得函数图像与函数的图像关于轴对称，则最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
答案：C
解：由题意知，得，
又，则最小值为4.
故选：C.
9、将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象.若在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解：，
当时，，
由，有，，
有，得.
故选：B.
10、已知函数的部分图像如下图所示.则能够使得变成函数的变换为（ ）
A．先横坐标变为原来的倍，再向左平移
B．先横坐标变为原来的2倍，再向左平移
C．先向左平移，再横坐标变为原来的倍
D．先向左平移，再横坐标变为原来的2倍
答案：C
解：观察图象知A=2，周期为T，则，即，，
又，即，而，则，
所以，
把图象向左平移得图象，再把所得图象上每一点的横坐标变为原来的倍即得.故选：C
考法六、 周期
例1、函数的最小正周期为_______．
答案：π
解： 因为，所以函数f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期为
例2、若函数的最小正周期为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
答案：D
解：∵的最小正周期为，∴，得.故选：D.
例3、函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解：因为，所以最小正周期为.
故选：D.
跟踪练习
1、下列函数中，周期为的是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解：对于A中，函数的最小正周期为，不符合题意；
对于B中，函数的最小正周期为，不符合题意；
对于C中，函数的最小正周期为，不符合题意；
对于D中，函数的最小正周期为，符合题意故选：D.
2、已知奇函数的最小正周期为，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
答案：C
解：为R上的奇函数，，即，
又，，的最小正周期为且，，解得，
，故选：C.
3、函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
答案：.
解：函数,周期为
4、（多选）下列函数中，以为周期的函数有（ ）
A． B． C． D．
答案：AD
解：A，，则， A正确；
B，函数的最小正周期为，因此B不正确；
C，函数不是周期函数，故C不正确；
D，，最小正周期为，所以也是它的一个周期，故D正确.故选：AD
5、函数f(x)＝的最小正周期为(　　)
A.　　　　　　　B. C．π D．2π
答案：C
解：由已知得f(x)＝＝＝＝sin xcos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
6、下列函数中，周期为2π的奇函数为(　　)
A．y＝sincos　　　　 B．y＝sin2x
C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x
答案：A
解：　y＝sin2x为偶函数；y＝tan 2x的周期为；y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非偶函数，故B、C、D都不正确，故选A.
考法七、 对称性
例1、函数y=tan(3x+)的一个对称中心是（ ）
A．(0，0) B．(，0)
C．(，0) D．以上选项都不对
答案：D
解：因为正切函数y=tanx图象的对称中心是(，0)，k∈Z；令3x+=，解得，k∈Z；所以函数y=tan(3x+)的图象的对称中心为(，0)，k∈Z；选项ABC都不正确，故选：D.
例2、函数的图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
，
令，可得，则函数的图象的对称中心为，
因此函数的图象的一个对称中心为.故选：C
例3、已知函数的图象关于对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解：由题意，函数，
因为函数的图象关于对称，可得，
即，因为，当时，的最小值为.故选：B.
跟踪练习
1、函数在上的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解：令，得．
分别画出函数的图象，
由图可知，的对称轴为，的对称轴为．
所以所有零点之和为．故选：B．
2、已知函数(ω>0)，若f(x)在上恰有两个零点，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解：因为，且ω>0，所以，又f(x)在上恰有两个零点，所以且，解之得.故选：A.
3、已知函数图象相邻两个对称中心之间的距离为，将函数的图象所左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
答案：C
解：由函数图象相邻两个对称中心之间的距离为.
可知其周期为，所以，所以，
将函数的图象向左平移个单位后，
得到函数图象.
因为得到的图象关于轴对称，所以，
即，又，所以，所以，
令，解得.
当时，得的图象关于直线.故选：C.
4、（多选）已知函数，且对任意都有，则以下正确的有（ ）
A．的最小正周期为 B．在上单调递减
C．是的一个零点 D．
答案：ACD
解：由题意可知函数的图象关于直线对称，则，
即，整理可得，即，
所以，，，所以，，D选项正确；
，故函数的最小正周期为，A选项正确；
当时，可得，若，则函数 在上单调递增，B选项错误；
，故是的一个零点，C选项正确.故选：ACD.
5、已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
答案：B
解：∵函数的最小正周期为，∴，
∴
令，求得，且不是最值，故A、D错误；
令，求得，为最大值，故函数的图象关于直线对称，故B正确，C错误；
故选：B．
6、已知函数，若直线是曲线的一条对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解：由题意，函数，其中，
因为直线是曲线的一条对称轴，可得，
所以，所以，
所以，
又因为，所以.故选：A.
7、若函数的图象在区间上只有一个对称中心，则的取范围为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解：由题可知，在上只有一个零点，
又，，所以，即.故选：A.
考法八、 单调性
例1、下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解：因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.选：A.
例2、函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解：由题意可得，
因为，所以，
令，由此可得，
因为在上单调递减，所以由此解得.故选：C.
例3、在区间中，使与都单调递减的区间是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解：在区间中，的减区间是，的减区间是；
和的公共减区间是．故选：B．
跟踪练习
1、下列函数中，周期为，且在区间单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解：A：的周期为，单调递减，不合要求；
B：的周期为，、单调递增，不合要求；
C：的周期为，单调递增，符合要求；
D：的周期为，不单调，不合要求；故选：C.
2、函数在上单调递减，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．4
答案：C
解：因为函数在上单调递减，
所以，所以.
所以
因为的单调递减区间为，
所以，解得，
由于，故.
所以当时，得的最大区间：.故的最大值是.故选：C.
3、（多选）设函数在上单调递减，则下述结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．关于轴对称
C．在上的最小值为2 D．关于点对称
答案：BC
解：因为函数在上单调递减，
所以，即，
或，
当时，在上单调递增，与已知矛盾，不成立；
当时，在上单调递减，满足条件．
此时函数的最小正周期为，故A选项错误；
当时，，故B选项正确；
当时，，故当，即时，，故C选项正确；
由于函数是由向上平移了3个单位得到，故对称中心的纵坐标为，故D选项错误.
故选：BC
4、已知把函数的图象向左平移后得到的图象关于对称，在上具有单调性，则的最大值为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．36
答案：D
解：把函数的图象向左平移后得到，
因为的图象关于对称，所以，即，
因为在上具有单调性，所以，
解得，所以的最大值为36，故选：D
5、已知，若f(x)在[]上单调递增，则ω的取值范围为__________________．
答案：
解：：∵，f(x)在[]上单调递增，
所以，，所以，解得.
故答案为：．
6、下列函数中，周期为，且在区间单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解：对于A，的图象是将的图象中轴下方的图象翻折到上方得到的，故最小正周期为；
当时，，∴在上单调递减，故A不正确；
对于B，当时，，当时，，所以周期不是，故B不正确；
对于C，的最小正周期为，当时，，单调递增，故C正确；
对于D，的最小正周期为，当时，，不是单调递增的，故D不正确.故选：C.
7、设定义在上的函数，则（ ）
A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数
答案：A
解：对于A，当时，，函数为减函数，所以为增函数，故A正确；
对于B，当时，，函数先递减后递增，所以先递增后递减，故B不正确；
对于C，当时，，函数先递增后递减 ，所以先递增后递减，故C不正确；
对于D，当时，，函数为递减函数，所以为递减函数，当时，，函数为递减函数，所以为增函数，故D不正确.
故选：A
8、已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解：当时，，
因为函数在上单调递增，
所以，解得，的取值范围为，故选：A.
9、若在上是减函数，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解：，
画出的图象如下图所示，由图可知，的最大值是.故选：B
考法九、 奇偶性
例1、多选）（2021·辽宁营口市）下列四个函数中，以为周期的偶函数为（ ）
A． B．
C． D．
答案：BD
解：对于A，，，，为奇函数，故A错误；
对于B，，，，为偶函数，故B正确；
对于C，，，不符合，故C错误；
对于D，，，周期为π，，为偶函数，故D正确；
故选：BD
例2、使函数为偶函数的的一个值为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
函数为偶函数，所以（为奇数），当时，=．故选：D．
例3、下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
解：A．的最小正周期为，不符合；
B．记，所以，且定义域为，所以为偶函数，不符合；
C．，显然为偶函数，不符合；
D．最小正周期为，且为奇函数，符合，故选：D.
跟踪练习
1、下列函数中，既是奇函数又以为最小正周期的函数是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解：A选项：是周期为的偶函数，故A不正确；
B选项：是周期为的奇函数，故B正确；
C选项：，周期为且非奇非偶函数，故C不正确；
D选项：是周期为的奇函数，故D不正确.故选：B.
2、函数①，②，③中，周期是且为奇函数的所有函数的序号是（ ）
A．①② B．② C．③ D．②③
答案：D
解：对于①，，周期为π，但不是奇函数；
对于②，周期为；
又故符合题意；
对于③，，
由②推导过程可知：周期是且为奇函数，符合题意.故选：D
3、已知函数．则“是偶函数“是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
解：若，则，，所以为偶函数；若为偶函数，则，，不一定等于.
所以“是偶函数“是“”的必要不充分条件.故选：B
4、在下列四个函数中，周期为的偶函数为（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
解：A.，函数是奇函数，周期，故A不正确；
B.，函数是偶函数，周期，故B正确；
C. 函数，满足，是偶函数，但不是周期函数，，，即，所以函数的周期不是，故C不正确；
D.，函数是偶函数，函数的周期，故D不正确.故选：B
5、已知函数（，）的最小正周期为，将的图象向左平移（）个单位长度，所得函数为偶函数时，则的最小值是______．
答案：
解：∵函数（，）的最小正周期为，
∴，．
将的图象向左平移（）个单位长度，所得函数的图象，
由于得到的函数为偶函数，
∴，，则的最小值是，
故答案为：．
6、函数是（ ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
答案：D
解：，.
设，定义域为，
，所以为偶函数.故选：D
7、已知函数为奇函数，且存在，使得，则的一个可能值为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解：为奇函数，
则，可得，所以排除BD选项；
对于A，当时，，
当时，，，不合题意；
对于C，当时，，满足题意.故选：C.
8、若函数为偶函数，则的一个值为________.（写出一个即可）
答案：（答案不唯一）
解：依据题意：函数为偶函数，则的奇数倍都可以.
故答案为：（答案不唯一）
9、写出一个最小正周期为3的非奇非偶函数___________.
答案：
解：如满足最小正周期为3，若为非奇非偶函数，
需满足且，即，且，即，.
故答案为: .2023年高考数学考法专练——三角函数图象与性质
考法一 、五点法画图
作出函数在上的图象.
利用“五点法”作出函数，的图象．
跟踪练习
1、当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律
（1）；（2）；（3）.
2、用“五点法”作下列函数的简图.
3、已知函数.
（1）完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出在上的简图；
0
（2）求不等式的解集.
考法二、 定义域
例1、函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
例2、函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
例3、函数()的定义域是（ ）
A． B． C． D．
跟踪练习
1、函数的定义域是____________．
2、函数的定义域为______
3、函数的定义域为________.
4、函数的定义域是________.
5、函数的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．且
6、函数定义域为（　　）
A． B．
C． D．
7、函数定义域为（ ）
A． B．
C． D．
8、函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
考法三、 值域与最值
例1、函数y＝cos，x∈的值域是（ ）
A． B． C． D．
例2、函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例3、函数，其中的值域为（ ）
A． B． C． D．
跟踪练习
1、函数在区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
2、函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
3、已知函数，的一个零点为，一条对称轴是x=，则函数，的值域为（ ）
A．[-1，1] B．[-1，5]. C．[-1，2+2]. D．[-5，1]
4、若，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
5、在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
6、函数的最小值是（ ）
A．-3 B．-1 C． D．3
7、函数的值域是________________.
8、已知函数是偶函数，则函数的最大值为
9、已知函数在处取得最小值，则
10、已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________．
考法四、 解析式
例1、已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．若方程在上有两个不相等的实数根，则实数
D．将函数的图象向左平移个单位可得到一个偶函数
例2、已知函数在上的大致图象如图所示，则的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
例3、如图是下列哪个函数的图象（ ）
A．， B．，
C．， D．，
跟踪练习
1、函数（其中，，的图象如图所示，为了得到的图象，只需将图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
2、将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数g(x)＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象．已知函数g(x)的部分图象如图所示，则下列关于函数f(x)的说法正确的是（ ）
A．f(x)的最小正周期为
B．f(x)在区间上单调递减
C．f(x)的图象关于直线x＝对称
D．f(x)的图象关于点成中心对称
3、函数（）的图象如图，下列说法正确的是（ ）
A．的周期为
B．的图象关于对称
C．的图象关于对称
D．将图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象
4、函数的部分图象如图所示，则下列叙述错误的是（ ）
A．函数的图象可由的图象向右平移个单位得到
B．函数在区间上是单调递增的
C．函数在区间上的值域为
D．是函数图象的一条对称轴
5、函数的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列结论中：
①；②函数的最小正周期为；
③函数在区间上单调递增；④函数关于点中心对称
其中正确结论的个数是（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
6、（多选）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递减
D．若，则的值为
7、（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数f(x)在上单调递减
C．函数g(x)＝cos2x的图象可由函数f(x)的图象向左平移个单位得到
D．函数f(x)的图象关于（，0）中心对称
8、（多选）已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A．的振幅为2 B．为的对称中心
C．向右平移单位后得到的函数为奇函数 D．在上的值域为
考法五、 伸缩平移变换
例1、要得到函数的图象，则（ ）
A．可将函数的图象向右平移个单位得到
B．可将函数的图象向左平移个单位得到
C．可将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来倍得到
D．可将函数的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来2倍得到
例2、要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
例3、将函数的图象向右平移个单位后得到一个奇函数的图象，则该函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
跟踪练习
1、将函数的图像向左平移个最小正周期后，所得图像对应的函数为（ ）
A． B．
C． D．
2、把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B． C． D．
3、为了得到函数的图象，可以将函数的图象作怎样的平移变换得到（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
4、将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
5、已知函数，现将的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在的值域为（ ）
A． B． C． D．
6、若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，则函数在上的最大值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
7、已知函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数的图象向左平移后得到偶函数的图象，则函数在下列区间上是单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
8、函数图像向右平移个单位后所得函数图像与函数的图像关于轴对称，则最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
9、将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象.若在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10、已知函数的部分图像如下图所示.则能够使得变成函数的变换为（ ）
A．先横坐标变为原来的倍，再向左平移
B．先横坐标变为原来的2倍，再向左平移
C．先向左平移，再横坐标变为原来的倍
D．先向左平移，再横坐标变为原来的2倍
答案：C
解：观察图象知A=2，周期为T，则，即，，
又，即，而，则，
所以，
把图象向左平移得图象，再把所得图象上每一点的横坐标变为原来的倍即得.故选：C
考法六、 周期
例1、函数的最小正周期为_______．
例2、若函数的最小正周期为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
例3、函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
跟踪练习
1、下列函数中，周期为的是（ ）
A． B． C． D．
2、已知奇函数的最小正周期为，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
3、函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
4、（多选）下列函数中，以为周期的函数有（ ）
A． B． C． D．
5、函数f(x)＝的最小正周期为(　　)
A.　　　　　　　B. C．π D．2π
6、下列函数中，周期为2π的奇函数为(　　)
A．y＝sincos　　　　 B．y＝sin2x
C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x
考法七、 对称性
例1、函数y=tan(3x+)的一个对称中心是（ ）
A．(0，0) B．(，0)
C．(，0) D．以上选项都不对
例2、函数的图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
例3、已知函数的图象关于对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
跟踪练习
1、函数在上的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
2、已知函数(ω>0)，若f(x)在上恰有两个零点，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3、已知函数图象相邻两个对称中心之间的距离为，将函数的图象所左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
4、（多选）已知函数，且对任意都有，则以下正确的有（ ）
A．的最小正周期为 B．在上单调递减
C．是的一个零点 D．
5、已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
6、已知函数，若直线是曲线的一条对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
7、若函数的图象在区间上只有一个对称中心，则的取范围为（ ）
A． B． C． D．
考法八、 单调性
例1、下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
例2、函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例3、在区间中，使与都单调递减的区间是（ ）
A． B． C． D．
跟踪练习
1、下列函数中，周期为，且在区间单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
2、函数在上单调递减，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．4
3、（多选）设函数在上单调递减，则下述结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．关于轴对称
C．在上的最小值为2 D．关于点对称
4、已知把函数的图象向左平移后得到的图象关于对称，在上具有单调性，则的最大值为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．36
5、已知，若f(x)在[]上单调递增，则ω的取值范围为__________________．
6、下列函数中，周期为，且在区间单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
7、设定义在上的函数，则（ ）
A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数
8、已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9、若在上是减函数，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
考法九、 奇偶性
例1、多选）（2021·辽宁营口市）下列四个函数中，以为周期的偶函数为（ ）
A． B．
C． D．
例2、使函数为偶函数的的一个值为（ ）
A． B． C． D．
例3、下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
A． B．
C． D．
跟踪练习
1、下列函数中，既是奇函数又以为最小正周期的函数是（ ）
A． B． C． D．
2、函数①，②，③中，周期是且为奇函数的所有函数的序号是（ ）
A．①② B．② C．③ D．②③
3、已知函数．则“是偶函数“是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4、在下列四个函数中，周期为的偶函数为（ ）
A． B．
C． D．
5、已知函数（，）的最小正周期为，将的图象向左平移（）个单位长度，所得函数为偶函数时，则的最小值是______．
6、函数是（ ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
7、已知函数为奇函数，且存在，使得，则的一个可能值为（ ）
A． B． C． D．
8、若函数为偶函数，则的一个值为________.（写出一个即可）
9、写出一个最小正周期为3的非奇非偶函数___________.

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