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突破1.4 充分条件与必要条件
一、考情分析
二、经验分享
1、　充分条件与必要条件
(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)几点说明
①一般来说，对给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的；给定条件p，由p可以推出的结论q是不唯一的．
②一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
③一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中q是否为p的必要条件，只需判断是否有“p q”，即“若p，则q”是否为真命题．
2、　充要条件
(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p q，又有q p，就记作p q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
(2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p q，那么p与q互为充要条件．
3、 充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
【特别提醒】
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．
①若AB，则p是q的充分不必要条件；
②若A B，则p是q的必要条件；
③若AB，则p是q的必要不充分条件；
④若A＝B，则p是q的充要条件；
⑤若A B且A B，则p是q的既不充分也不必要条件．
三、题型分析
重难点1 充分条件、必要条件的判断
【规律方法总结】
定义法判断充分条件、必要条件
1确定谁是条件，谁是结论
2尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件
3尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.
例1．（1）、（2022·福建三明·高二期中）已知命题，命题，则p是q的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可
【详解】
由命题构成集合，由命题构成的集合为，
可得，所以命题是的必要不充分条件．
故选：B
（2）．（2021·全国高一课时练习）使不等式－5x＋3≥0成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．x<0 B．x≥0
C．{3，5} D．x≤
【答案】A
【分析】
先求出不等式的解集，要找不等式－5x＋3≥0成立的一个充分不必要条件，只要找出不等式解集的一个真子集即可
【详解】
由－5x＋3≥0，得{x|x≤}，只有选项A中x的范围为其真子集.
故选：A.
【变式训练1-1】、（2021·贵州·六盘水市外国语学校高二期中）“”是“”的___________条件（填充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要其中一个）
【答案】充分不必要
【解析】
【分析】
解不等式，可知或，再根据充分条件和必要条件的定义，进行判断，即可得到结果.
【详解】
因为，所以或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
【变式训练1-2】、（2021·江苏扬州·高一期中）（多选题）设则的一个充分条件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用充分条件的定义及子集的定义判断即可.
【详解】
不等式等价于(x 3)(x+1)>0
解不等式得x>3或x< 1
令A={x|x>3或x< 1}要找的一个充分条件，即找集合A的子集，
根据子集的定义知，选项ABD为A的子集
故选：ABD
重难点2 充分条件、必要条件与充要条件的应用
【规律方法总结】利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围
1化简p，q两命题；
2根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系；
3利用集合间的关系建立不等式；
4求解参数范围.
例2．（1）、（2021·江苏·高一专题练习）（多选题）下列四个条件中可以作为方程有实根的充分不必要条件是（ ）
A．a=0 B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
先化简方程有实根得到，再利用集合的关系判断得解.
【详解】
当时，方程有实根；
当时，方程有实根即.
所以且.
综合得.
设选项对应的集合为, 集合,
由题得集合是集合的真子集，
所以只能选AC.
故答案为：AC
【点睛】
方法点睛：充分条件必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
（2）．（2022·江苏·高一单元测试）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据含绝对值不等式的解法，求解不等式的解集，结合充分条件，列出关系式，即可求解.
【详解】
由不等式，
当时，不等式的解集为空集，显然不成立；
当时，不等式，可得，
要使得不等式的一个充分条件为，则满足，
所以，即
∴实数a的取值范围是.
故答案为：.
【变式训练2-1】、（2020·江苏·高一课时练习）若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
解不等式，然后对与的大小关系进行分类讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
解不等式，解得，
解方程，解得或.
①当时，即当时，不等式即为，
该不等式的解集为，不合乎题意；
②当时，即当时，解不等式可得.
由于是的充分不必要条件，则 ，
可得，此时；
③当时，即当时，解不等式可得.
由于是的充分不必要条件，则 ,
可得，解得.
检验：当时，则有 ，合乎题意；
当时，则有 ，合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
结论点睛：本题考查利用充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则求解：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件，则对应集合与对应集合互不包含．
【变式训练2-2】．（2020·江苏高一课时练习）若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
解不等式，然后对与的大小关系进行分类讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
解不等式，解得，
解方程，解得或.
①当时，即当时，不等式即为，
该不等式的解集为，不合乎题意；
②当时，即当时，解不等式可得.
由于是的充分不必要条件，则 ，
可得，此时；
③当时，即当时，解不等式可得.
由于是的充分不必要条件，则 ,
可得，解得.
检验：当时，则有 ，合乎题意；
当时，则有 ，合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
结论点睛：本题考查利用充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则求解：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件，则对应集合与对应集合互不包含．
重难点3 充要条件的证明及其综合应用
例3、（2022·河南河南·高一期末）已知集合，或．
(1)当时，求；
(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先得到集合，再根据交集的定义计算可得；
（2）首先求出集合的补集，依题意可得是的真子集，即可得到不等式组，解得即可；
(1)
解：当时，，或，
∴．
(2)
解：∵或，∴，
∵“”是“”的充分不必要条件，
∴是的真子集，∵，∴，
∴，∴，故实数的取值范围为．
例4．（2022·河北省曲阳县第一高级中学高二期末）设全集，集合，集合.
(1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解.
（2）将真命题转化成是的子集，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解.
(1)
是的充分条件， ，
又，
，，，
实数的取值范围为.
(2)
命题“，则”是真命题，①当时，，，；
②当时，，且是的子集.
，
，;
综上所述：实数的取值范围.
例5．（2020·全国）已知非空集合，集合，命题．命题．
（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）当实数为何值时，是的充要条件．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）解出集合，由题意得出，可得出关于实数的不等式组，即可求得实数的取值范围；
（2）由题意可知，进而可得出和是方程的两根，利用韦达定理可求得实数的值.
【详解】
（1）解不等式，即，解得，则.
由于是的充分不必要条件，则，，
①当时，即当或时，，不合题意；
②当时，即当或时，，
，则，解得，
又当，，不合乎题意.所以；
③当时，即当时，，则，此时.
综上所述，实数的取值范围是；
（2）由于是的充要条件，则，
所以，和是方程的两根，
由韦达定理得，解得.
【点睛】
本题考查利用充分不必要条件、充要条件求参数，考查运算求解能力，属于中等题.
例6．（2021·全国·高一专题练习）在① ；②““是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.
问题：已知集合.
(1)当时，求A∪B；
(2)若_______，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）代入，然后根据并集的定义进行运算即得；
（2）选①，利用条件列不等式即求；选②可知，列不等式组计算即可；选③，可知，列不等式计算即得.
(1)
当时，集合，
所以.
(2)
若选择①，
因为，所以，
又，
所以或，
解得或，
所以实数a的取值范围是.
若选择②，““是“”的充分不必要条件，则，
因为，所以，
又，
所以或解得，
所以实数a的取值范围是.
若选择③，则，
因为 ，所以 ，
又，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是.
四、课堂训练
1．（2022·吉林·长春外国语学校高二期中）若，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
分别判断充分性和必要性即可求解.
【详解】
由题意知：不能推出，不满足充分性；反之能推出，满足必要性，则是的必要不充分条件.
故选：B.
2．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第六中学高一开学考试）（多选题）使，成立的充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据集合的包含关系，结合各选项一一判断即可.
【详解】
由可得的集合是，
A.由，所以是成立的一个必要不充分条件；
B.由，所以是成立的一个充分不必要条件；
C.由=，所以是成立的一个充要条件；
D.由，所以是成立的一个充分不必要条件；
故选：BD.
3．（2022·全国·高一专题练习）写出的一个必要不充分条件_____．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由充分条件、必要条件的定义即可得出答案.
【详解】
，所以“”是不等式“”成立的一个必要不充分条件.
故答案为：.
4．（2022·江苏省扬州市教育局高二期末）设：，：.
(1)若，且、均为真命题，求满足条件的实数构成的集合；
(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）当时，分别化简与，再取交集即得所求（2）是的充分条件，则所表示的取值范围是所表示的取值范围的子集，利用集合的包含关系即可求解
(1)
因为：，：，即，
所以、均为真命题，
则取公共部分得实数构成的集合为；
(2)
（2）因为是的充分条件，且：，：，
所以，
所以，解得，
故实数的取值范围是.
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突破1.4 充分条件与必要条件
一、考情分析
二、经验分享
1、　充分条件与必要条件
(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)几点说明
①一般来说，对给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的；给定条件p，由p可以推出的结论q是不唯一的．
②一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
③一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中q是否为p的必要条件，只需判断是否有“p q”，即“若p，则q”是否为真命题．
2、　充要条件
(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p q，又有q p，就记作p q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
(2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p q，那么p与q互为充要条件．
3、 充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
【特别提醒】
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．
①若AB，则p是q的充分不必要条件；
②若A B，则p是q的必要条件；
③若AB，则p是q的必要不充分条件；
④若A＝B，则p是q的充要条件；
⑤若A B且A B，则p是q的既不充分也不必要条件．
三、题型分析
重难点1 充分条件、必要条件的判断
【规律方法总结】
定义法判断充分条件、必要条件
1确定谁是条件，谁是结论
2尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件
3尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.
例1．（1）、（2022·福建三明·高二期中）已知命题，命题，则p是q的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
（2）．（2021·全国高一课时练习）使不等式－5x＋3≥0成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．x<0 B．x≥0
C．{3，5} D．x≤
【变式训练1-1】、（2021·贵州·六盘水市外国语学校高二期中）“”是“”的___________条件（填充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要其中一个）
【变式训练1-2】、（2021·江苏扬州·高一期中）（多选题）设则的一个充分条件为（ ）
A． B．
C． D．
重难点2 充分条件、必要条件与充要条件的应用
【规律方法总结】利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围
1化简p，q两命题；
2根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系；
3利用集合间的关系建立不等式；
4求解参数范围.
例2．（1）、（2021·江苏·高一专题练习）（多选题）下列四个条件中可以作为方程有实根的充分不必要条件是（ ）
A．a=0 B． C． D．
（2）．（2022·江苏·高一单元测试）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是___________.
【变式训练2-1】、（2020·江苏·高一课时练习）若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是___________.
【变式训练2-2】．（2020·江苏高一课时练习）若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是___________.
重难点3 充要条件的证明及其综合应用
例3、（2022·河南河南·高一期末）已知集合，或．
(1)当时，求；
(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
例4．（2022·河北省曲阳县第一高级中学高二期末）设全集，集合，集合.
(1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围.
例5．（2020·全国）已知非空集合，集合，命题．命题．
（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）当实数为何值时，是的充要条件．
例6．（2021·全国·高一专题练习）在① ；②““是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.
问题：已知集合.
(1)当时，求A∪B；
(2)若_______，求实数a的取值范围.
四、课堂训练
1．（2022·吉林·长春外国语学校高二期中）若，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第六中学高一开学考试）（多选题）使，成立的充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高一专题练习）写出的一个必要不充分条件_____．
4．（2022·江苏省扬州市教育局高二期末）设：，：.
(1)若，且、均为真命题，求满足条件的实数构成的集合；
(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.
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