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突破2.1 等式的性质与不等式的性质
一、考情分析
二、考点梳理
考点1 不等式的基本性质
考点2 常用的结论
1.a>b，ab>0 <；
2.b<0；
3.a>b>0，c>d>0 >；
4.若a>b>0，m>0，则>；<(b－m>0)；<；>(b－m>0)．
考点3 作差比较法的四个步骤
三、题型突破
重难点题型突破1 利用不等式性质判断不等关系的真假
例1．（1）、（2022·广西钦州·高二期末（文））下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，，那么
（2）、（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若且，则
C．若，则 D．若，则
【变式训练1-1】、（2022·江苏·无锡市教育科学研究院高二期末）（多选题）已知，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式训练1-2】、（2022·四川乐山·高一期末）已知，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
重难点题型突破2 利用不等式性质比较大小
例2．（2022·全国·高一专题练习）如果，则有（用“>”或“<”填空）：
（1）、______； （2）______．
（3）______；
（4）______1．
【变式训练2-1】、（2021·全国·高一课时练习）用“<”“>”、“≤”或“≥”填空：
（1）当b______0时，则；
（2）当时，则_______；
（3）当时，则a______1．
例3、（2021·广西·崇左高中高一期中）比较大小：__________填”或“
【变式训练3-1】、（2022·新疆·莎车县第一中学高二期中（文））设，，，则，，的大小关系__________．
重难点题型突破3 利用不等式性质求变量范围
例3．(1)、（2022·辽宁·高二阶段练习）已知且，则的取值范围___________.
(2)、（2022·浙江·模拟预测）若实数x，y满足，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】．（2022·江苏·高一）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】．（2022·全国·高一）已知，，则的取值范围是___________.
重难点题型突破4 利用不等式性质证明不等式
例4、（2022·全国·高一专题练习）已知，证明：.
例5．（2022·全国·高一专题练习）证明不等式：
(1)若，，则；
(2)若，，则．
重难点题型突破5 不等式的综合性质
例6．（2022·全国·高一）同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候小明若有所思，如果爸爸 妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升，妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸 妈妈谁更合算呢？（ ）
A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定
【变式训练6-1】、（2021·江苏·高一专题练习）某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A元，购买3支康乃馨所需费用为B元，则A、B的大小关系是______________
例7．（2021·江西·萍乡中学高一阶段练习）（1）已知，求的取值范围；
（2）若，求证：；
【变式训练7-1】．（2022·全国·高一专题练习）（1）比较与的大小
（2）已知求证：
四、课堂过关测试
1．（2022·四川·遂宁中学高一期末（理））若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·安徽·亳州二中高二期末）（多选题）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，，则
3．（2022·全国·高一专题练习）已知 ， ，则 _______ ．（填“>”或“<”）
4．（2021·安徽·砀山中学高一阶段练习）（1）试比较与的大小；
（2）已知，，求的取值范围.
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突破2.1 等式的性质与不等式的性质
一、考情分析
二、考点梳理
考点1 不等式的基本性质
考点2 常用的结论
1.a>b，ab>0 <；
2.b<0；
3.a>b>0，c>d>0 >；
4.若a>b>0，m>0，则>；<(b－m>0)；<；>(b－m>0)．
考点3 作差比较法的四个步骤
三、题型突破
重难点题型突破1 利用不等式性质判断不等关系的真假
例1．（1）、（2022·广西钦州·高二期末（文））下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，，那么
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案.
【详解】
对于A，如果，那么，故错误；
对于B，如果，那么，故错误；
对于C，如果，那么，故错误；
对于D，如果，那么，由，则，故正确.
故选：D.
（2）、（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若且，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】
A选项可举出反例；BCD选项，可通过不等式的基本性质进行证明.
【详解】
对选项A：可取，，，则满足，但此时，所以选项A错误；
对选项B：因为，所以若，则；若，则；所以选项B正确；
对选项C：若，则，所以选项C错误；
对选项D：若，所以；又因为，所以由同向同正可乘性得：，所以，所以选项D正确，
故选：BD．
【变式训练1-1】、（2022·江苏·无锡市教育科学研究院高二期末）（多选题）已知，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据不等式的性质判断各选项．
【详解】
当时，如，时成立，A错；
若则一定有，所以时，一定有，B正确；
，但，C错；
，则，D正确．
故选：BD．
【变式训练1-2】、（2022·四川乐山·高一期末）已知，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
举反例否定选项A,B,C；利用不等式的性质证明选项D正确.
【详解】
对于A，当时不成立；
对于B，当时，显然不成立；
对于C，当时不成立；
对于D，因为，所以有，即成立.
故选：D．
重难点题型突破2 利用不等式性质比较大小
例2．（2022·全国·高一专题练习）如果，则有（用“>”或“<”填空）：
（1）、______； （2）______．
（3）______；
（4）______1．
【答案】 > > > <
【解析】
【分析】
根据不等式的性质求解.
【详解】
（1）由可得；
（2），，，即；
（3），，；
（4），，即.
故答案为：>；>；>；<.
【变式训练2-1】、（2021·全国·高一课时练习）用“<”“>”、“≤”或“≥”填空：
（1）当b______0时，则；
（2）当时，则_______；
（3）当时，则a______1．
【答案】 <； <； ≥.
【解析】
【分析】
（1）（2）应用作差法即可求条件、判断大小关系；
（3）讨论的符号，根据不等式的性质求参数a与1的大小关系.
【详解】
（1）若可得：，即；
（2）由，则，即；
（3）由，
当时，题设不等式恒成立；
当时，由恒成立，故题设不等式成立；
当时，有，显然不能成立；
综上，时成立.
故答案为：>，<，≥.
例3、（2021·广西·崇左高中高一期中）比较大小：__________填”或“
【答案】
【解析】
【分析】
由于，所以比较两分母的大小即可
【详解】
因为，且，
所以
所以
故答案：
【变式训练3-1】、（2022·新疆·莎车县第一中学高二期中（文））设，，，则，，的大小关系__________．
【答案】
【解析】
【分析】
依题意可得，，即可得到，再由，，即可得到，从而得解；
【详解】
解：因为，，
因为，所以，所以，
而，而，所以，所以．
故答案为：
重难点题型突破3 利用不等式性质求变量范围
例3．(1)、（2022·辽宁·高二阶段练习）已知且，则的取值范围___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据不等式的性质进行求解.
【详解】
由，由，相加得.
故答案为：.
(2)、（2022·浙江·模拟预测）若实数x，y满足，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设，求出，再根据不等式的性质即可得出答案.
【详解】
解：设，
则，解得，
故，
又因，
所以，
所以.
故选：A.
【变式训练3-1】．（2022·江苏·高一）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质即可求解.
【详解】
解：因为，，
所以，，
所以，
所以的取值范围是，
故选：D.
【变式训练3-2】．（2022·全国·高一）已知，，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用不等式的基本性质求解.
【详解】
因为，，
所以，，
则，
所以，故答案为：
重难点题型突破4 利用不等式性质证明不等式
例4、（2022·全国·高一专题练习）已知，证明：.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
利用作差法证明即可.
【详解】
证明：， ，
，
， ， ，
.
例5．（2022·全国·高一专题练习）证明不等式：
(1)若，，则；
(2)若，，则．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）利用不等式的性质可证得结论；
（2）由，知，利用，即可证得结论；
(1)
，两边同乘以，则
又，两边同乘以，则
即
(2)
，两边同乘以，得；
两边同乘以，得，所以
又，则，又，则，
即
重难点题型突破5 不等式的综合性质
例6．（2022·全国·高一）同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候小明若有所思，如果爸爸 妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升，妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸 妈妈谁更合算呢？（ ）
A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意，先计算爸爸和妈妈两次加油的平均单价，再作差法比较大小，即得解
【详解】
由题意，妈妈两次加油共需付款元，爸爸两次能加升油
设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升
则，且
所以爸爸的加油方式更合算
故选：A
【变式训练6-1】、（2021·江苏·高一专题练习）某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A元，购买3支康乃馨所需费用为B元，则A、B的大小关系是______________
【答案】A>B
【解析】
【分析】
设每支支玫瑰x元，每支康乃馨y元，则，
由题意可得：，代入可得：，根据不等式性质，联立即可得解.
【详解】
设每支支玫瑰x元，每支康乃馨y元，
则，
由题意可得：，
代入可得：，
根据不等式性质可得：，
而，可得,
故，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了利用不等式解决实际问题，考查了不等式性质，同时考查了转化思想和计算能力，属于中档题.
例7．（2021·江西·萍乡中学高一阶段练习）（1）已知，求的取值范围；
（2）若，求证：；
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）令求m、n，再由不等式的性质求的取值范围；
（2）应用作差法，即可证明结论.
【详解】
（1）令，
∴，可得，则，而，
∴.
（2），又，
∴，则，得证.
【变式训练7-1】．（2022·全国·高一专题练习）（1）比较与的大小
（2）已知求证：
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用作差法即可得出答案；
（2）利用不等式的性质即可证明结论.
【详解】
（1）解：，
所以；
（2）因为，，
所以，
所以，即.
四、课堂过关测试
1．（2022·四川·遂宁中学高一期末（理））若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式性质判断即可．
【详解】
解：令，，满足，但不满足，故A错误；
，，故B错误；
，，，，，故C正确；
，，故D错误．
故选：C．
2．（2022·安徽·亳州二中高二期末）（多选题）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，，则
【答案】AD
【解析】
【分析】
A．由不等式的性质判断；B.举例判断；C.由判断； D.作差判断.
【详解】
A．由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故正确；
B. 当时，，故错误；
C.当时，故错误；
D.，因为，，，所以，故正确；
故选：AD
3．（2022·全国·高一专题练习）已知 ， ，则 _______ ．（填“>”或“<”）
【答案】<
【解析】
【分析】
作差判断正负即可比较.
【详解】
因为，所以.
故答案为：<.
4．（2021·安徽·砀山中学高一阶段练习）（1）试比较与的大小；
（2）已知，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用法作差，即可得到答案.
（2）利用待定系数法可得，再根据不等式的性质求解即可.
【详解】
（1）因为，
.
（2）令.
，解得
.
，
.
又，
.
故的取值范围为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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