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突破2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
一、考情分析
二、考点梳理
考点一　一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式．
考点二　二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点.
考点三　一元二次不等式的解集的概念
使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．
考点四 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
二次函数（）的图象
有两相异实根 有两相等实根 无实根
知识点诠释：
（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集.
考点五 一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.
考点六 简单的分式不等式的解法
系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”
三、题型突破
重难点突破(一)、 一元二次不等式的解法
例1．（2022·全国·高一）求下列不等式的解集．
(1)；
(2)
【变式训练1-1】．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学高二期中）求下列不等式的解集：
(1)；
(2)；
(3)；
】例2、（2020·江苏省震泽中学高二月考）已知函数．则不等式的解集为________．
【变式训练2-1】．（2022·北京·东直门中学高二阶段练习）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
重难点突破(二) 、含有参数的一元二次不等式与根的判别式
1、一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根为，则。
例3．（1）、（2022·江苏·高一）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2021·江苏省海头高级中学高一阶段练习）（多选题）若方程的两个根是1和3，则函数（ ）
A．在上单调递减
B．不等式的解集是
C．在上单调递增
D．最小值是
【变式训练3-1】、（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A． B．不等式的解集为
C． D．不等式的解集为
【变式训练3-2】、（2022·上海·格致中学高一期末）已知关于的不等式的解集为，则的最小值是___________.
重难点突破(三) 、一次分式不等式的解法
1.分式不等式：形如＞0(＜0)(其中a，b，c，d为常数)
例4．（1）不等式的解集是 （ ）
A． B． C． D．
(2)．（2020·江苏省高邮中学高二月考）不等式的解集为________．
【变式训练4-1】．（2021·全国高一课时练习）求不等式的解集.
【变式训练4-2】．（2021·全国高一专题练习）不等式的解集为（ ）
A．或 B． C．或 D．
重难点突破(四)、二次不等式综合问题
例5．（1）、（河南省濮阳市2021-2022学年高一下学期期末数学（理科）试题）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
(2)．（2022·江西鹰潭·高二期末（文））命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是______．
【变式训练5-1】．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-2】．（2021·江西省乐平中学高一阶段练习）（多选题）表示不超过的最大整数，则满足不等式的的值可以为（ ）
A． B．3 C．7.5 D．8
重难点突破(五)、不等式的恒成立问题
例6．（2020·浙江衢州·高一期中）已知函数对一切恒成立，则实数m的取值范围___________.
【变式训练6-1】．（2023·全国·高三专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为　　
A．，， B．，，
C．，， D．
四、过关测试
1．（2022·广东珠海·高一期末）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．，或
2．（2021·安徽宣城·高一期中）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022·江苏·高一）不等式的解集为__________．
4．（2022·新疆喀什·高一期末）解下列不等式：
(1)；
(2).
5．（2021·四川成都·高一期末（理））求解下列问题：
(1)解不等式：；
(2)已知函数．若对于，恒成立，求实数的取值范围．
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突破2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
一、考情分析
二、考点梳理
考点一　一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式．
考点二　二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点.
考点三　一元二次不等式的解集的概念
使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．
考点四 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
二次函数（）的图象
有两相异实根 有两相等实根 无实根
知识点诠释：
（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集.
考点五 一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.
考点六 简单的分式不等式的解法
系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”
三、题型突破
重难点突破(一)、 一元二次不等式的解法
例1．（2022·全国·高一）求下列不等式的解集．
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先将二次项系数化正，再因式分解求解即可；
（2）先去括号，再因式分解求解即可
(1)
即，故，解得，故的解集为
(2)
即，即，即，解得或，故解集为
【变式训练1-1】．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学高二期中）求下列不等式的解集：
(1)；
(2)；
(3)；
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【解析】
【分析】
利用一元二次不等式的解法求解即可．
(1)
解：
解得：
不等式解集为：.
(2)
解：，整理得：
即
解得：
不等式解集为：.
(3)
解：，整理得：
，故不等式再实数范围内无解
不等式解集为：.
例2、（2020·江苏省震泽中学高二月考）已知函数．则不等式的解集为________．
【答案】
【分析】
根据解一元二次不等式的解法进行求解即可.
【详解】
，
故答案为：
【变式训练2-1】．（2022·北京·东直门中学高二阶段练习）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将不等式化简为，即可求出其解集.
【详解】
由可得：，所以不等式的解集为：.
故选：C.
重难点突破(二) 、含有参数的一元二次不等式与根的判别式
1、一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根为，则。
例3．（1）、（2022·江苏·高一）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先由题给条件求得，，，再解不等式即可.
【详解】
关于x的不等式的解集为
，且和1是方程的两个根，
则，，
关于x的不等式，即，
，解得，
故不等式的解集为，
故选：A
（2）、（2021·江苏省海头高级中学高一阶段练习）（多选题）若方程的两个根是1和3，则函数（ ）
A．在上单调递减
B．不等式的解集是
C．在上单调递增
D．最小值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与一元二次方程的根的关系得出二次函数的性质、解析式，判断各选项．
【详解】
方程的两个根是1和3，则函数图象的对称方程是，是开口向上的抛物线，A正确；C错误；
函数的两个零点是1和3，因此B正确；
又，，，即，为最小值，D正确．
故选：ABD．
【变式训练3-1】、（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A． B．不等式的解集为
C． D．不等式的解集为
【答案】B
【解析】
【分析】
根据解集形式确定选项A错误；化不等式为即可判断选项B正确；设，则，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.
【详解】
解：因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；
由题得，所以为.所以选项B正确；
设，则，所以选项C错误；
不等式为，所以选项D错误.
故选：B
【变式训练3-2】、（2022·上海·格致中学高一期末）已知关于的不等式的解集为，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题知，进而根据基本不等式求解即可.
【详解】
解：因为关于的不等式的解集为，
所以是方程的实数根，
所以，
因为，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是
故答案为：
重难点突破(三) 、一次分式不等式的解法
1.分式不等式：形如＞0(＜0)(其中a，b，c，d为常数)
例4．（1）不等式的解集是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，不等式化为，解得﹣1＜x≤2，故选D．
(2)．（2020·江苏省高邮中学高二月考）不等式的解集为________．
【答案】
【分析】
首先写出分式不等式的等价不等式，再解一元二次不等式即可；
【详解】
解：因为，所以，等价于解得或，故原不等式的解集为
故答案为：
【变式训练4-1】．（2021·全国高一课时练习）求不等式的解集.
【答案】
【分析】
直接将分式不等式移项通分化成二次不等式求解
【详解】
，
所以原不等式的解集为.
【变式训练4-2】．（2021·全国高一专题练习）不等式的解集为（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】D
【分析】
不等式等价于，即，且，由此求得不等式的解集．
【详解】
不等式等价于，即，且，解得，
故不等式的解集为，
故选：D．
重难点突破(四)、二次不等式综合问题
例5．（1）、（河南省濮阳市2021-2022学年高一下学期期末数学（理科）试题）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出命题为真时实数的取值范围，即可求出命题为假时实数的取值范围.
【详解】
若“，”是真命题，
即判别式，解得：，
所以命题“，”是假命题，
则实数的取值范围为：.
故选：A.
(2)．（2022·江西鹰潭·高二期末（文））命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
写出原命题的否定，再利用二次型不等式恒成立求解作答.
【详解】
因命题“，”为假命题，则命题“，”为真命题，
当时，恒成立，则，
当时，必有，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
【变式训练5-1】．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由不等式解集为R，则分二次项系数为0及不为0两种情况讨论，结合二次函数图像得出结论.
【详解】
∵不等式的解集为R，
当a-2＝0，即a＝2时，不等式为3>0恒成立，
故a＝2符合题意；
当a﹣2≠0，即a≠2时，不等式的解集为R，
则，解得，
综合①②可得，实数a的取值范围是．
故选：B．
【变式训练5-2】．（2021·江西省乐平中学高一阶段练习）（多选题）表示不超过的最大整数，则满足不等式的的值可以为（ ）
A． B．3 C．7.5 D．8
【答案】BC
【解析】
【分析】
由一元二次不等式得
【详解】
解：因为，所以，
所以．
所以的值可以为内的任何实数.
故选：BC
重难点突破(五)、不等式的恒成立问题
例6．（2020·浙江衢州·高一期中）已知函数对一切恒成立，则实数m的取值范围___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意转化为不等式对一切恒成立，结合函数在单调性和最小值，即可求解.
【详解】
由题意，函数对一切恒成立，
即不等式对一切恒成立，
因为函数在为单调递减函数，所以，
所以，即实数m的取值范围.
故答案为：.
【变式训练6-1】．（2023·全国·高三专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为　　
A．，， B．，，
C．，， D．
【答案】C
【解析】
【分析】
把不等式看作是关于的一元一次不等式，然后构造函数，由不等式在，上恒成立，得到，求解关于的不等式组得得取值范围．
【详解】
解：令，
则不等式恒成立转化为在上恒成立．
有，即，
整理得：，
解得：或．
的取值范围为．
故选：C．
四、过关测试
1．（2022·广东珠海·高一期末）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．，或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解法计算可得；
【详解】
解：由，解得，即不等式的解集为；
故选：C
2．（2021·安徽宣城·高一期中）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
解出一元二次不等式，然后由集合的包含关系得结论．
【详解】
的解是，是集合的真子集，因此应是充分不必要条件．
故选：A．
3．（2022·江苏·高一）不等式的解集为__________．
【答案】{x|x≥1或x＜﹣2}
【解析】
【分析】
利用移项，通分，转化整式不等式求解即可．
【详解】
由得，即，
解得：x≥1或x＜﹣2，
所以原不等式的解集为{x|x≥1或x＜﹣2}．
故答案为：{x|x≥1或x＜﹣2}．
4．（2022·新疆喀什·高一期末）解下列不等式：
(1)；
(2).
【答案】(1)或
(2)
【解析】
(1)
(1)因为，
所以方程有两个不等实根x1＝－1，x2＝－3.
所以原不等式的解集为或.
(2)
(2)因为，
所以方程 有两个相等实根x1＝x2＝
所以原不等式的解集为.
5．（2021·四川成都·高一期末（理））求解下列问题：
(1)解不等式：；
(2)已知函数．若对于，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据分式不等式的解法求得正确答案.
（2）对进行分类讨论，结合判别式来求得的取值范围.
(1)
，
解得，
所以不等式的解集为.
(2)
函数，对于，恒成立，
当时，恒成立，符合题意.
当时，不恒成立，不符合题意.
当时，，
综上所述，的取值范围是.
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