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突破3.3 幂函数
一、考情分析
二、考点梳理
重难点 幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
三、题型突破
重难点题型突破1 求幂函数的解析式
幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：
(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
例1．(1)、（2022·江苏·无锡市教育科学研究院高二期末）已知幂函数的图像过点，则（ ）
A． B． C． D．4
(2)．（2022·全国·高一单元测试）“”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
(3)．（2021·湖南周南中学高一开学考试）已知点在幂函数的图象上，则的表达式是__．
【变式训练1-1】、（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）若幂函数的图象经过点，则函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】、（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二期末）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】、（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高一期末）幂函数在区间上单调递增，且，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
重难点题型突破2 幂函数的图像及其性质的应用
幂函数的图像及其性质的应用
1．幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：
①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．
②幂函数的指数与图象特征的关系
当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下：
α α>1 0<α<1 α<0
图象
特殊点 过(0，0)，(1，1) 过(0，0)，(1，1) 过(1，1)
凹凸性 下凸 上凸 下凸
单调性 递增 递增 递减
举例 y=x2 、
例2．（1）、（2022·贵州·高二学业考试）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
（2）．（2022·浙江省义乌中学高一期末）已知，则函数的图像不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-1】、（2021·河北省博野中学高一开学考试）函数和的图象如图所示，有下列四个说法：
①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，那么；
④如果时，那么.
其中正确的是（ ）.
A．①④ B．① C．①② D．①③④
【变式训练2-2】、（2022·云南昆明·模拟预测（理））函数部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：
结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.
例3．（1）、（2022·湖南·高一课时练习）比较下列各组中两个数的大小：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
（2）．（2020·全国高一专题练习）下列关系中正确的是
A． B．
C． D．
【变式训练3-1】、（2019·江西九江·高二期末（理））设，，，则大小关系是
A． B．
C． D．
【变式训练3-2】、（2021·全国·高一课前预习）比较下列几组值的大小：
(1)和；
(2)和；
(3)和；
(4)，，．
重难点题型突破3 幂函数型复合函数
例4．（2021·江西省乐平中学高一开学考试）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围：
（3）若实数满足，求的最小值.
例5．（2022·全国·高一单元测试）已知幂函数的定义域为全体实数R.
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围.
例6．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）已知幂函数为偶函数，
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在上的最大值为1，求实数的值.
例7．（2023·全国·高三专题练习）定义在实数集上的函数的图象是一条连绵不断的曲线，，，且的最大值为1，最小值为0．
(1)求与的值；
(2)求的解析式．
四、定时训练（30分钟）
1．（2022·全国·高一）已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·辽宁锦州·高一期末）（多选题）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的是（ ）
A．为偶函数
B．的值域是
C．若，则
D．是上的增函数
3．（2022·上海中学高一期末）不等式的解为______．
4．（2021·全国·高一课前预习）比较下列各组数的大小：
(1)，1，
(2)，
(3)，
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突破3.3 幂函数
一、考情分析
二、考点梳理
重难点 幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
三、题型突破
重难点题型突破1 求幂函数的解析式
幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：
(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
例1．(1)、（2022·江苏·无锡市教育科学研究院高二期末）已知幂函数的图像过点，则（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再代入计算可得；
【详解】解：设，依题意，所以，
所以，所以；
故选：B
(2)．（2022·全国·高一单元测试）“”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】由幂函数在上是减函数，可得，由充分、必要条件的定义分析即得解
【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立；
若幂函数在上是减函数，
则，解得或
故必要性不成立
因此“”是“幂函数在上是减函数”的一个充分不必要条件
故选：A
(3)．（2021·湖南周南中学高一开学考试）已知点在幂函数的图象上，则的表达式是__．
【答案】
【分析】
本题首先可根据幂函数的性质将函数设为，然后带入点，通过计算即可得出结果．
【详解】
因为函数幂函数，
所以设，
因为点在幂函数的图像上，
所以，，即
故答案为：．
【变式训练1-1】、（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）若幂函数的图象经过点，则函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的图象经过点求解.
【详解】解：因为幂函数的图象经过点，
所以，解得，
所以．
故选：A
【变式训练1-2】、（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二期末）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的概念求出，再代入点的坐标可求出，即可得解.
【详解】因为函数为幂函数，所以，则，
又因为的图象经过点，所以，得，
所以.
故选：A
【变式训练1-3】、（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高一期末）幂函数在区间上单调递增，且，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
【答案】A
【分析】由已知条件求出的值，则可得幂函数的解析式，再利用幂函数的性质判断即可
【详解】由函数是幂函数，可得，解得或．
当时，；当时，．
因为函数在上是单调递增函数，故．
又，所以，
所以，则．
故选：A．
重难点题型突破2 幂函数的图像及其性质的应用
幂函数的图像及其性质的应用
1．幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：
①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．
②幂函数的指数与图象特征的关系
当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下：
α α>1 0<α<1 α<0
图象
特殊点 过(0，0)，(1，1) 过(0，0)，(1，1) 过(1，1)
凹凸性 下凸 上凸 下凸
单调性 递增 递增 递减
举例 y=x2 、
例2．（1）、（2022·贵州·高二学业考试）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先得到函数的定义域，再判断函数的奇偶性，最后根据幂函数的性质判断即可；
【详解】解：因为，即，定义域为，且，
即为奇函数，又由幂函数的性质可知在上单调递减，
所以在上单调递减，故符合题意的只有C；
故选：C
（2）．（2022·浙江省义乌中学高一期末）已知，则函数的图像不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据含参函数的解析式和函数特殊值判断函数可能的图像.
【详解】根据可知，所以当时，，即，故选项A错误，而当为其他值时，B,C,D均有可能出现.
故选：A
【变式训练2-1】、（2021·河北省博野中学高一开学考试）函数和的图象如图所示，有下列四个说法：
①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，那么；
④如果时，那么.
其中正确的是（ ）.
A．①④ B．① C．①② D．①③④
【答案】A
【分析】结合函数和的图象，逐项判定，即可求解.
【详解】当三个函数的图象依和次序呈上下关系时，可得 ，
所以，若，可得，所以①正确；
当三个函数的图象依，和次序呈上下关系时，或 ，
所以，若，可得，所以②错误；
由于当三个函数的图象没有出现和次序的上下关系 ，所以③错误；
当三个函数的图象依和次序呈上下关系时， ，
所以，若时，可得，所以④正确.
故选；A．
【变式训练2-2】、（2022·云南昆明·模拟预测（理））函数部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数值在上的符号可判断BD不正确；根据函数在上的单调性可判断A不正确.
【详解】当时，，故BD不正确；
当时，，且为增函数，所以为减函数，故A不正确，
故选：C.
2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：
结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.
例3．（1）、（2022·湖南·高一课时练习）比较下列各组中两个数的大小：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用指数函数与幂函数的单调性可出与的大小关系；
（2）利用指数函数的单调性可得出与的大小关系；
（3）利用指数函数的单调性结合中间值法可得出与的大小关系.
(1)
解：因为指数函数为上的增函数，幂函数在上为增函数，
故，故.
(2)
解：因为指数函数为上的减函数，故.
(3)
解：因为指数函数为上的增函数，指数函数为上的减函数，
故，即.
（2）．（2020·全国高一专题练习）下列关系中正确的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用指数函数的单调性和幂函数的单调性比较即可.
【详解】
因为是单调递减函数，，所以，
因为幂函数在上递增，；
所以，
即，故选D.
【点睛】
同底指数幂比较大小常用的方法是利用指数函数的单调性，不同底数指数幂比较大小一般应用幂函数的单调性.
【变式训练3-1】、（2019·江西九江·高二期末（理））设，，，则大小关系是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由幂函数的单调性可以判断出的大小关系，通过指数函数的单调性可以判断出的大小关系，比较的大小可以转化为比较与的大小，设求导，判断函数的单调性，利用函数的单调性可以判断出与的大小关系，最后确定三个数的大小关系.
【详解】
解:由幂函数和指数函数知识可得，，即，.
下面比较的大小，即比较与的大小.设，则，
在上单调递增，在上单调递减，
，即，即，
，即，即，故选C.
【点睛】
本题考查了幂函数和指数函数的单调性，通过变形、转化、构造函数判断函数值大小是解题的关键.
【变式训练3-2】、（2021·全国·高一课前预习）比较下列几组值的大小：
(1)和；
(2)和；
(3)和；
(4)，，．
【答案】(1)
(2)
(3)>
(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）利用指数函数的单调性分析比较大小即可
(1)由于，．
∵在上为增函数，且，
∴，即；
(2)由于．
∵在上为减函数，且，
∴；
(3)
∵在上为减函数，在上为增函数，且，
∴，，
∴；
(4)
∵，在上为增函数，且
∴，
∴．
重难点题型突破3 幂函数型复合函数
例4．（2021·江西省乐平中学高一开学考试）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围：
（3）若实数满足，求的最小值.
【答案】（1）；（2）；（3）2．
【分析】
（1）由幂函数定义得值，由单调性得的范围，结合奇偶性得值．
（2）利用偶函数和单调性解不等式；
（3）由（1）得，用“1”的代换凑配出定值，由基本不等式得最小值．
【详解】
（1）是幂函数，则，，又是偶函数，所以是偶数，
在上单调递增，则，，所以或2．
所以；
（2）由（1）偶函数在上递增，
．
所以的范围是．
（3）由（1），，，
，当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值是2．
例5．（2022·全国·高一单元测试）已知幂函数的定义域为全体实数R.
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义可得，结合幂函数的定义域可确定m的值，即得函数解析式;
（2）将在上恒成立转化为函数在上的最小值大于0，结合二次函数的性质可得不等式，解得答案．
（1）∵是幂函数，∴，∴或2.当时，，此时不满足的定义域为全体实数R，∴m＝2,∴.
（2）即，要使此不等式在上恒成立，令,只需使函数在上的最小值大于0.∵图象的对称轴为，故在上单调递减，∴，由，得，∴实数k的取值范围是.
例6．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）已知幂函数为偶函数，
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在上的最大值为1，求实数的值.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）幂函数的系数为1，代入求出两种可能值，再根据函数奇偶性判断即可；
（2）二次函数性质，结合对称轴公式，动轴定区间分类讨论即可得解.
(1)
因为为幂函数
所以
因为为偶函数
所以 故的解析式.
(2)
由（1）知，
当即时，，即
当即时，即
综上所述：或
例7．（2023·全国·高三专题练习）定义在实数集上的函数的图象是一条连绵不断的曲线，，，且的最大值为1，最小值为0．
(1)求与的值；
(2)求的解析式．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用赋值法，令，得到；令，得到；
（2）先由得到，根据的最大值为1，最小值为0及
图象连续，写出的解析式.
(1)
令，则，得
∴
∴
令，则，
同理；
(2)
由
得，即
这说明，至少与1，，其中之一相等
∵的最大值为1，最小值为0
∴在区间和上，一定有
只能在处取得，因此
又∵函数的图象是一条连绵不断的曲线
∴的解析式为
四、定时训练（30分钟）
1．（2022·全国·高一）已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由已知条件求出幂函数的解析式，然后利用排除法可得其图象
【详解】设幂函数为，
因为幂函数的图象经过点，
所以，即，
解得，
所以，
则函数的定义域为，所以排除CD，
因为，所以在上为减函数，
所以排除B，
故选：A
2．（2022·辽宁锦州·高一期末）（多选题）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的是（ ）
A．为偶函数
B．的值域是
C．若，则
D．是上的增函数
【答案】BCD
【分析】根据幂函数的定义，运用代入法，结合幂函数的性质逐一判断即可.
【详解】因为函数是幂函数，所以设，
又因为的图像经过点，所以有，
即.
A：函数的定义域为全体正实数，不关于原点对称，所以函数不是偶函数，因此本命题不正确；
B：因为，所以，因此本命题正确；
C：因为，所以，
因为函数是正实数集上的减函数，
所以可得，
，
因此，而，
即，因此本命题正确；
D：，
当时，函数，此时函数单调递增，
由函数单调性的性质可知中：函数是上的增函数，因此本命题正确，
故选：BCD
【点睛】关键点睛：运用不等式的性质，结合函数单调性的性质进行判断是解题的关键.
3．（2022·上海中学高一期末）不等式的解为______．
【答案】
【分析】根据幂函数的性质，分类讨论即可
【详解】将不等式转化成
（Ⅰ） ，解得 ；
（Ⅱ） ，解得 ；
（Ⅲ） ，此时无解；
综上，不等式的解集为：
故答案为：
4．（2021·全国·高一课前预习）比较下列各组数的大小：
(1)，1，
(2)，
(3)，
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】(1)根据幂函数y＝的单调性即可判断大小；
(2)根据幂函数的单调性即可判断大小；
(3)根据指数函数与幂函数的单调性即可判断大小.
(1)
，幂函数在区间上是增函数，故；
(2)
，幂函数在上减函数，故；
(3)
函数为减函数，，
又函数在上是增函数，，即.
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