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2022-2023学年北师大版九年级数学上册
第一章《特殊平行四边形》综合练习
一、单选题
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB= CD B．AD= BC C．AB=BC D．AC= BD
2．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连结DF，若∠BAD＝70°，则∠CFD等于（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
3．如图，菱形对角线，交于点，，过点作交的延长线于点．若菱形的面积为4，则菱形的边长为（ ）
A． B．2 C． D．4
4．将矩形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系中，点B的坐标为（10，8），点D是OC上一点，将△BCD沿BD折叠，点C恰好落在OA上的点E处，则点D的坐标是（　　）
A．（0，4） B．（0，5）
C．（0，3） D．（0，2）
6．如图，矩形ABCD绕点A逆时针旋转90*得矩形AEFG，连接CF，交AD于点P，M是CF的中点，连接AM，交EF于点Q．则下列结论：
①AM⊥CF；②△CDP≌△AEQ ；③连接PQ，则PQ= MQ；④若AB=2，BC=6，则MQ= 其中，正确结论的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ）
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
8．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，，，，小敏行走的路线为，小聪行走的路线为．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为（ ）
A．3100m B．4600m C．5500m D．6100m
10．如图，点、分别在正方形的边、上，，已知（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），．则的面积（ ）
A．6 B．12 C．15 D．30
二、填空题
11．如图四边形ABCD是菱形，对角线AC=8，BD=6，DH⊥AB于点H，则DH的长为______．
12．如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则的周长是________．
13．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是______．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，EO＝2DE，则DE的长为________．
15．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为8，则正方形ABCD的边长为_____．
16．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③AP＝EF；④EF的最小值为2，其中正确结论的序号为__________．
三、解答题
17．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝5，AC＝6，DE⊥BC的延长线于点E，求OE的长．
18．如图，四边形ABCD是菱形，边长为10cm，对角线AC，BD交于点O，∠BAD＝60°．
(1)求对角线AC，BD的长；
(2)求菱形的面积．
19．如图，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上，另一端F在AD上，，．
(1)求证：四边形BGEF为菱形；
(2)求FG的长．
20．如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
(1)求证：△ABN≌△MAD；
(2)若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
21．已知如下两个图：
(1)如图①，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A点作AG⊥EB，垂足为G，AC交BD于O，求证：OE=FO；
(2)如图②，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G．AG的延长线交DB的延长线于F，其他条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
22．（1）如图a，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．
（2）如图b，如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．
（3）如图c，如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．
参考答案
1．D
2．C
3．A
4．B
5．C
6．D
7．A
8．C
9．B
10．C
解：延长CD到G，使DG=BE，连接AG，
在正方形ABCD中，AB=AD，
，
，
，
，
，
，
，
又，
(SAS)，
，
设BE=DG=x，则EC=6-x，FC=4，EF=FG=x+2，
在中，，
，
解得，x=3，
，
，
故选：C．
11．4.8
12．15
13．
14．
15．4
16．①②③④
17．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝5，AC⊥BD，AO＝AC＝×6＝3，OB＝OD．
在Rt△AOD中，
由勾股定理得OD＝，
∴BD＝2OD＝8．
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°．
又∵OD＝OB，
∴OE＝BD＝×8＝4．
18
（1）
解：在菱形ABCD中，AB＝AD＝10cm，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝10cm．
由菱形的性质知AC⊥BD，BO＝DO，OA＝OC，
∴BO＝BD＝5cm，
在Rt△AOB中，AO＝＝cm，
∴AC＝2AO＝（cm）．
（2）
解：菱形的面积为×10×＝（cm2）．
19．
（1）
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EFG＝∠BGF，
∵图形翻折后点B与点E重合，GF为折线，
∴∠BGF＝∠EGF，
∴∠EFG＝∠EGF，
∴EF＝GE，
∵图形翻折后BG与GE完全重合，
∴BG＝GE，
∴EF＝BG，
∴四边形BGEF为平行四边形，
∴四边形BGEF为菱形；
（2）
解：过点F作FK⊥BG于K，则∠FKB＝90°，
∵∠A＝∠ABK＝∠FKB＝90°，
∴四边形ABKF是矩形，
∴FK＝AB＝8，BK＝AF，
在Rt△ABF中，AB＝8，∠A＝90°，BF＝BG＝10，
∴AF＝，
∴BK＝AF＝6，
∴GK＝BG﹣BK＝10﹣6＝4，
∴FG＝．
20．
（1）
证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠BAN＝∠AMD.
∵BN⊥AM，
∴∠BNA＝90°，
在△ABN与△MAD中，
，
∴△ABN≌△MAD(AAS)．
（2）
解：∵△ABN≌△MAD，
∴BN＝AD.
∵AD＝2，
∴BN＝2.
又∵AN＝4，
∴在Rt△ABN中，
由勾股定理，得AB＝2.
∴S矩形ABCD＝2×2＝4.
又∵S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4.
∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD－S△ABN－S△MAD＝4－8.
21．
（1）
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OA=BO，∠AOB=∠BOC=90°，
又∵AG⊥EB，
∴∠AGE=90°，
∴∠2+∠3=∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△AOF和△BOE中，
，
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OE=OF；
（2）
解：结论成立．
证明如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA=BO，∠AOB=∠BOC=90°，
又∵AG⊥EB，
∴∠AGE=90°，
∴∠E+∠GAE=∠F+∠GAE=90°，
∴∠E=∠F，
在△AOF和△BOE中，
，
∴△AOF和△BOE（AAS），
∴OE=OF．
22．解：（1）四边形CODP是菱形，理由如下：
∵DP∥OC，且DP=OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OC，
∴平行四边形OCDP是菱形；
（2）四边形CODP是矩形，理由如下：
∵DP∥OC，且DP=OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∴∠DOC=90°，
∴平行四边形OCDP是矩形；
（3）四边形CODP是正方形，理由如下：
∵DP∥OC，且DP=OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，DO=OC，
∴∠DOC=90°，平行四边形CODP是菱形，
∴菱形OCDP是正方形．

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