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第12课时 用配方法求解一元二次方程（2）
知识归纳
1.解一元二次方程的思路是将方程转化为(x+m)2= n的形式，它的一边是一个 ，另一边是一个 ．当n ≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根．
2.通过配成完全平方式的方法得到了二元一次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为 ．
典例精讲
考点1：用配方法解一元二次方程
例1．用配方法解方程：x2﹣8x+13＝0．
【解答】解：x2﹣8x+13＝0，
移项，得：x2﹣8x＝﹣13，
配方，得：x2﹣8x+16＝﹣13+16，
即（x﹣4）2＝3，
开方，得：x﹣4＝±，
∴x1＝+4，x2＝﹣+4．
1．解方程：
（1）x2﹣4x﹣3＝0； （2）x2﹣2x﹣5＝0；
（3）x2﹣6x﹣9＝0； （4）x2+2x+3＝0．
考点2：用配方法解一元二次方程
例2．解方程：3x2﹣6x﹣8＝0；
【解答】解：3x2﹣6x﹣8＝0，
移项，得3x2﹣6x＝8，
方程两边同时除以3，得x2﹣2x＝，
配方，得x2﹣2x+1＝+1，
则（x﹣1）2＝，所以，x﹣1＝±，所以，x1＝1+，x2＝1﹣．
2．解方程：（1）2x2﹣6x﹣7＝0； （2）．
考点3：用配方法求二次三项式的最值
例3．求代数式x2+2x+3的最大值或最小值．
解：∵x2+2x+3＝（ 　x2+2x+1　）+2＝（ 　x+1　）2+2，
又∵（x+1）2≥0，
∴（x+1）2+2≥2，
∴当x+1＝　0　时，即x＝　﹣1　时，
代数式x2+2x+3有最 　小　值是 　2　．
【解答】解：∵x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，
又∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2，
∴当x+1＝0时，即x＝﹣1时，代数式x2+2x+3有最小值是2．
故答案为：x2+2x+1，x+1，0，﹣1，大，2．
3．当x取何值时，代数式2x2﹣6x+7的值最小？并求出这个最小值．
基础巩固
1．解方程：
（1）x2﹣6x﹣5＝0； （2）x2﹣4x﹣9996＝0．
2．解方程：
（1）2x2﹣2＝x； （2）2x2﹣4x﹣1＝0；
3．若x2﹣2x+10+y2+6y＝0，求（2x﹣y）2的值．
4．已知△ABC的三边长a，b，c，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求c的取值范围．
5．已知：a是不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2+2ax+a+1＝0．
能力提升
6．解方程：
（1） x2﹣2x﹣2021＝0； （2）x2﹣10x+22＝0．
（3）（x+1）（x﹣1）+2（x+2）＝9．
7．解方程：
（1）2x2﹣6x+1＝0； （2）3x2﹣8x+3＝0；
（3）2x2+8x﹣1＝0； （4）9（2x+3）2＝16（1﹣3x）2．
8．配方法是数学中一种重要的思想方法，利用完全平方公式，可将x2+4x﹣3配方成（x+m）2+n的形式，即x2+4x﹣3＝x2+4x+22﹣22﹣3＝（x+2）2﹣7．
【解决问题】
（1）利用配方法将x2+6x+2化成（x+m）2+n的形式后，m＝　 　，n＝　 　．
（2）求证：不论x、y取任何实数，多项式x2+y2+6x﹣2y+15的值总为正数．
素养拓展
9．阅读材料：
例题：已知a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，求a，b的值．
解：∵a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，∴a2﹣2a+1+4b2﹣4b+1＝0，∴（a﹣1）2+（2b﹣1）2＝0，
∴a﹣1＝0，2b﹣1＝0，∴a＝1，b＝．
参照上面材料，解决下列问题：
（1）已知x2+y2+8x﹣12y+52＝0，求x，y的值；
（2）已知2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，求x+y的值．
10．阅读材料：
求y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4，
∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值为0，∴y2+4y+8的最小值为4．
解决问题：
（1）若a为任意实数，则代数式a2﹣2a﹣1的最小值为 　 　．
（2）求4﹣x2+2x的最大值．
（3）拓展：①不论x，y为何实数，代数式x2+y2+2y﹣4x+6的值 　 　．（填序号）
A．总不小于1　　B．总不大于1　　C．总不小于6　　D．可为任何实数
②已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，直接写出△ABC的最大边c的值可能是 　 　．
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第12课时 用配方法求解一元二次方程（2）
知识归纳
1.解一元二次方程的思路是将方程转化为(x+m)2= n的形式，它的一边是一个 完全平方式 ，另一边是一个 常数 ．当n ≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根．
2.通过配成完全平方式的方法得到了二元一次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为 配方法 ．
典例精讲
考点1：用配方法解一元二次方程
例1．用配方法解方程：x2﹣8x+13＝0．
【解答】解：x2﹣8x+13＝0，
移项，得：x2﹣8x＝﹣13，
配方，得：x2﹣8x+16＝﹣13+16，
即（x﹣4）2＝3，
开方，得：x﹣4＝±，
∴x1＝+4，x2＝﹣+4．
1．解方程：
（1）x2﹣4x﹣3＝0；（2）x2﹣2x﹣5＝0；
（3）x2﹣6x﹣9＝0；（4）x2+2x+3＝0．
【解答】解：（1）移项得x2﹣4x＝3，
配方得x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，
开方得x﹣2＝±，
所以x1＝2+，x2＝2﹣．
（2）x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝6，（x﹣1）2＝6，x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
（3）x2﹣6x﹣9＝0，x2﹣6x＝9，
则x2﹣6x+9＝9+9，即（x﹣3）2＝18，
∴x﹣3＝， ∴x1＝3+3，x2＝3﹣3；
（4）x2+2x+3＝0，（x+）2＝0，
∴x+＝0，∴x1＝x2＝﹣．
考点2：用配方法解一元二次方程
例2．解方程：3x2﹣6x﹣8＝0；
【解答】解：3x2﹣6x﹣8＝0，
移项，得3x2﹣6x＝8，
方程两边同时除以3，得x2﹣2x＝，
配方，得x2﹣2x+1＝+1，
则（x﹣1）2＝，所以，x﹣1＝±，所以，x1＝1+，x2＝1﹣．
2．解方程：
（1）2x2﹣6x﹣7＝0；（2）．
【解答】解：（1）移项，得2x2﹣6x＝7，
二次项系数化为1，得x2﹣3x＝，
配方，得x2﹣3x+＝+，
∴（x﹣）2＝．∴x﹣＝±．∴x＝±．
∴x1＝，x2＝．
（2）整理得x2+4x＝﹣1，
配方得x2+4x+4＝﹣1+4，即（x+2）2＝3，
开方得x+2＝±，
∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
考点3：用配方法求二次三项式的最值
例3．求代数式x2+2x+3的最大值或最小值．
解：∵x2+2x+3＝（ 　x2+2x+1　）+2＝（ 　x+1　）2+2，
又∵（x+1）2≥0，
∴（x+1）2+2≥2，
∴当x+1＝　0　时，即x＝　﹣1　时，
代数式x2+2x+3有最 　小　值是 　2　．
【解答】解：∵x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，
又∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2，
∴当x+1＝0时，即x＝﹣1时，代数式x2+2x+3有最小值是2．
故答案为：x2+2x+1，x+1，0，﹣1，大，2．
3．当x取何值时，代数式2x2﹣6x+7的值最小？并求出这个最小值．
【解答】解：2x2﹣6x+7＝2（x2﹣3x+）＝2（x2﹣3x+﹣+）＝2+，
∵此代数式的值最小，∴x﹣＝0时，最小值是，
∴x＝，最小值是．
基础巩固
1．解方程：
（1）x2﹣6x﹣5＝0．（2）x2﹣4x﹣9996＝0．
【解答】解：（1）移项得x2﹣6x＝5，
方程两边都加上9得 x2﹣6x+9＝5+9， 即 （x﹣3）2＝14，
则x﹣3＝±， ∴x1＝3+，x2＝3﹣
（2）移项得x2﹣4x＝9996，
方程两边都加上4得x2﹣4x+4＝9996+4，即（x﹣2）2＝10000，
∴x﹣2＝±100，∴x1＝102，x2＝﹣98．
2．解方程：
（1）2x2﹣2＝x；（2）2x2﹣4x﹣1＝0；
【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣x＝1，
配方得：x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝，
开方得：x﹣＝±，解得：x1＝，x2＝．
（2）2x2﹣4x﹣1＝0，2x2﹣4x＝1，x2﹣2x＝，
配方得：x2﹣2x+1＝+1， （x﹣1）2＝，
开方得：x﹣1＝， 解得：x1＝，x2＝．
3．若x2﹣2x+10+y2+6y＝0，求（2x﹣y）2的值．
【解答】解：∵x2﹣2x+10+y2+6y＝0，∴x2﹣2x+1+y2+6y+9＝0，
∴（x﹣1）2+（y+3）2＝0，∴x﹣1＝0，y+3＝0，∴x＝1，y＝﹣3，
∴（2x﹣y）2＝（2+3）2＝25．
4．已知△ABC的三边长a，b，c，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求c的取值范围．
【解答】解：∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，∴a2﹣10a+25+b2﹣12b+36＝0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，
∵（a﹣5）2≥0，（b﹣6）2≥0，∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，解得：a＝5，b＝6，
∵a，b，c是△ABC的三边长，∴6﹣5＜c＜6+5，
即c的取值范围为：1＜c＜11．
5．已知：a是不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2+2ax+a+1＝0．
【解答】解：解不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7，得a＞﹣3，∴最小整数解为﹣2，
将a＝﹣2代入方程x2+2ax+a+1＝0，得x2﹣4x﹣1＝0，
配方，得（x﹣2）2＝5．
直接开平方，得x﹣2＝±．
解得x1＝2+，x2＝2﹣．
能力提升
6．解方程：
（1） x2﹣2x﹣2021＝0；（2）x2﹣10x+22＝0．
（3）（x+1）（x﹣1）+2（x+2）＝9．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2021＝0，x2﹣2x＝2021，
x2﹣2x+1＝2021+1，即（x﹣1）2＝2022，
∴x﹣1＝，∴x1＝1+，x2＝1﹣．
（2）x2﹣10x+22＝0，x2﹣10x＝﹣22，
x2﹣10x+25＝﹣22+25，即（x﹣5）2＝3，
∴x﹣5＝，∴x1＝5+，x2＝5﹣．
（3）整理得：x2+2x＝6，
x2+2x+1＝6+1，即（x+1）2＝7，
∴x+1＝，∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
7．解方程：
（1）2x2﹣6x+1＝0；（2）3x2﹣8x+3＝0；（3）2x2+8x﹣1＝0；（4）9（2x+3）2＝16（1﹣3x）2．
【解答】解：（1），
，
，
，所以，．
（2）3x2﹣8x+3＝0，
x2﹣x＝﹣1，
（x﹣）2＝，
x﹣＝±，
则x1＝，x2＝．
（3）2x2+8x﹣1＝0，x2+4x＝，
x2+4x+4＝+4，即（x+2）2＝，则x+2＝±，
∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
（4）9（2x+3）2＝16（1﹣3x）2，
3（2x+3）＝4（1﹣3x）或3（2x+3）＝﹣4（1﹣3x），
解得x1＝，x2＝．
8．配方法是数学中一种重要的思想方法，利用完全平方公式，可将x2+4x﹣3配方成（x+m）2+n的形式，即x2+4x﹣3＝x2+4x+22﹣22﹣3＝（x+2）2﹣7．
【解决问题】
（1）利用配方法将x2+6x+2化成（x+m）2+n的形式后，m＝　3　，n＝　﹣7　．
（2）求证：不论x、y取任何实数，多项式x2+y2+6x﹣2y+15的值总为正数．
【解答】（1）解：x2+6x+2＝x2+6x+32﹣32+2＝（x+3）2﹣7，
则m＝3，n＝﹣7，故答案为：3，﹣7；
（2）证明：x2+y2+6x﹣2y+15＝x2+6x+9+y2﹣2y+1+5＝（x+3）2+（y﹣1）2+5，
∵（x+3）2≥0，（y﹣1）2≥0，
∴，（x+3）2+（y﹣1）2+5≥5，
∴不论x、y取任何实数，多项式x2+y2+6x﹣2y+15的值总为正数．
素养拓展
9．阅读材料：
例题：已知a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，求a，b的值．
解：∵a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，∴a2﹣2a+1+4b2﹣4b+1＝0，∴（a﹣1）2+（2b﹣1）2＝0，
∴a﹣1＝0，2b﹣1＝0，∴a＝1，b＝．
参照上面材料，解决下列问题：
（1）已知x2+y2+8x﹣12y+52＝0，求x，y的值；
（2）已知2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，求x+y的值．
【解答】解：（1）∵x2+y2+8x﹣12y+52＝0，∴（x2+8x+16）+（y2﹣12y+36）＝0，
∴（x+4）2+（y﹣6）2＝0，∴x+4＝0，y﹣6＝0，解得，x＝﹣4，y＝6；
（2）2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，（x2+4y2+4xy）+（x2﹣2x+1）＝0，（x+2y）2+（x﹣1）2＝0，
则，解得 则x+y＝1﹣＝．
10．阅读材料：
求y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4，
∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值为0，∴y2+4y+8的最小值为4．
解决问题：
（1）若a为任意实数，则代数式a2﹣2a﹣1的最小值为 　﹣2　．
（2）求4﹣x2+2x的最大值．
（3）拓展：①不论x，y为何实数，代数式x2+y2+2y﹣4x+6的值 　A　．（填序号）
A．总不小于1　　B．总不大于1　　C．总不小于6　　D．可为任何实数
②已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，直接写出△ABC的最大边c的值可能是 　6、7、8、9、10　．
【解答】解：（1）a2﹣2a﹣1＝（a﹣1）2﹣2，
∵（a﹣1）2≥0，即（a﹣1）2的最小值为0，∴a2﹣2a﹣1的最小值为﹣2．
（2）4﹣x2+2x＝﹣x2+2x+4＝﹣（x2﹣2x+1）+5＝﹣（x﹣1）2+5，
∵（x﹣1）2≥0，∴﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+5≤5，即4﹣x2+2x的最大值为5；
（3）①x2+y2+2y﹣4x+6＝（x﹣2）2+（y+1）2+1，
∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0， ∴（x﹣2）2+（y+1）2+1≥1，
∴代数式x2+y2+2y﹣4x+6的值总不小于1．
②∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0， ∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0， ∴a﹣5＝0，b﹣6＝0， ∴a＝5，b＝6，
∵6﹣5＜c＜5+6，c≥6，c为正整数， ∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
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