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2.4单摆
一、知识点梳理
1.单摆
(1)模型：
单摆指在一条不可伸长的，又没有质量的线的下端系一质点所形成的装置.单摆是实际摆的理想化的物理模型.
(2)实际摆看做单摆的条件：
①摆线的形变量与摆线长度相比小得多，悬线的质量与摆球质量相比小得多，这时可把摆线看成是不可伸长，且没有质量的细线.
②摆球的大小与摆线长度相比小得多，这时可把摆球看成是没有大小只有质量的质点.
例1.（多选）单摆是为了研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是（ ）
A.摆线质量不计 B.摆线长度不伸缩
C.摆球的直径比摆线长度短得多 D.只要是单摆的运动就是一种简谐运动
2.单摆的回复力
(1)单摆的平衡位置
当摆球静止时，摆球受到重力和悬线的拉力作用，这两个力是平衡的.摆球静止的位置就是单摆的平衡位置.
(2)单摆的回复力
摆球受到的重力和悬线拉力,在单摆摆动时，一方面要使单摆摆动，另一方面还要提供摆球沿圆弧运动的向心力.在研究摆球沿圆弧的运动情况时，可以不考虑与摆球运动方向垂直的力，而只考虑沿摆球运动方向的力，如图所示. 因为垂直于,所以，我们可将重力分解为沿速度方向的,及垂直于方向的·且,.重力沿圆弧切线方向的分力是沿摆球运动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力，也可以说成是摆球沿运动方向的合力提供了摆球摆动的回复力.
【注意说明】摆球所受的回复力是沿圆弧切线方向上的合力，而不是摆球所受到的合力.当摆球在摆动过程中经过平衡位置时，由于摆球还做圆周运动，摆线拉力与摆球重力不相等，其合力提供向心力.实际上摆球在运动过程中沿绳方向上的合力一直是提供摆球做圆周运动的向心力.
(3)单摆做简谐运动的条件
如图所示，单摆摆长为，选平衡位置为坐标原点，水平线为轴.当摆角很小时，弧线与轴近似重合，设摆球离原点的距离为,则，，方向与
摆球位移方向相反，所以有回复力, 令，则，因此，在摆角很小时，单摆做简谐运动.
【易错点津】①单摆振动的回复力为摆球重力沿圆弧切线方向的分力，回复力不是摆球所受的合外力.②单摆的摆动不一定都是简谐运动，只有单摆做小角度（摆角小于）摆动时才认为是简谐运动.
(4)对单摆的运动特点的理解：
①摆球以悬挂点为圆心在竖直平面内沿圆弧做变速圆周运动.做圆周运动需要向心力，向心力由绳子的拉力与重力的径向分力的合力提供.
②摆球同时以最低点为平衡位置做振动，做振动需要回复力，由摆球重力的切向分力提供（或摆球所受合外力沿圆弧切向分力提供).
例2.下列关于单摆的说法，正确的是（ ）
A.单摆运动时，摆球受到的向心力大小处处相等
B.单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力
C.单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力
D.单摆摆球经过平衡位置时加速度为零
3.单摆的周期公式
荷兰物理学家惠更斯发现在偏角很小的情况下，单摆的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，而跟摆球的质量和振幅无关，即，式中为悬点到摆球球心间的距离，为当地的重力加速度.
(1)单摆的等时性：在振幅较小时，单摆的周期与单摆的振幅无关，单摆的这种性质叫单摆的等时性.
(2)单摆的周期公式可以由简谐运动的周期公式导出，对单摆，所以. 周期为2s的单摆，叫做秒摆，由周期公式得秒摆的摆长.
4.单摆的应用
(1)计时器：利用单摆周期与振幅无关的等时性，制成计时仪器，如摆钟等.由单摆周期公式知道，调节单摆摆长即可调节钟表快慢.
(2)测定重力加速度：把单摆周期公式变形，得,由此可知，只要测出单摆的摆长和振动周期，就可以测出当地的重力加速度.
例3.（多选）甲、乙两个单摆，做简谐振动图象如图所示，则可知（　　）
A．两个单摆完全相同
B．两个单摆所受回复力最大值之比
C．单摆甲速度为零时，单摆乙速度最大
D．两个单摆的振动频率之比
二、技巧总结
1.如何理解单摆的周期公式
(1)等效摆长
①实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度：即，为摆线长，为摆球直径
②等效摆长：如左图甲、乙所示.图中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为,这就是等效摆长，所以其周期为.右图中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效.
(2)重力加速度
①若系统只处在重力场中且处于静止状态，由单摆所处的空间位置决定，即，
式中为物体到地心的距离，为地球的质量，随所在地表的位置和高度的变化而变化.另外，在不同星球上和一般不同，也不同， g取只是在地球表面附近时的取值.
②若单摆系统处在非平衡状态（如加速、减速、完全失重状态)，则一般情况下，值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值. 若单摆处在向上加速的升降机中，设加速度为，则摆球处于超重状态，沿圆弧的切向分力变大，则重力
加速度的等效值，若升降机加速下降，则重力加速度的等效值，若单摆在轨道上运行的卫星内，摆球完全失重，回复力为零，等效值，摆球不摆了，周期无穷大，则摆球将以那时的速率相对悬点做匀速圆周运动.
③若单摆在复合场中，如左图所示，，等效重力加速度，.
④摆球除受到重力和拉力外还受到其他力，但其他力只沿半径方向，而沿振动方向无分力，这种情况下，单摆的周期不变如右两图所示，图甲中带电小球受到的库仑力始终沿半径方向，图乙中带电小球受到的洛伦兹力始终沿半径方向，则周期不变.
例4.如图所示，在竖直平面内有一段光滑圆弧轨道MN,它对应的圆心角小于5°，P是MN的中点，也是圆弧的最低点.在NP间的一点Q和P之间搭一光滑斜面并将其固定.将两个小滑块（可视为质点）同时分别从Q点和M点由静止开始释放，则两个小滑块第一次相遇时的位置（ ）
A.一定在斜面PQ上的一点
B.一定在PM上
C.一定在P点
D.不知道斜面PQ的长短，无法判断
2.圆锥摆
如图所示，用细线悬吊小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，即细线所扫过的面为圆锥面，通常我们称为圆锥摆，实质上圆锥摆中的小球不是振动，是匀速圆周运动，设运动过程中细线与竖直方向夹角为，线长为，则小球做圆周运动的半径,向心力.由，得圆锥摆的周期，显然该周期小于单摆周期，所以在用单摆测重力加速度的实验中，强调摆球必须在竖直面内摆动.
摆钟问题中的“万能公式”
(1)摆钟计时原理
①摆钟实际上是利用钟摆的周期性摆动，通过一系列的机械传动，从而带动钟面上的指针转动. 钟摆每摆动一次，指针就转运一个角度，并且这个角度是固定的，其大小就表示钟面走过的时间.
②对走时准确的摆钟而言，钟摆摆一次，实际耗时(即摆的振动周期)，指针转过的角度就表示钟面的走时为.
③对走时不准的摆钟而言，钟摆摆一次，虽然实际耗时(即不准摆的振动周期)，但由于摆钟机械设计的关系，钟摆带动指针转动的角度依旧是，所以钟面上所显示的时间（并非真实时间）依旧是,正是由于,从而引起摆钟走时不准.
(2)引起摆钟的误差原因
①因为气候的变化，引起金属的热胀冷缩，从而摆长变化导致摆钟的周期改变.
②由于地理位置的变化，引起重力加速度的变化，从而导致摆钟的周期改变.
(3)一个重要的计算公式
设有一段时间(比如一天)，某周期为的不准摆钟的钟摆摆动的次数为，由于每摆一次，钟面上所显示的时间依旧为，所以在这段时间内，不准摆钟钟面所显示的时间为，因而该钟比标准钟快（或慢），称为钟摆问题中的“万能公式”.
例5.将在地球上校准的摆钟拿到月球上去，若此钟在月球记录的时间是1h,那么实际上的时间应是________h(月球表面的重力加速度是地球表面的). 若要把此摆钟调准，应使摆长调节为________.
三、针对练习
1.下列有关单摆运动过程中受力的说法中，正确的是（ ）
A．回复力是重力和摆线拉力的合力 B．回复力是重力沿圆弧方向的一个分力
C．单摆过平衡位置时合力为零 D．回复力是摆线拉力的一个分力
2.如图所示，光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长，今有两个
小球（可视为质点）同时由静止释放，其中A球开始时离圆槽最
低点O较远些，则它们第一次相碰的地点在（　　）
A．点 B．点偏左
C．点偏右 D．无法判断，因为两小球质量关系未定
3.如图所示，置于地面上的一单摆在小振幅条件下摆动的周期为，下列说法
中正确的是（　 　）
A．单摆摆动过程，绳子的拉力始终大于摆球的重力
B．单摆摆动的过程，绳子的拉力始终小于摆球的重力
C．将该单摆置于高空中相对于地球静止的气球中，其摆动周期为
D．小球所受重力和绳的拉力的合力提供单摆做简谐运动的回复力
4.将秒摆（周期为2 s）的周期变为1 s，下列措施可行的是（ ）
A．将摆球的质量减半 B．振幅减半 C．摆长减半 D．摆长减为原来的
5.一只单摆在第一行星表面上的周期为，在第二行星表面上的周期为，若这两个行
星的质量之比，半径之比，则 （ ）
A． B． C． D．
6.(多选)图甲中摆球表面包有一小块橡皮泥，在竖直平面内其振动图象如图乙所示，某时刻橡皮泥瞬间自然脱落，不考虑单摆摆长的变化，则下列说法正确的是(　 　)
A．t＝0时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期T<4 s
B．t＝1 s时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期T＝4 s
C．t＝1 s时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期T＞4 s
D．t＝0时刻橡皮泥脱落，此后单摆振幅A＝10 cm
E．t＝1 s时刻橡皮泥脱落，此后单摆振幅A＝10 cm
7.（多选）如图所示，一向右运动的车厢顶上悬挂着两个单摆M、N，它们只能在图示平面内摆动. 某一时刻出现图示情景。由此可知车厢的运动及两单摆相对车厢的运动情况可能是（ ）
A．车厢做匀速直线运动，M在摆动，N静止
B．车厢做匀速直线运动，M在摆动，N也在摆动
C．车厢做匀速直线运动，M静止，N也静止
D．车厢做匀加速直线运动，M在摆动，N也在摆动
8.如图所示，用绝缘细丝线悬吊着的带正电小球在匀磁场中做简谐运动，则( )
A．当小球每次通过平衡位置时，动能相同
B．当小球每次通过平衡位置时，速度相同
C．当小球每次通过平衡位置时，丝线拉力相同
D．撤去磁场后，小球摆动周期变大
9.（多选）细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在悬挂点正下方摆长处有一个能挡住摆线的钉子A，现将单摆拉开一个小角度，然后无初速地释放，对于以后的运动，下列说法中正确的是 （ ）
A．摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小
B．摆球在左、右两侧上升的最大高度一样
C．.摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等
D．摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍
10.有一摆长为L的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部将被挡住，使摆长发生变化，现使摆球做小角度摆动，图为摆球从右边最高点摆至左边最高点的闪光照片（悬点和小钉未摄入），P为摆动中的最低点，每相邻两次闪光的时间间隔相等，则小钉距悬点的距离为（ ）
A． B． C． D．条件不足，无法判断
11.一物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的，在地球上走得很准的摆钟搬到此行星上后，此钟的分针走一整圈所经历的时间实际上是（ ）
A．小时 B．小时 C．2小时 D．4小时
12.如图甲所示是演示简谐运动图象的装置，当盛沙的漏斗下面的薄木板N被匀速拉出时，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系，板上的直线代表时间轴. 图乙是两个摆中的沙在各自木板上形成的曲线，若板和板的速度和的关系为，则板、上曲线所代表的振动的周期和的关系为（ ）
A． B． C． D．
13.如图所示，三根细线于点处打结，A、B两端固定在同一水平面上相距为L的两点上，使AOB成直角三角形，∠BAO＝30°．已知OC线长是L，下端C点系着一个小球（忽略小球半径），下面说法正确的是（　　）
A．让小球在纸面内摆动，周期
B．让小球在垂直纸面方向摆动，周期
C．让小球在纸面内摆动，周期
D．让小球在垂直纸面内摆动，周期
14.将一个摆长为的单摆放在一个光滑的，倾角为的斜面上，其摆角为，如图，下列说法正确的是（　 　）
A．摆球做简谐运动的回复力
B．摆球做简谐运动的回复力为
C．摆球做简谐运动的周期为
D．摆球在运动过程中，经平衡位置时，线的拉力为
15.(2019·全国卷Ⅱ)如图，长为的细绳下方悬挂一小球，绳的另一端固定在天花板上点处，在点正下方的处有一固定细铁钉. 将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放，并从释放时开始计时，当小球摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡. 设小球相对于其平衡位置的水平位移为，向右为正，下列图象中，能描述小球在开始一个周期内的关系的是(　 　)
16.(2020·全国卷Ⅱ)用一个摆长为80.0 cm的单摆做实验，要求摆动的最大角度小于5°，则开始时将摆球拉离平衡位置的距离应不超过________ cm(保留1位小数). (提示：单摆被拉开小角度的情况下，所求的距离约等于摆球沿圆弧移动的路程)
某同学想设计一个新单摆，要求新单摆摆动10个周期的时间与原单摆摆动11个周期的时间相等，新单摆的摆长应该取为________ cm.
17.如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，C为弧形槽最低点，R远大于弧AB，甲球从弧形槽的球心处自由下落，乙球从A点由静止释放，求：
(1) 两球第1次到达C点的时间之比；
(2) 若在弧形槽的最低点C的正上方h处由静止释放甲球，让其自由下落，同时将乙球从弧形槽左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在弧形槽最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少.
18.有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度，已知该单摆在海平面处的周期是，当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为，求该气球此时离海平面的高度. (把地球看做质量均匀分布的半径为R的球体).
答案
例题
例1.ABC 例2.C 例3.CD 例4.A（结合单摆与等时圆） 例5.，
针对练习
1.B 2.A 3.C 4.D 5.A 6.BDE 7.ABD 8.A 9.AB 10.C 11.C 12.D
13.A 14.A
15.A [解析]　摆长为l时单摆的周期T1＝2π，振幅A1＝l sin α(α为摆角)；摆长为l时单摆的周期T2＝2π＝π＝，振幅A2＝l sin β(β为摆角)。根据机械能守恒定律得mgl(1－cos α)＝mg(1－cos β)，利用cos α＝1－2sin2，cosβ＝1－2sin2，以及sinα＝tan α＝α(α很小)，解得β＝2α，故A2＝A1，故选项A正确.
16.解析：结合题意所求的距离近似等于弧长，则d＝×2π×80.0 cm≈6.98 cm，结合题中保留1位小数和摆动最大角度小于5°可知不能填7.0，应填6.9。由单摆的周期公式T＝2π可知，单摆的周期与摆长的平方根成正比，即T∝，又由题意可知旧单摆周期与新单摆周期之比为10∶11，则＝ ，解得l′＝96.8 cm。
答案：6.9　96.8
17.解析：(1)甲球做自由落体运动R＝gt12，所以t1＝ ， 乙球沿弧形槽做简谐运动(由于弧 R，可认为偏角θ<5°)。此运动与一个摆长为R的单摆运动模型相同，故此等效摆长为R，因此乙球第1次到达C处的时间为t2＝T＝×2π＝，所以t1∶t2＝2∶π。
(2)甲球从离弧形槽最低点h高处自由下落，到达C点的时间为t甲＝ ， 由于乙球运动的周期性，所以乙球到达C点的时间为t乙＝＋n＝(2n＋1)　(n＝0，1，2，…)由于甲、乙两球在C点相遇，故t甲＝t联立解得h＝(n＝0，1，2，…)。答
18.

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