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(共24张PPT)
第一章 勾股定理
1.1.2探索勾股定理
北师大版 数学 八年级上册
学习目标
1.掌握用面积法如何验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际问题。
2.经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想。
情景导入
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就.
　　　　　　　
图1-1
图1-2
探索新知
勾股定理的验证
一
上节课我们认识了勾股定理，你还记得它的内容吗？那么如何验证勾股定理呢 ？
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
探索新知
证法一：赵爽弦图
b
b
a
a
c
c
a
b
边长分别为a，b的两个正方形分割成四个直角三角形和一个小正方形.
四个直角三角形和一个小正方形拼接成边长为c的大正方形.
探索新知
b
b
a
a
c
a
c
b
如图，左边图形的面积= a2+b2，右边图形的面积=c2.
∵右边图形由左边图形拼接而成，
∴得到a2+b2=c2 .
探索新知
证法二：加菲尔德总统拼图
b
b
a
a
c
c
┐
┌
┌
（1）
+
（2）
∴ a2+b2=c2.
探索新知
证法三：毕达哥拉斯拼图
b
b
b
b
a
a
a
a
c
c
c
c
b
b
b
b
a
a
b
a
a
c
c
分别计算左右两个正方形的面积，你能得出什么结论？
探索新知
b
b
b
b
a
a
a
a
c
c
c
c
b
b
b
b
a
a
b
a
a
c
c
4
4
探索新知
证法四：刘徽“青朱出入图”
设大正方形的面积为S，则S=
根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S=.
∴ =.
a
b
c
青出
青出
青入
青入
朱入
朱出
青方
朱方
总结归纳
探索新知
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼图，补拼是要求无重叠，叠合是要求无空隙；而用面积法验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的．
探索新知
勾股定理的简单应用
二
例1：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4km处，过了20s，飞机距离这个男孩子头顶5km，飞机每小时飞行多少千米？
4km
20秒后
5km
A
B
C
探索新知
在Rt△ABC中，BC2=AB2-AC2.
解：
因为AB=5，AC=4,
所以BC2=52-42.
所以BC2=9,所以BC=3，
因为20s=h,
所以3÷=540km.
答：飞机每小时飞行540km.
4km
20秒后
5km
A
B
C
探索新知
例2： 等腰三角形底边上的高为8cm，周长为32cm，求这个三角形的面积.
8
x
16-x
D
A
B
C
解：设这个三角形为ABC，高为AD，设BD为xcm，则AB为（16-x）cm，
由勾股定理得：x2+82=(16-x)2
即x2+64=256-32x+x2
所以x=6
答：这个三角形的面积为48cm2.
S△ABC=BC AD=×2×6×8=48（cm2）
例3.如图,太阳能热水器的支架AB长为90 cm,与AB垂直的BC长为120 cm.太阳能真空管AC有多长
解：在Rt△ABC中,由勾股定理,
得 AC2=AB2+BC2，
AC2=902+1202，
AC=150(cm).
答:太阳能真空管AC长150 cm.
探索新知
当堂检测
1.在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（　　）
A. 统计思想 B. 分类思想
C. 数形结合思想 D. 函数思想
C
当堂检测
2.用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如图所示的图形，则下列结论中正确的是(　　)
A．c2=a2+b2 B．c2=a2+2ab+b2
C．c2=a2-2ab+b2 D．c2=(a+b)2
A
当堂检测
3．如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙脚
1.5 m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚(　　)
A．0.2 m B．0.4 m C．2 m D．4 m
C
当堂检测
9．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为( )
A．4 B．6 C．16 D．55
C
当堂检测
7．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4 m，高3 m，长20 m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请你帮他计算阳光透过的最大面积．
解：在直角三角形中，由勾股定理可得，直角三角形的斜边长为5 m，所以长方形塑料薄膜的面积是5×20＝100(m2)．即阳光透过的最大面积是100 m2
当堂检测
10．如图，隔湖有两点A，B，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA＝50米，CB＝40米，求：
(1)A，B两点间的距离；
(2)点B到直线AC的距离．
当堂检测
3．两棵树之间的距离为8 m，两棵树的高度分别是8 m，2 m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？
思路：先根据题意画出图形，然后添加辅助线，构造直角三角形，再利用勾股定理解答．
当堂检测
解：根据题意画出示意图，如图所示，
两棵树的高度分别为AB=8 m，CD=2 m，
两棵树之间的距离BD=8 m，
过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接AC.
则BE=CD=2 m，EC=BD=8 m，
AE=AB-BE=8-2=6(m)．
在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC2=AE2+EC2，
即AC2=62+82=100，所以AC=10 m.
答：这只小鸟至少要飞10 m．
勾股定理
证明
应用
刘徽“青朱出入图”
加菲尔德总统拼图
毕达哥拉斯拼图
赵爽弦图

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