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(共30张PPT)
第一章 勾股定理
1.3勾股定理的应用
北师大版 数学 八年级上册
学习目标
1.能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题。
2.在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想
3.进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值。
情景导入
一.勾股定理的内容什么？
Rt△
a2+b2=c2
a2+b2=c2
二.勾股定理的逆定理是什么？
Rt△
如果直角三角形两直角边分别为a，b斜边为c，那么
a2 + b2 = c2
如果三角形的三边长a、b、c满足 ，那么这个三角形是直角三角形。
a2 + b2 = c2
情景导入
三、有人在公园散步，游人为了尽快的从A点走到C点，选择了A-C路线而不是A-B-C路线，为什么呢？
B
A
C
AC+CB>AB（两点之间线段最短）
探索新知
立体图形中两点之间的最短距离
一
有一个圆柱，它的高等于12,底面半径等于3.在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物,沿圆柱表面爬行的最短路程是多少 (π取3)
动起来：自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？
B
A
蛋糕
探索新知
B
A
d
A
B
A'
A
B
B
A
O
思考：
蚂蚁走哪一条路线最近？
A'
同学们展示蚂蚁A→B的路线
探索新知
若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3，则:
B
A
3
O
12
侧面展开图
12
3π
A
B
立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.
A'
A'
探索新知
立体图形
平面图形
转化
展开
方法
原理
依据
两点之间线段最短
勾股
定理
探索新知
思考：如图，在棱长为10 cm 的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，蚂蚁要爬行的最短路程是多少？
B
食物
A
三条线路,看明白了吗
B1
B
B2
B3
探索新知
A
B
a
b
c
如图，一个无盖的长方形盒子的长、宽、高分别为a、b、c，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？
探索新知
A
B
a
b
c
b
a
A
B
c
前、右展开图
A
B
上、前展开图
c
a
b
B
b
A
a
c
上、左展开图
总结归纳
求长方体相邻面上两点之间的距离：
探索新知
（1）相邻两面的展开图是一个长方形，有三种展开方式， 其中沿最长的棱长展开得到的路线（即将最长的棱长作为一条直角边的长），距离是最短的。
（2）当是正方体时，其三种展开方式的结果都是一样的。
探索新知
勾股定理的实际应用
二
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.
（1）你能替他想办法完成任务吗？
连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可.
AB2+BC2=AC2
△ABC为直角三角形
探索新知
（2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？
AD2+AB2=302+402=502=BD2，
得∠DAB=90°，AD边垂直于AB边.
（3）若随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？
在AD上取点M，使AM=9，
在AB上取点N使AN=12，
测量MN是否是15，
是，就是垂直；不是，就是不垂直.
探索新知
分析：①梯子下滑前和下滑后的长度不变;②梯子下滑前和下滑后均与墙AO和地面构成直角三角形.
例： 如图，一架 2.6m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 为 2.4m. 如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5m，那么梯子底端 B 也外移 0.5m 吗？
A
C
O
B
D
探索新知
A
C
O
B
D
解：可以看出，BD=OD-OB.
在Rt△中，由勾股定理得，
,
所以
在Rt△中，由勾股定理得，
所以.
探索新知
勾股定理应用的常见类型
1.已知直角三角形的任意两边求第三边；
2.已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；
3.证明包含有平方（算术平方根）关系的几何问题；
4.求解几何体表面上的最短路程问题；
5.构造方程（或方程组）计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题.
运用勾股定理解决实际问题的一般步骤
1.从实际问题中抽象出几何图形；
2.确定所求线段所在的直角三角形；
3.找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；
4.求得结果.
探索新知
当堂检测
1.如图所示,有两棵树,一棵高10 m,另一棵高4 m,两树相距8 m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行 (　　)
A.8 m　　 B.10 m
C.12 m D.14 m
解析:如图所示,设大树高为AB=10 m,小树高为CD=4 m,过C点作CE⊥AB于E,则四边形EBDC是矩形,连接AC,∴EB=4 m,EC=8 m,AE=AB-EB=10-4=6(m),在Rt△AEC中,AC2=AE2+CE2=62+82=102,∴AC=10 m.故选B.
B
当堂检测
2.如图所示,将一根长24 cm的筷子放入底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h的最小值是 (　　)
A.12 cm B.13 cm
C.11 cm D.9 cm
解析:如图所示,设杯子的底面直径为a,高为b,
筷子在杯中的长度为c,根据勾股定理,得c2=a2+b2,
∴c2=a2+b2=52+122=132,
∴c=13 cm,
∴h=24-13=11(cm).
故选C.
C
当堂检测
3．如图，甲货船以16 n mile/h的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以12 n mile/h的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3 h时两船相距(　　)
A．35 n mile　 B．50 n mile　
C．60 n mile　 D．40 n mile
C
当堂检测
4．如图，小红想用一条彩带缠绕一个圆柱，正好从A点绕四圈到正上方B点，已知圆柱底面周长是12 cm，高是20 cm，那么所需彩带最短是(　　)
A．13 cm B．24 cm C．25 cm D．52 cm
D
提示：如图
12
5
当堂检测
5.小明想知道学校旗杆的高度,他把绳子一端挂在旗杆顶端,发现绳子垂
到地面时还余1 m;当他把绳子下端拉开5 m后,绳子下端刚好接触地面,
如图1-3-5,你能帮他求出旗杆的高度吗

解：能.由于旗杆垂直于地面,所以∠C=90°.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2+BC2=AB2,
而AB=AC+1,所以可设AC=x m,
则有x2+52=(x+1)2,
解得x=12.
所以旗杆的高度为12 m.
当堂检测
解：把台阶展成如图的平面图形，连接AB.
6.如图，台阶下 A 处的蚂蚁要爬到 B 处搬运食物，它走的最短路程是多少？
在Rt△ABC中，AC=20，BC=15.
由勾股定理得，AB2=BC2+AC2=625
所以AB=25.
则蚂蚁走的最短路程是25.
当堂检测
7. 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
8 米
6米
当堂检测
8 米
6米
A
C
B
解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图.
在Rt△ABC中，AC=6米，BC=8米，
由勾股定理得
∴这棵树在折断之前的高度是10+6=16（米）.
当堂检测
8.如图所示,有一个长方体,长、宽、高分别为6、5、3.在长方体的底面A处有一堆蚂蚁,它们想吃到长方体上底面与A相对的B点处的
食物,则需要爬行的最短路程是多少

当堂检测
解：①将四边形GBEF与四边形ACEF展开放在同一平面上.连接AB,
如图1-3-4所示,所走的最短路线显然为线段AB.在Rt△ABC中,由勾股定
理得AB2=AC2+BC2=62+82=100.
②将四边形CDBE与四边形ACEF展开放在同一平面上.连接AB,如图所示,所走的最短路线显然为线段AB.在Rt△ABD中,由勾股定理得
AB2=AD2+BD2=112+32=130.
当堂检测
③将四边形AFGH与四边形EBGF展开放在同一平面上.连接AB,如图所示,所走的最短路线显然为线段AB.在Rt△ABE中,由勾股定理得AB2=AE2+BE2=92+52=106.
因为130>106>100,所以情况①的路线最短,故蚂蚁需要爬行的最短路程是100.
勾股定理及逆定理的应用
应用
最短路径问题
方法
认真审题，画出符合题意的图形，熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题
解决不规则图形面积问题
测量问题

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