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3.1　函数的概念与性质 3．1.1　函数及其表示方法
第1课时　函数的概念
课程标准
在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一　函数的概念
1．函数的概念
一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的定义域和值域
函数y＝f(x)中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域．
状元随笔　对函数概念的3点说明
(1)当A , B为非空实数集时，符号“ f ：A→B ”表示A到B的一个函数．
(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．
(3)符号“f ”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．
知识点二　同一函数
一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数．
知识点三　常见函数的定义域和值域
函数 一次函数 反比例 函数 二次函数
a>0 a<0
对应关系 y＝ax＋b(a≠0) y＝(k≠0) y＝ax2＋bx＋c(a≠0) y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
定义域 R ________ ________ R
值域 R {y|y≠0} ________
基础自测
1．下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　)
A.A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方
B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方
C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D.A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积
2．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A.(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C.[1，2) D．[1，2)
下列各组函数表示同一函数的是(　　)
A.y＝与y＝x＋3
B.y＝－1与y＝x－1
C.y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)
D.y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z
4．若函数f(x)＝，求f(4)＝________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
　
题型1　函数的定义[经典例题]
例1　根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：
(1)A＝{1，2，3}，B＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；
状元随笔　从本题可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B的子集．
(2)A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应关系如图所示；
状元随笔　判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析．
(3)A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|；
(4)A＝Z，B＝{－1，1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1.
方法归纳
(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．
注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．
(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．
跟踪训练1　(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(　　)
A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．3个
(1)①x∈[0，1]取不到[1，2].
③y∈[0，3]超出了N∈[0，2]范围．
④可取一个x值，y有2个对应，不符合题意．
(2)关键是否符合函数定义．
①x→，x≠0，x∈R；
②x→y，其中y2＝x，x∈R，y∈R.
(2)下列对应是否是函数？
题型2　求函数的定义域[教材P87例题1]
例2　求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)g(x)＝.
方法归纳
求函数的定义域
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.
(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
跟踪训练2　求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝－.
(1)分母不为0
(2)
(3)
题型3　同一函数
例3　下面各组函数中为相同函数的是(　　)
A．f(x)＝，g(x)＝x－1
B．f(x)＝，g(x)＝·
C．f(x)＝x，g(x)＝
D．f(x)＝x0与g(x)＝
方法归纳
判断同一函数的三个步骤和两个注意点
(1)判断同一函数的三个步骤
(2)两个注意点：
①在化简解析式时，必须是等价变形；
②与用哪个字母表示无关．
跟踪训练3　试判断下列函数是否为同一函数．
(1)f(x)＝，g(x)＝x－1；
(2)f(x)＝，g(x)＝；
(3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；
(4)f(x)＝|x|，g(x)＝.
状元随笔　判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同．函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．
题型4　求函数的值域[经典例题]
状元随笔　求函数值域的注意事项
①数形结合求值域一定要注意函数的定义域；
②值域一定要用集合或区间来表示．
例4　求下列函数的值域．
(1)y＝3－4x，x∈(－1，3]；
(2)f(x)＝，x∈[3，5]；
(3)y＝；
(4)y＝x2－4x＋5，x∈{1，2，3}；
(5)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；
(6)y＝2x－；
(7)f(x)＝.
状元随笔　(1)用不等式的性质先由x∈(－1，3]求－4x的取值范围，再求3－4x的取值范围即为所求．
(2)先分离常数将函数解析式变形，再求值域．
(3)将自变量x＝1，2，3代入解析式求值，即可得值域．
(4)先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求值域．
方法归纳
求函数值域的方法
(1)观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域．如函数y＝的值域为{y|0(2)配方法：求形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c的函数的值域可用配方法，但要注意f(x)的取值范围．如求函数y＝x－2＋3的值域，因为y＝(－1)2＋2≥2，故所求值域为{y|y≥2}．对于形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数，尤其要注意在给定区间上二次函数最值的求法．(3)分离常数法：此方法主要是针对分子分母同次的分式，即将分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
(4)换元法：形如y＝ax＋b＋的函数常用换元法求值域，即先令t＝，求出x，并注明t的取值范围，再代入上式表示成关于t的二次函数，最后用配方法求值域．
注意：分离常数法的目的是将分式函数变为反比例函数类，换元法的目的是将函数变为二次函数类．即将函数解析式变为已经熟悉的简单函数类型求值域．
(5)反表示法：根据函数解析式反解出x，根据x的取值范围转化为关于y的不等式求解．
(6)中间变量法：根据函数解析式确定一个已知范围的中间变量(如x2)，用y表示出该中间变量，根据中间变量的取值范围转化为关于y的不等式求解．
跟踪训练4　求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；
(2)y＝＋1；
(3)y＝；先分离再求值域
(4)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；配方法求值域
(5)f(x)＝.
第三章　函数
3．1　函数的概念与性质
3．1.1　函数及其表示方法
第1课时　函数的概念
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点三
{x|x≠0}　R　
[基础自测]
1．解析：对B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D，A集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.
答案：A
2．解析：使函数f(x)＝有意义，
则即x≥1，且x≠2.
所以函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}．故选D.
答案：D
3．解析：A中两函数定义域不同；B中两函数值域不同；D中两函数对应法则不同．
答案：C
4．解析：f(4)＝＝2＋2＝4.
答案：4
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)(4)对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．
(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．
(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．
跟踪训练1　解析：(1)
图号 正误 原因
① × x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性
② √ 同时满足任意性与唯一性
③ × x＝2时，对应元素y＝3 N，不满足任意性
④ × x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性
解析：(2)①是函数．因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的与之对应，符合函数定义．
②不是函数．当x＝1时，y＝±1，即一个非零自然数x，对应两个y的值，不符合函数的概念．
答案：(1)B　(2)①是函数②不是函数
例2　【解析】　(1)因为函数有意义当且仅当
解得x＞－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)．
(2)因为函数有意义当且仅当
解得x≠0且x≠－2，因此函数的定义域为(－∞，－2)
跟踪训练2　解析：(1)要使函数有意义，只需x2－3x＋2≠0，
即x≠1且x≠2，
故函数的定义域为{x|x≠1且x≠2}．
(2)要使函数有意义，则
解得x<0且x≠－1.
所以定义域为(－∞，－1)
(3)要使函数有意义，则
解得－≤x<2，且x≠0.
故定义域为
例3　【解析】　函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A，f(x)＝|x－1|与g(x)对应关系不同，故排除选项A，选项B、C中两函数的定义域不同，排除选项B、C，故选D.
【答案】　D
跟踪训练3　解析：
序号 是否相同 原因
(1) 不同 定义域不同，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R
(2) 不同 对应关系不同，f(x)＝，g(x)＝
(3) 不同 定义域相同，对应关系不同
(4) 相同 定义域和对应关系相同
例4　【解析】　(1)因为－1所以函数y＝3－4x，x∈(－1，3]的值域是[－9，7)．
(2)因为f(x)＝在[3，5]上单调递减，所以其值域为.
(3)因为y＝＝＝2－≠2，
所以函数y＝的值域为{y|y∈R且y≠2}．
(4)函数的定义域为{1，2，3}，
当x＝1时，y＝12－4×1＋5＝2，
当x＝2时，y＝22－4×2＋5＝1，
当x＝3时，y＝32－4×3＋5＝2，
所以这个函数的值域为{1，2}，
(5)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2，6)．
(6)设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，
所以y＝2(t2＋1)－t＝2(t－)2＋，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[，＋∞)．
【解析】(7)方法一　因为x2＋2≥2，所以0＜，所以f(x)的值域为(0，].
方法二　设t是所求值域中的元素，则关于x的方程＝t应该有解，即x2＝－2应该有解，所以－2≥0，
即≥0，解得0＜t≤，所以所求值域为(0，].
跟踪训练4　解析：(1)将x＝1，2，3，4，5分别代入y＝2x＋1，计算得函数的值域为{3，5，7，9，11}．
(2)因为≥0，所以＋1≥1，
即所求函数的值域为[1，＋∞)．
(3)因为y＝＝－1＋，
所以函数的定义域为R，
因为x2＋1≥1，所以0<≤2.
所以y∈(－1，1].所以所求函数的值域为(－1，1].
(4)y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.
因为－5≤x≤－2，
所以－4≤x＋1≤－1.
所以1≤(x＋1)2≤16.
所以－12≤4－(x＋1)2≤3.
所以所求函数的值域为[－12，3].
解析：(5)函数f(x)＝＝＝5＋，
因为x≠1，所以≠0，
所以f(x)≠5，
所以函数f(x)＝的值域为(－∞，5)
2第2课时　函数的表示方法
课程标准
在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点　函数的表示方法
状元随笔　1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系．
2．由列表法和图象法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.
基础自测
　
1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数为(　　)
A．y＝2x
B．y＝2x(x∈R)
C．y＝2x(x∈{1，2，3，…})
D．y＝2x(x∈{1，2，3，4})
2．已知函数f(x)的图象如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f(f(0))＝(　　)
A．2B．4
C．0D．3
3．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是(　　)
A．3x＋2B．3x＋1
C．3x－1D．3x＋4
4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为________．
当g(f(x))＝2时，x＝________．
　课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1　列表法表示函数[逻辑推理、数学运算]
例1　观察下表：
x －3 －2 －1 1 2 3
f(x) 4 1 －1 －3 3 5
g(x) 1 4 2 3 －2 －4
则f(g(2))－f(－1)＝(　　)
A.2　B.3　　　
C.4　　D.5
方法归纳
列表法表示的函数的求值问题的解法
解决此类问题关键在于弄清表格中每一个自变量x与y的对应关系，对于f(g(x))这类函数值的求解，应从内到外逐层求解，而求自变量x时，则由外向内逐层求解．
跟踪训练1　已知函数f(x)按下表给出，满足f(f(x))＞f(3)的x的值为________．
x 1 2 3
f(x) 2 3 1
状元随笔　观察表格，先求出f(1)、f(2)、f(3)，进而求出f(f(x))的值，再与f(3)比较．
题型2　求函数的解析式[经典例题]
例2　(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式；
(3)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；
(4)已知2f()＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x)．
状元随笔　(1)(2)待定系数法：设一次函数的一般式f(x)＝kx＋b(k≠0)．设二次函数的一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). (3)换元法：设＋1＝t，注意新元的范围．
跟踪训练2　(1)已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为________；
(2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________；
(3)f(x)是二次函数，且f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3，则f(x)＝________；
(4)已知函数y＝f(x)满足f(x)＝2f()＋3x，则f(x)的解析式为________.
状元随笔　(1)换元法：设x2＋2＝t.
(2)待定系数法：设f(x)＝ax＋b.
题型3　函数图象
状元随笔　函数图象可由列表、描点、连线的方法作图，在列表取值时要注意函数的定义域．
例3　(1)作出下列函数的图象并求出其值域．
①y＝2x＋1，x∈[0，2]；
②y＝，x∈[2，＋∞)；
③y＝x2＋2x，x∈[－2，2].
(2)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　　)
状元随笔　由题意找到出发时间与离校距离的关系及变化规律．
方法归纳
(1)画一次函数图象时，只需取两点，两点定直线．
(2)画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，先用配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式，确定抛物线的开口方向(a＞0开口向上，a＜0开口向下)、对称轴(x＝h)和顶点坐标(h，k)，在对称轴两侧分别取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线．
(3)对于不熟悉的函数，可采用列表、描点、连线的方法画图．
跟踪训练3　(1)作出下列函数的图象：
①y＝－x＋1，x∈Z；
②y＝2x2－4x－3，0≤x＜3；
状元随笔　②先求对称轴及顶点，再注意x的取值(部分图象)．
(2)某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
教材反思
理解函数的表示法应关注三点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．
(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．
(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．
第2课时　函数的表示方法
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点
数学表达式　图象　表格
[基础自测]
1．解析：题中已给出自变量的取值范围，x∈{1，2，3，4}，故选D.
答案：D
2．解析：结合题图可得f(0)＝3，则f(f(0))＝f(3)＝0.
答案：C
3．解析：方法一　令2x＋1＝t，则x＝.
∴f(t)＝6×＋5＝3t＋2.∴f(x)＝3x＋2.
方法二　∵f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2.∴f(x)＝3x＋2.
答案：A
4．解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，
∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.
答案：1　1
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　g(2)＝－2，f(－2)＝1，f(－1)＝－1，
所以f(g(2))－f(－1)＝f(－2)－f(－1)＝1－(－1)＝2.
【答案】　A
跟踪训练1　解析：由表格可知f(3)＝1，故f(f(x))＞f(3)即为f(f(x))＞1.
∴f(x)＝1或f(x)＝2，∴x＝3或1.
答案：3或1
例2　【解析】　(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21，
所以a＝2，b＝5，所以f(x)＝2x＋5.
(2)因为f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(0)＝1，得c＝1.
又因为f(x－1)－f(x)＝4x，
所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，求得a＝－2，b＝－2，
所以f(x)＝－2x2－2x＋1.
(3)方法一　(配凑法 )
因为f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1(＋1≥1)，
所以f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二　(换元法)
令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)，
所以f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1(t≥1)．
所以f(x)＝x2－1(x≥1)．
【解析】(4)f(x)＋2f()＝x，令x＝，
得f()＋2f(x)＝.
于是得到关于f(x)与f()的方程组
解得f(x)＝(x≠0)．
跟踪训练2　解析：(1)因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，所以f(x)＝x2－4(x≥2)．
(2)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又因为f(f(x))＝4x－1，所以a2x＋ab＋b＝4x－1.
所以解得或
所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
(3)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
因为f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3.
所以解得
所以f(x)＝－x2＋x－3.
解析：(4)由题意知函数y＝f(x)满足f(x)＝2f()＋3x，即f(x)－2f()＝3x，用代换上式中的x，
可得f()－2f(x)＝，
联立得
解得f(x)＝－x－(x≠0)．
答案：(1)f(x)＝x2－4(x≥2)　(2)2x－或－2x＋1　(3)－x2＋x－3　(4)f(x)＝－x－(x≠0)
例3　【解析】　(1)①列表：
x 0 1 2
y 1 2 3 4 5
当x∈[0，2]时，图象是直线的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5].
②列表：
x 2 3 4 5 …
y 1 …
当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0，1].
③列表：
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分，由图可知函数的值域是[－1，8].
(2)由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.
【答案】　(1)见解析　(2)D
跟踪训练3　解析：(1)①函数y＝－x＋1，x∈Z的图象是直线y＝－x＋1上所有横坐标为整数的点，如图(a)所示．
②由于0≤x<3，故函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之间的部分，如图(b)．
【解析】(2)列表法：
x/台 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
图象法：如图所示．
解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．
1第3课时　分段函数
课程标准
通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一　分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有________________，则称其为分段函数．
知识点二　分段函数的图象
分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象．
状元随笔　(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．
(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝其“段”是不等长的．
知识点三　常数函数
值域________元素的函数，通常称为常数函数．
基础自测
1．函数y＝x＋的图象是(　　)
2.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f(f())等于(　　)
A．－　　　B．C．－　　　D．
3．函数f(x)＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，a＝f(－1.01)，b＝f(－1)，c＝f(1.5)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．a＝b4．已知f(x)＝则f()的值为(　　)
A．2　　　B．4C．6　　　D．8
课堂探究·素养提升——强化创新性
　
题型1　分段函数的定义域、值域
例1　(1)函数f(x)＝的定义域为________，值域为________；
(2)已知函数f(x)＝试求f(－5)，f(－)，f(f(－))的值；
(3)求函数y＝|x＋1|＋|x－1|的最小值．
状元随笔　(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．
(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．
(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．
方法归纳
(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．
(2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
(3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．
跟踪训练1　(1)已知f(x)＝
求f(－1)，f(f(－1))，f(f(f(－1)))；
(2)已知函数f(x)＝则函数的定义域为________，值域为________．
状元随笔　根据不同的取值代入不同的解析式．
题型2　分段函数的图象及应用
例2　分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域．
(1)y＝分段函数图象的画法．
(2)y＝
(3)高斯取整函数y＝[x]又称“下取整函数”，其中[x]表示不大于x的最大整数；称函数y＝〈x〉为“上取整函数”，其中〈x〉表示不小于x的最小整数；例如根据定义可得：[1.3]＝1，[－1.3]＝－2，〈－2.3〉＝－2，〈2.3〉＝3.
①函数f(x)＝〈x·[x]〉，x∈[－2，2]，
求f(－)和f()；
②试作出函数y＝[x]＋〈x〉的图象，其中－1≤x≤1.
分段函数图象的应用．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝＋1(－2(1)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数；
(2)在坐标系中画出该函数的图象，并写出函数的值域．
题型3　分段函数的综合问题[逻辑推理、直观想象]
例3　(1)函数f(x)＝若f(a)<－3，则a的取值范围是________；
(2)已知函数f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是(　　)
A．B．9
C．－1或1D．－或
方法归纳
已知函数值求字母取值范围的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
跟踪训练3　(1)已知f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解集是(　　)
A．{x|x≤1}B．{x|x≤2}
C．{x|0≤x≤1}D．{x|x<0}
(2)已知函数f(x)＝若f(f(x))＝2，则x的取值范围是________．
第3课时　分段函数
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
不同的对应方式
知识点三
只有一个
[基础自测]
1．解析：对于y＝x＋，当x>0时，y＝x＋1；当x<0时，y＝x－1.即y＝故其图象应为C.
答案：C
2．解析：由题图可知，函数f(x)的解析式为
f(x)＝所以f()＝－1＝－，
所以f(f())＝f(－)＝－＋1＝.
答案：B
3．解析：a＝[－1.01]＝－2，b＝[－1]＝－1，c＝[1.5]＝1，
所以a答案：A
4．解析：由已知，得f()＝f(－1)＋1＝f()＋1＝f(－1)＋2＝f(－)＋2＝3×(－)＋2＋2＝2.
答案：A
课堂探究·素养提升
例1　 (1)由已知得，f(x)的定义域为{x|0　(2)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－)＝(－)2＋2(－)
＝3－2.
因为f(－)＝－＋1＝－，
－2＜－＜2，
所以f(f(－))＝f(－)
＝(－)2＋2×(－)
＝－3＝－.
【解析】(3)y＝|x＋1|＋|x－1|＝
作出函数图象如图所示：
由图象可知，x∈[－1，1]时，ymin＝2.
【答案】　(1)(－1，1)　(－1，1)　(2)(3)见解析
跟踪训练1　解析：(1)∵－1<0，∴f(－1)＝0，∴f(f(－1))＝f(0)＝π，
∴f(f(f(－1)))＝f(π)＝π＋1.
(2)由已知得，f(x)的定义域为[－1，1]＝R，又x∈[－1，1]时，x2∈[0，1]，故函数的值域为[0，1].
答案：(1)见解析　(2)R　[0，1]
例2　【解析】　(1)各函数对应图象如图所示：
由图象知，(1)的定义域是(0，＋∞)，值域是[1，＋∞)；
(2)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(－6，6].
【解析】(3)①函数f(x)＝〈x·[x]〉，x∈[－2，2]，
因为＝－2，所以－·＝－×(－2)＝3，
则〈－·〉＝〈3〉＝3，
则f＝3；
因为＝1，
所以·＝×1＝，
则〈·〉＝〈〉＝2，
则f()＝2.
【解析】②当x＝－1时，[－1]＝－1，
〈－1〉＝－1，
此时y＝[x]＋〈x〉＝－1－1＝－2，
当－1＜x＜0时，[x]＝－1，〈x〉＝0，
此时y＝[x]＋〈x〉＝－1＋0＝－1，
当x＝0时，[0]＝0，〈0〉＝0，
此时y＝[x]＋〈x〉＝0，
当0此时y＝[x]＋〈x〉＝0＋1＝1，
当x＝1时，[1]＝1，〈1〉＝1，
此时y＝[x]＋〈x〉＝1＋1＝2，
则y＝[x]＋〈x〉＝
作图：
跟踪训练2　解析：(1)①当0≤x≤2时，f(x)＝＋1＝1.
②当－2故f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示：
由图可知，函数f(x)的值域为[1，3)．
例3　【解析】　(1)当a≤－2时，f(a)＝a<－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；
当－2当a≥4时，f(a)＝3a<－3，此时不等式无解．
所以a的取值范围是(－∞，－3)．
(2)依题意，若x≤0，则x＋2＝3，解得x＝1，不合题意，舍去．若0【答案】　(1)(－∞，－3)　(2)A
跟踪训练3　解析：(1)当x≥0时，f(x)＝1，
xf(x)＋x≤2 x≤1，
所以0≤x≤1；
当x<0时，f(x)＝0，xf(x)＋x≤2 x≤2，
所以x<0.综上，x≤1.
(2)设f(x)＝t，∴f(t)＝2，当t∈[－1，1]时，满足f(t)＝2，此时－1≤f(x)≤1，无解，当t＝2时，满足f(t)＝2，此时f(x)＝2即－1≤x≤1或x＝2.
答案：(1)A　(2){2}
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