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2．2.1　不等式及其性质
课程标准
理解不等式的概念，掌握不等式的性质．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一　实数大小比较
1．文字叙述
如果a－b是________，那么a＞b；
如果a－b________，那么a＝b；
如果a－b是________，那么a＜b，反之也成立．
2．符号表示
a－b＞0 a________b；
a－b＝0 a________b；
a－b＜0 a________b．
状元随笔　1.不等式“a≤b”的含义是“a＜b”或“a＝b”．
2．比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．
知识点二　不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a＞b ________ 可逆
2 传递性 a＞b，b＞c ________
3 可加性 a＞b ________ 可逆
4 可乘性 c的符号
5 同向 可加性 同向
6 同向同正 可乘性 同向
7 可乘方性 a＞b＞0 ________ (n∈N，n≥2) 同正
8 可开方 a＞b＞0 ______(n∈N，n≥2) 同正
状元随笔　(1)性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a ＋b＞c a＞c －b. 性质3是可逆性的，即a＞b a ＋c＞b ＋c .
(2)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．
(3)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．
知识点三　证明问题的常用方法
方法 定义
综合法 从________出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法．
分析法 从要证明的________，________使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．
反证法 首先假设结论的________成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．反证法是一种间接证明的方法．
基础自测
1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系(　　)
A．T＜40B．T＞40
C．T≤40D．T≥40
2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．M＞N　B．M＝NC．M＜N　D．与x有关
3．已知x＜a＜0，则一定成立的不等式是(　　)
A．x2＜a2＜0B．x2＞ax＞a2
C．x2＜ax＜0D．x2＞a2＞ax
课堂探究·素养提升——强化创新性
　
题型1　比较大小[教材P60例1]
例1　比较x2－x和x－2的大小．
状元随笔　通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系．
方法归纳
用作差法比较两个实数大小的四步曲
跟踪训练1　若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是(　　)
A．f(x)＜g(x) B．f(x)＝g(x)
C．f(x)＞g(x) D．随x值变化而变化
状元随笔
　
题型2　不等式的性质[经典例题]
例2　对于实数a、b、c，有下列说法：
①若a＞b，则ac＜bc；
②若ac2＞bc2，则a＞b；
③若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；
④若c＞a＞b＞0，则＞；
⑤若a＞b，＞，则a＞0，b＜0.
其中正确的个数是(　　)
A．2B．3
C．4D．5
状元随笔　
方法归纳
(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．
(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
跟踪训练2　(1)已知a＜b，那么下列式子中，错误的是(　　)
A．4a＜4bB．－4a＜－4b
C．a＋4＜b＋4D．a－4＜b－4
状元随笔　利用不等式的性质，解题关键找准使不等式成立的条件．
(2)(多选)对于任意实数a，b，c，d，下列命题中不正确的是(　　)
A．若a＞b，c≠0，则ac＞bc
B．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若ac2＞bc2，则a＞b
D．若a＞b，则＜
题型3　利用不等式性质求范围[经典例题]
例3　已知－2＜a≤3，1≤b＜2，试求下列代数式的取值范围：
(1)|a|；
(2)a＋b；
(3)a－b；
(4)2a－3b.
状元随笔　运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向．
方法归纳
利用不等式性质求范围的一般思路
(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；
(2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；
(3)结合不等式的传递性进行求解．
跟踪训练3　已知实数x，y满足：1＜x＜2＜y＜3，
(1)求xy的取值范围；
(2)求x－2y的取值范围．
题型4　利用不等式的性质证明不等式[逻辑推理、数学运算]综合法、分析法与反证法
例4　(1)已知a>b>0，c；
(2)证明：<.
状元随笔　注意书写的规范性及易错点：
①分析法的步骤要规范，分析时一般按照“要证……，需证……，只需证……”的步骤进行．
②反证法，必须假设所证问题的反面成立，推出与之矛盾，从而肯定原结论成立．
③不等式两边含有根式，同时两侧均为正数的时候，通常选择平方处理，此时应该注意平方后尽量保证式子的最简化，如本例将和结合，剩余两数结合，好处在于平方后能消掉一部分，使问题简单化．
④应该明确问题的反面，如“＞”的反面是“≤”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”等．
方法归纳
利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点
(1)实质：就是根据性质把不等式变形．
(2)注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；
②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
证明不等式常选用综合法，对于不方便用综合法证明的不等式可以灵活选择分析法与反证法．
跟踪训练4　(1)已知a>b>0，c；
(2)将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立；
(3)已知x，y>0，且x＋y>2.
求证：中至少有一个小于2.
2．2　不等式
2．2.1　不等式及其性质
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
1．正数　等于0　负数
2．>　＝　<
知识点二
bc　a＋c>b＋c　ac>bc　acb＋d　ac>bd　an>bn　>
知识点三
已知条件　结论出发　逐步寻求　否定
[基础自测]
1．解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思．
答案：C
2．解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝＋>0，所以M>N.
答案：A
3．解析：因为xa2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.
答案：B
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　因为(x2－x)－(x－2)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
又因为(x－1)2≥0，所以(x－1)2＋1≥1＞0，
从而(x2－x)－(x－2)＞0，
因此x2－x＞x－2.
跟踪训练1　解析：f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，
所以f(x)>g(x)．故选C.
答案：C
例2　【解析】　对于①，令c＝0，则有ac＝bc.①错．
对于②，由ac2>bc2，知c≠0，
∴c2>0 a>b.②对．
对于③，由a两边同乘以a得a2>ab，
两边同乘以b得ab>b2，
∴a2>ab>b2.③对．
对于④， 0 >.④对．
对于⑤， a>0，b<0.⑤对．
【答案】　C
跟踪训练2　解析：(1)根据不等式的性质，a0 4a<4b，A项正确；a－4b，B项错误；a(2)对于选项A，当c<0时，不正确；对于选项B，当c＝0时，不正确；对于选项C，∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a>b.故选项C正确；对于选项D，当a>0，b<0时，不正确．
答案：(1)B　(2)ABD
例3　【解析】　(1)|a|∈[0，3]；
(2)－1(3)依题意得－2(4)由－2由1≤b<2得－6<－3b≤－3，　②
由①②得，－10<2a－3b≤3.
跟踪训练3　解析：(1)∵1(2)由(1)知1例4　【证明】　(1)方法一　因为c所以－c>－d>0，
因为a>b>0，所以a－c>b－d>0，
所以0<<，
又因为e<0，所以>.
方法二　＝
＝，
因为a>b>0，c－d>0，
所以a－c>0，b－d>0，b－a<0，c－d<0，
又e<0，所以>0，
所以>.
(2)方法一　分析法：要证<，
只需证<，只需证()2<()2，展开得9＋2<9＋2，
只需证<，
即证14<18，显然成立，所以<.
方法二　反证法：假设，
则，
两边平方得9＋2≥9＋2，所以≥，
即14≥18，显然不成立，所以假设错误．
所以<.
跟踪训练4　解析：(1)证明：因为c－d>0，
因为a>b>0，所以a－c>b－d>0，
所以(a－c)2>(b－d)2>0，
所以0<<，又e<0，
所以>.
(2)用分析法证明≥ab的步骤为：要证≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
(3)证明：假设都不小于2，即≥2，≥2.
因为x，y>0，所以1＋x≥2y，1＋y≥2x.
所以2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2与已知x＋y>2矛盾．
所以中至少有一个小于2.
答案：(1)见解析　(2)a2＋b2－2ab≥0　(a－b)2≥0　(a－b)2≥0　(3)见解析
12．2.3　一元二次不等式的解法
课程标准
从函数观点看一元二次不等式．①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一　一元二次不等式的概念
形如________________的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．
状元随笔　(1)不等式x2＋>0是一元二次不等式吗？
提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式．
(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？
提示：不可以，若a ＝0, 就不是二次不等式了．
知识点二　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} {x|x≠－} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
状元随笔　一元二次不等式的解法：
(1)图象法：一般地，当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：
①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．
对于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取类似a＞0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式求解，
如果x1＜x2，则不等式(x －x1)(x －x2) <0的解集是(x1，x2)；不等式(x －x1)(x －x2)>0的解集是( －∞，x1)有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．
(3)代数法：将所给不等式化为一般式后借助配方法：
一元二次不等式ax2＋bx ＋c >0(a ≠0)通过配方总是可以变为(x －h)2>k或(x －h)2k >0 k ＝0 k <0
(x －h)2>k 转化为|x －h| >，解集为( －∞，h －，＋∞) ( －∞，h) R
基础自测
1．下列不等式中是一元二次不等式的是(　　)
A.a2x2＋2≥0B．＜3
C.－x2＋x－m≤0D．x3－2x＋1＞0
2．不等式x(x＋1)≤0的解集为(　　)
A.[－1，＋∞) B．[－1，0)
C.(－∞，－1] D．[－1，0]
3．函数y＝的定义域为(　　)
A.[－7，1]
B.(－7，1)
C.(－∞，－7]
D.
不等式1＋2x＋x2≤0的解集为________．
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题型1　解不含参数的一元二次不等式
例1　(1)求不等式x2－x－2＞0的解集；
(2)求不等式x2－6x－1≤0的解集；
(3)求不等式－x2＋2x－1＜0的解集．
方法归纳
我们以求解可化成ax2＋bx＋c＞0(a＞0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程．
跟踪训练1　解下列不等式：
(1)x2－7x＋12＞0；
(2)－x2－2x＋3≥0；
(3)x2－2x＋1＜0；
(4)－2x2＋3x－2＜0.
状元随笔
　
题型2　三个“二次”之间的关系[经典例题]
例2　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．
状元随笔　→
方法归纳
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．
(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．
(2)若一元二次不等式的解集为R或 ，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．
跟踪训练2　已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
状元随笔　
题型3　含参数的一元二次不等式的解法[经典例题]
例3　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
状元随笔　二次项系数为a，故不能确定相应二次函数图象的开口方向，因此需对a的符号进行讨论，并且需要比较两根的大小．
方法归纳
含参数一元二次不等式求解步骤
(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向；
(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数；
(3)当Δ＞0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；
(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．
跟踪训练3　解关于x的不等式x2＋x－a(a－1)>0，(a∈R)．
题型4　解简单的分式不等式
例4　解下列不等式：
(1)≥0；
(2)>1.
方法归纳
1．解分式不等式的步骤
(1)移项．将不等式移项，使其一侧为0；
(2)通分．将不等式通分成同分母的分式不等式；
(3)转化．将分式不等式转化为整式不等式；
(4)求解．解出整式不等式的解集，并作答．
2.解分式不等式的关注点
(1)根据实数运算的符号法则，分式不等式经过同解变形可化为四种类型，解题思路如下：
①>0 f(x)g(x)>0；
②<0 f(x)g(x)<0；
③≥0 f(x)g(x)≥0且g(x)≠0 f(x)g(x)>0或f(x)＝0；
④≤0 f(x)g(x)≤0且g(x)≠0 f(x)g(x)<0或f(x)＝0.
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先两边同时乘以分母的平方去分母，再移项，因式分解，转化为整式不等式后求解．
跟踪训练4　(1)不等式>0的解集是(　　)
A．{x|x>或x<－}
B．{x|－C．{x|x>}
D．{x|x<－}
(2)不等式≥1的解集为________．
题型5　一元二次不等式的实际应用[经典例题]
例5　某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x(百台)，其总成本为g(x)万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r(x)满足r(x)＝
假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：
(1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？
状元随笔　(1)求利润函数f(x) 解不等式f(x)＞0 回答实际问题．
(2)根据第(1)题所求范围，分类讨论求函数最值 回答实际问题．
方法归纳
解不等式应用题的四步骤
(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；
(2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系；
(3)求：解不等式；
(4)答：回答实际问题．
提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
跟踪训练5　某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
状元随笔　根据题意，列出各数量之间的关系表，如下：
原计划 降税后
价格(元/担) 200 200
税率 10% (10－x)%(0＜x＜10)
收购量(万担) a a(1＋2x%)
收购总金额(万元) 200a 200·a(1＋2x%)
税收y(万元) 200a·10% 200·a(1＋2x%)(10－x)%
2．2.3　一元二次不等式的解法
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
ax2＋bx＋c>0
[基础自测]
1．解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．
答案：C
2．解析：解不等式得－1≤x≤0，故选D.
答案：D
3．解析：由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7答案：B
4．解析：不等式1＋2x＋x2≤0化为(x＋1)2≤0，解得x＝－1.
答案：{－1}
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)因为x2－x－2＝(x＋1)(x－2)，
所以原不等式等价于(x＋1)(x－2)＞0，因此所求解集为{x|x<－1或x>2}．
(2)因为x2－6x－1＝x2－6x＋9－9－1＝(x－3)2－10，
所以原不等式可化为(x－3)2－10≤0，即(x－3)2≤10，
两边开平方得|x－3|≤，从而可知－≤x－3≤，
因此3－≤x≤3＋，所以不等式的解集为
{x|3－≤x≤3＋}．
(3)原不等式可化为x2－2x＋1＞0，
又因为x2－2x＋1＝(x－1)2，所以上述不等式可化为
(x－1)2＞0.
注意到只要x≠1，上述不等式就成立，所以不等式的解集为{x|x<1或x>1}．
跟踪训练1　解析：(1)因为Δ＝1＞0，所以方程x2－7x＋12＝0有两个不等实根x1＝3，x2＝4.再根据函数y＝x2－7x＋12的图象开口向上，可得不等式x2－7x＋12＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}．
(2)不等式两边同乘－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0.因为Δ＝16＞0，所以方程x2＋2x－3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝1.再根据函数y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．
(3)因为Δ＝0，所以方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝1.再根据函数y＝x2－2x＋1的图象开口向上，可得不等式x2－2x＋1＜0的解集为 .
(4)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因此Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.
例2　【解析】　方法一　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为.
方法二　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2跟踪训练2　解析：因为x2＋px＋q<0的解集为，所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，
由根与系数的关系得解得
所以不等式qx2＋px＋1>0即为－x2＋x＋1>0，
整理得x2－x－6<0，解得－2即不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－2例3　【解析】　①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1.
②当a<0时，原不等式化为(x－)(x－1)>0，解得x<或x>1.
③当a>0时，原不等式化为(x－)(x－1)<0.
若a＝1，即＝1时，不等式无解；
若a>1，即<1时，解得若01时，解得1综上可知，当a<0时，不等式的解集为{x|x<或x>1}；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞1}；
当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1当a＝1时，不等式的解集为 ；
当a>1时，不等式的解集为{x|跟踪训练3　解析：因为关于x的不等式x2＋x－a(a－1)>0，(a∈R)，
所以(x＋a)(x＋1－a)>0，
当－a>a－1，即a<时，x－a，
当a－1>－a，即a>时，x<－a或x＞a－1，
当a－1＝－a，即a＝时，x≠－，
所以当a<时，原不等式的解集为{x|x－a}；
当a>时，原不等式的解集为{x|x<－a或x>a－1}；
当a＝时，原不等式的解集为{x|x≠－，x∈R}．
例4　【解析】　(1)原不等式等价于
即 －2≤x<3.
所以原不等式的解集为{x|－2≤x＜3}．
(2)原不等式可化为－1>0，即<0.
等价于(3x－2)(4x－3)<0.
所以所以原不等式的解集为{x|跟踪训练4　解析：(1)>0 (4x＋2)(3x－1)>0 x>或x<－，故不等式的解集为{x|x>或x<－}．
(2)因为≥1等价于≥0，所以≤0，等价于
解得－4答案：(1)A　(2){x}
例5　【解析】　(1)依题意得g(x)＝x＋3，设利润函数为f(x)，则
f(x)＝r(x)－g(x)，所以f(x)＝
要使工厂有盈利，则有f(x)>0，因为f(x)>0 或
或 或则3＜x≤7或7＜x＜10.5，即3＜x＜10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内．
【解析】(2)当3＜x≤7时，f(x)＝－0.5(x－6)2＋4.5，故当x＝6时，f(x)有最大值4.5，而当x＞7时，f(x)＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大．
跟踪训练5　解析：(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)
依题意得，y＝200a(1＋2x%)(10－x)%
＝a(100＋2x)(10－x)(0(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．
依题意得，a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，
化简得x2＋40x－84≤0，∴－42≤x≤2.
又∵0＜x＜10，∴0＜x≤2.
∴x的取值范围是{x|0＜x≤2}．
12．2.4　均值不等式及其应用
课程标准
掌握基本不等式(a，b>0)．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一　算术平均值与几何平均值
给定两个正数a，b，数________称为a，b的算术平均值；数________称为a，b的几何平均值．
知识点二　基本不等式
(1)重要不等式：对于任意实数a、b，都有a2＋b2________2ab，当且仅当________时，等号成立．
(2)基本不等式：________(a＞0，b＞0)，当且仅当________时，等号成立．其中和分别叫做正数a，b的________和________．
状元随笔　基本不等式(a，b∈R＋)的应用：
(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a＞0，b＞0，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，当且仅当a＝b时等号成立．即：a＋b＝M，M为定值时，(ab)max＝.
(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a＞0，b＞0，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2，当且仅当a＝b时等号成立．
基础自测
　
1．已知a，b∈R，且ab＞0，则下列结论恒成立的是(　　)
A．a2＋b2＞2abB．a＋b≥2
C．＞D．≥2
2．已知x>0，则x＋的最小值为(　　)
A．　　　B．1C．　　　D．
3．(多选)下列不等式中，不正确的是(　　)
A．a＋≥4B．a2＋b2≥4ab
C．D．x2＋≥2
4．已知x，y都是正数．
(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________；
(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．
2．2.4　均值不等式及其应用
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点一
知识点二
(1)≥　a＝b　(2)≤　a＝b　算术平均值　几何平均值
[基础自测]
1．解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以>0，>0，所以≥2 (当且仅当b＝a时，等号成立)，即≥2成立．
答案：D
2．解析：因为x>0，所以x＋≥2＝，故最小值为，当且仅当x＝，即x＝时取到最小值．
答案：D
3．解析：a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错，a＝4，b＝16，则<，故C错误；由基本不等式可知D项正确．
答案：ABC
4．解析：(1)x＋y≥2＝2，即x＋y的最小值是2；当且仅当x＝y＝时取最小值．
(2)xy≤＝＝，
即xy的最大值是.
当且仅当x＝y＝时xy取最大值．
答案：(1)2　(2)
12．2.2　不等式的解集
课程标准
掌握不等式的解集，理解绝对值不等式，会解简单的不等式组．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一　不等式的解集与不等式组的解集
一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．
知识点二　绝对值不等式的几何意义
(1)数轴上两点之间的距离公式：数轴上两点A(a)，B(b)之间的距离AB＝________.
(2)数轴上两点的中点坐标公式：数轴上两点A(a)，B(b)的中点坐标x＝________．
(3)绝对值不等式的几何意义
不等式(m>0) 解集的几何意义
|x||x|>m 数轴上与原点的距离________m的所有数的集合
|x－b||x－b|>m 数轴上与表示b的点的距离大于m的所有数的集合
知识点三　绝对值不等式及其解法
(1)绝对值不等式的定义：含有绝对值的不等式．
(2)绝对值不等式的解集．
不等式(m>0) 不等式的解集
|x||x|>m {x|x>m或x<－m}
(3)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c －c≤ax＋b≤c.
②|ax＋b|≥c ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
　基础自测
1．在数轴上从点A(－2)引一线段到B(1)，再同向延长同样的长度到C，则点C的坐标为(　　)
A.13　　　B．0C．4　　　D．－2
2．不等式的解集是(　　)
A.{x|x＜－2}B．{x|x＜2}
C.{x|－2＜x≤3}D．{x|－2＜x＜3}
3．一元一次不等式组的解集是，则a与b的关系为(　　)
A.a≥bB．a>b
C.a≤bD．a4．不等式|x＋1|＜5的解集为________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
　
题型1　不等式(组)的解集[经典例题]
例1　(1)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
①
②
熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此类问题的关键．
(2)求关于x的不等式的解集：
①2x＋a>0；②ax>1.
方法归纳
一元一次不等式组的求解策略
(1)解不等式常用到的不等式的性质
性质1　a>b a＋c>b＋c
性质2　a>b，c>0 ac>bc
性质3　a>b，c<0 ac推论　a＋b>c a>c－b
(2)解不等式(组)的注意点
①移项要改变项的符号．
②利用性质3时要改变不等号的方向．
③不等式组的解集是构成不等式组的各个不等式解集的交集．
跟踪训练1　(1)不等式组的解集是(　　)
A．{x|x＜－2}B．{x|－2＜x≤1}
C．{x|x≤－2}D．{x|x≥－2}
(2)已知不等式ax－1>x＋2的解集为(2，＋∞)，求a的值．
题型2　解绝对值不等式
例2　求下列绝对值不等式的解集：
(1)|3x－1|≤6；
(2)3≤|x－2|<4.
方法归纳
1．绝对值不等式的解题策略：等价转化法
(1)形如|x|a(a>0)型不等式：
|x||x|>a x>a或x<－a.
(2)形如a<|x|a>0)型不等式：
a<|x|2．解绝对值不等式的基本步骤
(1)去绝对值号，进行等价转化；
(2)解不含绝对值号的不等式．
跟踪训练2　解不等式：1＜|x－2|≤3.
例3　解下列不等式：
(1)|x－1|＞|2x－3|；
(2)|x－1|＋|x－2|＞2.
跟踪训练3　不等式|x＋3|－|x－3|＞3的解集是(　　)
A．{x|x＞}B．{x|C．{x|x≥3}D．{x|－3＜x≤0}
题型3　数轴上的基本公式及应用[经典例题]
例4　已知数轴上的三点A、B、P的坐标分别为A(－1)，B(3)，P(x)．
(1)点P到A，B两点的距离都是2时，求P(x)，此时P与线段AB是什么关系？
(2)在线段AB上是否存在一点P(x)，使得P到A和B的距离都是3？若存在，求P(x)，若不存在，请说明理由．
方法归纳
数轴上基本公式的应用
(1)已知数轴上两点的坐标可用两点间的距离公式求距离，若已知两点间的距离，也可用距离公式求相应点的坐标；
(2)中点坐标公式可以解决三点共线问题．其中已知两点坐标，可用公式求第三点的坐标．
跟踪训练4　已知数轴上三点P(－8)，Q(m)，R(2)．若PQ的中点到线段PR中点的距离大于1，求实数m的取值范围．
2．2.2　不等式的解集
新知初探·自主学习
[教材要点]
知识点二
(1)|a－b|　(2)　(3)小于　大于
[基础自测]
1．解析：根据数轴标好相应的点易判断．
答案：C
2．解析：由可得则x<－2，故选A.
答案：A
3．解析：因为不等式组的解集是(a，＋∞)，所以a≥b.
答案：A
4．解析：|x＋1|<5 －5答案：{x|－6课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)分别求出各不等式的解集，再求出各个解集的交集，并在数轴上表示出来即可．
①解不等式2x＋3>1，得x>－1，
解不等式x－2<0，得x<2，
则不等式组的解集为{x|－1将解集表示在数轴上如下：
②解不等式x－>，得x>2，
解不等式x＋8<4x－1，得x>3，
则不等式组的解集为{x|x>3}，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
(2)①2x>－a，x>－，
所以不等式解集为{x|x>－}．
②当a＝0时，无解；当a>0时，得x>；
当a<0时，得x<.
所以不等式解集：
当a>0时，(，＋∞)；当a<0时，(－∞，)；
当a＝0时， .
跟踪训练1　解析：(1)
解①，得x≤1，解②，得x<－2，
∴不等式组的解集为{x|x<－2}，故选A.
(2)化为：ax－x>3，(a－1)x>3.
当a－1>0即a>1时，得x>，
所以＝2，所以a＝.
答案：(1)A　(2)见解析
例2　【解析】　(1)因为|3x－1|≤6 －6≤3x－1≤6，
即－5≤3x≤7，从而得－≤x≤，
所以原不等式的解集是{x|－≤x≤}．
(2)因为3≤|x－2|<4，所以3≤x－2<4或－4所以原不等式的解集为：{x|－2跟踪训练2　解析：原不等式等价于不等式组
即
解得－1≤x＜1或3＜x≤5，
所以原不等式的解集为{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}．
例3　【解析】　(1)因为|x－1|＞|2x－3|，
所以(x－1)2＞(2x－3)2，即(2x－3)2－(x－1)2＜0，
所以(2x－3＋x－1)(2x－3－x＋1)＜0，
即(3x－4)(x－2)＜0，
所以＜x＜2.
即原不等式的解集为{x}．
(2)原不等式 或或 或或 x＜或x＞，
所以原不等式的解集为{x}．
跟踪训练3　解析：当x＜－3时，－(x＋3)＋(x－3)＞3，－6＞3，无解．当－3≤x≤3时，x＋3＋x－3＞3，所以x＞，故＜x≤3.当x＞3时，x＋3－(x－3)＞3，6＞3，所以x＞3.综上可知原不等式的解集为{x|x＞}．
答案：A
例4　【解析】　(1)由题意知可以化为或或或解得x＝1.
∴点P的坐标为P(1)，此时P为AB的中点．
(2)不存在这样的P(x)，理由如下：
∵|AB|＝|3－(－1)|＝4<6，
∴在线段AB上找一点P使|PA|＋|PB|＝3＋3＝6是不可能的．
跟踪训练4　解析：由题意，知||>1，
即|－1|>1，
所以－1>1或－1<－1，解得m>4或m<0，
所以实数m的取值范围是(－∞，0)
5第2课时　基本不等式的应用
　课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1　利用基本不等式证明不等式[经典例题]
例1　已知a、b、c＞0，求证：≥a＋b＋c.
方法归纳
(1)在利用a＋b≥2时，一定要注意是否满足条件a＞0，b＞0.
(2)在利用基本不等式a＋b≥2或(a＞0，b＞0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式．
(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用．
跟踪训练1　已知x＞0，y＞0，z＞0.
求证：()()()≥8.
状元随笔　分别对＋＋＋用基本不等式 同向不等式相乘．
题型2　灵活利用基本不等式a＋b≥2求最值
例2　(1)已知a>0，b>0，a＋2b＝1，的最小值为(　　)
A．3B．2
C．3－2D．3＋2
(2)若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为(　　)
A．2　　　B．4C．6　　　D．8
方法归纳
常数代换法求最值的方法步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用均值不等式求最值．
跟踪训练2　(1)已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为(　　)
A．8　　　B．4C．2　　　D．0
(2)设x，y为正数，若x＋＝1，则的最小值是________，此时x＝________．
题型3　利用基本不等式解决实际问题
例3　某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少？
状元随笔　两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．
教材反思
利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案．
跟踪训练3　某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．
(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？
(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？
状元随笔　1.盈利等于总收入－支出，注意支出，由两部分组成．
2．利用基本不等式求平均利润．
第2课时　基本不等式的应用
课堂探究·素养提升
例1　【证明】　∵a，b，c，均大于0，
∴＋b≥2 ＝2a.
当且仅当＝b时等号成立．
＋c≥2 ＝2b.
当且仅当＝c时等号成立．
＋a≥2 ＝2c，
当且仅当＝a时等号成立．
相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，
∴≥a＋b＋c.
跟踪训练1　证明：因为x>0，y>0，z>0，
所以>0，
>0，
>0，
所以＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立．
例2　【解析】　(1)＝＝3＋≥3＋2＝3＋2，
当＝即a＝－1，b＝时等号成立．
所以()min＝3＋2.
(2)因为a>0，b>0，a＋b＝ab≤，所以a＋b≥4，当a＝b＝2时取等号，则a＋b的最小值为4.
【答案】　(1)D　(2)B
跟踪训练2　解析：(1)由x＋2y－xy＝0，得＝1，
且x>0，y>0.所以x＋2y＝(x＋2y)×()＝＋4≥2＋4≥4＋4＝8，当且仅当x＝2y时等号成立．
(2)＝()(x＋)＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当＝即y＝2x，x＝时等号成立．
答案：(1)A　(2)4　
例3　【解析】　设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．
由题意可知，面粉的保管费等其他费用为3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)(元)．
设平均每天所支付的总费用为y元，
则y＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋＋10 809≥2 ＋10 809＝10 989(元)，
当且仅当9x＝，即x＝10时，等号成立．
故该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．
跟踪训练3　解析：(1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元．则
y＝50n－98－
＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102，
∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．
(2)年平均利润为
＝－2≤－2＝12，
当且仅当n＝，即n＝7时上式取等号．
所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．
1第1课时　基本不等式
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1　对基本不等式的理解[经典例题]
例1　(1)不等式a＋1≥2(a>0)中等号成立的条件是(　　)
A．a＝0B．a＝
C．a＝1D．a＝2
状元随笔　①举反例、基本不等式 逐个判断．
②明确基本不等式成立的条件 逐个判断．
(2)给出下列命题：
①若x∈R，则x＋≥2；
②若a＜0，b＜0，则ab＋≥2；
③不等式≥2成立的条件是x＞0且y＞0.其中正确命题的序号是________．
状元随笔　基本不等式的两个关注点
(1)正数：指式子中的a，b均为正数，
(2)相等：即“＝”成立的条件．
跟踪训练1　设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是(　　)
A．a＜b＜＜B．a＜＜＜b
C．a＜＜b＜D．＜a＜＜b
状元随笔　利用基本不等式时先要确定成立的条件，有的要适当变形处理．
题型2　利用基本不等式求最值
例2　(1)若x＞0，则y＝12x＋的最小值为(　　)
A．2B．2
C．4D．8
(2)已知t＞0，求y＝的最小值．
方法归纳
1．利用基本不等式求最值的策略
2．通过消元法利用基本不等式求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．
提醒：利用基本不等式求函数最值，千万不要忽视等号成立的条件．
跟踪训练2　已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则 (1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)
A．16B．25
C．9D．36
状元随笔　展开(1 ＋x)(1 ＋y) 将x ＋y ＝8代入 用基本不等式求最值．
题型3　利用均值不等式借助拼凑法求最值
例3　(1)已知x<0，则3x＋的最大值为________；
(2)已知x>2，求x＋的最小值；
(3)已知0(4)当x>1时，求的最小值．
方法归纳
1．负数在均值不等式中的应用
当所给式子均小于0时，也可以利用均值不等式求最值，但是要注意不等号方向的变化．
2．通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．
(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提．
跟踪训练3　(1)当x<1时，试求y＝3(x－1)＋的最大值；
(2)设0(3)若x>1，则求y＝的最小值．
易错点　利用基本不等式求最值　
例　若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　)
A．B．
C．5D．6
【错解】　由x＋3y＝5xy 5xy≥2，
因为x＞0，y＞0，所以25x2y2≥12xy，即xy≥.
所以3x＋4y≥2≥2＝，
当且仅当3x＝4y时取等号，
故3x＋4y的最小值是.
状元随笔　错误的根本原因是忽视了两次使用基本不等式，等号成立的条件必须一致．
【正解】　由x＋3y＝5xy可得＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋2＝＝5，
当且仅当x＝1，y＝时取等号，
故3x＋4y的最小值是5.
【答案】　C
第1课时　基本不等式
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)因为a>0，根据均值不等式，当且仅当a＝b时等号成立，故a＋1≥2中等号成立当且仅当a＝1.
(2)只有当x>0时，才能由基本不等式得到x＋≥2 ＝2，故①错误；当a<0，b<0时，ab>0，由基本不等式可得ab＋≥2 ＝2，故②正确；由基本不等式可知，当>0，>0时，有≥2 ＝2成立，这时只需x与y同号即可，故③错误．
【答案】　(1)C　(2)②
跟踪训练1　解析：0答案：B
例2　【解析】　(1)因为x＞0，所以y＝12x＋≥2 ＝4，当且仅当12x＝，即x＝时等号成立．
(2)依题意得，y＝t＋－4≥2 －4＝－2，当且仅当t＝时等号成立，即t＝1，函数y＝(t>0)的最小值是－2.
【答案】　(1)C　(2)见解析
跟踪训练2　解析：因为x>0，y>0，且x＋y＝8，
所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋＝9＋42＝25，
因此当且仅当x＝y＝4时，
(1＋x)·(1＋y)取最大值25.
答案：B
例3　【解析】　(1)因为x<0，所以－x>0.
则3x＋＝－[＋(－3x)]≤－2 ＝－12，当且仅当＝－3x，即x＝－2时，3x＋取得最大值为－12.
(2)因为x>2，所以x－2>0，所以x＋＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝4，
所以当且仅当x－2＝(x>2)，
即x＝3时，x＋的最小值为4.
【解析】(3)因为00，
所以x(8－2x)＝×2x(8－2x)≤＝8，
所以当且仅当2x＝8－2x，
即x＝2时有最大值，x(8－2x)的最大值为8.
【解析】(4)令t＝＝＝(x－1)＋＋2，
因为x－1>0，所以t≥2 ＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时，t的最小值为8.
【答案】　(1)－12　(2)见解析　(3)见解析　(4)见解析
跟踪训练3　解析：(1)因为x<1，所以x－1<0，故－(x－1)>0，所以3(x－1)＋＝－[－3(x－1)＋]≤－2 ＝－12，
当且仅当－3(x－1)＝－，
即x＝－1时，3(x－1)＋取得最大值－12.
(2)由题得x(1－2x)＝·2x(1－2x)≤＝.
当且仅当2x＝1－2x，即x＝时取到等号．所以x(1－2x)的最大值为.
解析：(3)＝＝2(x－1)＋.
因为x>1，所以2(x－1)＋≥2＝4(当且仅当x＝2时取等号)，
因此的最小值是4.
1

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