资源简介

4．1　指数与指数函数
4．1.1　实数指数幂及其运算
【课程标准】
通过对有理数指数幂(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一　n次方根及根式的概念
1．a的n次方根的定义：一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__________，则x称为a的n次方根．
2．a的n次方根的表示
(1)当n是奇数时，a的n次方根表示为________，a∈____________．
(2)当n是偶数时，a的n次方根表示为________，其中________表示a的负的n次方根，a∈________．
3．根式：当有意义的时候，____________称为根式，这里n称为__________，a称为__________．
状元随笔　根式的概念中要求n>1，且n∈N*.
知识点二　根式的性质
(1)()n＝________(n∈R＋，且n>1)；
(2) ＝
状元随笔　()n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而中a∈R.
知识点三　分数指数幂的意义及有理数指数幂的运算性质
1．分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定：＝________(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂 规定：＝＝____________(a>0，m，n∈N*，且n>1)
性质 0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂______
2.无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个________．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．
3．实数指数幂的运算法则(a>0，b>0，r，s∈R)
(1)aras＝________．
(2)(ar)s＝________．
(3)(ab)r＝________．
基础自测
1.＋π等于(　　)
A．4 B．2π－4
C．2π－4或4 D．4－2π
2．b4＝3(b>0)，则b等于(　　)
A．34B．
C．43D．35
3．(多选)下列各式错误的是(　　)
A．＝－3 B．＝a
C．()3＝－2 D．＝2
4．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是(　　)
A．－＝(x≥0)
B．＝(x≤0)
C．＝(x>0)
D．＝－(x≠0)
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1　利用根式的性质化简求值[经典例题]
例1　(1)下列各式正确的是(　　)
A．＝a B．a0＝1
C.＝－4 D.＝－5
(2)计算下列各式：
①＝________．
②＝________．
③－－＝________．
状元随笔　首先确定式子中n的奇偶，再看式子的正负，最后确定化简结果．
方法归纳
根式化简或求值的策略
(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
跟踪训练1　求下列各式的值：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
由根式被开方数正负讨论x≥y，x题型2　根式与分数指数幂的互化[经典例题]
例2　(1)将分数指数幂(a>0)化为根式为________．
(2)化简：(a2·)÷(·)＝________(用分数指数幂表示).
(3)将下列根式与分数指数幂进行互化：
①a3·；
②(a>0，b>0).
利用根式与分数指数幂的性质意义化为根式或分数指数幂．
方法归纳
根式与分数指数幂互化的方法及思路
(1)方法：根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出．
跟踪训练2　(1)化简的结果是(　　)
A． B．x
C．1 D．x2
(2)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)
A．－＝(x>0)
B．＝(y<0)
C．＝(x>0)
D．＝－(x≠0)
题型3　分数指数幂的运算与化简
例3　(1)化简下列各式：
①(－1.8)0＋()－2·－＋；
②；
(2)已知＋＝，求的值．
状元随笔　(1)①先进行指数运算，在进行指数运算时可将底数化成幂的形式，再利用幂的乘方进行运算；②对于零次幂，直接运用a0＝1(a≠0)得出结论；③底数为带分数的化成假分数，进而将底数化成幂的形式；④底数为小数的一般化成分数来运算；⑤先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减．
(2)将已知的式子反复利用完全平方公式，将x的指数升高，再代入求值．
方法归纳
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
跟踪训练3　计算：
(1) (a>0，b>0)；
(2)已知＋＝3，求下列各式的值：
①a＋a－1；②a2＋a－2；③
第四章　指数函数、对数函数与幂函数
4．1　指数与指数函数
4．1.1　实数指数幂及其运算
新知初探·自主学习
知识点一
1．xn＝a
2．(1)　R　(2)±　－　[0，＋∞)
3.　根指数　被开方数
知识点二
(1)a　(2)a　|a|　
知识点三
1.　　0　无意义
2．确定的实数
3．(1)ar＋s　(2)ars　(3)arbr
[基础自测]
1．解析：＋π＝4－π＋π＝4.故选A.
答案：A
2．解析：因为b4＝3(b>0)，∴b＝＝.
答案：B
3．解析：由于＝3，＝|a|, ＝－2，故选项A、B、D错误．
答案：ABD
4．解析：A.－＝(x≥0)，故错误；
B．＝(x≤0)，故错误；
＝＝(x>0)，故正确；
＝(x≠0)，故错误．
答案：C
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)由于＝则选项A，C排除，D正确，B需要加条件a≠0.
(2)①＝－a.
②＝＝π－3.
③＝＝＝.
【答案】　(1)D　(2)①－a　②π－3　③
跟踪训练1　解析：(1) ＝－2；
(2) ＝＝；
(3) ＝|3－π|＝π－3；
(4)＝|x－y|＝
例2　【解析】　＝＝.
(2)(a2·)÷(·)＝＝.
(3)①a3·＝＝.
②＝＝.
【答案】　(1)　②
跟踪训练2　解析：(1)＝＝＝x0＝1.
(2)－＝－(x>0)；＝＝－(y<0)；
＝(x>0)；＝＝(x≠0)．
答案：(1)C　(2)C
例3　【解析】　(1)①原式＝＝1＋()2·()2－10＋27＝29－10＝19.
②＝
＝.
＝＝＝a－1＝.
(2)由已知可得：x＋x－1＝)2－2＝()2－2＝3.
x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2＝32－2＝7.
原式＝＝－.
跟踪训练3　解析：(1)原式＝＝2××8＝.
(2)①将＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，
所以a＋a－1＝7.
②对(1)中的式子两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，
所以a2＋a－2＝47.
③＝
＝a＋a－1＋1＝8.
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