资源简介

6.1　平面向量及其线性运算
6．1.1　向量的概念
【课程标准】
(1)通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．
(2)理解平面向量的几何表示和基本要素．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一　向量的概念
既有________，又有________的量称为向量．
知识点二　向量的几何表示
1．向量的表示方法
2．向量的长度(模)
||(或|a|)表示向量(或a)的______，即长度(也称模).
3．与向量有关的概念
知识点三　向量的平行或共线
状元随笔　1.理解向量概念应关注三点
(1)向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
(2)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个因素．
(3)向量与向量之间不能比较大小．
2．相等向量的理解
任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定．
3．共线向量与平行向量
(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．
(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．
(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
基础自测
1.(多选)已知向量a如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．也可以用表示 B．方向是由M指向N
C．起点是M D．终点是M
2．如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是(　　)
A．和B．和
C．和D．和
3．如图，以1cm×3cm方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中，以A为始点，可以写出________个不同的向量．
4.如图所示，在正△ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量中与相等的是(　　)
A．B．
C．D．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1　向量的概念、零向量、单位向量[经典例题]
例1　(1)下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度．其中不是向量的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
(2)给出下列说法：
①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等，其中正确的是________(填上序号)．
状元随笔　(1)既有大小又有方向的量是向量．
(2)长度为0的向量是零向量．长度为1的向量是单位向量．零向量的方向是任意的．
方法归纳
判断一个量是否为向量关键看它是否具备向量的两要素：(1)有大小；(2)有方向．两个条件缺一不可．
跟踪训练1　(1)下列说法中正确的是(　　)
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
(2)设a0，b0分别是a，b方向上的单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．
①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.
状元随笔　结合向量的定义，由相等向量、共线向量的定义作出判断．
题型2　向量的表示[经典例题]
例2　在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向上；
(2)，使||＝4，点B在点A正东方向上；
(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向上．
方法归纳
用有向线段表示向量的步骤
跟踪训练2　在如图的方格纸中，画出下列向量．
用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形的知识确定出向量的方向或长度，选择合适的比例关系作出向量．
(1)||＝3，点A在点O的正西方向；
(2)||＝3，点B在点O北偏西45°方向；
(3)求出||的值．
题型3　共线向量与相等向量[经典例题]
例3　(1)在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O且平行于AB的线段，在所标的向量中：
①写出与共线的向量；
②写出与方向相同的向量；
③写出与的模相等的向量；
④写出与相等的向量．
(2)判断下列命题：
①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；
②若a∥b，则a与b的方向相同或相反；
③若a∥b且b∥c，则a∥c；
④若a＝b，则2a>b.其中正确的命题个数为(　　)
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3
状元随笔　相等向量必须满足两个条件：方向相同，长度相等，相反向量方向相反，长度相等，与起始点的位置无关，所以只需在图中找与平行或共线且长度相等的所有线段，将它们表示成向量．
方法归纳
相等向量与共线向量的判断
(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量．
(2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．
(3)非零向量共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若a∥b，b∥c，则可推出a∥c.
注意：对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．
跟踪训练3　(1)如图所示，△ABC中，三边长均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．
①写出与共线的向量；
②写出与长度相等的向量；
③写出与相等的向量．
状元随笔　①共线向量只需在图中找出与线段EF平行或共线的所有线段，再把它们表示成向量即可；
②在图中找出与线段EF长度相等的所有线段，再把它们表示成向量即可；
③相等向量既要方向相同，又要大小相等．
(2)给出下列命题：
①两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；
②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上；
③在菱形ABCD中，一定有＝；
④若a＝b，b＝c，则a＝c.
其中所有正确命题的序号为________．
6．1　平面向量及其线性运算
6．1.1　向量的概念
新知初探·自主学习
知识点一
大小　方向
知识点二
1．方向　起点　终点　向量
2．大小
3．始点和终点相同　1个　长度相等　方向相同
知识点三　
相同或相反　非零　a∥b　任一向量
[基础自测]
1．解析：终点是N而不是M.
答案：ABC
2．解析：易知＝.
答案：B
3．解析：由图可知，以A为始点的向量有、、、、、、，共有7个．
答案：7
4．解析：因为DE是△ABC的中位线，所以DE∥CB且DE＝CB，
则与向量相等的有.
答案：D
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)②③④⑤既有大小，又有方向，是向量；
①⑥⑦只有大小，没有方向，不是向量．
(2)由零向量的方向是任意的，知①错误，③正确；由零向量的定义知②正确；由单位向量的模是1，知④正确．
【答案】　(1)C　(2)②③④
跟踪训练1　解析：(1)不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小．故D正确．
(2)因为a0，b0是单位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，所以|a0|＋|b0|＝2.
答案：(1)D　(2)③
例2　【解析】　
(1)由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量，如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向上，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量，如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且||＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量，如图所示．
跟踪训练2　解析：取每个方格的单位长为1，
依题意，结合向量的表示可知，
(1)(2)的向量如图所示．
(3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，
所以||＝＝3.
例3　【解析】　(1)等腰梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，AD＝BC.
①题图中与共线的向量有.
②题图中与方向相同的向量有.
③题图中与的模相等的向量为，与的模相等的向量为.
④题图中与相等的向量为.
(2)①，两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同，根据相等向量的知识可知①是正确的．②，若a∥b，则可能b为零向量，方向任意，所以②错误．
③，若a∥b且b∥c，则可能b为零向量，此时a，c不一定平行，所以③错误．
④，向量既有长度又有方向，所以向量不能比较大小，所以④错误．故正确的命题有1个．
【答案】　(1)见解析　(2)B
跟踪训练3　解析：(1)①∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，
∴与共线的向量为.
②∵E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，
∴EF＝BC，BD＝DC＝BC，
∴EF＝BD＝DC.
∵AB，BC，AC均不相等，
∴与长度相等的向量为.
③与相等的向量为.
(2)两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故①不正确．
单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上，故②正确．
③④显然正确，故所有正确命题的序号为②③④.
答案：(1)见解析　(2)②③④
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