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第2课时　对数函数的图象和性质
基础自测
1．比较下列各组值的大小：
(1)0.5________0.6；
(2)log1.51.6________log1.51.4；
(3)log0.57________log0.67；
(4)log3π________log20.8.
2．若log3a＜0，＞1，则(　　)
A．a＞1，b＞0B．0＜a＜1，b＞0
C．a＞1，b＜0D．0＜a＜1，b＜0
3．函数y＝log2x在区间(0，2]上的最大值是(　　)
A．2　　　B．1C．0　　　D．－1
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1　比较大小[经典例题]
例1　(1)已知bA．2a>2b>2c B．2b>2a>2c
C．2c>2b>2a D．2c>2a>2b
(2)设a＝log32，b＝log2，c＝2log32，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＜b＜c　　 B．b＜a＜c
C．b＜c＜a　　 D．c＜a＜b
(3)若a＝log20.2，b＝20.2，c＝log0.20.3，则下列结论正确的是(　　)
A．b>c>a B．c>a>b
C．a>b>c D．c>b>a
状元随笔　构造对数函数，利用函数单调性比较大小.
方法归纳
比较对数值大小时常用的三种方法
跟踪训练1　(1)设a＝log2π，b＝π，c＝π－2，则(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．a＞c＞b D．c＞b＞a
(2)设a＝，b＝，c＝log3，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．b状元随笔　(1)选择中间量0和1，比较大小．
(2)利用对数函数的单调性比较大小．
题型2　解对数不等式[经典例题]
例2　(1)已知log0.72x＜log0.7(x－1)，则x的取值范围为________；
(2)已知loga(x－1)≥loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围；
状元随笔　(1)利用函数y＝log0.7x的单调性求解．
(2)分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论，解不等式．
(3)求函数y＝的定义域．
方法归纳
两类对数不等式的解法
(1)形如logaf(x)＜logag(x)的不等式．
①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞g(x)＞0；
②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜g(x).
(2)形如logaf(x)＜b的不等式可变形为logaf(x)＜b＝logaab.
①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞ab；
②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜ab.
跟踪训练2　(1)满足不等式log3x＜1的x的取值集合为________；
(2)根据下列各式，确定实数
a的取值范围：
①log1.5(2a)＞log1.5(a－1)；
②log0.5(a＋1)＞log0.5(3－a).
(1)log33＝1.
(2)由对数函数的单调性求解．
(3)函数y＝的定义域为(　　)
A．(－∞，] B．(，)
C．(，] D．[，＋∞)
题型3　有关对数复合函数的值域与最值问题[逻辑推理、数学运算]
例3　求下列函数的值域：
(1)y＝log2(x2＋4)；
(2)y＝(3＋2x－x2)；
(3)f(x)＝(lgx)2－2lgx2＋3(1≤x≤1000).
状元随笔　求出函数的定义域 求出真数的范围 根据对数函数的单调性求出函数的值域．
方法归纳
复合函数值域的求法
(1)求对数函数或与对数函数相关的复合函数的值域(最值)，关键是根据单调性求解，若需换元，需考虑新元的取值范围．
(2)对于形如y＝logaf(x)(a>0且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：
①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；
②求f(x)的定义域；
③求u的取值范围；
④利用y＝logau的单调性求解．
跟踪训练3　求下列函数的值域：
(1)y＝(4x－x2)；
(2)f(x)＝log2(x2＋8)；
(3)f(x)＝(log2x)2－log2x2－3.
题型4　对数函数性质的综合应用[经典例题]
例4　设函数f(x)＝ln (2＋x)－ln (2－x)，则f(x)是(　　)
A．奇函数，且在(0，2)上是增函数
B．奇函数，且在(0，2)上是减函数
C．偶函数，且在(0，2)上是增函数
D．偶函数，且在(0，2)上是减函数
方法归纳
解答y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数需注意的问题
(1)要注意变量的取值范围．例如，f(x)＝log2x，g(x)＝x2＋x，则f(g(x))＝log2(x2＋x)中需要g(x)＞0；g(f(x))＝(log2x)2＋log2x中需要x＞0.
(2)判断y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数的奇偶性，首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断．
跟踪训练4　已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)＝(－x＋1).
(1)求f(0)，f(1)；
(2)求函数f(x)的解析式．
第2课时　对数函数的图象和性质
[基础自测]
1．解析：(1)因为函数y＝x是减函数，且0.5＜0.6，所以0.6.
(2)因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6＞1.4，所以log1.51.6＞log1.51.4.
(3)因为0＞log70.6＞log70.5，所以＜，即log0.67＜log0.57.
(4)因为log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，所以log3π＞log20.8.
答案：(1)＞　(2)＞　(3)＞　(4)＞
2．解析：由函数y＝log3x，y＝的图象知，0＜a＜1，b＜0.
答案：D
3．解析：函数y＝log2x在(0，2]上递增，故x＝2时，y的值最大，最大值是1.
答案：B
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)由于函数y＝x为减函数，因此由ba>c，又由于函数y＝2x为增函数，所以2b>2a>2c.
(2)因为0＝log31＜a＝log32＜log33＝1，
b＝log2＜log21＝0，c＝2log32＝log34＞1，
所以a，b，c的大小关系为b＜a＜c.
(3)∵a＝log20.220＝1，0＝log0.21c>a.
【答案】　(1)B　(2)B　(3)A
跟踪训练1　　解析：(1)a＝log2π＞1，b＝π＜0，c＝π－2∈(0，1)，所以a＞c＞b.
(2)因为a＝＝log32，
b＝＝log3，c＝log3，
又y＝log3x是单调增函数，所以log3即c答案：(1)C　(2)B
例2　【解析】　(1)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
∴由log0.72x＜log0.7(x－1)得解得x＞1，
即x的取值范围是(1，＋∞).
(2)loga(x－1)≥loga(3－x)，
当a＞1时，有解得2≤x＜3.
当0＜a＜1时，有解得1＜x≤2.
综上可得，
当a＞1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围为[2，3)；
当0＜a＜1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围是(1，2].
(3)由已知可得
解得x≥1，
故函数的定义域为x∈[1，＋∞).
【答案】　(1)(1，＋∞)　(2)(3)见解析
跟踪训练2　解析：(1)因为log3x＜1＝log33，
所以x满足的条件为
即0＜x＜3.所以x的取值集合为{x|0＜x＜3}．
(2)①函数y＝log1.5x在(0，＋∞)上是增函数．
因为log1.5(2a)＞log1.5(a－1)，所以解得a＞1，
即实数a的取值范围是a＞1.
②函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，因为log0.5(a＋1)＞log0.5(3－a)，
所以解得－1＜a＜1.即实数a的取值范围是－1＜a＜1.
(3)由题意可得 (5x－2)≥0且5x－2>0，
即 (5x－2)≥1且5x－2>0，
整理可得0<5x－2≤1，
解得：所以函数y＝的定义域为(，].
答案：(1){x|0＜x＜3}　(2)见解析　(3)C
例3　【解析】　(1)y＝log2(x2＋4)的定义域是R.
因为x2＋4≥4，
所以log2(x2＋4)≥log24＝2.
所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞).
(2)由3＋2x－x2>0得定义域为(－1，3).
设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.
因为u>0，所以0又y＝u在(0，＋∞)上为减函数，
所以u≥4＝－2，
所以y＝ (3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞).
(3)令lgx＝t，因为1≤x≤1000，所以0≤t≤3.
所以y＝t2－4t＋3＝(t－2)2－1，0≤t≤3，
当t＝2时，y取得最小值－1，当t＝0时，y取得最大值3，
所以值域为[－1，3].
跟踪训练3　解析：(1)由4x－x2>0，得0令t＝4x－x2，则y＝t，
因为t＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，0所以0因为函数y＝t在(0，4]上单调递减，
所以y＝t≥4＝－2，
所以函数的值域为[－2，＋∞).
(2)设t＝x2＋8，则t≥8，又函数y＝log2t在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)≥log28＝3.函数的值域为[3，＋∞).
(3)因为f(x)＝(log2x－1)2－4(x>0)，所以当log2x＝1，
即x＝2时，f(x)取最小值－4；
f(x)没有最大值；
故函数的值域为[－4，＋∞).
例4　【解析】　因为f(－x)＝ln (2－x)－ln (2＋x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数；
因为y＝ln (2＋x)与y＝－ln (2－x)在(0，2)内都是增函数，
所以f(x)在(0，2)上是增函数．
【答案】　A
跟踪训练4　解析：(1)因为当x≤0时，f(x)＝ (－x＋1)，
所以f(0)＝0.
又函数f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(1)＝f(－1)＝ [－(－1)＋1]＝2＝－1，即f(1)＝－1.
(2)令x>0，则－x<0，
所以f(－x)＝ (x＋1)＝f(x)，
所以x>0时，f(x)＝ (x＋1).
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝
14．2.3　对数函数的性质与图象
【课程标准】
(1)通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．
(2)知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1).
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教材要点
知识点一　对数函数的概念
函数____________叫做对数函数，其中________是自变量，函数的定义域是________．
状元随笔　形如y＝2log2x，y＝log2都不是对数函数，可称其为对数型函数．
知识点二　对数函数的图象与性质
a＞1 0＜a＜1
图像
性质 定义域________
值域________
过点________，即当x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是________ 在(0，＋∞)上是________
状元随笔　底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
第1课时　对数函数的概念
基础自测
1．下列函数中是对数函数的是(　　)
A．y＝x B．y＝(x＋1)
C．y＝2x D．y＝x＋1
2．已知对数函数的图象过点M(9，2)，则此对数函数的解析式为(　　)
A．y＝log2x　 B．y＝log3x
C．y＝x　 D．y＝x
3．函数f(x)＝ln (1－x)的定义域是(　　)
A．(0，1)　　 B．[0，1)
C．(1，＋∞)　　 D．(－∞，1)
4．在同一个坐标系下，函数y＝2x与函数y＝x的图象都正确的是(　　)
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题型1　对数函数的概念[经典例题]
例1　下列函数中，哪些是对数函数？
用对数函数的概念例如y＝logax(a＞0且a≠1)来判断．
(1)y＝loga(a＞0，且a≠1)；
(2)y＝log2x＋2；
(3)y＝8log2(x＋1)；
(4)y＝logx6(x＞0，且x≠1)；
(5)y＝log6x.
方法归纳
判断一个函数是对数函数的方法
跟踪训练1　(1)若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________；
(2)若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________．
题型2　求函数的定义域[经典例题]
例2　求下列函数的定义域：
(1)y＝log3x2; 　　　　　　　　　真数大于0.
(2)y＝loga(4－x)(a＞0，且a≠1).
方法归纳
求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式(数)非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．
跟踪训练2　求下列函数的定义域：
真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．
(1)y＝lg (x＋1)＋；
(2)y＝log(x－2)(5－x).
题型3　对数函数的图象问题
例3　(1)函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是下图中的(　　)
(2)已知函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________．
(3)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________.
状元随笔　(1)由函数y＝x＋a的图象判断出a的范围．
(2)依据loga1＝0，a0＝1，求定点坐标．
(3)沿直线y＝1自左向右看，对数函数的底数由小变大．
方法归纳
解决对数函数图象的问题时要注意
(1)明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．
(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a＞1，还是0＜a＜1.
(3)牢记特殊点．对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象经过点：(1，0)，(a，1)和.
跟踪训练3　(1)如图所示，曲线是对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象，已知a取，，，，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为(　　)
　增函数底数a＞1，
减函数底数0＜a＜1.
A.，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
(2)函数y＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为　 (　　)
先去绝对值，再利用单调性判断．
(3)函数f(x)＝loga(2x－3)(a＞0，a≠1)的图象过定点(　　)
A．(0，) B．(，0)
C．(0，2) D．(2，0)
4．2　对数与对数函数
4．2.3　对数函数的性质与图象
新知初探·自主学习
知识点一
y＝logax(a＞0，且a≠1)　x　(0，＋∞)
知识点二
(0，＋∞)　R　(1，0)　增函数　减函数
第1课时　对数函数的概念
[基础自测]
1．解析：形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的函数才是对数函数，只有A是对数函数．
答案：A
2．解析：设函数为y＝logax，则2＝loga9，∴a2＝9.
∵a>0，∴a＝3.
∴对数函数的解析式为y＝log3x.
答案：B
3．解析：要使f(x)有意义，则1－x>0，∴x<1，∴f(x)的定义域为(－∞，1)．
答案：D
4．解析：指数函数y＝2x是增函数，对数函数y＝x是减函数，故选A.
答案：A
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)中真数不是自变量x，不是对数函数．(2)中对数式后加2，所以不是对数函数．(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数．
跟踪训练1　解析：(1)由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.
又底数a＋1＞0，且a＋1≠1，所以a＝1.
(2)由题意设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，
则f(4)＝loga4＝－2，
所以a－2＝4，故a＝，
即f(x)＝x，
所以f(8)＝8＝－3.
答案：(1)1　(2)－3
例2　【解析】　(1)因为x2＞0，即x≠0，所以函数y＝log3x2的定义域是{x|x≠0}．
(2)因为4－x＞0，即x＜4，所以函数y＝loga(4－x)的定义域是{x|x＜4}．
跟踪训练2　解析：(1)要使函数有意义，
需即
∴－1＜x＜1，∴函数的定义域为(－1，1)．
(2)要使函数有意义，需∴
∴定义域为(2，3)
例3　【解析】　(1)A中，由y＝x＋a的图象知a＞1，而y＝logax为减函数，A错；B中，0＜a＜1，而y＝logax为增函数，B错；C中，0＜a＜1，且y＝logax为减函数，所以C对；D中，a＜0，而y＝logax无意义，也不对．
(2)依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－，故f(x)＝3x－，f(log32)＝－＝2－＝.
(3)由题干图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1，0＜d＜1.
过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c.
【答案】　(1)C　(2)　(3)b＞a＞1＞d＞c
跟踪训练3　解析：(1)方法一　作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C1，C2，C3，C4对应的a值分别为，故选A.
方法二　由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C1，C2，C3，C4，即.故选A.
(2)函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1，故选A.
(3)对于函数f(x)＝loga(2x－3)(a>0，a≠1)，令2x－3＝1，求得x＝2，可得它的图象经过定点(2，0)．
答案：(1)A　(2)A　(3)D
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