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4．3　指数函数与对数函数的关系
【课程标准】
(1)了解反函数的定义．
(2)了解指数函数与对数函数互为反函数．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
知识点一　反函数的定义
(1)定义：如果在函数y＝f(x)中，给定值域中________________，只有________与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数．
(2)记法：y＝f－1(x).
状元随笔　1.函数f(x)＝x2有反函数吗？为什么？
提示：没有．若令y＝f(x)＝1，则x＝±1，即x值不唯一，不符合反函数的定义．
2．什么样的函数一定有反函数？
提示：单调函数．
知识点二　反函数的求法
对调y＝f(x)中的x与y，然后从x＝f(y)中求出y得到．
知识点三　函数与其反函数的性质的关系
(1)图象：关于直线y＝x对称；
(2)定义域、值域：原函数的________与其反函数的________相同；原函数的________与其反函数的________相同．
(3)单调性：原函数与其反函数的单调性________．
知识点四　指数函数与对数函数的性质
函数 指数函数y＝ax 对数函数y＝logax
定义域 ________ ________
值域 ________ ________
单调性 01时，为________
状元随笔　指数函数y＝ax与对数函数y＝logax，一个函数的定义域是另一个函数的值域，而且它们的单调性相同．
基础自测
1．函数f(x)＝log4x与g(x)＝4x的图象(　　)
A．关于x轴对称　 B．关于y轴对称
C．关于原点对称　　 D．关于直线y＝x对称
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)
A．　　　 B．log2x
C．x　　 D．2x－2
3．若函数f(x)＝2x的反函数为f－1(x)，则f－1(1)＝________．
4．若函数y＝f(x)的图象位于第一、二象限，则它的反函数y＝f－1(x)的图象位于(　　)
A．第一、二象限　 B．第三、四象限
C．第二、三象限　　 D．第一、四象限
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1　判断函数是否有反函数(逻辑推理)
例1　下列函数中，存在反函数的是(　　)
A．
x x>0 x＝0 x<0
f(x) 1 0 －1
B．
x x是有理数 x是无理数
g(x) 1 0
C．
x 1 2 3 4 5
h(x) －1 2 0 4 2
D．
x 1 2 3 4 5
l(x) －2 －1 0 3 4
方法归纳
判定函数存在反函数的方法
(1)逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值，如果都是唯一的，则函数的反函数存在．
(2)确定函数在定义域上的单调性，如果函数是单调函数，则函数的反函数存在．
(3)利用原函数的解析式，解出自变量x，如果x是唯一的，则函数的反函数存在．
跟踪训练1　判断下列函数是否存在反函数．
(1)y＝－2；
(2)y＝－2x2＋4x，x∈(1，＋∞).
题型2　求函数的反函数
例2　求下列函数的反函数．
1．判断函数是否单调．
2．求出x.
3．推导出f－1(x)的解析式．
(1)y＝()x
(2)y＝5x＋1.
方法归纳
求给定解析式的函数的反函数的步骤
(1)求出原函数的值域，这就是反函数的定义域；
(2)从y＝f(x)中解出x；
(3)x，y互换并注明反函数的定义域．
跟踪训练2　求下列函数的反函数．
1．函数在定义域内的值域．
2．求x.
3．解出f －1(x).
(1)y＝2x＋3；
(2)y＝x；
(3)y＝－1；
(4)y＝0.2x＋1(x≤1).
题型3　反函数性质的应用
例3　(1)已知函数y＝ax＋b的图象过点(1，4)，其反函数的图象过点(2，0)，求a，b的值．
　函数与反函数图象上相应点关于y＝x对称．
(2)若函数f(x)＝，则f－1(2)的值为(　　)
反函数的自变量值即原函数的函数值．
A．5　　　 B．－5
C． D.4
方法归纳
利用反函数的性质解题
互为反函数的图象关于直线y＝x对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数图象上任一成对的相应点也关于y＝x对称，所以若点 (a，b)在函数y＝f(x)的图象上，则点(b，a)必在其反函数y＝f－1(x)的图象上．
跟踪训练3　(1)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的图象过点(1，7)，其反函数f－1(x)的图象过点(4，0)，求f(x)的表达式．
两点关于y＝x对称．
(2)已知函数f(x)＝1＋2lgx，则f(1)＋f－1(1)＝(　　)
A．0　　　B．1
C．2　　　D．3
题型4　指数函数与对数函数图象间的关系
(1)由lg a＋lg b＝0得ab＝1.
(2)f(x)与y(x)互为反函数．
例4　已知lga＋lgb＝0，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是(　　)
方法归纳
利用反函数的性质识图
指数函数与对数函数互为反函数，二者的图象关于直线y＝x对称，在有关指数函数与对数函数的图象知识问题中利用这一性质，结合平移翻转等可以很方便地解决问题．
跟踪训练4　y＝log2x的反函数是y＝f－1(x)，则函数y＝f－1(1－x)的图象是下图中的(　　)
状元随笔　1.先求出f －1(x).
2．再求f －1(－x).
3．最后求出f －1(1－x).
4．3　指数函数与对数函数的关系
新知初探·自主学习
知识点一
1．(1)任意一个y的值　唯一的x
知识点三
(2)定义域　值域　值域　定义域　(3)相同
知识点四
R　(0，＋∞)　(0，＋∞)　R　减函数　增函数
[基础自测]
1．解析：∵g(x)＝22x＝4x，∴函数f(x)＝log4x与g(x)＝22x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
答案：D
2．解析：由于函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，则f(x)＝logax，
则f(2)＝loga2＝1，解得a＝2，因此，f(x)＝log2x.
答案：B
3．解析：令2x＝1，则x＝0，所以f－1(1)＝0.
答案：0
4．解析：结合函数与反函数关于y＝x对称得出，即可得出反函数位于第一、四象限．
答案：D
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　对A，因为f(x)＝1时，x为任意的正实数，即对应的x不唯一，因此f(x)的反函数不存在；
对B，因为g(x)＝1时，x为任意的有理数，即对应的x不唯一，因此g(x)的反函数不存在；
对C，因为h(x)＝2时，x＝2或x＝5，即对应的x不唯一，因此h(x)的反函数不存在；
对D，因为l(x)的值域为{－2，－1，0，3，4}中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此l(x)的反函数存在．
【答案】　D
跟踪训练1　解析：(1)y＝－2是由函数y＝向左平移1个单位，向下平移2个单位得到，在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x值与之对应，所以函数存在反函数．
(2)y＝－2x2＋4x＝－2(x－1)2＋2，对称轴为x＝1，在(1，＋∞)上是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x值与之对应，所以函数存在反函数．
例2　【解析】　(1)由y＝()x得y＞0，对调其中的x和y，得x＝()y，解得y＝x，所以f－1(x)＝x(x＞0)．
(2)对调x与y得x＝5y＋1(x∈R)，化简得y＝，
所以f－1(x)＝(x∈R)．
跟踪训练2　解析：(1)由y＝2x＋3得x＝y－，
所以函数y＝2x＋3的反函数是y＝x－.
(2)y＝x的底数是，它的反函数是指数函数y＝.
(3)y＝－1的值域是(－1，＋∞)，所以它的反函数为函数y＝ (x＋1)(x>－1)．
(4)因为y＝0.2x＋1，所以y－1＝0.2x，x＝log0.2(y－1)，即y＝log0.2(x－1)，
因为函数y＝0.2x＋1(x≤1)的值域是{y|y≥1.2}，所以y＝log0.2(x－1)的定义域为{x|x≥1.2}，即函数y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数是y＝log0.2(x－1)(x≥1.2)．
例3　【解析】　(1)方法一　∵y＝ax＋b的图象过点(1，4)，
∴a＋b＝4，①
由y＝ax＋b得ax＝y－b，
∴x＝loga(y－b)，交换x，y得y＝loga(x－b)，
将点(2，0)代入y＝loga(x－b)得loga(2－b)＝0，
∴2－b＝1.②
由①②解得
方法二　∵y＝ax＋b的图象过点(1，4)，∴a＋b＝4.①
又∵y＝ax＋b的反函数图象过点(2，0)，
∴点(0，2)在原函数y＝ax＋b的图象上，
∴a0＋b＝2.②
联立①②得
(2)令＝2，所以x＝－5，
所以f－1(2)＝－5.
【答案】　(1)见解析　(2)B
跟踪训练3　解析：(1)∵y＝f－1(x)的图象过点(4，0)，∴y＝f(x)的图象过点(0，4)，
∴1＋b＝4，∴b＝3，又∵f(x)＝ax＋b的图象过点(1，7)，
∴a＋b＝7，∴a＝4.∴f(x)＝4x＋3.
(2)根据题意：f(1)＝1＋2lg1＝1，
若f(x)＝1＋2lgx＝1，解得x＝1，
则f－1(1)＝1，故f(1)＋f－1(1)＝1＋1＝2.
答案：(1)见解析　(2)C
例4　【解析】　∵lga＋lgb＝0，∴ab＝1，则b＝，从而g(x)＝－logbx＝logax，故g(x)与f(x)＝ax互为反函数，图象关于直线y＝x对称．结合选项可知选B.
【答案】　B
跟踪训练4　解析：∵y＝log2x的反函数为y＝f－1(x)＝2x，则y＝f－1(1－x)＝21－x＝2·2－x＝2·，故排除A，B.又此函数图象过(0，2)，故正确答案为C.
答案：C
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