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半保值函数
例1.定义区间的长度为 ，函数的定义域与值域都是，则区间取最大长度时实数的值为（ ）
A． B．-3 C．1 D．3
练1.已知函数，若存在实数，使的定义域为 时，值域为，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C．且 D．
例2.给出下列定义：①对于函数，若存在使成立，则称是该函数的不动点；②若函数的定义域区间与值域区间完全相同，则称该区间为函数的保值区间.设函数，则该函数有（ ）
一个不动点和一个保值区间
两个不动点和一个保值区间
两个不动点和两个保值区间
两个不动点和三个保值区间
练1.函数，存在，，使得在定义域上的值域为，则这样的实数对共有（ ）
2 B. 3 C. 4 D. 5
课后练习
1．对于定义域为的函数，如果存在区间满足是上的单调函数，且在区间上的值域也为，则称函数为区间上的“保值函数”，为“保值区间”．根据此定义给出下列命题：①函数是上的“保值函数”；②若函数是上的“保值函数”，则；③对于函数存在区间，且，使函数为上的“保值函数”．其中所有真命题的序号为（ ）
A．② B．③ C．①③ D．②③
2．当函数的自变量取值区间与值域区间相同时，我们称这样的区间为该函数的保值区间，函数的保值区间有、、三种形式，以下四个二次函数图像的对称轴是直线，从图像可知，有二个保值区间的函数是
A． B．C． D．
3．（多选）函数的定义域为，若存在区间使在区间上的值域也是，则称区间为函数的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数定义域为，若满足① 在内是单调函数；存在使在上的值域为，那么就称为“半保值函数”，若函数且 是“半保值函数”，则的取值范围为________
5.对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数；②函数的值域是，则称区间为函数的“保值”区间.（1）写出函数的一个“保值”区间为_____________；（2）若函数存在“保值”区间，则实数的取值范围为_____________.
6.设函数的图象在处取得极值4.
（1）求函数的单调区间；
（2）对于函数，若存在两个不等正数，，当时，函数的值域是，则把区间叫函数的“正保值区间”.问函数是否存在“正保值区间”，若存在，求出所有的“正保值区间”；若不存在，请说明理由.
7．已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若曲线有，两个零点.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：存在一组，（），使得的定义域和值域均为.
8．已知a、b是常数且，且，且使方程有等根.
（1）求的解析式；
（2）是否存在实数m、，使得的定义域和值域分别为和
9．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是.则称是该函数的“和谐区间”.
（1）求证：函数不存在“和谐区间”.
（2）已知：函数有“和谐区间，当变化时，求出的最大值.半保值函数
例1.定义区间的长度为 ，函数的定义域与值域都是，则区间取最大长度时实数的值为（ ）
A． B．-3 C．1 D．3
【答案】D
试题分析：设是已知函数定义域的子集，，或，故函数在上单调递增，则，故是方程的同号的相异实数根，即的同号的相异实数根. 因为，所以同号，只需，所以或，，取得最大值为，此时，故应选.
练1.已知函数，若存在实数，使的定义域为 时，值域为，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C．且 D．
【答案】B
【解析】
试题分析：函数在定义域下是增函数，定义域为 时，值域为
为方程的两个根，即有两个不相等的正实数根，故选B
考点：1．函数单调性与值域；2．二次方程根的分布
例2.给出下列定义：①对于函数，若存在使成立，则称是该函数的不动点；②若函数的定义域区间与值域区间完全相同，则称该区间为函数的保值区间.设函数，则该函数有（ ）
一个不动点和一个保值区间
两个不动点和一个保值区间
两个不动点和两个保值区间
两个不动点和三个保值区间
【答案】D
【解析】略
练1.函数，存在，，使得在定义域上的值域为，则这样的实数对共有（ ）
2 B. 3 C. 4 D. 5
C
【答案】C
【解析】略
课后练习
1．对于定义域为的函数，如果存在区间满足是上的单调函数，且在区间上的值域也为，则称函数为区间上的“保值函数”，为“保值区间”．根据此定义给出下列命题：①函数是上的“保值函数”；②若函数是上的“保值函数”，则；③对于函数存在区间，且，使函数为上的“保值函数”．其中所有真命题的序号为（ ）
A．② B．③ C．①③ D．②③
【答案】D
【详解】由“保值函数”定义可知为区间上的“保值函数”则在上是单调函数且在区间时其值域也为，那么当函数为增函数时满足条件在上有两个不同的实数解，的函数就是“保值函数”，
命题①中，虽满足在上单调但值域为，不是，故①为假命题；
②中由的图象可知，函数在上单调且值域为，其为区间上的“保值函数”故②为真命题；
③中，则由在成立，所以为上的增函数，再由解得有两个根，，构造函数，是减函数，，，由零点存在性定理知存在，使成立，故③为真命题．综上所有真命题的序号为②③，
故选：D．
2．当函数的自变量取值区间与值域区间相同时，我们称这样的区间为该函数的保值区间，函数的保值区间有、、三种形式，以下四个二次函数图像的对称轴是直线，从图像可知，有二个保值区间的函数是
A． B．C．D．
【答案】B
【分析】根据保值区间的定义：函数的定义域和值域是一样的，需要用在二次函数的图像上进行截取，结合图像即可求解．
【详解】函数的保值区间有、、三种形式，二次函数与的关系，首先得相交，
若与二次函数没有交点，则无法构成保值区间，故A错误；
二次函数与的两个交点的特点是横坐标与纵坐标相同，以此为分界点，同时两个交点必须在对称轴的一侧才能保证有两个保值区间，
C选项有一个保值区间为的形式；
D选项有一个保值区间为的形式；
B选项保值区间为、两种形式；
故选
【点睛】本题是一道新定义的题，注意首先要读懂题意，为什么用的函数来截取二次函数形成保值区间，此题是一道基础题．
3．（多选）函数的定义域为，若存在区间使在区间上的值域也是，则称区间为函数的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据题意，可知若在区间上的值域也是，则存在“和谐区间”，且，则或，再对各个选项进行运算求解，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.
【详解】解：由题得，若在区间上的值域也是，则存在“和谐区间”，
可知，，则或，
A：，若，解得：，
所以存在“和谐区间”；
B：，若存在和谐区间，
则，故在为增函数，
故，解得：，
所以存在“和谐区间”；
C：，若存在和谐区间，则，
若，则，故在上为增函数，
故，得，故无解；
若，则，故在上为增函数，
同上，无解.
所以不存在“和谐区间”；
D：，函数在 单调递减，
则 ， 不妨令，
所以存在“和谐区间”；
综上得：存在“和谐区间”的是ABD.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.
4.已知函数定义域为，若满足① 在内是单调函数；存在使在上的值域为，那么就称为“半保值函数”，若函数且 是“半保值函数”，则的取值范围为________
【答案】
【分析】根据半保值函数的定义,将问题转化为与的图象有两个不同的交点，即有两个不同的根,换元后转化为二次方程的实根的分布可解得.
【详解】因为函数且是“半保值函数”，且定义域为，
由时，在上单调递增，在 单调递增，
可得为上的增函数；
同样当时，仍为上的增函数，
在其定义域内为增函数，
因为函数且是“半保值函数”，
所以与的图象有两个不同的交点，
所以有两个不同的根，
即有两个不同的根,
即有两个不同的根,
可令，，
即有有两个不同的正数根，
可得，且，
解得.
5.对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数；②函数的值域是，则称区间为函数的“保值”区间.（1）写出函数的一个“保值”区间为_____________；（2）若函数存在“保值”区间，则实数的取值范围为_____________.
【答案】
【分析】（1）由条件可知在区间上是单调函数，根据的值域判断出，由此得到从而求解出的值；
（2）设存在的“保值”区间为，考虑两种情况：、，根据单调性得到关于等式，由此表示出并求解出的范围.
【详解】（1）因为，所以的值域为，
所以，所以在上单调递增，
所以，所以，解得，所以一个“保值”区间为；
（2）若，则在上单调递减，所以，所以，
所以，所以，，
所以，
又因为，所以，所以，
所以；
当时，则在上单调递增，所以，所以，
所以，所以，，
所以，
又因为，所以，所以，
因为，所以.
综上可知：.
故答案为；.
6.设函数的图象在处取得极值4.
（1）求函数的单调区间；
（2）对于函数，若存在两个不等正数，，当时，函数的值域是，则把区间叫函数的“正保值区间”.问函数是否存在“正保值区间”，若存在，求出所有的“正保值区间”；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）的递增区间是和，递减区间是；（2）不存在，理由见解析.
【详解】（1），
依题意则有：，即解得 ,
∴.令，
由解得或，
所以函数的递增区间是和，递减区间是；
（2）设函数的“正保值区间”是，因为，故极值点不在区间上；
①若极值点在区间，此时，在此区间上的最大值是4，不可能等于；故在区间上没有极值点；
②若在上单调递增，即或，
则，即，解得或不符合要求；
③若在上单调减，即，则，
两式相减并除得：， ①
两式相除可得，即，
整理并除以得：，②
由①、②可得，即s，t是方程的两根，
解得，，但不合要求.
综上可得不存在满足条件的s、t，即函数不存在“正保值区间”
【点睛】本题考查用导数研究函数的极值、研究函数的单调性，考查新定义问题，解决新定义问题的关键是转化思想的应用．
7．已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若曲线有，两个零点.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：存在一组，（），使得的定义域和值域均为.
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）求出导函数，求出的根，列表确定的正负，的单调性与极值；
（2）（i）转化为有两解，设，利用导数确定的单调性与极值，最大值大于0，确定有小于0的函数值（需引入新函数，再利用导数确定单调性得出），结合零点存在定理得结论；
（ii）先利用导数确定的单调性与最大值点，然后由按与区间的关系分类讨论确定函数在此区间内的值域，由值域是确定的取值范围，从而得证．
(1)
函数定义域是，
当时，，则，令，解得，
列表可知
1
+ 0 －
单调递增 1 单调递减
的极大值为，无极小值；
(2)
（i）解：由题意可知，有两解，即有两解，
设，则，令，解得（舍去），
列表可知，
+ 0 －
单调递增 极大值 单调递减
，
因为有两个零点，所以，解得，
当时，有，可得，
令，有，时，．时，，可得函数的减区间为，增区间为，
有，可得，
当时，.
所以存在，，使得，所以；
（ii）证明：因为，令，解得，
列表可知，
+ 0 －
单调递增 极大值 单调递减
在上单调递增，在上单调递减，
①若，则在上单调递增，因此，，由上可知取，，此时，，所以当时，存在一组，符合题意；
②若，则在上单调递减，所以，，
所以，即，不符题意；
③若， 在上单调递增，在上单调递减，
所以，由得，
又因为，所以，
即，，所以当时，存在一组，符合题意；
综上，存在一组，符合题意.
【点睛】本题考查用导数求函数的极值，研究方程的根与函数零点分布，研究函数的值域．难点有两个：第一个是由零点个数确定参数范围时，零点的存在性一般与零点存在定理结合，因此需要在某个区间的两个端点处函数值符号相反才能得出，本题中需要引入新函数，由函数的性质得出，第二个是确定函数值域问题，需对参数进行分类，一定要注意分类标准的确定，需要有统一标准，本题是按区间与函数的最大值点的关系分类，然后求出对应参数的取值范围，它们正好相适应，从而得出结论．本题对学生的逻辑能力，运算求解能力，分析问题解决问题的能力要求较高，属于困难题．
8．已知a、b是常数且，且，且使方程有等根.
（1）求的解析式；
（2）是否存在实数m、，使得的定义域和值域分别为和
【答案】（1）f(x)；（2）存在，，.
【分析】（1）由及方程有等根确定a、b的值，求得的解析式；
（2）分析函数的性质，确定定义域与值域的对应关系，再列出关于m、n的方程与不等式的混合组，即可求出m、n作答.
【详解】（1）由，且，则有，
又方程，即有等根，得，从而，
所以f(x)；
（2）假定存在符合条件的m，n，
由(1)知f(x)，则有，即.
又的对称轴为直线，则在上是增函数，
于是得，即，解方程组得，，
所以存在，，使函数在上值域为.
9．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是.则称是该函数的“和谐区间”.
（1）求证：函数不存在“和谐区间”.
（2）已知：函数有“和谐区间，当变化时，求出的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）该问题是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立；
（2）设是已知函数的定义域的子集，可以用表示，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，即可得答案；
【详解】（1）设是已知函数定义域的子集.∵，或，
故函数在上单调递增.
若是已知函数的“和谐区间”，则
故、是方程的同号的相异实数根.∵无实数根，∴函数不存在“和谐区间”.
（2）设是已知函数定义域的子集.∵，或，故函数在上单调递增.
若是已知函数的“和谐区间”，则
故、是方程，即的同号的相异实数根.
∵，∴，同号，只须，即或时，
已知函数有“和谐区间”，∵，
∴当时，取最大值

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