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解三角形（2）
【公式】
正弦定理：
变形：
余弦定理：
变形：
三角关系：
在三角形中，
三角形面积公式：
辅助角公式：
基本不等式：
和（差）角公式：
二倍角公式：
平方关系： 商数关系：
【求面积】
1.在中，已知，其中为的面积，，，分别为角，，的对边.
（1）求角的值；
（2）若，求的值.
2.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A；
（2）若，，求的面积.
3.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角C的值；
（2）若，当边c取最小值时，求的面积．
4.在中，，，分别是角，，的对边，且．
（1）若，求；
（2）若，，求的面积．
5.已知中，角，，的对边分别为，，，且满足，，
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若边上中线，求的面积．
【求周长】
6.在中，三内角，，对应的边分别是，，，，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若的面积是，求的周长.
7.中，角，，的对边分别为，，，且满足 .
(1)求角的大小;
(2)若，的面积为，求的值.
【求最值或取值范围】
8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，．
（1）若，求c的值；
（2）求的最大值．
9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值．
10.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，求的面积的最大值．
11.已知△ABC的内角的对边分别为，且．
（1）求角；
（2）在中，为边上一点，且，，求面积的最大值．
12.在中，内角A，B，C所对的边长分别为.
(1)求角C；
(2)若，求面积的最大值.
13.在中，内角，，的对边分别是，，，且满足：.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的最大值.
14.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足________.
（1）求；
（2）若的面积为，的中点为，求的最小值.
15.记的内角的对边分别为．请在下列三个条件中任选一个作为已知条件，解答问题．
①；②（其中为的面积）；③．
（1）若，求的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围．
16.在①；②；③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
问题：已知的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，___________.
（1）求角A的大小；
（2）求面积的最大值.
17.在中，内角所对边分别为，若.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
18．在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知且.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
19.在锐角中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，求周长的范围.
20.已知，，分别是的内角，，所对的边，从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，并完成下列问题：
（1）求；
（2）若，求的周长的最大值．
条件①：；条件②：．
注：如果选择不同的条件分别解答，按照第一种选择的解答计分．
解三角形（2）答案
1解：（1）因为，所以，则，
因为在中，，所以，所以，所以.
（2）由（1）知，又因为，所以，
因为在中，，所以，
所以.
2.（1）由题意及余弦定理得，
所以，从而，因为，所以.
（2）由，得，
所以由正弦定理得
又因为，所以，，所以
又，所以，所以.
从而是等边三角形.
因为，所以.
3.（1）由条件和正弦定理可得，
整理得从而由余弦定理得．又∵C是三角形的内角，∴．
（2）由余弦定理得，
∵，∴，
∴（当且仅当时等号成立）．∴c的最小值为2，
故．
4.（1）因为，所以，，
所以，∵，∴，即，∴．
（2）∵，，由余弦定理，得，
∵，∴，∴，即，
∵，∴的面积．
5.（Ⅰ）由正弦定理及，得
又，
所以
由，得，代入上式整理得,即，所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由正弦定理得①
在中，,将①代入上式得，化简得
所以，
6.（Ⅰ）将，，，代入中，
得到，即.
因为，所以，于是，.
（Ⅱ）因为，所以，.
由余弦定理得，，
即，所以. 于是的周长是.
7（1）在中，，
由正弦定理，得，
所以，即，
因为为的内角，所以，所以，因为因为为的内角，所以.
（2），即，所以，
由余弦定理得，所以，所以得到.
8.（1）由角A、B、C的度数成等差数列，得2B＝A＋C．又，∴．
由正弦定理，得，即．
由余弦定理，得，即，解得．
（2）由正弦定理，得，
∴，．
∴
．
由，得． 所以当时，即时，．
9.（1）因为，
由正弦定理得．因为，所以sinA＞0，所以，
所以，因为，所以，即．
（2）依题意，即ac＝4．所以当且仅当时取等号．
又由余弦定理得
∴，当且仅当a＝c＝2时取等号．所以△ABC的周长最小值为．
10.（1），，
所以，所以，
，，，．
由余弦定理得.，
，当且仅当时取等，.
所以的面积的最大值为.
11(1)∵，∴，
∴，∴，即，
∵，∴，
(2)∵，∴为的中点，
∵， ， ∴，∴，
∵，∴，当且仅当时取等号，此时面积的最大值．
12.解：(1)由，可得，，因为，所以，.
(2)由，得，，，
所以，
当时，△面积的最大值为.
13.（I）由正弦定理得：， 因为，所以，
所以由余弦定理得：， 又在中，，所以.
（II）方法1：由（I）及，得，即，
因为，（当且仅当时等号成立），所以.
则（当且仅当时等号成立），故的最大值为2.
方法2：由正弦定理得，，
则，
因为，所以， 故的最大值为2（当时）.
14.（1）选①，由正弦定理可得，
又因为，可得，即，所以，
又因为，所以，所以，解得.
②，由正弦定理可得，
即，整理可得，
又因为，解得，因为，所以.
③，
由正弦定理可得，整理可得，
即，即，
所以或（舍），即，即，解得.
（2），解得，
由余弦定理可得，
所以 ，当且仅当时，即取等号，所以的最小值为.
15.选择①
由正弦定理得，所以，，则；
选择②，则，所以，又，则；
选择③，由正弦定理得
又因为，
所以，则所以，又，则；
故选择①②③均得到 ；
（1）若，由余弦定理得 ，
即，∴．
（2）由为锐角三角形及，得且,∴，
由正弦定理得，∴．
∵，∴，∴，∴，即所求的取值范围是．
16.（1）解：选①：因为，所以，即，
又因为，所以
选②：因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，即，因为，所以
选③：因为，
所以，即，
所以，
因为，所以，因为，所以
（2）解：选①：因为由（1）得，，所以，即，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以面积 所以面积的最大值为.
选②：因为由（1）得，
所以，即，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以 所以面积
所以面积的最大值为.
选③：因为由（1）得， 所以，即，
所以，即，当且仅当时等号成立， 所以
所以面积 所以面积的最大值为.
17.（1）∵，∴，∴，由正弦定理得，
又由余弦定理得，∴，由于，所以.
（2）∵是锐角三角形，得到.
由正弦定理可知，，
由三角形面积公式有：
又因故 故取值范围是
18.（1）∵，∴.
即， 得，
∵，∴，又，∴，∵，∴.
（2）由正弦定理可得，
，
其中，，，为锐角
∵为锐角三角形，则，从而，得，
，∴，即，
∴，从而的取值范围为.
19.（1）由正弦定理得：，
，，
，
，，，.
（2）由正弦定理：，则，，
，，周长为
，
又锐角，，结合
， ， ， ，
∴周长的范围是.
20解：（1）若选条件①：，由正弦定理得：，
则．即，，
又，．，
若选条件②：，
由正弦定理得： ，即，，
由余弦定理得：，故，，．
（2）由余弦定理得：，即，
，即，当且仅当取等号，
故的周长的最大值为12．

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