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专项培优3章末复习课
　
考点一　求函数的定义域
1．函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
2．通过对函数的定义域的求解，提升学生的数学运算素养．
例1　(1)[2022·湖南长郡中学高一期末]函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．[1，＋∞)　　　　　B．[－1，＋∞)
C．(－∞，1)
(2)函数y＝的定义域是(　　)
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(0，1)
D．(－∞，－1)
考点二　分段函数
1．分段函数在定义域的不同部分上有不同的表达式，主要考查与分段函数有关的求值、求参数、单调性、奇偶性等问题．
2．通过对分段函数的考查，提升学生的数学运算素养．
例2　(1)己知函数f(x)＝，则f(f(5))＝________．
(2)已知实数a≠0，函数f(x)＝，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
考点三　求函数的解析式
1．求函数解析式的题型与相应的解法
(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法．
(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法．
(3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f()，使用解方程组法．
(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法．
2．通过对函数解析式的求解，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例3　(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为________．
(2)已知f()＝，则f(x)的解析式为________．
考点四　函数的单调性与奇偶性
1．函数的单调性与奇偶性是函数最重要的性质，从命题形式看，求单调区间、单调性与奇偶性的判定，利用单调性求最值或参数的取值范围是命题的重点与热点．
2．通过对函数性质的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例4　已知函数f(x)＝是R上的偶函数．
(1)求实数m的值，判断函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性(不必证明)；
(2)求函数f(x)在[－3，2]上的最大值和最小值．
考点五　函数模型的应用
1．对函数模型应用的考查以二次函数与分段函数为主．
2．通过对函数模型在实际问题上的掌握，提升学生的数学建模、逻辑推理素养．
例5　党中央、国务院对节能减排高度重视，各地区、各部门认真贯彻党中央、国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，经济提质增效，建设生态文明的重要抓手，取得重要进展．新能源汽车环保、节能、以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向．为了响应国家节能减排的号召，2020年常州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元．每生产x(百辆)新能源汽车，需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝.由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
(1)请写出2020年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；(利润＝销售－成本)
(2)当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
专项培优3　章末复习课
考点聚集·分类突破
例1　解析：(1)由解析式有意义可得，故x＞1，故函数的定义域为(1，＋∞)
(2)由题意可得：，解得：x＞0且x≠1，所以原函数的定义域为(0，1)
答案：(1)D　(2)C
例2　解析：(1)因为函数f(x)＝，
所以f(5)＝f(3)＝f(1)＝12＝1，
所以f(f(5))＝f(1)＝12＝1.
(2)当a＞0时，1－a＜1，1＋a＞1，所以f(1－a)＝f(1＋a)，
2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－＜0，不满足，舍去；
当a＜0时，1－a＞1，1＋a＜1，所以－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－＜0，满足．
答案：(1)1　(2)－
例3　解析：(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝＋1.
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即－f(x)＝＋1，∴f(x)＝－－1.
∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，
∴f(x)＝
(2)令t＝＝＋1，则t≠1.把x＝代入f()＝，得f(t)＝＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.
所以所求函数的解析式为
f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)
答案：(1)f(x)＝
(2)f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)
例4　解析：(1)若函数f(x)＝是R上的偶函数，
则f(－x)＝f(x)．
即＝，
解得m＝0.
所以f(x)＝.
函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减．
(2)由(1)知函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
又函数f(x)是R上的偶函数，
所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，
所以函数f(x)在[－3，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减．
又f(－3)＝，f(0)＝1，f(2)＝，
所以f(x)min＝f(－3)＝，
f(x)max＝f(0)＝1.
例5　解析：(1)当0＜x＜40时，L(x)＝9×100x－10x2－500x－2500＝－10x2＋400x－2500；当x≥40时，L(x)＝9×100x－901x－＋4300－2500＝1800－(x＋)；所以L(x)＝
(2)当0＜x＜40时，L(x)＝－10(x－20)2＋1500，
当x＝20时，L(x)max＝1500；
当x≥40时，
L(x)＝1800－(x＋)≤1800－2＝1800－200＝1600.
(当且仅当x＝即x＝100时，“＝”成立)
因为1600＞1500
所以，当x＝100时，即2020年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1600万元．
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