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立体几何空间向量公式知识点归纳总结
1、空间向量的概念：
（1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．
（2）向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．
（3）向量的大小称为向量的模（或长度），记作．
（4）模（或长度）为的向量称为零向量；模为的向量称为单位向量．
（5）与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作．
（6）方向相同且模相等的向量称为相等向量．
2、空间向量的加法和减法：
（1）平行四边形法则．
（2）三角形法则．
3、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算．当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为．的长度是的长度的倍．
4、分配律：；结合律：．
5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．
6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使．
7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．
8、向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，，使；或对空间任一定点，有；或若四点，，，共面，则．
9、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，，则称为向量，的夹角，记作．两个向量夹角的取值范围是：．
10、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作．
11、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作．即．零向量与任何向量的数量积为．
12、等于的长度与在的方向上的投影的乘积．
13、若，为非零向量，为单位向量，则有
；
；
，，；
；
．
14、量数乘积的运算律：
； ； ．
15、空间向量基本定理：若三个向量，，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得．
16、三个向量，，不共面，则所有空间向量组成的集合是．这个集合可看作是由向量，，生成的，称为空间的一个基底，，，称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
17、设，，为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以，，的公共起点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．则对于空间任意一个向量，存在有序实数组，使得．把，，称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作．此时，向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标．
18、设，，则
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）若、为非零向量，则．
（6）若，则．
（7）．
（8）．
（9），，则．
19、空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定．点是直线上一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上的任意一点，有．
20、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为，．为平面上任意一点，存在有序实数对，使得，这样点与向量，就确定了平面的位置．
21、直线垂直平面，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量．
22、若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，，
则，．
23、若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，
则，．
24、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，，则，．
25、设异面直线，的夹角为，方向向量为，，其夹角为，则有．
26、设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有．
27、设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角的平面角为，则．
28、在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为．
29、点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为．
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