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第3节　简谐振动的回复力和能量
【新课预习】
一、简谐运动的回复力
1．如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，并建立如图所示的直线坐标系，当小球位于B、C两点时，B、C两点距离平衡位置距离分别为xOB、xOC。所受合力的大小和方向如何？(弹簧劲度系数为k)
2．定义：把方向总是指向 ，要把物体拉回到 的力。
3．命名：回复力是根据力的 (填“效果”或“性质”)命名的。
4．效果：把物体拉回到 。
5．方向：总是与位移x的方向相反，即总是指向 。
6．表达式：F＝ ，该式表明做简谐运动的物体的回复力与位移的关系，“－”表明回复力与位移的方向始终 。
7．简谐运动的动力学定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成 ，并且总是指向 ，质点的运动就是简谐运动。
二、简谐运动的能量
1．简谐运动的能量：指振动系统的机械能，即振子的 和弹簧 的总和。振动过程就是 和 相互转化的过程。
(1)在最大位移处， 最大， 最小为零。(2)在平衡位置处， 最大， 最小。
2．决定能量大小的因素
(1)振动系统的机械能跟振幅有关，振幅越大，机械能越大，振动越强。
(2)在简谐运动中，振动系统的机械能 ，所以简谐运动是等幅振动，是一种理想化模型。
【课堂练习】
判断：(1)回复力的方向总是与位移的方向相反。( )
(2)回复力的方向总是与速度方向相反。( )
(3)回复力的方向总是与加速度的方向相反。( )
(4)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此加速度一定为零。( )
(5)回复力可以是一个力的分力，也可以是几个力的合力。( )
(6)水平弹簧振子做简谐运动时机械能守恒。( )
(7)做简谐运动的物体在平衡位置处动能最大，在最大位移处动能最小。( )
(8)做简谐运动的物体能量变化的周期等于简谐运动的周期。( )
例1．如图所示，弹簧劲度系数为k，在弹簧下端挂一个重物，质量为m，重物静止。在竖直方向将重物下拉一段距离(没超过弹簧弹性限度)，然后无初速度释放，重物在竖直方向上下振动。(不计空气阻力)
(1)试分析重物上下振动回复力的来源；
(2)试证明该重物做简谐运动。
变形练习：把图中倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开。假设空气阻力可忽略不计，试证明小球的运动是简谐运动。
例2．图为某物体做简谐运动的图像，在0~1.5s范围内回答下列问题。
(1)哪些时刻物体的回复力与0.4s时的回复力相同
(2)哪些时刻物体的速度与0.4s时的速度相同
(3)哪些时刻的动能与0.4s时的动能相同
(4)哪段时间的加速度在减小
(5)哪段时间的势能在增大
【课后巩固】
1．(多选)关于回复力，下列说法中正确的是(　　)
A．回复力是指物体离开平衡位置时受到的指向平衡位置的力
B．回复力是按力的作用效果命名的，它可能由弹力提供，也可能由摩擦力提供
C．回复力可能是某几个力的合力，也可能是某一个力的分力
D．振动物体在平衡位置时，其所受合力为零
2．如图所示为一水平弹簧振子的振动图像，由此可知(　　)
A．在t1时刻，振子的动能最大，所受的弹力最大
B．在t2时刻，振子的动能最大，所受的弹力最小
C．在t3时刻，振子的动能最大，所受的弹力最小
D．在t4时刻，振子的动能最大，所受的弹力最大
3．把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它以平衡位置O为对称中心在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是(　　)
A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D．小球从B到O的过程中，弹簧振子的能量不断增加
4．关于简谐运动的回复力F＝－kx的含义，下列说法正确的是(　　)
A．k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度
B．k是回复力跟位移的比值，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移
C．根据k＝－可以认为k与F成正比
D．表达式中的“－”号表示F始终阻碍物体的运动
5．(多选)如图所示为某一质点的振动图像，|x1|＞|x2|，由图可知，在t1和t2两个时刻，质点振动的速度v1、v2与加速度a1、a2的关系为(　　)
A．v1C．a1>a2，方向相同 D．a1＞a2，方向相反
6．如图甲所示，弹簧振子在M、N两点之间做简谐运动。O点为平衡位置，以平衡位置O为原点，建立x轴，向右为x轴的正方向。振子的位移x随时间t的变化图像如图乙所示。下列判断正确的是(　　)
A．振子位于M点时开始计时
B．0.4 s和1.2 s时振子的加速度相同
C．1.2 s到1.6 s的振动过程中振子的振幅减小
D．0.8 s时振子运动到O点，动能最大
7．一弹簧振子在水平面内做简谐运动的x－t图像如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．t1时刻和t2时刻具有相同的动能和动量
B．t2到1.0 s时间内加速度变小，速度减小
C．弹簧振子的振动方程是x＝0.10sin πt(m)
D．t2＝3t1
8．如图所示，A、B两物体组成弹簧振子，在振动过程中，A、B始终保持相对静止。图中能正确反映振动过程中A所受摩擦力Ff与振子相对平衡位置的位移x关系的图像应为(　　)
9．如图所示，弹簧上面固定一质量为m的小球，小球在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，当小球振动到最高点时弹簧正好为原长，则小球在振动过程中(　　)
A．小球最大动能应等于mgA
B．弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变
C．弹簧最大弹性势能等于2mgA
D．小球在最低点时的弹力大于2mg
10．如图所示，一个轻弹簧与一个质量为m＝0.5 kg的小球所构成的弹簧振子穿在光滑金属杆上，已知该弹簧的劲度系数k＝200 N/m，O点是弹簧振子静止时的位置，今将振子向右拉10 cm到A点，此时外力对弹簧振子做功为1 J，然后由静止释放，则它在A、B之间运动，不计其他阻力，求：
(1)振子在哪点的速度最大？最大速度为多少？
(2)振子在A点相对O点的位移；
(3)振子在B点的加速度。
11．若想判定以下振动是不是简谐运动，请你陈述求证的思路(最好进行定量证明)，空
气阻力可忽略。
(1)粗细均匀的一根木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提起一段距离后放手，木筷就在水中上下振动。
第3节　简谐振动的回复力和能量 答案
【新课预习】
一、1．B点：FB＝kxOB沿＋x方向指向O点；C点：FC＝kxOC，沿－x方向指向O点。2．平衡位置
平衡位置 3．效果 4．平衡位置 5．平衡位置 6． F＝－kx 相反 7．正比 平衡位置
二、1．动能 弹性势能 动能和弹性势能 (1)势能 动能 (2)动能 势能 2． (2)守恒
【课堂练习】
判断 (1) (√) (2) (×) (3) (×) (4) (√) (5) (√) (6) (√) (7) (√) (8) (×)
例1．解析：(1)重物在竖直方向上下振动过程中，在竖直方向上受到了重力和弹簧弹力的作用，振动的回复力是重力与弹簧弹力的合力。
(2)规定竖直向下为正方向，设此时弹簧的伸长量为x0，根据胡克定律和力的平衡有kx0＝mg。设重物振动过程中某一位置偏离平衡位置的位移大小为x，如图所示，此时弹簧的形变量为x＋x0，弹簧的弹力大小F弹＝k(x＋x0)，方向向上。重物所受合力大小，方向向上。合力提供回复力，，方向向上，与位移方向相反，可表示为，即可判断重物做简谐运动。
变式训练．规定沿斜面向下为正方向，小球静止时受到重力、斜面的支持力和弹簧拉力的作用。平衡时弹簧伸长了x0，则。弹簧拉长后，设离开平衡位置的位移大小为x，则弹簧的拉力大小，方向沿斜面向上。小球沿斜面方向受的合力大小，合力提供回复力，，方向向上，与位移方向相反，可表示为，即可判断小球的运动是简谐运动
例2．答案(1)0.6s、1.2s、1.4s; (2)0.2s、1.0s、1.2s; (3)0、0.2s、0.6s、0.8s、1.0s、1.2s、1.4s;
(4)0.1~0.3s、0.5~0.7s、0.9~1.1s、1.3~1.5s; (5)0~0.1s、0.3~0.5s、0.7~0.9s、1.1~1.3s
【课后巩固】
1．答案ABC 2．答案B。
3．答案A。 解析：小球在平衡位置O时，弹簧处于原长，弹性势能为零，动能最大，位移为零，加速度为零，选项A正确；在最大位移A、B处，动能为零，加速度最大，选项B错误；由A→O，回复力做正功，由O→B，回复力做负功，选项C错误；由B→O，动能增加，弹性势能减小，总能量不变，选项D错误。
4．答案B。 解析：对弹簧振子来说，k为劲度系数，x为质点离开平衡位置的位移，对于其他简谐运动k不是劲度系数，而是一个比例系数，故A错误，B正确；该系数由系统本身结构决定，与力F和位移x无关，C错误；“－”只表示回复力与位移反向，回复力有时是动力有时是阻力，D错误。
5．答案AD。 解析：由题图知，t1、t2两时刻，质点都在沿x轴负方向运动，越衡位置，速度越大，故选项A正确；由F＝ma＝－kx可知，选项D正确。
6．答案D。 解析：振子位于O点时开始计时，A项错误；0.4 s和1.2 s 时振子的加速度大小相等，但方向相反，B项错误；振子振动过程中振幅不变，C项错误；振子在O点时速度最大，动能最大。
7．答案选C。解析：由x－t图像知，t1时刻和t2时刻振子的速度大小相等、方向相反，弹簧振子具有相同的动能，动量大小相等、方向相反，A错误；由题图知t2到1.0 s时间内位移变小，则加速度变小，速度增大，B错误；由题图知弹簧振子振动周期T＝2.0 s，则ω＝＝π rad/s，故振动方程为x＝A sin ωt＝0.10sin πt(m)，C正确；由三角函数知识可知，t2＝5t1，D错误。
8．答案C 。解析：A、B整体在水平方向只受到弹簧的弹力作用，因此，应做简谐运动，故A也应做简谐运动，即A的回复力也应满足F＝－kx的结论，即选C。当然本题也可从整体法与隔离法的思想求出A受到的静摩擦力的表达式。在振动过程中A、B始终保持相对静止，可以把A、B看成整体。设A、B的质量为mA、mB，弹簧的劲度系数为k，则有(mA＋mB)a＝－kx。得a＝－。受到的摩擦力Ff＝mAa＝－kx。
9．答案C。 解析：小球平衡位置kx0＝mg，x0＝A＝，当到达平衡位置时，有mgA＝mv2＋Ep，选项A错误；机械能守恒，因此动能、重力势能和弹性势能之和保持不变，选项B错误；从最高点到最低点，重力势能全部转化为弹性势能，Ep＝2mgA，选项C正确；最低点加速度大小等于最高点加速度大小g，据牛顿第二定律F－mg＝mg，F＝2mg，选项D错误。
10．解析：(1)由于弹簧振子在运动过程中满足机械能守恒，故在平衡位置O点的速度最大，由题意知：外力做的功转化为系统的弹性势能，该势能又全部转化成振子的动能，即W＝mv2，解得：v＝＝ m/s＝2 m/s。(2)振子在A点的位移大小为x＝10 cm，方向由O指向A。(3)由于振动的振幅为10 cm，故在B点的位移大小是10 cm，即弹簧压缩10 cm，此时回复力的大小F＝kx＝200×0．1 N＝20 N，即振子所受到的合外力大小为20 N，由牛顿第二定律得：a＝＝ m/s2＝40 m/s2，方向
由B指向O。
11．解析：如果不考虑水的黏滞阻力，木筷受到重力和浮力，重力恒定不变，浮力与排开水的体积成正比，把木筷静止时的位置看作平衡位置。以平衡位置为坐标原点，如果木筷所受的合力其偏离平衡位置的位移大小成正比，且方向相反，则可以判定木筷做简谐运动。证明如下:规定向上为正方向，设的密度为，横截面积为S，静止时浸入水中的深度为h0，则。木筷向上离开平衡位的位移大小为x，木筷所受的浮力大小。则木筷受到的合力大小。合力提供回复力，，方向指向下，与位移方向相反，因此，木块的运动是简谐运动。

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