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专题27极坐标与参数方程的解题策略
[高考定位] 高考对本讲内容主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识
考点一　极坐标方程及其应用
[核心提炼]
1．直角坐标与极坐标的互化
设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则
2．圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程：
(1)当圆心位于极点，半径为r时：ρ＝r.
(2)当圆心为M(a，0)，半径为a时：ρ＝2acos θ.
(3)当圆心为M，半径为a时：ρ＝2asin θ.
3．直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则此直线的极坐标方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程：
(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.
(2)直线过点M(a，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a.
(3)直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b.
[规律方法]
(1)求曲线的极坐标方程的一般思路
曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键．
(2)解决极坐标问题的一般思路
一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．
参数方程与普通方程的互化及参数方程的应用
(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．
(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．
解决极坐标、参数方程的综合问题应关注3点
(1)在对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，可以先化成普通方程或直角坐标方程，这样思路可能更加清晰．
(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．
(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．
【题型规律】
一．利用椭圆的参数方程求最值
在平面直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的普通方程；
（2）若P，Q分别为曲线，上的动点，求的最大值.
练习1. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，(为参数)，曲线的参数方程为，(为参数，且)．
（1）求与的普通方程，
（2）若分别为与上的动点，求的最小值．
二．直角坐标与极坐标的互化
例2.在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin（θ+）.
（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△MON的面积.
练习1. 在极坐标系下，已知圆：和直线：.
（1）求圆的直角坐标方程
（2）求圆上的点到直线的最短距离．
练习2. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.
三．直线参数方程的几何意义应用
例3. 已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于，两点.
（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）已知，求的值.
练习1. 已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2ρ2－ρ2cos 2θ＝12.若曲线C的左焦点F在直线l上，且直线l与曲线C交于A，B两点.
(1)求m的值并写出曲线C的直角坐标方程；
(2)求的值.
四．参数方程的灵活应用
例4. 已知平面直角坐标系.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程为
（1）写出点的直角坐标及曲线的普通方程；
（2）若为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值.
练习1. 在平面直角坐标点xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsinθ＝6.
（1）A为曲线C1上的动点，点M在线段OA上，且满足|OM| |OA|＝36，求点M的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）点E的极坐标为（4，），点F在曲线C2上，求△OEF面积的最大值
练习2. 如图，在极坐标系中，曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，曲线C2是以为圆心的圆，曲线C1、C2都过极点O．
（1）分别写出半圆C1，C2的极坐标方程；
（2）直线l：与曲线C1，C2分别交于M、N两点（异于极点O），P为C2上的动点，求△PMN面积的最大值．
五．极坐标的几何意义应用
例5. 在直角坐标系xOy中，直线l的方程是，曲线C的参数方程是（φ为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；
（2）若是曲线C上一点，是直线l上一点，求的最大值.
练习1. ．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程；
（2）设直线与曲线交于，两点（点在点左边）与直线交于点．求和的值．
．
练习2. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)是曲线上的动点，点满足.
（1）求点的轨迹方程；
（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与曲线交于不同于原点的点求.
练习3. 已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线和曲线的极坐标系方程；
（2）曲线分别交直线和曲线于，，求的最大值.专题27极坐标与参数方程的解题策略
[高考定位] 高考对本讲内容主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识
考点一　极坐标方程及其应用
[核心提炼]
1．直角坐标与极坐标的互化
设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则
2．圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程：
(1)当圆心位于极点，半径为r时：ρ＝r.
(2)当圆心为M(a，0)，半径为a时：ρ＝2acos θ.
(3)当圆心为M，半径为a时：ρ＝2asin θ.
3．直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则此直线的极坐标方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程：
(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.
(2)直线过点M(a，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a.
(3)直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b.
[规律方法]
(1)求曲线的极坐标方程的一般思路
曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键．
(2)解决极坐标问题的一般思路
一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．
参数方程与普通方程的互化及参数方程的应用
(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．
(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．
解决极坐标、参数方程的综合问题应关注3点
(1)在对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，可以先化成普通方程或直角坐标方程，这样思路可能更加清晰．
(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．
(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．
【题型规律】
一．利用椭圆的参数方程求最值
在平面直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的普通方程；
（2）若P，Q分别为曲线，上的动点，求的最大值.
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）的普通方程为.
∵曲线的极坐标方程为，
∴曲线的普通方程为，即.
（2）设为曲线上一点，
则点到曲线的圆心的距离
.
∵，∴当时，d有最大值.
又∵P，Q分别为曲线，曲线上动点，
∴的最大值为.
练习1. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，(为参数)，曲线的参数方程为，(为参数，且)．
（1）求与的普通方程，
（2）若分别为与上的动点，求的最小值．
【答案】（1）的普通方程为的普通方程为，；（2）
【解析】（1）消参可得的普通方程为；
又因为的参数方程为，可得，
又，所以，
所以的普通方程为，
（2）由题意，设的平行直线为，
联立消元可得：，
令，解得，
又因为，经检验可知时直线与相切，
所以.
二．直角坐标与极坐标的互化
例2.在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin（θ+）.
（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△MON的面积.
【答案】(1) 直线l的普通方程为x＋y－4＝0. 曲线C的直角坐标方程是圆：(x－)2＋(y－1)2＝4. (2)4
【解析】(1)由题意有，得，
x＋y＝4，直线l的普通方程为x＋y－4＝0.
因为ρ＝4sin所以ρ＝2sinθ＋2cosθ，两边同时乘以得，
ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ，因为，所以x2＋y2＝2y＋2x，即(x－)2＋(y－1)2＝4，
∴曲线C的直角坐标方程是圆：(x－)2＋(y－1)2＝4.
(2)∵原点O到直线l的距离
直线l过圆C的圆心(，1)，∴|MN|＝2r＝4，所以△MON的面积S＝ |MN|×d＝4.
练习1. 在极坐标系下，已知圆：和直线：.
（1）求圆的直角坐标方程
（2）求圆上的点到直线的最短距离．
【答案】（1）:；（2）
【解析】（1）圆：，即，
圆的直角坐标方程为：，即；
（2）由圆的直角坐标方程为可知
圆心坐标为，半径为，
因为圆心到直线的距离为，
因此圆上的点到直线的最短距离为.
练习2. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.
【答案】（1）：，：；（2），此时.
【解析】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为.
（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
三．直线参数方程的几何意义应用
例3. 已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于，两点.
（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）已知，求的值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）因为直线的参数方程为（为参数），
消去参数，可得直线的普通方程为，
因为曲线的极坐标方程为，
即，因为，
所以曲线的直角坐标方程为.
（2）将直线的参数方程（为参数）代入，得，
设，，则，，
所以.
练习1. 已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2ρ2－ρ2cos 2θ＝12.若曲线C的左焦点F在直线l上，且直线l与曲线C交于A，B两点.
(1)求m的值并写出曲线C的直角坐标方程；
(2)求的值.
【答案】(1)；(2)4.
【解析】（1）已知曲线的标准方程为，则其左焦点为，
故，曲线的方程.
（2）直线的参数方程为，与曲线的方程联立，
得，则，
，故.
四．参数方程的灵活应用
例4. 已知平面直角坐标系.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程为
（1）写出点的直角坐标及曲线的普通方程；
（2）若为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入计算，，＝，
∴点的直角坐标，由，得，
即，所以曲线的直角坐标方程为
（2）曲线的参数方程为（为参数），由（为参数），得直线的普通方程为.
设，则中点，那么点到直线的距离，
，
所以点到直线的最小距离为.
练习1. 在平面直角坐标点xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsinθ＝6.
（1）A为曲线C1上的动点，点M在线段OA上，且满足|OM| |OA|＝36，求点M的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）点E的极坐标为（4，），点F在曲线C2上，求△OEF面积的最大值
【答案】（1）x2+（y﹣3）2＝9（y≠0）（2）
【解析】（1）设点A（ρ1，θ），点M（ρ，θ），由于曲线C1的极坐标方程为ρsinθ＝6，A为曲线C1上的动点，故，点M在线段OA上，且满足|OM| |OA|＝36，
所以，整理得点M的轨迹C2的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2＝9（y≠0）.
（2）设F点为（ρ0，α），（），则ρ0＝6sinα，|OF|＝ρ0，且（），或（），|OE|＝4，
所以123，
由于，故当α时，.
练习2. 如图，在极坐标系中，曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，曲线C2是以为圆心的圆，曲线C1、C2都过极点O．
（1）分别写出半圆C1，C2的极坐标方程；
（2）直线l：与曲线C1，C2分别交于M、N两点（异于极点O），P为C2上的动点，求△PMN面积的最大值．
【答案】（1）；；（2）．
【解析】（1）曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，
所以半圆的极坐标方程为，
曲线C2是以为圆心的圆，转换为极坐标方程为．
（2）由（1）得：|MN|＝|．
显然当点P到直线MN的距离最大时，△PMN的面积最大．
此时点P为过C2且与直线MN垂直的直线与C2的一个交点，
设PC2与直线MN垂直于点H，
如图所示：
在Rt△OHC2中，|，
所以点P到直线MN的最大距离d，
所以．
五．极坐标的几何意义应用
例5. 在直角坐标系xOy中，直线l的方程是，曲线C的参数方程是（φ为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；
（2）若是曲线C上一点，是直线l上一点，求的最大值.
【答案】（1）；；（2）最大值为.
【解析】（1）直线l的方程是，转换为极坐标方程为，
曲线C的参数方程是（φ为参数），转换为直角坐标方程为，
将代入，得
∴，故.
所以曲线C的极坐标方程为.
（2）点是曲线C上一点，
所以：，所以，
点是直线l上一点，
所以，所以，
，
当时，最大值为.
练习1. ．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程；
（2）设直线与曲线交于，两点（点在点左边）与直线交于点．求和的值．
【答案】（1），．（2），．
【解析】（1）∵
，
又∵，，
∴曲线的直角坐标方程为
∵（为参数），消去，得．
∴直线的普通方程为．
（2）设点，，．
∵曲线的极坐标方程为，
将代入，．
∴，．
∵直线的极坐标方程为，
∴，解得．
∴，．
练习2. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)是曲线上的动点，点满足.
（1）求点的轨迹方程；
（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与曲线交于不同于原点的点求.
【答案】（1） ；（2）.
【解析】（1）设,则由条件知.由于M点在上,
所以即
从而的参数方程为
.
(2)曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.
射线与的交点A的极径为,
射线与的交点B的极径为.
所以.
练习3. 已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线和曲线的极坐标系方程；
（2）曲线分别交直线和曲线于，，求的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题可知直线的普通方程为，
直线的极坐标方程为.
曲线的普通方程为，
因为，
所以的极坐标方程为.
（2）直线的极坐标方程为，令，
则，所以.
又，
所以，
因为，则的最大值为.

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