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专题11导数的综合应用
[高考定位] 高考中考查导数几何意义的题目多以选择题、填空题的形式出现，有时出现在解答题的第一问，难度较小．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，题目多出现在选择题、填空题的后几题中，有时也出现在解答题中，难度中等．
考点一　导数的几何意义及定积分
[核心提炼]
1．导数的几何意义
函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．4个易出错的导数公式
(1)(sin x)′＝cos x.
(2)(cos x)′＝－sin x.
(3)(ax)′＝axln a(a＞0，且a≠1)．
(4)(logax)′＝(a＞0，且a≠1，x＞0)．
[规律方法]
　曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及求解方法
(1)已知切点P(x0，y0)，求切线方程：
求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程．
(2)已知切线的斜率k，求切线方程：
设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程．
(3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程：
设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．
考点二　利用导数研究函数的单调性
[核心提炼]
　导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.
(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，f(x)为常数函数，函数不具有单调性．
[规律方法]
　求解或讨论函数单调性问题的解题策略
讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为讨论含有参数的一元二次不等式的解集：
(1)若能够通过因式分解求出不等式对应方程的根，则依据根的大小进行分类讨论．
(2)若不能通过因式分解求出不等式对应方程的根，则根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．
[注意] 讨论函数的单调性需在函数的定义域内进行，千万不要忽视了定义域的限制．
考点三　利用导数研究函数的极值(最值)
[核心提炼]
导数与函数的极值、最值的关系
(1)若在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值．
(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值，且在极值点或端点处取得.
[规律方法]
利用导数研究函数极值、最值的方法
(1)若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号．
(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解．
(3)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，先求出极值，再将区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．
【题型】
一、多变量的解题策略
二．极值点偏移的解题方法
三．零点判断与参数
四．与共存的解题方法
五．的替代
六． 多次求导的灵活应用
七．导数与不等式的综合
八．导数与放缩法
【方法规律总结】
一、多变量的解题策略
例1.已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，设的两个极值点为，，证明:.
【答案】（1）详见解析（2）证明见解析．
【解析】（1），，
对于一元二次方程， ，
①当时，即时，无解或一个解，
有时，，此时 在上单调递增，
②当时，即时，有两个解，
其解为， 当时，，故在 及时，；且时，，即在及上单调递增，在上单调递减，当时，一个实根小于0，一个实根大于0，所以在时，，在，，即在上单调递增，在上单调递减．
综上所述：即时， 在上单调递增；
当时，即在及上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）当时，，，又因为的两个极值点为，，则，是方程的两实数根，设．
又因为，故要证，
只需证，
只需证，
只需证，
下面证明不等式，不妨设，要证，即证，即证，令，设，则，所以，函数在上递减，而，因此当 时，恒成立，即成立，即成立，
所以，得证．
练习1．已知函数与的图象在它们的交点处具有相同的切线.
（1）求的解析式；
（2）若函数有两个极值点，，且，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析（1）根据题意，函数与
可知，，
两图象在点处有相同的切线，
所以两个函数切线的斜率相等，即，化简得，
将代入两个函数可得，
综合上述两式可解得，
所以.
（2）函数，定义域为，
，
因为，为函数的两个极值点，
所以，是方程的两个不等实根，
由根与系数的关系知，，
又已知，所以，
，
将式代入得
，
令，，
，令，解得，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
所以，
，
，
即的取值范围是.
练习2．已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）讨论函数在区间上的单调性；
（2）已知，若对任意，有，求实数的取值范围.
【答案】(1) 当或时， 在上单调递增，当时， 在上单调递增，在上单调递减；(2).
【解析】1），①当时，，，在上单调递增，②当时，，，在上单调递增，③当时， 时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，④当时，，，在上单调递增，综上所述，当或时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减
（2），依题意，时，恒成立.已知，则当时，，在上单调递减，而在上单调递增，，
，得，当时，，与在上均单调递增，，，，得与矛盾，综上所述，实数的取值范围是.
二．极值点偏移的解题方法
例2.已知函数有两个极值点.
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：；
（3）求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【解析】（1），，即，
设，则，
函数在上单调递增，在上单调递减，，画出函数图像，如图所示：
根据图像知.
（2）的两个根为，构造函数，
则，
当时，；当时，，故函数单调递增，且.
，即，即，
，，当时，函数单调递增，
故，即.
（3）根据题意，，两式相除得到：，
设，，故，解得，，
故，要证，即证，即.
设，则，
设，则，且，故恒成立.
故单调递减，故恒成立，得证.
练习1．已知函数.
（1）若有两个不同的极值点，，求实数的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】（1）由得，
有两个不同的极值点，，则有两个不同的零点，
即方程有两个不同的实根，
即直线与的图象有两个不同的交点，
设，则，
时，单调递增，且的取值范围是；
时，单调递减，且的取值范围是，
所以当时，直线与的图象有两个不同的交点，
有两个不同的极值点，，
故实数的取值范围是.
（2）由（1）知，设，则，
由得，
所以要证，只需证，
即证，即证，
设，即证，即证，
设，则，
所以在是增函数，，
所以，从而有.
练习2．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在区间有两个零点，分别为，求证：.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】(1)由，有.
曲线在点处的切线方程为
(2)不妨设.令.
由.有两边取对数，有
又由
若证，只需证.可化为.
令，
可得函数单调递增.所以.
故当时，
故若函数在区间有两个零点，必有：
三．零点判断与参数
例3.已知函数,.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）设，.
①求证：函数存在零点；
②设，若函数的一个零点为.问：是否存在，使得当时，函数有且仅有一个零点，且总有恒成立？如果存在，试确定的个数；如果不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2) ①证明见详解；②存在唯一的满足题意，理由见详解.
【解析】（1）由题可知，定义域为.
则，令，解得（舍）或，
故可得在单调递减.
（2），
①由题可知.令，则其.
⒈当时，，故在上单调递减.
又因为，
故在区间上一定有一个零点；
⒉当时，，令，
解得，
令，故可得，故在区间上单调递增；
令，故可得或，故在，单调递减.
又，故可得，
又因为，
故在区间上一定有一个零点.
⒊当时，，令，
解得，显然存在零点.
⒋当时，令，解得，
故可得在区间单调递增；在单调递减.
又因为，，
故在区间上一定存在一个零点.
综上所述，对任意的，一定存在零点.
②由①可知，当时，
在上单调递减.
且只在区间上存在一个零点，显然不满足题意.
当时，
在单调递减，在单调递增，
在单调递减.且
且在区间上一定有一个零点，不妨设零点为，则，
故要存在，使得当时，函数有且仅有一个零点，
且总有恒成立，
只需，
即，（ⅰ）
整理得，.
则上述方程在区间上根的个数，即为满足题意的的个数.
不妨令,则，
故方程（ⅰ）等价于.
不妨令，
故可得在区间上恒成立.
故在区间上单调递增.
又因为，
故可得函数在区间上只有一个零点.
则方程（ⅰ）存在唯一的一个根.
即当时，有且仅有一个，使得当时，
函数有且仅有一个零点，且总有恒成立.
练习1．已知函数，其中．
（1）若函数在内单调递减，求实数的取值范围；
（2）试讨论函数的零点个数．
【答案】（1）;（2）所以或时，有唯一零点；当时，有2个零点，当时，没有零点．
【解析】（1）题意可知，由在上恒成立，
即在上恒成立，
结合二次函数的性质可知，1，
故，
（2）由可得，
令，，，
令，，则，且，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
时，，且，，，
所以或时，有唯一零点；
当时，有2个零点，
当时，没有零点．
四．与共存的解题方法
例4.已知函数.
（1）求的极值；
（2）若，求正实数的取值范围.
【答案】（1）当时，的极小值为，无极大值；当时，的极小值为，无极大值；（2）.
【解析】（1）因为，，
①当时，，
若，则，在单调递减；
若，则，在单调递增，
所以的极小值为，无极大值；
②当时，，
若，则，在单调递减；
若，则，所以在单调递增，
所以的极小值为，无极大值；
综上所述，当时，的极小值为，无极大值；
当时，的极小值为，无极大值.
（2）由（1）知，当时，在单调递减，在单调递增，
所以，所以，
因为，
所以，所以，（*），
令，，
则，
因为，所以，
①若，则，
当时，则，所以在单调递增，
当时，则，所以在单调递减，
所以，
又因为，且和都在处取得最值，
所以当，解得，所以，
②若，则，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减，
所以，与（*）矛盾，不符合题意，舍去.
综上，正实数的取值范围为.
练习1．已知函数，其中a为非零常数．
讨论的极值点个数，并说明理由；
若，证明：在区间内有且仅有1个零点；设为的极值点，为的零点且，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【解析】解：由已知，的定义域为，
，
①当时，，从而，
所以在内单调递减，无极值点；
②当时，令，
则由于在上单调递减，，，
所以存在唯一的，使得，
所以当时，，即；当时，，即，
所以当时，在上有且仅有一个极值点.
综上所述，当时，函数无极值点；当时，函数只有一个极值点；
证明：由知．
令，由得，
所以在内有唯一解，从而在内有唯一解，
不妨设为，则在上单调递增，在上单调递减，
所以是的唯一极值点．
令，则当时，，
故在内单调递减，
从而当时，，所以．
从而当时，，且
又因为，故在内有唯一的零点．
由题意，即，
从而，即．
因为当时，，又，
故，即，
两边取对数，得，
于是，整理得．
五．的替代
例5.已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
【答案】（1）具体见解析；（2）.
【解析】（1）函数的定义域为．
由题意得，
当时，，则在区间内单调递增；
当时，由，得或（舍去），
当时，，单调递增，
当时，，单调递减．
所以当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由，
得，
因为，所以原命题等价于在区间内恒成立．
令，
则，
令，则在区间内单调递增，
又，
所以存在唯一的，使得，
且当时，，单调递增，
当时，，，
所以当时，有极大值，也为最大值，且 ，
所以，
又，所以,
所以，
因为，
故整数的最小值为2．
练习1.设函数，
（1）求的单调区间；
（2）若不等式对恒成立，求整数的最大值.
【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是（2）整数的最大值为
【解析】（1）.
令，则.
当时，；
当时，；
所以的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）当时，恒成立，等价于当时，恒成立；即对恒成立.
令，，
，
令，，，
所以在上单调递增.
又因为，，
所以在上有唯一零点，且，，
所以在.上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
故整数的最大值为.
六． 多次求导的灵活应用
例6.已知函数的图象在处的切线为.(为自然对数的底数).
（1）求，的值；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），.（2）
【解析】（1）， .
函数的图象在处的切线为
. 解得：
（2）由（1）可知，.
对任意的恒成立
对任意的恒成立，
令，，
.
令，，由，得，
当时，，单调递增.
又，当时，恒成立，
令，得；，得.
的增区间为，减区间为，
故.
，
实数的取值范围为.
练习1． 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，证明：当时，.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）解：，所以.
①当，即时，此时，在上单调递减；
②当，即时，令，解得，，
易知时，，单调递减；
时，，单调递增；
时，，单调递减.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在，上单调递减；
在上单调递增.
（2）证明：∵，，
∴，
欲证，先证，
即证，
令，则，
，则，
，则，
，
故在上单调递减，故，
故在上单调递减，故，
故在上单调递减，故，
即，故.
七．导数与不等式的综合
例7.设函数，其中．
（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当，且时，证明不等式．
【答案】（1）．（2）见解析（3）见解析
【解析】（1）当时，，
∴，故切线的斜率为2，
∴函数的图象在点处的切线方程为；
（2），
当时，，函数在区间上单调递增，
当时，，解得，，
①当时，，，
令，解得，令，解得，
∴函数在区间上单调递减，在上单调递增，
②当时，，
令，解得或，令，解得，
∴函数在区间上单调递减，
在，上单调递增；
（3）证明：当时，，
令，
在区间上恒为正，
∴函数在区间上单调递增，
当）时，，
∴当时，，
即，对任意正整数，取，有，
∴
．
练习1．设函数.
（1）若恒成立，求整数的最大值；
（2）求证：.
【答案】（1）整数的最大值为；（2）见解析.
【解析】（1）由得，
令，，
令，对恒成立，
所以，函数在上单调递增，
，，，，
故存在使得，即，
从而当时，有，，所以，函数在上单调递增；
当时，有，，所以，函数在上单调递减.
所以，，
，因此，整数的最大值为；
（2）由（1）知恒成立，，
令则，
，，，，
上述等式全部相加得，
所以，，
因此，
八．导数与放缩法
例8.已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）由于，得，
当时，，此时在上递增；
当时，由，解得，
若，则，
若，，
此时在递增，在上递减.
（2）由（1）知在处取得最大值为：
，
设，则，
令，则，
则在单调递减，∴，
即，则在单调递减
∴，
∴，
∴.
练习1．已知函数．
（1）若函数的最小值为2，求的值；
（2）当时，证明：．
【答案】（1）．（2）见解析
【解析】（1）的定义城为，
且，
函数的最小值为2，
若，则，于是在上单调递增，
故无最小值，不合题意，
若，则当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
于是当时，，取得最小值，
由已知得，解得．
综上可知．
（2）∵由（1）得，当时，取得最小值，
所以当时，取得最小值，即，
则，即：，
由题知，当时，证明：，
∴要证，只要证，
∴令，则，
∴当时，，
所以在上单调递增．
∴当时，，即，
∴当时，不等式成立．专题11导数的综合应用
[高考定位] 高考中考查导数几何意义的题目多以选择题、填空题的形式出现，有时出现在解答题的第一问，难度较小．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，题目多出现在选择题、填空题的后几题中，有时也出现在解答题中，难度中等．
考点一　导数的几何意义及定积分
[核心提炼]
1．导数的几何意义
函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．4个易出错的导数公式
(1)(sin x)′＝cos x.
(2)(cos x)′＝－sin x.
(3)(ax)′＝axln a(a＞0，且a≠1)．
(4)(logax)′＝(a＞0，且a≠1，x＞0)．
[规律方法]
　曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及求解方法
(1)已知切点P(x0，y0)，求切线方程：
求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程．
(2)已知切线的斜率k，求切线方程：
设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程．
(3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程：
设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．
考点二　利用导数研究函数的单调性
[核心提炼]
　导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.
(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，f(x)为常数函数，函数不具有单调性．
[规律方法]
　求解或讨论函数单调性问题的解题策略
讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为讨论含有参数的一元二次不等式的解集：
(1)若能够通过因式分解求出不等式对应方程的根，则依据根的大小进行分类讨论．
(2)若不能通过因式分解求出不等式对应方程的根，则根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．
[注意] 讨论函数的单调性需在函数的定义域内进行，千万不要忽视了定义域的限制．
考点三　利用导数研究函数的极值(最值)
[核心提炼]
导数与函数的极值、最值的关系
(1)若在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值．
(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值，且在极值点或端点处取得.
[规律方法]
利用导数研究函数极值、最值的方法
(1)若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号．
(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解．
(3)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，先求出极值，再将区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．
【题型】
一、多变量的解题策略
二．极值点偏移的解题方法
三．零点判断与参数
四．与共存的解题方法
五．的替代
六． 多次求导的灵活应用
七．导数与不等式的综合
八．导数与放缩法
【方法规律总结】
一、多变量的解题策略
例1.已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，设的两个极值点为，，证明:.
练习1．已知函数与的图象在它们的交点处具有相同的切线.
（1）求的解析式；
（2）若函数有两个极值点，，且，求的取值范围.
练习2．已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）讨论函数在区间上的单调性；
（2）已知，若对任意，有，求实数的取值范围.
二．极值点偏移的解题方法
例2.已知函数有两个极值点.
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：；
（3）求证：.
练习1．已知函数.
（1）若有两个不同的极值点，，求实数的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：.
练习2．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在区间有两个零点，分别为，求证：.
三．零点判断与参数
例3.已知函数,.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）设，.
①求证：函数存在零点；
②设，若函数的一个零点为.问：是否存在，使得当时，函数有且仅有一个零点，且总有恒成立？如果存在，试确定的个数；如果不存在，请说明理由.
练习1．已知函数，其中．
（1）若函数在内单调递减，求实数的取值范围；
（2）试讨论函数的零点个数．
四．与共存的解题方法
例4.已知函数.
（1）求的极值；
（2）若，求正实数的取值范围.
练习1．已知函数，其中a为非零常数．
讨论的极值点个数，并说明理由；
若，证明：在区间内有且仅有1个零点；设为的极值点，为的零点且，求证：．
五．的替代
例5.已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
练习1.设函数，
（1）求的单调区间；
（2）若不等式对恒成立，求整数的最大值.
六． 多次求导的灵活应用
例6.已知函数的图象在处的切线为.(为自然对数的底数).
（1）求，的值；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
练习1． 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，证明：当时，.
七．导数与不等式的综合
例7.设函数，其中．
（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当，且时，证明不等式．
练习1．设函数.
（1）若恒成立，求整数的最大值；
（2）求证：.
八．导数与放缩法
例8.已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：.
练习1．已知函数．
（1）若函数的最小值为2，求的值；
（2）当时，证明：．

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