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专题13 三角恒等变形的技巧
[高考定位] 三角恒等变换与解三角形是高考的考查热点，高考中单独考查三角恒等变换的题目较少，相关题目多以解三角形为背景，考查学生应用正弦定理、余弦定理及三角恒等变换进行化简的能力，综合性较强；对解三角形的考查，题型以解答题为主，要求学生掌握正弦定理、余弦定理的应用，难度中等．
考点一　三角恒等变换及求值
[核心提炼]
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
(2)cos(α±β)＝cos αcos β sin αsin β.
(3)tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α.
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)tan 2α＝
[规律方法]
三角恒等变换的“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，如1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．
(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
【题型汇总】
一、已知角表示未知角
二、特殊角的替代作用
三、降幂公式的灵活应用
四、正切公式的变形应用
五、辅助角公式的灵活应用
六．角的一致性原则
七．弦切互化的灵活应用
八．与关系
九．三角函数名称和角的一致
十．角的范围问题
【方法规律举例】
一、已知角表示未知角
例1.若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，故故
又，故
，
则
故选：C
练习1．已知，均为锐角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为为锐角，且，
所以，，
于是，
又为锐角，所以.故选：C.
练习2. ．已知，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，结合及，得，又，所以，所以
故选D．
练习3. 已知，，则______.
【答案】
【解析】
二、特殊角的替代作用
例2．给出以下式子：
①tan25°+tan35°tan25°tan35°；
②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)；
③
其中，结果为的式子的序号是_____.
【答案】①②③
【解析】①∵tan60°＝tan（25°+35°），
tan25°+tan35°tan25°tan35°；
tan25°tan35°，
，
②2（sin35°cos25°+cos35°cos65°）＝2（sin35°cos25°+cos35°sin25°），
＝2sin60°；
③tan（45°+15°）＝tan60°；
故答案为：①②③
练习1. 4cos10°=( )
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】原式.
故选：C.
三、降幂公式的灵活应用
例3. 已知向量，，函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，内角、、所对边的长分别是、、，若，，，求的面积.
【答案】（1）的增区间是，（2）
【解析】（1）
令，解得
∴的增区间是，
（2）
∵∴解得
又∵∴中，
由正弦定理得
∴
练习1.已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
在区间上是增函数，
，.
当时，取得最大值，
而在区间上恰好取得一次最大值，
，解得，综上，.
故选:D.
练习2. 已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），
，
∴，
∴的最小正周期为.
（2）因为，所以，解得，
因为，，所以，
所以.
四、正切公式的变形应用
例4.在中，，则角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，
因为，所以.
故选：D
练习1.在中，“”是“为钝角三角形”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由题意可得，在中，因为，
同号，因为，，
结合三角形内角的条件，所以，
故，同为锐角，
，因此，
所以是锐角三角形，不是钝角三角形，所以充分性不满足，
反之，是钝角三角形，若为钝角，则，
推不出“”，故必要性不成立，所以为既不充分也不必要条件.
故选：D.
五、辅助角公式的灵活应用
例5．设，，,则的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ， ， ， ，选B.
练习1.已知函数f(x)=sinx+acosx的图象的一条对称轴是x=,则函数g(x)=asinx+cosx的最大值是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】f(x)=sinx+acosx=sin(x+)（cos=）,
∵x=为函数f(x)图象的一条对称轴,∴π+=kπ+(k∈Z),
又cos>0,∴取=-,则cos=,∴=.
∵g(x)=sin(x+θ)（cosθ=）,∴g(x)max==.故选B.
六．角的一致性原则
例6. （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】
故选:D
练习1. 的值等于_________.
【答案】
【解析】由题意，可得
.
练习2.已知角满足，若，则实数的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【解析】由可得，，
两边同时除以得，
即,所以，
由正余弦的二倍角公式可得,,,
所以,等式右边的式子分子分母同除可得,
，
所以,即，所以,
故选: A
七．弦切互化的灵活应用
例7. 已知，若，则______．
【答案】
【解析】因为，所以是第二象限角；
因为，所以
故，
故．
故答案为：
练习1.若，且，则__________．
【答案】
【解析】，
.又
，，
==，
故答案为.
练习2. ．已知，求下列各式的值：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
【答案】（Ⅰ）-3（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）．
（Ⅱ）．
八．与关系
例8.（1）已知，求的值；
（2）记函数，求的值域.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为，所以
即 ，所以
（2）记，显然，故，
将两边平方，得，
故
所以，
所以的值域为
九．三角函数名称和角的一致
例9 。求值：（1）；
（2）.
【答案】（1）-1；（2）.
【解析】（1）.
（2）.，.
练习1.（1）已知，求的值．
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）-1.
【解析】:（1）因为,
所以,
所以
（2）
十．角的范围问题
例10.已知函数的定义域为，且满足，当时，有，且.
（1）求不等式的解集；
（2）对任意，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设，
，
所以函数在上单调递增，
又因为和，则，
所以
得解得，即， 故的取值范围为；
（2） 由于恒成立，
恒成立，
设，
则
，
令， 则，
所以在区间上单调递增，
所以，根据条件，只要 ，所以.
练习1.已知，为锐角，且，.
（1）求；
（2）求.
【答案】(1)(2)
【解析】由于为锐角，，，∴，，
，
（2），
，∴
由于为锐角，∴，∴专题13 三角恒等变形的技巧
[高考定位] 三角恒等变换与解三角形是高考的考查热点，高考中单独考查三角恒等变换的题目较少，相关题目多以解三角形为背景，考查学生应用正弦定理、余弦定理及三角恒等变换进行化简的能力，综合性较强；对解三角形的考查，题型以解答题为主，要求学生掌握正弦定理、余弦定理的应用，难度中等．
考点一　三角恒等变换及求值
[核心提炼]
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
(2)cos(α±β)＝cos αcos β sin αsin β.
(3)tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α.
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)tan 2α＝
[规律方法]
三角恒等变换的“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，如1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．
(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
【题型汇总】
一、已知角表示未知角
二、特殊角的替代作用
三、降幂公式的灵活应用
四、正切公式的变形应用
五、辅助角公式的灵活应用
六．角的一致性原则
七．弦切互化的灵活应用
八．与关系
九．三角函数名称和角的一致
十．角的范围问题
【方法规律举例】
一、已知角表示未知角
例1.若，，，则（ ）
A． B． C． D．
练习1．已知，均为锐角，则（ ）
A． B． C． D．
练习2. ．已知，则
A． B． C． D．
练习3. 已知，，则______.
二、特殊角的替代作用
例2．给出以下式子：
①tan25°+tan35°tan25°tan35°；
②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)；
③
其中，结果为的式子的序号是_____.
练习1. 4cos10°=( )
A．1 B． C． D．2
三、降幂公式的灵活应用
例3. 已知向量，，函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，内角、、所对边的长分别是、、，若，，，求的面积.
练习1.已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
练习2. 已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）若，，求的值．
四、正切公式的变形应用
例4.在中，，则角等于（ ）
A． B． C． D．
练习1.在中，“”是“为钝角三角形”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
五、辅助角公式的灵活应用
例5．设，，,则的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
练习1.已知函数f(x)=sinx+acosx的图象的一条对称轴是x=,则函数g(x)=asinx+cosx的最大值是( )
A． B． C． D．
六．角的一致性原则
例6. （ ）
A． B． C．1 D．2
练习1. 的值等于_________.
练习2.已知角满足，若，则实数的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
七．弦切互化的灵活应用
例7. 已知，若，则______．
练习1.若，且，则__________．
练习2. ．已知，求下列各式的值：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
八．与关系
例8.（1）已知，求的值；
（2）记函数，求的值域.
九．三角函数名称和角的一致
例9 。求值：（1）；
（2）.
练习1.（1）已知，求的值．
（2）求的值．
十．角的范围问题
例10.已知函数的定义域为，且满足，当时，有，且.
（1）求不等式的解集；
（2）对任意，恒成立，求实数的取值范围.
练习1.已知，为锐角，且，.
（1）求；
（2）求.

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