资源简介

专题22几何意义和性质优化解析几何解题
[高考定位] 直线与圆的方程问题单独考查的概率较小，多作为条件结合圆锥曲线进行综合命题．直线和圆的位置关系为高考命题的热点，需重点关注，相关试题的难度为中等偏下，多以选择题或填空题的形式出现．
考点一　直线的方程及应用
[核心提炼]
1．直线方程的5种形式
(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)．
(2)斜截式：y＝kx＋b.
(3)两点式：＝(x1≠x2，y1≠y2)．
(4)截距式：＋＝1(a≠0，b≠0)．
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．
2．3种距离公式
(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离：
|AB|＝.
(2)点到直线的距离：d＝[其中点P(x0，y0)，直线方程：Ax＋By＋C＝0]．
(3)两平行直线间的距离：d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．
3．两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2 k1＝k2，l1⊥l2 k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
[规律方法]　解决直线方程问题应注意的问题
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
(2)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
(3)求直线方程要考虑直线斜率是否存在．
考点二　圆的方程及其应用
[核心提炼]
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆．
[规律方法]　求圆的方程的两种方法
(1)直接法：利用圆的性质，直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程．
(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程．
其中待定系数法还常用来解决以下问题：
①求函数解析式；②求数列的通项或前n项和；③求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．
考点三　直线与圆、圆与圆的位置关系
[核心提炼]
1．直线与圆的位置关系的判断
(1)几何法：把圆心到直线的距离 d和半径r的大小加以比较；d＜r 相交；d＝r 相切；d＞r 相离．
(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，消元后得到一元二次方程，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ＞0 相交；Δ＝0 相切；Δ＜0 相离．
2．圆与圆的位置关系的判断
(1)d＞r1＋r2 两圆外离．
(2)d＝r1＋r2 两圆外切．
(3)|r1－r2|＜d＜r1＋r2 两圆相交．
(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2) 两圆内切．
(5)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2) 两圆内含．
[规律方法]　解决直线与圆、圆与圆位置关系的方法
(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．
(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．
椭圆、双曲线、抛物线
[高考定位] 圆锥曲线为高考考查的热点，题目设置一般为“一大一小”或“一大二小”的形式．小题多考查圆锥曲线的标准方程与简单性质；解答题作为压轴题考查直线与圆锥曲线的位置关系、定点、定值、范围和探索性问题，难度较大．
[规律方法]
求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．
(1)定型：指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．
(2)计算：利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，常设抛物线为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，常设椭圆为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，常设双曲线为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
考点二　圆锥曲线的几何性质
[核心提炼]
1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系
(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝.
(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为
e＝＝ .
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．
[规律方法]
圆锥曲线几何性质的应用
(1)分析圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．
(2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是建立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式．建立关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质．
考点三　直线与圆锥曲线
[核心提炼]
1．判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题的两种常用方法
(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．
(2)几何法：画出直线与圆锥曲线，根据图形判断公共点的个数．
2．弦长公式
斜率为k的直线l与圆锥曲线C的两交点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则|PQ|＝|x1－x2|.＝，
或|PQ|＝|y1－y2| ＝(k≠0)．
3．弦的中点
圆锥曲线C：f(x，y)＝0的弦为PQ.若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，中点M(x0，y0)，则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0.
[规律方法]
解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤
(1)设方程及点的坐标．
(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)．
(3)应用根与系数的关系及判别式．
(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．
【题型分类】
一．圆锥曲线定义与几何意义结合
二．余弦定理在圆锥曲线中的应用
三．圆锥曲线定义的灵活应用
四．圆锥曲线几何意义与不等式练习
五．向量几何意义与圆锥曲线
六．三角形的心在圆锥曲线中
七．斜率的几何意义问题
八．阿波罗尼斯圆的应用
【题型方法总结】
一．圆锥曲线定义与几何意义结合
例1.已知点是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆：上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
练习1.如图，分别为双曲线的左、右焦点，过点作直线，使直线与圆相切于点P,设直线交双曲线的左右两支分别于A、B两点（A、B位于线段 上），若,则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二．余弦定理在圆锥曲线中的应用
例2.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆C上一点，O为坐标原点，若，且，则椭圆C的离心率是
A． B． C． D．
三．圆锥曲线定义的灵活应用
例3. 设点是以，为左、右焦点的双曲线右支上一点，且满足，直线与圆有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
练习1.已知双曲线的左右焦点分别为，，以原点为圆心，为半径的圆与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为菱形，则双曲线的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
四．圆锥曲线几何意义与不等式练习
例4. 已知为双曲线：（，）左支上一点，，分别为的左、右焦点，为虚轴的一个端点，若的最小值为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
练习1.直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，则的最小值是
A．10 B．9 C．8 D．7
练习2．已知点，抛物线，为抛物线的焦点，为抛物线的准线，为抛物线上一点，过作，点为垂足，过作的垂线，与交于点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
五．向量几何意义与圆锥曲线
例5.过双曲线右焦点的直线交两渐近线于、两点，若，为坐标原点，且内切圆半径为，则该双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
练习1.为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，且，直线交轴于点.若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
练习2．如图，抛物线，圆，圆与轴相切，过的焦点的直线从上至下依此交，于，且，为坐标原点，则在方向上的投影为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
练习3．已知F1，F2分别为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，O为坐标原点，且（＋）·＝0，｜｜＝2｜｜，则该椭圆的离心率为
A． B． C． D．
六．三角形的心在圆锥曲线中
例6.平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点.若的垂心为的焦点，则的离心率为_______________
练习1.已知，为曲线的左、右焦点，点为曲线与曲线，在第一象限的交点,直线为曲线在点处的切线，若的内心为点，直线与直线交于点，则点横坐标为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
练习2. ．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆半径是________.
七．斜率的几何意义问题
例7.已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右顶点分别为．直线l：交椭圆于P，Q两点，直线和直线相交于椭圆外一点R，则点R的轨迹方程为_______________．
练习1．若实数，满足，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
练习2．如图，、是过点夹角为的两条直线，且与圆心为，半径长为的圆分别相切，设圆周上一点到、的距离分别为、，那么的最小值为（____）．
八．阿波罗尼斯圆的应用
例8.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q、P的距离之比，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点Q为x轴上一点，且，若点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
练习1．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（，）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
练习2．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对几何问题有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指出的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹是一个圆，称之为阿波罗尼斯圆.请解答下面问题：已知，，若直线上存在点M满足，则实数c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．专题22几何意义和性质优化解析几何解题
[高考定位] 直线与圆的方程问题单独考查的概率较小，多作为条件结合圆锥曲线进行综合命题．直线和圆的位置关系为高考命题的热点，需重点关注，相关试题的难度为中等偏下，多以选择题或填空题的形式出现．
考点一　直线的方程及应用
[核心提炼]
1．直线方程的5种形式
(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)．
(2)斜截式：y＝kx＋b.
(3)两点式：＝(x1≠x2，y1≠y2)．
(4)截距式：＋＝1(a≠0，b≠0)．
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．
2．3种距离公式
(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离：
|AB|＝.
(2)点到直线的距离：d＝[其中点P(x0，y0)，直线方程：Ax＋By＋C＝0]．
(3)两平行直线间的距离：d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．
3．两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2 k1＝k2，l1⊥l2 k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
[规律方法]　解决直线方程问题应注意的问题
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
(2)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
(3)求直线方程要考虑直线斜率是否存在．
考点二　圆的方程及其应用
[核心提炼]
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆．
[规律方法]　求圆的方程的两种方法
(1)直接法：利用圆的性质，直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程．
(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程．
其中待定系数法还常用来解决以下问题：
①求函数解析式；②求数列的通项或前n项和；③求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．
考点三　直线与圆、圆与圆的位置关系
[核心提炼]
1．直线与圆的位置关系的判断
(1)几何法：把圆心到直线的距离 d和半径r的大小加以比较；d＜r 相交；d＝r 相切；d＞r 相离．
(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，消元后得到一元二次方程，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ＞0 相交；Δ＝0 相切；Δ＜0 相离．
2．圆与圆的位置关系的判断
(1)d＞r1＋r2 两圆外离．
(2)d＝r1＋r2 两圆外切．
(3)|r1－r2|＜d＜r1＋r2 两圆相交．
(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2) 两圆内切．
(5)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2) 两圆内含．
[规律方法]　解决直线与圆、圆与圆位置关系的方法
(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．
(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．
椭圆、双曲线、抛物线
[高考定位] 圆锥曲线为高考考查的热点，题目设置一般为“一大一小”或“一大二小”的形式．小题多考查圆锥曲线的标准方程与简单性质；解答题作为压轴题考查直线与圆锥曲线的位置关系、定点、定值、范围和探索性问题，难度较大．
[规律方法]
求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．
(1)定型：指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．
(2)计算：利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，常设抛物线为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，常设椭圆为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，常设双曲线为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
考点二　圆锥曲线的几何性质
[核心提炼]
1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系
(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝.
(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为
e＝＝ .
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．
[规律方法]
圆锥曲线几何性质的应用
(1)分析圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．
(2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是建立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式．建立关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质．
考点三　直线与圆锥曲线
[核心提炼]
1．判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题的两种常用方法
(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．
(2)几何法：画出直线与圆锥曲线，根据图形判断公共点的个数．
2．弦长公式
斜率为k的直线l与圆锥曲线C的两交点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则|PQ|＝|x1－x2|.＝，
或|PQ|＝|y1－y2| ＝(k≠0)．
3．弦的中点
圆锥曲线C：f(x，y)＝0的弦为PQ.若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，中点M(x0，y0)，则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0.
[规律方法]
解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤
(1)设方程及点的坐标．
(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)．
(3)应用根与系数的关系及判别式．
(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．
【题型分类】
一．圆锥曲线定义与几何意义结合
二．余弦定理在圆锥曲线中的应用
三．圆锥曲线定义的灵活应用
四．圆锥曲线几何意义与不等式练习
五．向量几何意义与圆锥曲线
六．三角形的心在圆锥曲线中
七．斜率的几何意义问题
八．阿波罗尼斯圆的应用
【题型方法总结】
一．圆锥曲线定义与几何意义结合
例1.已知点是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆：上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
如图所示，利用抛物线的定义知：
当三点共线时，的值最小，且最小值为
抛物线的准线方程：，
本题正确选项：
练习1.如图，分别为双曲线的左、右焦点，过点作直线，使直线与圆相切于点P,设直线交双曲线的左右两支分别于A、B两点（A、B位于线段 上），若,则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接，，设则，即，，
根据双曲线定义可知，
即
即
直线与圆相切于点P
在中①
在中②
在中③
②③联立得，即
①②联立得即④
将代入④，即，
整理得即
故选：B
二．余弦定理在圆锥曲线中的应用
例2.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆C上一点，O为坐标原点，若，且，则椭圆C的离心率是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设.由椭圆的定义，得，①.
在中，由余弦定理，得，②.
得：，③
将③代入②，得.
在中，由余弦定理，得，④
在中，由余弦定理，得，⑤
④+⑤，得，
化简，得，故，
故选：C
三．圆锥曲线定义的灵活应用
例3. 设点是以，为左、右焦点的双曲线右支上一点，且满足，直线与圆有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，
，为双曲线的左、右焦点，
，，
，，
直线与圆有且只有一个公共点，
直线与圆相切，设切点为，
，，
又为的中点，为的中点，，
又，，，
根据双曲线定义，，
解得，
故选：D.
练习1.已知双曲线的左右焦点分别为，，以原点为圆心，为半径的圆与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为菱形，则双曲线的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，∵四边形为菱形，
∴，
又∵是圆的直径，
∴，
∴，
∴由双曲线的定义可得：，
∴，
故选：A．
四．圆锥曲线几何意义与不等式练习
例4. 已知为双曲线：（，）左支上一点，，分别为的左、右焦点，为虚轴的一个端点，若的最小值为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
即，
化简得，即，
解得或，所以.
故选：
练习1.直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，则的最小值是
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【解析】由抛物线标准方程可知p=2
因为直线l过抛物线的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知
所以
因为 为线段长度，都大于0，由基本不等式可知
，此时
所以选B
练习2．已知点，抛物线，为抛物线的焦点，为抛物线的准线，为抛物线上一点，过作，点为垂足，过作的垂线，与交于点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据抛物线定义得，，则为的垂直平分线，
，.
故选：D.
五．向量几何意义与圆锥曲线
例5.过双曲线右焦点的直线交两渐近线于、两点，若，为坐标原点，且内切圆半径为，则该双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以双曲线的渐近线如图所示，
设内切圆圆心为，则在平分线上，
过点分别作于，于，由得四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为得，又，所以，，所以，
所以，得.
故选：A.
练习1.为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，且，直线交轴于点.若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示：
因为，所以三角形为直角三角形，
故它的内切圆半径
，
所以
故选：A.
练习2．如图，抛物线，圆，圆与轴相切，过的焦点的直线从上至下依此交，于，且，为坐标原点，则在方向上的投影为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【解析】由圆与轴相切可知， ，解得，所以，，
由题意知，,设，直线，与抛物线方程联立得
，即，由韦达定理知，，，
则，.
因为，则，代入 得，，解得，
因为，所以在方向上的投影为
，
故选:A.
练习3．已知F1，F2分别为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，O为坐标原点，且（＋）·＝0，｜｜＝2｜｜，则该椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，取PF2的中点A，连接OA，
∴2=+，且=，
又∵（＋）·＝0，∴⊥又∴⊥，
∵，不妨设|PF2|=m，则|PF1|=m，∵|PF2|+|PF1|=2a=3m，
∴|F1F2|=4c2=m2+(2m)2=5m2，∴=，∴e=
故选C．
六．三角形的心在圆锥曲线中
例6.平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点.若的垂心为的焦点，则的离心率为_______________
【答案】
【解析】设所在的直线方程为,则所在的直线方程为,
解方程组得：，所以点的坐标为,
抛物线的焦点的坐标为:.因为是的垂心，所以,
所以，.
所以，.
练习1.已知，为曲线的左、右焦点，点为曲线与曲线，在第一象限的交点,直线为曲线在点处的切线，若的内心为点，直线与直线交于点，则点横坐标为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】如图，由椭圆的性质可知，为外角的角平分线，以N为圆
心作圆与，轴分别相切于，所以
，
所以，，.
故选：B
练习2. ．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆半径是________.
【答案】
【解析】设内切圆的半径为，由椭圆的方程，
其中，，，.
因为是过且垂直于长轴的弦，
则有，，
解得，.
的周长.
面积，
由内切圆的性质可知，有，解得.
故内切圆的半径为.
故答案为：.
七．斜率的几何意义问题
例7.已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右顶点分别为．直线l：交椭圆于P，Q两点，直线和直线相交于椭圆外一点R，则点R的轨迹方程为_______________．
【答案】
【解析】因为，所以，由
得，故直线l恒过，由题意知，直线斜率不为0，设
的方程为，，，联立椭圆方程，
得，
则，，，
由三点共线可得，
由三点共线可得，
两式相除可得
，解得，
所以点在定直线上，故点R的轨迹方程为.
故答案为：
练习1．若实数，满足，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则，
联立，
消失得，由题意该方程有解，
∴，解得，
故选．
练习2．如图，、是过点夹角为的两条直线，且与圆心为，半径长为的圆分别相切，设圆周上一点到、的距离分别为、，那么的最小值为（____）．
【答案】
【解析】根据题意，l1、l2是过点M夹角为的两条直线，且与圆心为O，半径r＝1的圆分别相切，
则|OM|＝2r＝2，
如图建立坐标系，以圆心O为坐标原点，OM为y轴建立坐标系，M（0，2），
又由l1、l2是过点M夹角为的两条直线，则l1、l2的关于y轴对称，
易得l1、l2的倾斜角为和，则设l1的方程为yx+2，l2的方程为yx+2，
P是圆周上的一个动点，设P（cosθ，sinθ），
则d11，
d21，
则2d1+d2＝2+（cosθ﹣sinθ）+1（cosθ+sinθ）＝33sin（θ）≥3；
即2d1+d2的最小值为3；
故答案为：3．
八．阿波罗尼斯圆的应用
例8.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q、P的距离之比，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点Q为x轴上一点，且，若点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C设，，根据和求出a的值，由，两点之间直线最短，可得的最小值为，根据坐标求出即【详解】设，，所以，由，所以，因为且，所以，整理可得，又动点M的轨迹是，所以，解得
，所以，又所以，因为，所以的最小值为.
练习1．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（，）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C以中点为原点，设，根据，得到点轨迹方程，再表示出，利用圆上的点到定点的距离得到答案.
【详解】以中点为原点，所在直线为轴，则，，
设，所以由，可得，整理得，
，其中看作是
圆上的点到点的距离的平方，所以其最大值为，
所以的最大值为，故选：C.
练习2．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对几何问题有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指出的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹是一个圆，称之为阿波罗尼斯圆.请解答下面问题：已知，，若直线上存在点M满足，则实数c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】点M在直线上，不妨设点M的坐标为，
由直线上存在点M满足，则，
整理可得，
，所以实数c的取值范围为.故选：B

展开更多......

收起↑