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7.2.4诱导公式-三角函数的积化和差、和差化积公式
班级： 小组： 学生姓名：
【学习目标】　1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积两组公式的过程.2.理解在推导积化和差、和差化积公式中方程思想、换元思想所起的作用.
　
预学案
知识点一　积化和差公式
思考　根据两角和与差的正、余弦公式把下列等式补充完整.
①sin(α＋β)＋sin(α－β)＝________________；
②sin(α＋β)－sin(α－β)＝________________；
③cos(α＋β)＋cos(α－β)＝________________；
④cos(α＋β)－cos(α－β)＝________________.
在上述四个等式两边同乘以，等号两端互换，就可以得出四个相应的积化和差公式.
梳理　积化和差公式
(1)sin αcos β＝________________________________.
(2)cos αsin β＝________________________________.
(3)cos αcos β＝________________________________.
(4)sin αsin β＝________________________________.
知识点二　和差化积公式
思考　在四个积化和差公式中，如果我们令α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝________，β＝________，由此可以得出四个相应的和差化积公式，请你试一试写出这四个公式：
sin θ＋sin φ＝________________；
sin θ－sin φ＝________________；
cos θ＋cos φ＝________________________；
cos θ－cos φ＝________________________.
梳理　和差化积公式
(1)sin x＋sin y＝2sin cos ，
(2)sin x－sin y＝2cos sin ，
(3)cos x＋cos y＝2cos cos ，
(4)cos x－cos y＝－2sin sin .
探究案
类型一　利用积化和差与和差化积公式化简求值
例1　求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.
　
　
　
反思与感悟　套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.
跟踪训练1　求值：cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°.
　
　
类型二　三角恒等式的证明
例2　在△ABC中，求证：sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝4sin Asin Bsin C.
　
　
　
反思与感悟　在运用积化和差求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系.
跟踪训练2　已知A＋B＋C＝π，求证：sin A＋sin B－sin C＝4sinsincos.
　
　
　训练案
1.sin 75°－sin 15°的值为(　　)
A. B. C. D.－
2.sin 15°cos 165°的值是(　　)
A. B. C.－ D.－
3.sin 105°＋sin 15°等于(　　)
A. B. C. D.
4.sin 37.5° cos 7.5°等于(　　)
A. B. C. D.
5.在△ABC中，若B＝30°，求cos Asin C的取值范围.
　
　
　
1.本节学习了积化和差公式、和差化积公式，一定要清楚这些公式的形式特征，理解公式间的关系.
2.和差化积、积化和差公式不要求记忆，但要注意公式推导中应用的数学思想方法，同时注意这些公式与两角和与差公式的联系.
答案精析
题型探究
例1　解　sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°
＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°)＝－sin 50°＋cos 40°＝－sin 50°＋sin 50°＝.
跟踪训练1　解　原式＝cos 20°＋＋(cos 100°＋cos 140°)＝cos 20°＋＋2cos 120°cos 20°＝cos 20°＋－cos 20°＝.
例2　证明　左边＝sin 2A＋sin 2B＋sin 2C
＝2sincos＋sin 2C＝2sin(A＋B)cos(A－B)－2sin(A＋B)·cos(A＋B)
＝2sin C[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝2sin C·(－2)sin·sin
＝4sin Asin Bsin C＝右边．所以原等式成立．
跟踪训练2　证明　∵左边＝sin(B＋C)＋2sincos
＝2sincos＋2sin·cos＝2cos＝2cos ·2sincos
＝4sinsincos＝右边．∴原等式成立．
当堂训练
1．B　2.C　3.C　4.C
5．解　由题意，得
cos Asin C＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]
＝[sin(π－B)－sin(A－C)]
＝－sin(A－C)．
∵－1≤sin(A－C)≤1，
∴－≤－sin(A－C)≤，
∴cos Asin C的取值范围是.

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