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【题型归类大全】2023年高考一复习学案（理科数学）
考点08：指数与指数函数
[考纲传真]
　1．了解指数函数模型的实际背景．
2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．
4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
[题型归类]
题型一：指数幂的化简与求值
题型二：指数函数的图象
题型三：指数函数的值域与最值
题型四：指数函数的特征
题型五：指数函数的单调性问题
题型六：指数函数的性质及应用——比较大小
题型七：指数函数的性质及应用——解不等式
题型八：指数函数的性质及应用——恒成立问题
题型九：指数函数的性质及应用——零点交点问题
题型一 指数幂的化简与求值
知识与方法
1．根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a
(2)根式的性质
①()n＝a(n∈N*)．[来]
②＝
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念：
①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
②负分数指数幂：a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的性质：
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
指数幂的运算规律
指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行化简，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一．
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
例1 －＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0.
解析：原式＝－＋－－＋1
＝＋500－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
例2化简(x<0，y<0)得(　　)
A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y
解析：选D　＝2x2|y|＝－2x2y.
例3若a＝(2＋)－1，b＝(2－)－1，则(a＋1)－2＋(b＋1)－2的值是(　　)
A．1 B.
C. D.
答案　D
解析　∵a＝(2＋)－1＝2－，b＝(2－)－1＝2＋，
∴(a＋1)－2＋(b＋1)－2＝(3－)－2＋(3＋)－2
＝＋＝.
例4化简： (a>0，b>0)；
解析：原式＝＝
＝ab－1.
题型二 指数函数的图象　
知识与方法
指数函数的图象与性质
y＝ax[来t] a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质[来 过定点(0,1)
当x＞0时，y＞1； x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1； x＜0时，y＞1
在R上是增函数 在R上是减函数
指数函数图象的画法
　画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
指数函数图象的应用
(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．
例1 若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
解析：曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．
例2若存在负实数使得方程2x－a＝成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(0,2) D．(0,1)
解析：选C　在同一坐标系内分别作出函数y＝和y＝2x－a的图象，则由图知，当a∈(0,2)时符合要求．
例3设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)．
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析　(数形结合法)如图所示．
由1－1＜x－2＜0,1 例4函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0解析：由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0题型三 指数函数的值域与最值　
知识与方法
例1 函数f(x)＝3x＋1的值域为(　　)
A．(－1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(0,1) D．[1，＋∞)
解析：选B　∵3x＞0，∴3x＋1＞1，即函数f(x)＝3x＋1的值域为(1，＋∞)．
例2已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若存在实数a，b，使得f(a)＝g(b)，则b的取值范围为(　　)
A．[2－，2＋] B．(2－，2＋)
C．[1,3] D．(1,3)
解析：选B　由题易知，函数f(x)的值域是(－1，＋∞)，要使得f(a)＝g(b)，必须使得－x2＋4x－3＞－1，即x2－4x＋2＜0，解得2－＜x＜2＋.
例3定义运算：a*b＝如1*2=1,则函数f(x)?=2x *2-x的值域为 (　　)．
A．R B．(0，＋∞)
C．(0,1] D．[1，＋∞)
解析　f(x)＝2x*2－x＝∴f(x)在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0答案　C
例4已知函数f(x)＝2x－，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是0.
解析：当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x<0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－为单调减函数，所以g(x)>g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.
题型四 指数函数的特征
知识与方法
例1 当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点________．
解析：令x－2＝0，则x＝2，y＝1－3＝－2，故函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点(2，－2)．
答案：(2，－2)
例2若指数函数f(x)＝(a－2)x为减函数，则实数a的取值范围为________．
解析：∵f(x)＝(a－2)x为减函数，∴0＜a－2＜1，即2＜a＜3.
例3不论a为何值时，函数y＝(a－1)2x－恒过定点，则这个定点的坐标是 (　　)．
A. B.
C. D.
解析　y＝(a－1)2x－＝a－2x，令2x－＝0，得x＝－1，则函数y＝(a－1)2x－恒过定点.
例4函数f(x)＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是(　　)
答案　D
解析　函数f(x)的图象恒过(－1,0)点，只有图象D适合．
题型五 指数函数的单调性问题
知识与方法
例1 若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________________．
答案　(－，－1)∪(1，)
解析　由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，得0 例2已知函数y＝2在区间(－∞，3)上单调递增，则a的取值范围为________．
解析 由题意知，函数u＝－x2＋ax＋1在区间(－∞，3)上单调递增，则≥3，即a≥6.
题型六 指数函数的性质及应用——比较大小 　
知识与方法
例1 (2012·天津高考)已知a＝21.2，b＝－0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c＜b＜a B．c＜a＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
解析：∵a＝21.2，b＝－0.8＝20.8，∴a＞b＞1.
又c＝2log52＝log54＜1，∴a＞b＞c.
例2(2012·浙江高考)设a＞0，b＞0，(　　)
A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b
B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜b
C．若2a－2a＝2b－3b，则a＞b
D．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b
解析：∵a>0，b>0，
∴2a＋2a＝2b＋3b>2b＋2b.
令f(x)＝2x＋2x(x>0)，则函数f(x)为单调增函数．
∴a>b.
例3设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＞c＞b B．a＞b＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
解析：选A　构造指数函数y＝x(x∈R)，由该函数在定义域内单调递减可得b＜c；又y＝x(x∈R)与y＝x(x∈R)之间有如下结论：当x＞0时，有x＞x，故＞，即a＞c，故a＞c＞b.
例4已知a＝()，b＝2，c＝9，则(　　)
A．bC．b解析：选A　a＝()＝2＝2，b＝2，c＝9＝3，由2<3得a，得a>b，所以c>a>b.故选A.
题型七 指数函数的性质及应用——解不等式
知识与方法
例1 若函数f(x)＝则不等式－≤f(x)≤的解集为(　　)
A．[－1,2)∪[3，＋∞) B．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
C. D．(1， ]∪[3，＋∞)
解析：选B　函数f(x)＝和函数g(x)＝±的图象如图所示，从图象上可以看出不等式的解集是两个无限区间．当x<0时，是区间(－∞，－3]，当x≥0时，是区间[1，＋∞)，故不等式－≤f(x)≤的解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
例2函数f(x)＝ 的定义域为集合A，关于x的不等式2x＞2－a－x(a∈R)的解集为B，求使A∩B＝B的实数a的取值范围．
解：由≥0，解得x≤－2或x＞1，
于是A＝(－∞，－2]∪(1，＋∞)，
2x＞2－a－x 2x＞a＋x 2x＜a＋x x＜a，所以B＝(－∞，a)．
因为A∩B＝B，所以B A，所以a≤－2，
即a的取值范围是(－∞，－2]．
例3 设函数f(x)＝若f(a)＞1，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2,1)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
解析：选B　由f(a)＞1知
或
解得 或即a＜－2或a＞1.
例4若对于任意x∈(－∞，－1]，都有(3m－1)2x<1成立，则m的取值范围是(　　)
A. B.
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
解析：选C　∵2x>0，∴不等式(3m－1)2x<1对于任意x∈(－∞，－1]恒成立等价于3m－1<＝x对于任意x∈(－∞，－1]恒成立．∵x≤－1，∴x≥－1＝2，∴3m－1<2，解得m<1，∴m的取值范围是(－∞，1)．故选C.
题型八：指数函数的性质及应用——恒成立问题
知识与方法
例1 设函数f(x)＝32x－2×3x＋a2－a－5，当0≤x≤1时，f(x)＞0恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：f(x)＝32x－2×3x＋a2－a－5＝(3x－1)2＋a2－a－6，∵0≤x≤1，∴1≤3x≤3，∴函数f(x)＝32x－2×3x＋a2－a－5在0≤x≤1上是增函数，f(x)＞0恒成立 f(0)＞0，f(0)＝1－2＋a2－a－5＝a2－a－6＝(a－3)(a＋2)＞0，∴a＞3或a＜－2.
例2已知f(x)＝x2，g(x)＝x－m，若对 x1∈[－1,3]， x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．
解析　x1∈[－1,3]时，f(x1)∈[0,9]，x2∈[0,2]时，g(x2)∈，即g(x2)∈，要使 x1∈[－1,3]， x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，只需f(x)min≥g(x)min，即0≥－m，故m≥.
答案　
例3若对于任意x∈(－∞，－1]，都有(3m－1)2x<1成立，则m的取值范围是(　　)
A. B.
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
解析：选C　∵2x>0，∴不等式(3m－1)2x<1对于任意x∈(－∞，－1]恒成立等价于3m－1<＝x对于任意x∈(－∞，－1]恒成立．∵x≤－1，∴x≥－1＝2，∴3m－1<2，解得m<1，∴m的取值范围是(－∞，1)．故选C.
例4已知函数f(x)＝x3(a＞0，且a≠1)．
(1)讨论f(x)的奇偶性；
(2)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．
解：(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，
∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．
对于定义域内任意x，有
f(－x)＝(－x)3＝(－x)3
＝(－x)3＝x3＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数．
(2)由(1)知f(x)为偶函数，
∴只需讨论x＞0时的情况，当x＞0时，要使f(x)＞0，
则x3＞0，即＋＞0，
即＞0，则ax＞1.
又∵x＞0，∴a＞1.∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)＞0.
题型九：指数函数的性质及应用——零点交点问题
知识与方法
例1 若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析　令ax－x－a＝0即ax＝x＋a，
若0若a>1，y＝ax与y＝x＋a的图象如图所示．
例2若直线y1＝2a与函数y2＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是.
解析：(数形结合法)
当0∴0同理，当a>1时，解得01矛盾．
综上，a的取值范围是.
例3二次函数y＝－x2－4x(x>－2)与指数函数y＝x的图象的交点个数是(　C　)
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：因为函数y＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4(x>－2)，且当x＝－2时，y＝－x2－4x＝4，y＝x＝4，则在同一直角坐标系中画出y＝－x2－4x(x>－2)与y＝x的图象如图所示，由图象可得，两个函数图象的交点个数是1，故选C.

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