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【题型归类大全】2023年高考一复习学案（理科数学）
考点09：对数与对数函数
[考纲传真]
　1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．
3．知道对数函数是一类重要的函数模型．
4．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1)．
[题型归类]
题型一：对数式的化简与求值
题型二：对数函数的图象
题型三：对数函数的值域与最值
题型四：对数函数的特征
题型五：对数函数的单调性问题
题型六：对数函数的性质及应用——比较大小
题型七：对数函数的性质及应用——解不等式
题型八：对数函数的性质及应用——恒成立问题
题型九：和对数函数有关的复合函数、分段函数
题型一 对数幂的化简与求值
知识与方法
对数运算的一般思路
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
1．对数的定义
如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质与运算
(1)对数的性质(a>0且a≠1)：
①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N.
(2)对数的换底公式：
logab＝(a，c均大于零且不等于1)．
(3)对数的运算法则：
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(M·N)＝logaM＋logaN，
②loga＝logaM－logaN，
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
例1 计算(log32＋log92)·(log43＋log83)
解析：∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.
法二：∵loga2＝m，loga3＝n，∴a2m＋n＝(am)2·an＝(aloga2)2·aloga3＝22×3＝12.
例2设a，b，c均为不等于1的正实数， 则下列等式中恒成立的是(　　)
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
解析：选B　logab·logca＝logab·＝＝logcb，故选B
例3已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，给出下列五个关系式：①a＞b＞1；②b＞a＞1；③a＜b＜1；④b＜a＜1；⑤a＝b.其中可能的关系式是________．
解析：由已知得log2a＝log3b，在同一坐标系中作出y＝log2x，y＝log3x的图象，当纵坐标相等时，可以得到相应横坐标的大小关系，从而得出②④⑤可能．
答案：②④⑤
例4设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.
解析：∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，
∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
∴m2＝10，∴m＝.
题型二 对数函数的图象　
知识与方法
对数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
定点 过点(1,0)
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
函数值 正负 当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
对数函数图象的画法
　画对数函数y＝logax的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，.
对数函数与指数函数的图象特征
(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a＞1时，图象上升；0＜a＜1时，图象下降．
(2)底数的大小决定了图象的高低，即在y轴右边，指数函数y＝ax的图象“底大图高”；在x轴上方，对数函数y＝logax的图象“底大图低”．
例1 函数y＝ax2＋bx与y＝log||x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是(　　)
A　　 　　　　　　　B
解析：令ax2＋bx＝0，得x＝0或x＝－.
对于A、B项，由抛物线知，0＜＜1，此时，对数函数图象不合要求，故A、B项不正确；对于C项，由抛物线知＞1，此时，对数函数图象不合要求，故C不正确；对于D项，由抛物线知0＜＜1，此时对数函数的图象符合要求，故选D.
例2函数f(x)＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为(　　)
解析：选A　由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x＞0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x＜0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.
例3已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　)
A．(1,10) B．(5,6) C．(10,12) D．(20,24)
解析：选C　作出f(x)的大致图象．不妨设a＜b＜c，因为a、b、c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，由函数的图象可知10 例4函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
a＞1，b＜0　　　　　　　B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0
解析：选D　由函数f(x)的图象特征知，0＜a＜1，又f(0)＝a－b＜1＝a0，所以－b＞0，即b＜0.
题型三 对数函数的值域与最值　
知识与方法
例1 函数y＝log2(x2＋1)－log2x的值域是(　　)
A．[0，＋∞) B．(－∞，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析：选C　y＝log2(x2＋1)－log2x＝log2＝log2≥log22＝1(x>0)．
例2若函数f(x)＝alog2·log2(4x)在区间上的最大值是25，求实数a的值．
解：f(x)＝alog2·log2(4x)＝a[(log2x－3)(log2x＋2)]＝a[(log2x)2－log2x－6]，
令t＝log2x，则f(x)＝a(t2－t－6)，且t∈[－3,2]．
由于h(t)＝t2－t－6＝2－，
所以当t＝时，h(t)取最小值－；
当t＝－3时，h(t)取最大值6.
若a＝0，显然不合题意；
若a＞0，则f(x)的最大值为6a，即6a＝25，
所以a＝；若a＜0，则f(x)的最大值为－a，即－a＝25，所以a＝－4.
综上，实数a的值为或－4.
例3若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是(　　)．
A．0C．1解析　因为y＝x2－ax＋1是开口向上的二次函数，从而有最小值，故要使函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a>1，且>0，得1 例4设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是(　　)
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
答案　A
解析　由f(x)是奇函数可得a＝－1，
∴f(x)＝lg，定义域为(－1,1)．
由f(x)<0，可得0<<1，∴－1题型四 对数函数的定义域与特征
知识与方法
例1 若f(x)＝，则f(x)的定义域为(　　)
A.　　　　　　　B.
C. D．(0，＋∞)
解析：选A　根据题意得log(2x＋1)＞0，即0＜2x＋1＜1，解得x∈.
例2已知函数f(x)＝x－log3x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0A．不小于0　　　　　 　 　B．恒为正数
C．恒为负数 D．不大于0
解析：选B　由题意知，x0是函数y＝x和y＝log3x的图象交点的横坐标，因为0log3x1，所以f(x1)的值恒为正数．
例3函数y＝的定义域是(　　)
A．(－1，＋∞)　　　　　　B．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
解析：要使有意义，需满足x＋1＞0且x－1≠0，得x＞－1且x≠1.
例4函数y＝的定义域是(　　)
A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x＜1或1＜x＜2}
C．{x|0＜x≤2} D．{x|0＜x＜1或1＜x≤2}
解析　要使函数有意义只需要
解得0＜x＜1或1＜x≤2，
∴定义域为{x|0＜x＜1或1＜x≤2}．
题型五 对数函数的单调性问题
知识与方法
例1 函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为________，单调递增区间为________．
解析：作出函数y＝log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．
答案：(－∞，－1)　(－1，＋∞)
例2已知函数f(x)＝log(a2－3a＋3)x.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若y＝f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．
解　(1)函数f(x)＝log(a2－3a＋3)x的定义域为R.
又f(－x)＝log(a2－3a＋3)－x
＝－log(a2－3a＋3)x＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
(2)函数f(x)＝log(a2－3a＋3)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则y＝(a2－3a＋3)x在(－∞，＋∞)上为增函数，
由指数函数的单调性，知a2－3a＋3>1，解得a<1或a>2.
所以a的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．
例3已知函数y＝(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上是增函数，求a的取值范围．
解　函数y＝l (x2－ax＋a)是由函数y＝t和t＝x2－ax＋a复合而成．
因为函数y＝t在区间(0，＋∞)上单调递减，
而函数t＝x2－ax＋a在区间(－∞，)上单调递减，
又因为函数y＝ (x2－ax＋a)在区间(－∞，)上是增函数，
所以解得
即2≤a≤2(＋1)．
例4若函数f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为(　A　)
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)．
题型六 对数函数的性质及应用——比较大小
知识与方法
比较对数式的大小．①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；③若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．
例1 设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　)
A．c＞b＞a B．b＞c＞a
C．a＞c＞b D．a＞b＞c
解析：由对数运算法则得a＝log36＝1＋log32，b＝1＋log52，c＝1＋log72，由对数函数图象得log32＞log52＞log72，所以a＞b＞c.
例2已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝log30.3，则(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．a＞c＞b D．c＞a＞b
解析：选C　a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝log30.3＝5log3.又∵log23.4＞log3＞1,0＜log43.6＜1，∴5log23.4＞log30.3＞5log43.6，即a＞c＞b.
例3已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＝bc
C．ab>c
解析：选B　因为a＝log23＋log2＝log23＝log23>1，b＝log29－log2＝log23＝a，c＝log32 例4设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)
A．a＞c＞b B．b＞c＞a
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
解析：∵＜2＜3,1＜2＜，3＞2，∴log3＜log32＜log33，log51＜log52＜log5，log23＞log22，
∴＜a＜1,0＜b＜，c＞1.
∴c＞a＞b.
题型七 对数函数的性质及应用——解不等式
知识与方法
解对数不等式．形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；形如logax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．
例1 当0A.　　　　　　　B.
C．(1，) D．(，2)
解析：由04x>0，得0在同一坐标系中画出函数y＝4x和y＝logax的图象，如图所示：
由图象知，要使当0＜x≤，4x＜logax，
只需loga＞4，即loga＞logaa2，则a2＞，
解得a＞或a＜－，又0 例2如果logx＜logy＜0，那么(　　)
A．y＜x＜1 B．x＜y＜1
C．1＜x＜y D．1＜y＜x
解析：选D　由logx＜logy＜0，得logx＜logy＜log1.所以x＞y＞1.
例3定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f＝0，则不等式f(logx)＞0的解集是________．
解析：定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
由于f＝0，则f＝0，由f(x)＞0可得x＞，或x＜－，不等式f(logx)＞0
等价于logx＞，或logx＜－，
即logx＞log，或logx＜－log，
所以0＜x＜，或x＞2.
例4设f(x)＝lg(＋a)是奇函数，则使f(x)＜0的x的取值范围是(　　)．
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析　∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，∴a＝－1.
∴f(x)＝lg，由f(x)＜0得，0＜＜1，
∴－1＜x＜0.
题型八 对数函数的性质及应用——恒成立问题
知识与方法
例1若不等式(x－1)2＜logax在x∈(1,2)内恒成立，求实数a的取值范围．
解：设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．当0＜a＜1时，显然不成立；当a＞1时，如图，要使x∈(1,2)时，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，∴1＜a≤2，即实数a的取值范围是(1,2]
例2已知函数f(x)＝loga(3－ax)．
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)∵a>0且a≠1，设t＝3－ax，则t＝3－ax为减函数，x∈[0,2]时，t最小值为3－2a.当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．
∴3－2a>0，即a<.
又a>0且a≠1，
∴a∈(0,1)∪.
(2)t＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)在R上为减函数．
∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝logat为增函数．∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，
∴即故这样的实数a不存在．
例3已知a>0且a≠1，若函数f(x)＝loga(ax2－x)在[3,4]上是增函数，则a的取值范围是________．
解析：当a>1时，要使f(x)＝loga(ax2－x)在[3,4]上单调递增，则y＝ax2－x在[3,4]上单调递增，且y＝ax2－x>0恒成立，即解得a>1.
当00恒成立，即此时无解．
综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．
题型九 和对数函数有关的复合函数、分段函数
知识与方法
例1 已知函数f(x)＝loga(3－ax)．
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
解　(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，
则t(x)＝3－ax为减函数，
x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a，
当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，
即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．
∴3－2a>0.∴a<.
又a>0且a≠1，∴a∈(0,1)∪.
(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)为减函数．
∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，
∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，
∴即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.
例2设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
解析：由题意可得或
解得a>1或－1 例3若函数f(x)＝则f(log23)等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　∵1∴f(log23)＝f(log23＋1)＝f(log23＋2)
＝f(log23＋3)＝f(log224)
＝＝2
＝＝.

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