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【题型归类大全】2023年高考一复习学案（理科数学）
考点10： 函数的图象
[考纲传真]
　1．在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数．
2．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．
[题型归类]
题型一 作函数的图像
题型二 利用奇偶性判断函数图像
题型三 实际情景探究函数图象
题型四 通过图像变换识别函数图像
题型五 通过已知图像识别函数图像
题型六 利用对称性研究函数图像
题型七 带参数函数的图像识别问题
题型八 利用函数的图象研究方程根的个数、 交点问题
题型九 利用函数的图象研究不等式
题型十 利用函数的图象比较大小
题型一 作函数的图像
知识与方法
例1作出下列函数的图象：
(1)y＝|x|；　　　　(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝； (4)y＝|log2x－1|.
解析：(1)作出y＝x的图象，保留y＝x图象中x≥0的部分，加上y＝x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图实线部分．
(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图．
(3)∵y＝＝1－，可见原函数图象可由y＝－图象向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如图(3)．
图(3)
　　图(4)
(4)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移1个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图(4).
题型二 利用奇偶性判断函数图像
知识与方法
例1 函数y＝x|x|的图象经描点确定后的形状大致是(　　)
解析：选A　y＝x|x|＝为奇函数，奇函数图象关于原点对称．
例2函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是(　　)
解析：选A　函数f(x)＝ln(x2＋1)的定义域为(－∞，＋∞)，又因为f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数且f(0)＝ln 1＝0，
综上选A.
例3函数y＝f(x)在x∈[－2,2]的图象如图所示，则当x∈[－2，2]时，f(x)＋f(－x)＝________.
解析：由图象可知，函数f(x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0.
答案：0
例4函数的图象可能为（ ）
【答案】D
【解析】因为，且，所以函数为奇函数，排除A，B．当时，，排除C，故选D．
题型三 实际情景探究函数图象
知识与方法
由实际情景探究函数图象．关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．
例1 如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的个数为(　　)
　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选A　将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来；图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化规律是先快后慢再快，正确；④中的变化规律是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．
例2小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　)
例3一个体积为V的棱锥被平行于底面的平面所截，设截面上部的小棱锥的体积为y，截面下部的几何体的体积为x，则y与x的函数关系可以表示为________(填入正确图象的序号)．
解析：∵x＋y＝V，∴y＝－x＋V.
故由y＝－x＋V的图象可知应填③.
答案：③
例4某地一年的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10 ℃，令C(t)表示时间段[0，t]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C(t)与t之间的函数关系的是(　　)
解析：选A.若增加的数大于当前的平均数，则平均数增大；若增加的数小于当前的平均数，则平均数减小．因为12个月的平均气温为10 ℃，所以当t＝12时，平均气温应该为10 ℃，故排除B；因为在靠近12月份时其温度小于10 ℃，因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10 ℃，排除C；6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值，故平均气温不可能出现先减小后增加的情况，故排除D，故选A.
题型四 通过图像变换识别函数图像　
知识与方法
函数图象变换的4种形式
(1)平移变换(上加下减，左加右减)
y＝f(x)的图象y＝f(x＋a)(y＝f(x－a))的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(x)＋a(y＝f(x)－a)的图象．
(2)伸缩变换
y＝f(x)的图象y＝kf(x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(kx)的图象．
(3)对称变换
y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(2a－x)的图象．
(4)翻折变换
y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象，
y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象．
例1 若loga2<0(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝loga(x＋1)的图象大致是(　　)
解析：选B　由loga2<0，得0 例2函数y＝|x＋1|的大致图象为(　　)
解析：选B　该函数图象可以看作偶函数y＝|x|的图象向左平移1个单位得到的．
题型五 通过已知图像识别函数图像
知识与方法
已知函数图象确定相关函数的图象．此类问题主要考查函数图象的变换(如平移变换、对称变换等)，要注意函数y＝f(x)与y＝f(－x)、y＝－f(x)、y＝－f(－x)、y＝f(|x|)、y＝|f(x)|等的相互关系．
例1 已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是(　　)
解析：选A　观察图象可知，y＝f(x)有两个零点x1＝－，x2＝，且y＝g(x)在x＝0时，函数值不存在，所以函数y＝f(x)·g(x)在x＝0时，函数值也不存在，故可以排除选项C，D；当x∈时，y＝f(x)·g(x)的函数值为负，故排除选项B.
例2函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝logf(x)的图象大致是(　　)
解析：选C　由函数y＝f(x)的图象知，当x∈(0,2)时，f(x)≥1，所以logf(x)≤0.又函数f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以y＝logf(x)在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数．
例3已知定义在区间[0.2]上的函数y=f(x)的图象如图所示，
则y=-f(2-x)的图象为
解析：选B.由的图象向左平移两个单位得;再把的图象关于原点对称得的图象,可知答案.
例4已知定义域为[0，1]的函数f(x)的图象如图所示，则函数f(－x＋1)的图象可能是(　　)
解析：因为f(－x＋1)＝f[－(x－1)]，先将f(x)的图象沿y轴翻折，y轴左侧的图象即为f(－x)的图象，再将所得图象向右平移1个单位长度就得到函数f(－x＋1)的图象，故选B.
题型六 利用对称性研究函数图像
知识与方法
例1 已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，试求f(x)在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．
解：∵f(x)的图象关于原点对称，
∴f(－x)＝－f(x)，∴当x＝0时，f(x)＝0.
又当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，
∴当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
∴函数的解析式为f(x)＝
作出函数的图象如图．
根据图象可以得函数的增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；函数的减区间为(－1,0)，(0,1)．
例2函数f(x)＝cos x的图象的大致形状是(　　)
解析：选B.因为f(x)＝cos x，所以f(－x)＝cos(－x)＝－cos x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A，C，又当x∈时，ex>e0＝1，－1<0，cos x>0，所以f(x)<0，可排除选项D，故选B.
例3下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　　)
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
解析：选B.法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x)．故选B.
法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.
例4已知函数f(x)＝的图象上有两对关于y轴对称的点，则实数k的取值范围是________．
解析：将函数y＝ln(－2x)(x<0)的图象沿y轴翻折，得函数g(x)＝ln(2x)(x>0)的图象，由题意可得g(x)的图象和y＝kx－3(x≥0)的图象有两个交点．设y＝kx－3(x≥0)的图象与曲线y＝g(x)相切的切点为(m，ln(2m))，由g′(x)＝，得k＝.又ln(2m)＝km－3，解得m＝，则k＝2e2.由图象可得0题型七 带参数函数的图像识别问题
知识与方法
例1 在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　　)
　A　　　　　B　　　　　C　　　　　　D
解析：选C　当幂指数a<0时，函数图象不过坐标原点，且在(0，＋∞)上单调递减，选项A，B中的图象符合幂指数a<0，但此时一次函数y＝ax－是单调递减的，选项A不符合要求；选项B中，一次函数图象的斜率与其在y轴上的截距的符号相同，不符合题意；当a>0时，幂函数的图象过坐标原点，且在(0，＋∞)上单调递增，选项C，D中的幂函数图象符合要求，但选项D中的一次函数y＝ax－中a<0，所以只有选项C中的图象是可能的．
例2若不等式(x－1)2解析：要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2当01时，如图，要使x∈(1，2)时y＝(x－1)2的图象在y＝logax的图象的下方，只需(2－1)2≤loga2，即loga2≥1，解得1题型八 利用函数的图象研究方程根的个数、交点问题
知识与方法
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．
例1 函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
解析：选B　在同一直角坐标系下画出函数f(x)＝2ln x与函数g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的图象，如图所示．
∵f(2)＝2ln 2>g(2)＝1，∴f(x)与g(x)的图象的交点个数为2，故选B.
例2已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有
两个交点，则实数k的取值范围是________．
解析：先去掉绝对值符号，在同一直角坐标系中作出函数的图象，利用数形结合求解．
根据绝对值的意义，y＝＝在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0 例3f(x)的定义域为R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，1)　　　　　　　 B．(－∞，1]
C．(0,1) D．(－∞，＋∞)
解析：选A　x≤0时，f(x)＝2－x－1.0＜x≤1时，－10时，f(x)是周期函数．如图．
欲使方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数解，即函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同的交点，故a<1.
例4已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；
(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝mx有四个不相等的实根}．
解：f(x)＝
作出图象如图所示．
(1)单调递增区间为(1,2]，(3，＋∞)，
单调递减区间为(－∞，1]，(2,3]．
(2)由图象可知当y＝f(x)与y＝mx的图象有四个不同的交点时，直线y＝mx应介于x轴与切线l1之间. x2＋(m－4)x＋3＝0.
由Δ＝0，得m＝4±2.
当m＝4＋2时，x＝－ (1,3)，舍去．
所以m＝4－2，故直线l1的方程为y＝(4－2)x.
所以m∈(0,4－2)．即集合M＝{m|0题型九 利用函数的图象研究不等式
知识与方法
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．
例1 已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值；
(2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数；
(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；
(4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集；
解析：(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.
(2)∵f(x)＝x|m－x|＝x|4－x|＝
∴函数f(x)的图象如图：
由图象知f(x)有两个零点．
(3)从图象上观察可知：f(x)的单调递减区间为[2,4]．
(4)从图象上观察可知：不等式f(x)>0的解集为{x|04}．
例2使成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在同一坐标系内作出，的图象，知满足条件的，故选A．
例3已知偶函数对于任意都有，且在区间上是单调递增的，
则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
解析：由，得，∴函数的周期是2．
∵函数为偶函数，∴，．
∵在区间上是单调递增的，∴，即．
例4设函数，，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．
解析：如图作出函数与的图象，观察图象可知：当且仅当，即时，不等式恒成立，因此的取值范围是．
题型十 利用函数的图象比较大小
知识与方法
例1 设a，b，c均为正数，且2a＝loga，b＝logb，c＝log2c，则(　　)
A．aC．c解析：选A　如图，在同一坐标系中，作出函数y＝x，y＝2x，y＝log2x和logx的图象．由图象可知a 例2函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2(x1x1f(x2)，记a＝f(2)，b＝f(1)，c＝－f(－3)，则a，b，c之间的大小关系为(　　)
A．a>b>c　　　　　　　　 B．b>a>c
C．c>b>a D．a>c>b
解析：因为对任意两个正数x1，x2(x1x1f(x2)，所以>，得函数g(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，又c＝－f(－3)＝f(3)，所以g(1)>g(2)>g(3)，即b>a>c，故选B.

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