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指数与指数函数
【考点预测】
1.指数及指数运算
(1)根式的定义：
一般地，如果 xn= a，那么 x叫做 a的n次方根，其中 (n> 1，n∈N )，记为 n a，n称为根指数，a称为根底数．
(2)根式的性质：
当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数.
(3)指数的概念：指数是幂运算 an(a≠ 0)中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示
指数个底数相乘.
(4)有理数指数幂的分类
n 个
①正整数指数幂 an= a a a a (n∈N )；②零指数幂 a0= 1 (a≠ 0)；
③负整数指数幂 a-n= 1n (a≠ 0，n∈N )；④ 0的正分数指数幂等于 0，0的负分数指数幂没有意义．a
(5)有理数指数幂的性质
① aman= am+n(a> 0，m，n∈Q)；② (am)n= amn(a> 0，m，n∈Q)；
③ (ab)m= ambm(a> m0，b> 0 n，m∈Q)；④ am= a n (a> 0，m，n∈Q)．
2.指数函数
y= ax
0< a< 1 a> 1
图
象
①定义域R，值域 (0，+∞)
② a0= 1，即时 x= 0，y= 1，图象都经过 (0，1)点
性
③ ax= a，即 x= 1时，y等于底数 a
质
④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数
⑤ x< 0时，ax> 1；x> 0时，0< ax< 1 x< 0时，0< ax< 1；x> 0时，ax> 1
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
【方法技巧与总结】
1.指数函数常用技巧
(1)当底数大小不定时，必须分“a> 1”和“0< a< 1”两种情形讨论．
(2)当 0< a< 1时，x→+∞，y→ 0；a的值越小，图象越靠近 y轴，递减的速度越快．
当 a> 1时 x→+∞，y→ 0；a的值越大，图象越靠近 y轴，递增速度越快．
x
(3)指数函数 y= ax与 y= 1a 的图象关于 y轴对称．
【题型归纳目录】
题型一：指数运算及指数方程、指数不等式
题型二：指数函数的图像及性质
题型三：指数函数中的恒成立问题
题型四：指数函数的综合问题
【典例例题】
题型一：指数运算及指数方程、指数不等式
-2
例1. (2022· · ( )) 1四川凉山 三模 文 计算： 4 + e
ln3- 3- 1 0+ lg4+ lg0.25=______．
例2. (2022·河北邯郸·一模)不等式 10x- 6x- 3x≥ 1的解集为___________.
例3. (2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测 (理))甲 乙两人解关于 x的方程 2x+ b 2-x+ c= 0，甲写错了常数
b，得到的根为 x=-2或 x= log 172 4 ，乙写错了常数 c，得到的根为 x= 0或 x= 1，则原方程的根是 ( )
A. x=-2或 x= log23 B. x=-1或 x= 1 C. x= 0或 x= 2 D. x=-1或 x= 2
例4. (2022·全国·高三专题练习 (文))已知函数 f x 是定义在R上的奇函数，当 x≥ 0时，f x = 4x- 3× 2x+ 2a．则
关于 x的不等式 f x ≤-6的解集为 ( )
A. (-∞,-2] B. (-∞,-1] C. -2,0 ∪ 0,2 D. -2,0 ∪ 2,+∞
例5. (2022·全国·高三专题练习)化简：
- 1
(1) ( 3 2 × 3)6+ (-2018)0- 4× 1649
2+ 4 (3- π)4
a3(2) b
2 3 ab2
1 1 1 (a> 0，b> 0).
4
4
ab 2 a- 3b 3
3 1
a2(3) - 1 - a+ a
2
+ a- 11 1 1 .
a+ a2+ 1 a2+ 1 a2- 1
题型二：指数函数的图像及性质
2
例6. ( · (x+m)2022 浙江绍兴·模拟预测)函数 f(x) = x- -x ，的图象如图所示，则 ( )a a
A. m< 0,0< a< 1 B. m< 0,a> 1
C. m> 0,0< a< 1 D.m> 0,a> 1
例7. (2022·全国·高三专题练习)函数 f x = 2x- 1 -m恰有一个零点，则m的取值范围是 ( )
A. 1,+∞ B. 0 ∪ 1,+∞ C. 0 ∪ 1,+∞ D. 1,+∞
例8. (2022· 1四川省泸县第二中学模拟预测 (文))函数 f x = + -x ，下列关于函数 f x 的说法错误的是 ( )1 e
A. 函数 f x 的图象关于原点对称 B. 函数 f x 的值域为 0,1
C. 不等式 f 1 x > 2 的解集是 0,+∞ D. f x 是增函数
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例9. (2022·河南·三模 (文))已知 f x- 1 为定义在R上的奇函数，f 1 = 0，且 f x 在 -1,0 上单调递增，在 0,+∞
上单调递减，则不等式 f 2x- 5 < 0的解集为 ( )
A. 2,log26 B. -∞,1 ∪ 2,log26 C. log26,+∞ D. 1,2 ∪ log26,+∞
例10. (2022·新疆阿勒泰·三模 (理))函数 y= ax-1+ 1 图象过定点A，点A在直线mx+ ny= 3 m> 1,n> 0 上，则
1
m- 1 +
2
n 最小值为___________.
例11. (2022·北京·高三专题练习)已知 f x = 22x+ 2x+1- a2x+ 1(其中 a∈R且 a为常数)有两个零点，则实数 a的取
值范围是___________.
例12. (2022·全国·高三专题练习)已知函数 f x = 2x+ k 2-x(k为常数，k∈R)是R上的奇函数．
(1)求实数 k的值；
(2)若函数 y= f 15 x 在区间 1,m 上的值域为 n, 4 ，求m+n的值．
题型三：指数函数中的恒成立问题
例13. (2022 ·北京 ·高三专题练习)设 f x 是定义在 R上的偶函数，且当 x ≤ 0 时，f x = 2-x，若对任意的 x ∈
m,m+ 1 ，不等式 f x ≥ f 2 x-m 恒成立，则正数m的取值范围为 ( )
A. m≥ 1 B. m> 1 C. 0例14. (2022·北京·高三专题练习)已知函数 f x = 3x- 3-x．
(1)利用函数单调性的定义证明 f x 是单调递增函数；
(2)若对任意 x∈ -1,1 ， f x 2+mf x ≥-4恒成立，求实数m的取值范围．
例15. (2022·全国·高三专题练习 (文)) 3已知函数 f x = a-
2x+ (a为实常数).1
(1)讨论函数 f x 的奇偶性，并说明理由；
(2)当 f x 为奇函数时，对任意 x∈ 1,6 ，不等式 f x ≥ u x 恒成立，求实数u的最大值.2
例16. (2022·全国·高三专题练习 (文))已知函数 f(x) = 4x- a 2x+1+ 1．
(1)若函数 f(x)在 x∈ [0，2]上有最大值-8，求实数 a的值；
(2)若方程 f(x) = 0在 x∈ [-1，2]上有解，求实数 a的取值范围．
x
例17. (2022· 1全国·高三专题练习)已知函数 f(x) = x2，g(x) = 2 -m
(1)当 x∈ [-1,3]时，求 f(x)的值域；
(2)若对 x∈ 0,2 ，g(x)≥ 1成立，求实数m的取值范围；
(3)若对 x1∈ 0,2 ， x2∈ [-1,3]，使得 g(x1)≤ f(x2)成立，求实数m的取值范围．
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题型四：指数函数的综合问题
例18. (2022·天津河西·二模)已知定义在R上的函数 f(x)满足：① f 2- x + f(x) = 0；② f x- 2 - f -x = 0；③在
cos π- , = 2 x,x∈ -1,0 1 x 1 1 上的解析式为 f x ，则函数 f(x)与函数 g(x) = 2 的图象在区间 -3,3 上的交1- x,x∈ 0,1
点个数为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
x
2 + 3, x≤ 0例19. (2022·北京·二模)若函数 f x = 2 的定义域和值域的交集为空集，则正数 a的取值范围是 x- 2 , 0< x≤ a
( )
A. 0,1 B. 0,1 C. 1,4 D. 2,4
4 1 2
例20. (2022 ·甘肃省武威第一中学模拟预测 (文))已知函数 f x = x+ + sinπx，则 f2 2 2022 + f 2022 +
+f 40432022 =______．
例21. (2022·全国·高三专题练习)已知函数 f x 的定义域为R，满足 f x+ 1 = 2f x- 1 ，且当 x∈ -1,1 时，f x =
2x-1，则 f 2020 =______．
10x-2- 102-x , x≤ 2例22. (2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测)已知函数 f x = ，则不等式 f x + f x- 1- - > < 0的 x 3 1, x 2
解集为___________.
2- x-a , x≤ 1
例23. (2022·江西·二模 (文))设函数 f x = 1 ，若 f 1 是函数 f x 的最大值，则实数 a的取值范围为- 2 x+ 1, x> 1
_______．
【过关测试】
一、单选题
x
1. (2022·北京通州·模拟预测)已知函数 f(x) = 3x- 13 ，则 f(x) ( )
A. 是偶函数，且在R是单调递增 B. 是奇函数，且在R是单调递增
C. 是偶函数，且在R是单调递减 D. 是奇函数，且在R是单调递减
2. (2022·安徽淮南·二模 (理))1947年，生物学家Max Kleiber发表了一篇
题为《body size and metabolicrate》的论文，在论文中提出了一个克
3
莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的 4 次幂成正比，即 F
3
= c M 40 ，其中 F为基础代谢率，M为体重．若某哺乳动物经过一段时
间生长，其体重为原来的 10倍，则基础代谢率为原来的 (参考数据：4 10
≈ 1.7783) ( )
A. 5.4倍 B. 5.5倍
C. 5.6倍 D. 5.7倍
3. (2022·陕西·西安中学模拟预测 (文))英国著名数学家布鲁克-泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理
著称于世.在数学中，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并建立了
x2 x3ex= 1+ x+ + + + x
n
如下指数函数公式： 2 6 + + ，其中 x∈R,n∈N，则 e 的近似值为 (精确到 0.01)n!
( )
A. 1.63 B. 1.64 C. 1.65 D. 1.66
3x+1- 1, x≥ 1
4. (2022·河南洛阳·二模 (文))已知函数 f x = ，且 f m =-2，则 f 6+m = ( )-log3 x+ 5 - 2, x< 1
A. 26 B. 16 C. - 16 D. - 26
log x- 1
5. (2022· 3四川成都·三模 (理))若函数 f x = 9x+ x02- 的零点为 x0，则 9 x0- 1 = ( )．x x
A. 13 B. 1 C. 3 D. 2
6. (2022·河南·开封高中模拟预测 (文))若关于 x的不等式 a 2 x > 2 x + 1 x∈R 有实数解，则实数 a的取值范围是
( )
A. 1,+∞ B. 2,+∞ C. 1,+∞ D. 2,+∞
7. (2022· · ( )) f(x) x∈R f x+ 1 =-f x- 1四川 内江市教育科学研究所三模 理 已知函数 满足：对任意 ， 2 2 ．当 x∈
[-1,0)时，f(x) = 3x- 1，则 f log390 = ( )
A. 1 1 17 179 B. - 9 C. 27 D. - 27
1
8. (2022·上海宝山·二模)关于函数 f(x) = 2x- 1x x 3 和实数m,n的下列结论中正确的是 ( )2
A. 若-3C. 若 f(m)< f(n)，则m2二、多选题
9. (2022·湖南·模拟预测)在同一直角坐标系中，函数 y= ax与 y= loga x- 2 的图象可能是 ( )
A. B.
C. D.
10. (2022·全国·模拟预测)已知 a> b> 0，下列选项中正确的为 ( )
A. 若 a- b= 1，则 a- b< 1 B. 若 a2- b2= 1，则 a- b< 1
C. 若 2a- 2b= 1，则 a- b< 1 D. 若 log2a- log2b= 1，则 a- b< 1
11. (2022·广东肇庆·模拟预测)若 a> b，则下列不等式中正确的有 ( )
A. a- b> 0 B. 2a> 2b C. ac> bc D. a2> b2
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4sinπx, 0< x≤ 1
12. (2022·全国·模拟预测)已知函数 f (x) = - ，若存在三个实数，使得 f x1 = f x2 = f x3 ，则2x 1+ x, x> 1
( )
A. x1+ x2+ x 53的取值范围为 2,3 B. x2 f x3 的取值范围为 3 ,2
C. x1x2x
5 1
3的取值范围为 36 , 2 D. x1 f x
1
3 的取值范围为 3 ,2
三、填空题
-2
13. (2022· · ( )) 1安徽淮北 一模 理 + 4log2 22 + log 24=___________.
14. (2022·四川·模拟预测 (理))已知两个条件：① a,b∈R,f(a+ b) = f(a) f(b)；② f(x)在 (0,+∞)上单调递减.请写出
一个同时满足以上两个条件的函数____________.
15. (2022· · ( )) f x = 4x- 2x+1+ 3 -∞, 1河南 模拟预测 文 函数 在 2 的值域为______．
3
16. (2022·山西·二模 ( )) x理 已知函数 f x = x- -x 给出下列结论：① f x 是偶函数；② f x 在 0,+∞ 上是增函2 2
数；③若 t> 0，则点 t,f t 与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______．
四、解答题
17. (2022·全国·高三专题练习)由于突发短时强降雨，某小区地下车库流入大量雨水.从雨水开始流入地下车库时进
行监测，已知雨水流入过程中，地下车库积水量 y(单位：m3)与时间 t(单位：h)成正比，雨停后，消防部门立即使用
t
抽水机进行排水，此时 y与 t的函数关系式为 y= k× 25 (k为常数)，如图所示.
(1)求 y关于 t的函数关系式；
(2)已知该地下车库的面积为 2560m2，当积水深度小于等于 0.05m时，小区居
民方可入内，那么从消防部门开始排水时算起，至少需要经过几个小时以后，
小区居民才能进入地下车库？
1 2
18. (2022· 9全国·高三专题练习) (1)计算： 2- (-9.6)0 27
- 3 2 -2
4 - 8 + 3 ；
1 1 2 -2
(2)已知 a2+ a- 2= 3 a + a + 1，求
a+ a-1+ 的值．2
19. (2022·全国·高三专题练习)已知 a> 0，且 a≠ 1，若函数 y= |ax- 2|与 y= 3a的图象有两个交点，求实数 a的取值
范围．
20. (2022·全国·高三专题练习)设函数 f(x) = kax- a-x(a> 0且 a≠ 1)是定义域为R的奇函数；
(1)若 f 1 > 0，判断 f x 的单调性并求不等式 f(x+ 2) + f(x- 4)> 0的解集；
(2)若 f 1 = 32 ，且 g(x) = a
2x+ a-2x- 4f(x)，求 g(x)在 [1,+∞)上的最小值．
21. (2022·北京·高三专题练习)定义在D上的函数 f x ，如果满足:对任意 x∈D,存在常数M> 0,都有-M≤ f x ≤
M成立，则称 f x 是D上的有界函数，其中M称为函数 f x 的上界.已知 f x = 4x+ a 2x- 2.
(1)当 a=-2时，求函数 f x 在 0,+∞ 上的值域，并判断函数 f x 在 0,+∞ 上是否为有界函数﹐请说明理由
﹔
(2)若函数 f x 在 -∞,0 上是以 2为上界的有界函数，求实数 a的取值范围.
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22. (2022·全国·高三专题练习)已知函数 f(x) = ax+ bx(a> 0,b> 0,a≠ 1,b≠ 1) .
(1)设 a= 2,b= 12 ，求方程 f x = 2的根；
(2)设 a= 2,b= 12 ，若对任意 x∈R，不等式 f 2x ≥ f x - 6m恒成立，求实数m的最大值；
(3)若 0< a< 1,b> 1，函数 g x = f x - 2有且只有 1个零点，求 ab的值.指数与指数函数
【考点预测】
1.指数及指数运算
(1)根式的定义：
一般地，如果 xn= a，那么 x叫做 a的n次方根，其中 (n> 1，n∈N )，记为 n a，n称为根指数，a称为根底数．
(2)根式的性质：
当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数.
(3)指数的概念：指数是幂运算 an(a≠ 0)中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示
指数个底数相乘.
(4)有理数指数幂的分类
n 个
①正整数指数幂 an= a a a a (n∈N )；②零指数幂 a0= 1 (a≠ 0)；
③负整数指数幂 a-n= 1n (a≠ 0，n∈N )；④ 0的正分数指数幂等于 0，0的负分数指数幂没有意义．a
(5)有理数指数幂的性质
① aman= am+n(a> 0，m，n∈Q)；② (am)n= amn(a> 0，m，n∈Q)；
③ (ab)m= ambm(a> m0，b> 0 n，m∈Q)；④ am= a n (a> 0，m，n∈Q)．
2.指数函数
y= ax
0< a< 1 a> 1
图
象
①定义域R，值域 (0，+∞)
② a0= 1，即时 x= 0，y= 1，图象都经过 (0，1)点
性
③ ax= a，即 x= 1时，y等于底数 a
质
④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数
⑤ x< 0时，ax> 1；x> 0时，0< ax< 1 x< 0时，0< ax< 1；x> 0时，ax> 1
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
【方法技巧与总结】
1.指数函数常用技巧
(1)当底数大小不定时，必须分“a> 1”和“0< a< 1”两种情形讨论．
(2)当 0< a< 1时，x→+∞，y→ 0；a的值越小，图象越靠近 y轴，递减的速度越快．
当 a> 1时 x→+∞，y→ 0；a的值越大，图象越靠近 y轴，递增速度越快．
x
(3)指数函数 y= ax与 y= 1a 的图象关于 y轴对称．
【题型归纳目录】
题型一：指数运算及指数方程、指数不等式
题型二：指数函数的图像及性质
题型三：指数函数中的恒成立问题
题型四：指数函数的综合问题
【典例例题】
题型一：指数运算及指数方程、指数不等式
-2
例1. (2022·四川凉山·三模 ( 1文))计算： + eln34 - 3- 1
0+ lg4+ lg0.25=______．
【答案】18
【解析】根据指对数幂的计算公式求解即可
-2
【详解】 14 + e
ln3- 3- 1 0+ lg4+ lg0.25= 42+ 3- 1+ lg 4× 0.25 = 18
故答案为：18
例2. (2022·河北邯郸·一模)不等式 10x- 6x- 3x≥ 1的解集为___________.
【答案】 1,+∞
x x x x x x
【解析】将原不等式变为 110 +
6
10 +
3
10 ≤ 1，设 f x =
1 + 6 + 310 10 10 ，然后利用函数的单调性解
不等式.
【详解】
x x x
由 10x- 6x- 3x≥ 1，可得 1 6 310 + 10 + 10 ≤ 1.
x x x
令 f x 1 = 10 +
6 3
10 + 10 ，
因为 y= 1
x x x
10 ,y=
6
10 ,y=
3
10 均为 R 上单调递减函数
则 f x 在 R 上单调逆减，且 f 1 = 1，
∴ f x ≤ f 1 ，
∴ x≥ 1
故不等式 10x- 6x- 3x≥ 1 的解集为 1,+∞ .
故答案为： 1,+∞ .
例3. (2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测 (理))甲 乙两人解关于 x的方程 2x+ b 2-x+ c= 0，甲写错了常数
b，得到的根为 x=-2或 x= log 172 4 ，乙写错了常数 c，得到的根为 x= 0或 x= 1，则原方程的根是 ( )
A. x=-2或 x= log23 B. x=-1或 x= 1 C. x= 0或 x= 2 D. x=-1或 x= 2
【答案】D
【解析】令 t= 2x，则方程 2x+ b 2-x+ c= 0 可化为 t2+ ct+ b= 0，根据甲计算出常数 c，根据乙计算出常数 b，再将
b,c 代入关于 x的方程 2x+ b 2-x+ c= 0 解出 x 即可
【详解】
令 t= 2x，则方程 2x+ b 2-x+ c= 0 可化为 t2+ ct+ b= 0，甲写错了常数 b，
所以 1 和 17 2 1 17 94 4 是方程 t + ct+m= 0 的两根，所以 c=- 4 + 4 =- 2 ，
乙写错了常数 c，所以 1 和 2 是方程 t2+nt+ b= 0 的两根，所以 b= 1× 2= 2，
则可得方程 t2- 92 t+ 2= 0，解得 t1=
1
2 ,t2= 4，
所以原方程的根是 x=-1 或 x= 2
故选：D
例4. (2022·全国·高三专题练习 (文))已知函数 f x 是定义在R上的奇函数，当 x≥ 0时，f x = 4x- 3× 2x+ 2a．则
关于 x的不等式 f x ≤-6的解集为 ( )
A. (-∞,-2] B. (-∞,-1] C. -2,0 ∪ 0,2 D. -2,0 ∪ 2,+∞
【答案】A
【解析】由 f x 是R上的奇函数求出 a值，并求出 x< 0 时，函数 f x 的解析式，再分段讨论解不等式作答.
【详解】因函数 f x 是定义在R上的奇函数，且当 x≥ 0 时，f x = 4x- 3× 2x+ 2a，
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则 f 0 = 40- 3× 20+ 2a= 2a- 2= 0，解得 a= 1，即当 x≥ 0 时，f x = 4x- 3× 2x+ 2，
当 x< 0 时，-x> 0，则 f(x) =-f(-x) =- (4-x- 3× 2-x+ 2)，
2
而当 x≥ 0 时，f x = 2x- 3 - 1 ≥- 12 4 4 ，则当 f x ≤-6 时，
x< 0
- ( -x- × -x+ )≤- ，即4 3 2 2 6
x< 0 (2-x- 4) (2-x+ )≥ ，1 0
变形得 x< 0 2-x≥ ，解得 x≤-2，4
所以不等式 f x ≤-6 的解集为 (-∞,-2].
故选：A
例5. (2022·全国·高三专题练习)化简：
- 1
(1) ( 3 2 × 3)6+ (-2018)0- 4× 16 2+ 449 (3- π)
4
3 2 3 2
(2) a b ab1 1 1 (a> 0，b> 0).
4
4
ab 2 a- 3b 3
3 1
a2(3) - 1 a+ a
2
1 -
a- 1
1 + 1 .
a+ a2+ 1 a2+ 1 a2- 1
1
【答案】(1)99+ π；(2) a；(3)a2 .
b
【解析】
(1)根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案.
(2)根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案.
(3)根据指数幂的化简原则，结合立方差公式，通分计算，即可得答案.
【详解】
(1)原式= ( 3 2)6× ( 3)6+ 1- 4× 4916 + 3- π = 4× 27+ 1- 7+ π- 3= 99+ π
1 2 1 10 8 1
a3b2a3b 3 2( ) = =
a 3 b 3 2 5 43 3
2 原式 1 1 2 7 =
a b a
2 7 = .
ab2a- 3b 3 a3b 3 a3b 3 b
1 1
a2- 1 a+ a2+ 1 3 1 3 1a2- a+ a- a2- a2(3)原式= - + a2- a+ 1 12 1- a 121
a+ a2+ 1 a- 1
= a - 1- a- 1 = a .
【方法技巧与总结】
利用指数的运算性质解题.对于形如 a f(x)= b，a f(x)> b，a f(x)< b的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调
性解决；或用“取对数”的方法求解.形如 a2x+Bax+C= 0或 a2x+Bax+C≥ 0(≤ 0)的形式，可借助换元法转化二
次方程或二次不等式求解.
题型二：指数函数的图像及性质
(x+m)2
例6. (2022·浙江绍兴·模拟预测)函数 f(x) = x- -x ，的图象如图所示，则 ( )a a
A. m< 0,0< a< 1 B. m< 0,a> 1
C. m> 0,0< a< 1 D.m> 0,a> 1
【答案】C
【解析】依据图像列不等式求得m、a的取值范围，即可进行选择
【详解】由图像可知，当 x> 0 时，f(x)< 0，则 x> 0 时，(x+m)2> 0，则m≥ 0，
又由 f(x)图像不关于原点中心对称可知m≠ 0，则m> 0
2x
则 x> 0 时，ax- a-x< 0，即 a - 1x < 0，则 0< a< 1a
故选：C
例7. (2022·全国·高三专题练习)函数 f x = 2x- 1 -m恰有一个零点，则m的取值范围是 ( )
A. 1,+∞ B. 0 ∪ 1,+∞ C. 0 ∪ 1,+∞ D. 1,+∞
【答案】C
【解析】将问题转化为 y= |2x- 1|与 y=m只有一个交点，画出 y= |2x-
1|的图象，应用数形结合法求m的取值范围.
【详解】
由题设，y= |2x- 1|与 y=m只有一个交点，
又 y= |2x- 1|的图象如下：
∴m∈ 0 ∪ 1,+∞ .
故选：C .
例8. (2022· 1四川省泸县第二中学模拟预测 (文))函数 f x = + -x ，下列关于函数 f x 的说法错误的是 ( )1 e
A. 函数 f x 的图象关于原点对称 B. 函数 f x 的值域为 0,1
C. 不等式 f x > 1 2 的解集是 0,+∞ D. f x 是增函数
【答案】A
【解析】利用特殊值法可判断A选项；求出函数 f x 的值域，可判断B选项；解不等式 f 1 x > 2 可判断C选项；利
用指数型函数的单调性可判断D选项.
【详解】
对于A选项，函数 f x 的定义域为R，且 f 0 = 12 ≠ 0，
所以，函数 f x 的图象不关于原点对称，A错；
对于B选项，因为 e-x+ 1> 1，所以，f x = 1 + -x ∈ 0,1 ，B对；1 e
对于C选项，由 f x = 1 1 -x+ -x > 2 可得 e < 1，则-x< 0，解得 x> 0，C对；1 e
对于D选项，对任意的 x∈R，y= 1+ e-x> 1，
且函数 y= 1+ e-x在R上单调递减，故函数 f x 是增函数，D对.
故选：A.
例9. (2022·河南·三模 (文))已知 f x- 1 为定义在R上的奇函数，f 1 = 0，且 f x 在 -1,0 上单调递增，在 0,+∞
上单调递减，则不等式 f 2x- 5 < 0的解集为 ( )
A. 2,log26 B. -∞,1 ∪ 2,log26 C. log26,+∞ D. 1,2 ∪ log26,+∞
【答案】D
【解析】首先判断出 f x 的对称性，求得 f x < 0 的解集，从而求得 f 2x- 5 < 0 的解集.
【详解】
因为 f x- 1 为定义在R上的奇函数，所以 f x 的图象关于点 -1,0 对称，
且 f -1 = 0，又 f 1 = 0，所以 f -3 = 0．
依题意可得，当-3< x<-1 或 x> 1 时，f x < 0．
所以 f 2x- 5 < 0 等价于-3< 2x- 5<-1 或 2x- 5> 1，
解得 1< x< 2 或 x> log26．
故选：D
例10. (2022·新疆阿勒泰·三模 (理))函数 y= ax-1+ 1 图象过定点A，点A在直线mx+ ny= 3 m> 1,n> 0 上，则
1
m- 1 +
2
n 最小值为___________.
【答案】92 ##4.5
【解析】根据指数函数过定点的求法可求得A 1,2 ，代入直线方程可得 m- 1 + 2n= 2，根据 1m- 1 +
2
n =
1 12 m- 1 +
2
n m- 1 + 2n ，利用基本不等式可求得最小值.
公众号：高中数学最新试题
【详解】
当 x= 1 时，y= a0+ 1= 2，∴ y= ax-1+ 1 过定点A 1,2 ，
又点A在直线mx+ny= 3 上，∴m+ 2n= 3，即 m- 1 + 2n= 2，
∵m> 1，n> 0，∴m- 1> 0，
∴ 1 2 1 1 2 1 2nm- 1 + n = 2 m- 1 + n m- 1 + 2n = 2 5+ m- 1 +
2 m- 1
n ≥ 1 2 m- 12 5+ 2 2n m- 1 n
= 92 (当且仅当
2n = 2 m- 1 m- 1 n ，即m=
5 2
3 ，n= 3 时取等号)，
∴ 1 + 2 的最小值为 9m- 1 n 2 .
故答案为：92 .
例11. (2022·北京·高三专题练习)已知 f x = 22x+ 2x+1- a2x+ 1(其中 a∈R且 a为常数)有两个零点，则实数 a的取
值范围是___________.
【答案】 4,+∞
【解析】设 t= 2x∈ 0,+∞ ，可转化为 t2+ 2- a t+ 1= 0 有两个正解，进而可得参数范围.
【详解】
设 t= 2x∈ 0,+∞ ，
由 f x = 22x+ 2x+1- a2x+ 1 有两个零点，
即方程 t2+ 2- a t+ 1= 0 有两个正解，
Δ= 2- a 2- 4> 0
所以 t1+ t2= a- 2> 0 ，解得 a> 4，t1t2= 1> 0
即 a∈ 4,+∞ ，
故答案为： 4,+∞ .
例12. (2022·全国·高三专题练习)已知函数 f x = 2x+ k 2-x(k为常数，k∈R)是R上的奇函数．
(1)求实数 k的值；
(2)若函数 y= f x 在区间 1,m 上的值域为 n,
15 4 ，求m+n的值．
【答案】(1)k=-1 (2) 72
【解析】
(1)由 f(0) = 0 求得参数值，再检验即可；
f(1) =n(2)由函数的单调性得 f(m) = 15 ，代入可求得m,n．4
(1)由 f(x)是奇函数得 f(0) = 1+ k= 0，k=-1，此时 f(x) = 2x- 2-x是奇函数；
(2)由复合函数的性质得 f(x) = 2x- 2-x= 2x- 1x 在定义域内是增函数，2
f(1) =n所以 1 3 m 1 15 1 m mf(m) = 15 ，n= 2- 2 = 2 ，2 - m = 4 ，2 = 4 或 2 =- 4 (舍去)，4 2
m= 2，
所以m+n= 2+ 32 =
7
2 ．
【方法技巧与总结】
解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破
口，但要注意底数对问题的影响.
题型三：指数函数中的恒成立问题
例13. (2022 ·北京 ·高三专题练习)设 f x 是定义在 R上的偶函数，且当 x ≤ 0 时，f x = 2-x，若对任意的 x ∈
m,m+ 1 ，不等式 f x ≥ f 2 x-m 恒成立，则正数m的取值范围为 ( )
A. m≥ 1 B. m> 1 C. 0【答案】A
【解析】分析可知 f x = 2 x ，由已知可得 x ≥ 2 x-m 对任意的 x∈ m,m+ 1 恒成立，解得 x≤ 2m对任意的 x
∈ m,m+ 1 恒成立，可得出关于实数m的不等式，解之即可.
【详解】
因为函数 f x 是定义在R上的偶函数，且当 x≤ 0 时，f x = 2-x，
则当 x≥ 0 时，-x≤ 0，f x = f -x = 2x，故对任意的 x∈R，f x = 2 x ，
对任意的 x∈ m,m+ 1 ，不等式 f x ≥ f 2 x-m 恒成立，
即 2 x ≥ 22 x-m ，即 x ≥ 2 x-m 对任意的 x∈ m,m+ 1 恒成立，
且m为正数，则 x≥ 2 x-m ，可得 x≤ 2m，所以，m+ 1≤ 2m，可得m≥ 1.
故选：A.
例14. (2022·北京·高三专题练习)已知函数 f x = 3x- 3-x．
(1)利用函数单调性的定义证明 f x 是单调递增函数；
(2)若对任意 x∈ -1,1 ， f x 2+mf x ≥-4恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)证明见解析 (2) -4,4
【解析】
(1)利用单调性的定义，取值、作差、整理、定号、得结论，即可得证.
(2)令 t= 3x- 3-x，根据 x的范围，可得 t的范围，原式等价为 h t = t2+mt，t∈ -
8
3 ,
8
3 ，只需 h t min≥-4 即
可，分别讨论-m2 ≤-
8 、- 8 m 8 m 83 3 <- 2 < 3 和- 2 ≥ 3 三种情况，根据二次函数的性质，计算求值，分析即可得
答案.
(1)
由已知可得 f x 的定义域为 R，
任取 x1,x2∈R，且 x1< x2，
则 f x - f x = 3x1- 3-x1- 3x2- 3-x2 = 3x1 1- 3x2-x11 2 1+ 1x +x ，3 1 2
因为 3x1> 0，1+ 1x +x > 0，1- 3x2-x1< 0，3 1 2
所以 f x1 - f x2 < 0，即 f x1 < f x2 ，
所以 f x 在 R 上是单调递增函数．
(2)
f x 2+mf x = 3x- 3-x 2+m 3x- 3-x ，
令 t= 3x- 3-x，则当 x∈ -1,1 时，t∈ 8 8 - 3 , 3 ，
所以 f x 2+mf x = t2+mt．
令 h 8 8 t = t2+mt，t∈ - , 3 3 ，
则只需 h t min≥-4．
当-m ≤- 82 3 ，即m≥
16
3 时，h t
8 8
在 - , 3 3 上单调递增，
所以 h t min= h - 8 = 64 8 253 9 - 3m≥-4，解得m≤ 6 ，与m≥
16
3 矛盾，舍去；
当- 83 <-
m
2 <
8 16 16
3 ，即- 3
-
8 ,-m 3 2 上单调递减，在
-m , 8 2 3 上单调递增，
m m2所以 h t min= h - 2 =- 4 ≥-4，解得-4≤m≤ 4；
当-m2 ≥
8
3 即m≤-
16
3 时，h t 在
- 8 3 ,
8
3 上单调递减，
所以 h t min= h 83 =
64
9 +
8
3m≥-4，解得m≥-
25
6 ，与m≤-
16
3 矛盾，舍去．
综上，实数m的取值范围是 -4,4 ．
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例15. (2022·全国· 3高三专题练习 (文))已知函数 f x = a-
2x+ (a为实常数).1
(1)讨论函数 f x 的奇偶性，并说明理由；
(2)当 f u x 为奇函数时，对任意 x∈ 1,6 ，不等式 f x ≥ x 恒成立，求实数u的最大值.2
【答案】(1)函数 f x 是奇函数，理由见解析；(2)1.
【解析】
(1)若函数 f x 为奇函数，由奇函数的定义可求得 a的值；又当 a≠ 32 时 f -1 ≠ f 1 ，且 f -1 ≠-f 1 ，函数
f x 是非奇非偶函数；
(2)对任意 x∈ 1,6 u ，不等式 f x ≥ x 恒成立，化简不等式参变分离，构造新函数 φ t ，利用换元法和对勾函数的2
单调性求出最值，代入得出实数u的最大值．
【详解】
解：(1)当 a= 3 3 32 时 f x + f -x = 2a- x+ - -x+ = 2a- 3= 0，2 1 2 1
即 f -x =-f x ；故此时函数 f x 是奇函数；
因当 a≠ 32 时，f 1 = a- 1,f -1 = a- 2，故
f -1 ≠ f 1 ，且 f -1 ≠-f 1
于是此时函数 f x 既不是偶函数，也不是奇函数；
(2)因 f x 是奇函数，故由 (1)知 a= 32 ，从而 f x =
3 - 3 2 ；2x+ 1
x
由不等式 f x ≥ u x ，得u≤
3 x 3 2
2 2
2 -
2x+ ，1
令 2x+ 1= t∈ 3,
3 t- 1
65 (因 x∈ 1,6 )，故u≤ 3 t- 1 - = 32 t 2 t+
2 9
t - 2
由于函数 φ t = 3 t+ 2 2 t -
9
2 在 3,65 单调递增，所以 φ(t)min= φ 3 = 1；
因此，当不等式 f u x ≥ x 在 x∈ 1,6 上恒成立时，u2 max= 1.
例16. (2022·全国·高三专题练习 (文))已知函数 f(x) = 4x- a 2x+1+ 1．
(1)若函数 f(x)在 x∈ [0，2]上有最大值-8，求实数 a的值；
(2)若方程 f(x) = 0在 x∈ [-1，2]上有解，求实数 a的取值范围．
【答案】(1)5；(2)1≤ a≤ 178 .
【解析】
(1)f(x) = (2x)2- 2a 2x+ 1，∵ x∈ [0，2]，∴ 2x∈ [1，4]，进而讨论 a与 52 的关系求解；
(2) ∵ x∈ [-1，2]，∴令 t= 2x∈ 1 ，4 2 ，∴ g(t) = t
2- 2at+ 1= 0 在 1 2 ,4 有解，进而求解．
【详解】
解：(1)f(x) = (2x)2- 2a 2x+ 1，∵ x∈ [0，2]，∴ 2x∈ [1，4]，
① a≤ 52 时，f(x)max= 4
2- 2a× 4+ 1=-8，解得 a= 258 (舍)
② a> 5 时，f(x) = 122 max - 2a× 1+ 1=-8，解得 a= 5，
∴ a= 5；
(2) ∵ x∈ [-1，2]，∴令 t= 2x∈ 1 2 ,4

，
∴ g(t) = t2- 2at+ 1= 0 在 1 2 ,4

有解，
a= t + 1 ≥ 2 t 1 = 1 当且仅当 t = 12 2t 2 2t 2 2t，即 t= 1 时等号成立，此
时函数 g(t) = t2- 2t+ 1 的图象如图，
∴ t= 4 时，a取得最大值 178 ，
综上 a∈ 1，17 8 ．
【点睛】本题考查复合函数的单调性，在特定区间的最值问题；以及复合函数在特定区间的上有解，转化为对勾函
数的图象求解，属于中档题．
x
例17. (2022·全国· 1高三专题练习)已知函数 f(x) = x2，g(x) = 2 -m
(1)当 x∈ [-1,3]时，求 f(x)的值域；
(2)若对 x∈ 0,2 ，g(x)≥ 1成立，求实数m的取值范围；
(3)若对 x1∈ 0,2 ， x2∈ [-1,3]，使得 g(x1)≤ f(x2)成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1) [0,9]；(2)m≤- 34 ；(3)m≥-8.
【解析】
(1)由二次函数的性质得出值域；
(2)将问题转化为求 g(x)在 0,2 的最小值大于或等于 1，再根据指数函数的单调性得出实数m的取值范围；
(3)将问题转化为 g(x)在 0,2 的最大值小于或等于 f(x)在 [-1,3]上的最大值 9，从而得出实数m的取值范围．
【详解】
(1)当 x∈ [-1,3]时，函数 f(x) = x2∈ [0，9]
∴ f(x)的值域 0,9
(2)对 x∈ 0,2 ，g(x)≥ 1 成立，等价于 g(x)在 0,2 的最小值大于或等于 1．
2
而 g(x)在 1 3 0,2 上单调递减，所以 2 -m≥ 1，即m≤- 4
(3)对 x1∈ 0,2 ， x2∈ [-1,3]，使得 g(x1)≤ f(x2)成立，
等价于 g(x)在 0,2 的最大值小于或等于 f(x)在 [-1,3]上的最大值 9
由 1-m≤ 9，∴m≥-8
【方法技巧与总结】
已知不等式能恒成立求参数值 (取值范围)问题常用的方法：
(1)函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合
的方法求解．
题型四：指数函数的综合问题
例18. (2022·天津河西·二模)已知定义在R上的函数 f(x)满足：① f 2- x + f(x) = 0；② f x- 2 - f -x = 0；③在
π
- , cos x,x∈ -1,0
x
1 1 上的解析式为 f x = 2 ，则函数 f(x)与函数 g(x) =- , ∈ ,
1
2 的图象在区间 -3,3 上的交1 x x 0 1
点个数为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】由函数的性质作出其图象，再观察交点个数即可得解．
【详解】
由 f(2- x) + f(x) = 0 知 f(x)的图象关于 (1,0)对称，
由 f(x- 2) - f(-x) = 0 知 f(x)的图象关于 x=-1 对称，
|x|
作出 f(x)与 g(x) = 12 在 [-3,3]上的图象：
x
由图可知函数 f(x)与函数 g(x) = 12 的图象在区间 -3,3 上
的交点个数为 4．
故选：B．
公众号：高中数学最新试题
2x + 3, x≤ 0例19. (2022·北京·二模)若函数 f x = 的定义域和值域的交集为空集，则正数 a的取值范围是 x- 2 2, 0< x≤ a
( )
A. 0,1 B. 0,1 C. 1,4 D. 2,4
【答案】B
【解析】首先得到函数的定义域，再分析当 x≤ 0 时 f x 的取值，即可得到 a≤ 3，再对 0< x≤ a时分 a≥ 2 和 0< a
< 2 两种情况讨论，求出此时 f x 的取值，即可得到 f x 的值域，从而得到不等式，解得即可；
【详解】
2x + 3, x≤ 0解：因为 f x = ，所以 f x 的定义域为 -∞,a ，a> 0， x- 2 2, 0< x≤ a
当 x≤ 0 时 f x = 2x+ 3，则 f x 在 -∞,0 上单调递增，所以 f x ∈ 3,4 ；
要使定义域和值域的交集为空集，显然 0< a≤ 3，
当 0< x≤ a时 f x = x- 2 2，
若 a≥ 2 则 f 2 = 0，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，
若 0< a< 2 时 f x 在 0,a 上单调递减，此时 f x ∈ a- 2 2,4 ，
则 f x ∈ a- 2 2,4 ∪ 3,4 ，
2
所以 a< a- 2 < < ，解得 0< a< 1，即 a∈ 0,1 0 a 2
故选：B
4 1 2
例20. (2022 ·甘肃省武威第一中学模拟预测 (文))已知函数 f x = x+ + sinπx，则 f 2022 + f2 2 2022 +
+f 40432022 =______．
【答案】4043
【解析】根据题意，化简得到 f x + f 2- x = 2，结合倒序相加法求和，即可求解.
【详解】
由题意，函数 f 4 x = x+ + sinπx，2 2
可得 f x + f 2- x = 4 x+ + sinπx+
4
2-x+ + sin[π(2- x)]2 2 2 2
= 4 + 4 2
x
= 4 + 2 2
x
2x+ 2 4+ 2 22-x 2x+ 2 2+ 2-x = 2，2
设S= f 1 + f 2 + +f 40432022 2022 2022 ，
则S= f 40432022 + f
4042
2022 + +f
1
2022
两式相加，可得
2S= f 12022 + f
4043 + f 22022 2022 + f
4042
2022
+ f 40432022 + f
1
2022 = 2× 4043，
所以S= 4043.
故答案为：4043.
例21. (2022·全国·高三专题练习)已知函数 f x 的定义域为R，满足 f x+ 1 = 2f x- 1 ，且当 x∈ -1,1 时，f x =
2x-1，则 f 2020 =______．
【答案】21009
【解析】根据已知条件，求得 f(x+ 2) = 2f(x)，结合 f 0 的值以及递推关系，即可求得结果.
【详解】
由 f(x+ 1) = 2f(x- 1)，得 f(x+ 2) = 2f(x)，
于是 f 2020 = 2f 2018 = 22 f 2016 = = 21010 f 0 ，
又当 x∈ -1,1 时，f x = 2x-1，故可得 f 1 0 = 2 ，
则 f 2020 = 21010× 1 = 210092 .
故答案为：21009.
10x-2- 102-x, x≤ 2
例22. (2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测)已知函数 f x = ，则不等式 f x + f x- 1 < 0的 x- 3 - 1, x> 2
解集为___________.
【答案】 -∞, 92
【解析】分别在 x≤ 2、2< x≤ 3、3< x≤ 4 和 x> 4 的情况下，根据 f x 和 f x- 1 的解析式和符号依次求解即
可.
【详解】
①当 x≤ 2 时，x- 1≤ 1，∵ f x = 10x-2- 102-x在 -∞,2 上单调递增，
∴ f x ≤ f 2 = 0，又 f x- 1 ≤ f 1 < f 2 = 0，
∴ f x + f x- 1 < 0 恒成立；
②当 2< x≤ 3 时，1< x- 1≤ 2，f x = x- 3 - 1= 2- x< 0，
又 f x- 1 ≤ f 2 = 0，∴ f x + f x- 1 < 0 恒成立；
③当 3< x≤ 4 时，2< x- 1≤ 3，f x = x- 3 - 1= x- 4，f x- 1 = x- 4 - 1= 3- x；
∴ f x + f x- 1 =-1< 0 恒成立；
④当 x> 4 时，x- 1> 3，f x = x- 3 - 1= x- 4，f x- 1 = x- 4 - 1= x- 5，
∴ f x + f 9 9 x- 1 = 2x- 9< 0，解得：x< 2 ，∴ 4< x< 2 ；
综上所述：不等式 f x + f x- 1 < 0 的解集为 -∞, 92 .
故答案为： -∞, 92 .
2- x-a , x≤ 1
例23. (2022·江西·二模 (文))设函数 f x = - 1 ，若 f 1 是函数 f x 的最大值，则实数 a的取值范围为2 x+ 1, x> 1
_______．
【答案】[1,2]
【解析】由 x> 1，求得 f(x)的范围，再求得 f(x) = 2|x-a|的单调性，讨论 a< 1，a≥ 1 时函数 f(x)在 x≤ 1 的最大值，
即可得到所求范围．
【详解】
2- x-a , x≤ 1解：因为 f x = - 1 ，2 x+ 1, x> 1
当 x> 1 时 f 1 x =- 2 x+ 1 函数单调递减且 f x
1
< 2 ，
x-a
当 x≤ 1 时 f x = 2- x-a 1

= 2 ，可得在 x> a时函数单调递减，在 x< a单调递增，
若 a< 1，x≤ 1，则 f(x)在 x= a处取得最大值，不符题意；
若 a≥ 1，x≤ 1，则 f(x)在 x= 1 处取得最大值，
1 a-1且 ≥ 12 2 ，解得 1≤ a≤ 2，
综上可得 a的范围是 1,2 ．
故答案为： 1,2
【过关测试】
一、单选题
公众号：高中数学最新试题
x
1. (2022·北京通州·模拟预测)已知函数 f(x) = 3x- 13 ，则 f(x) ( )
A. 是偶函数，且在R是单调递增 B. 是奇函数，且在R是单调递增
C. 是偶函数，且在R是单调递减 D. 是奇函数，且在R是单调递减
【答案】B
【解析】根据奇函数的定义及指数函数的单调性判断可得；
【详解】
x 1 x -x x解：f(x) = 3 - 3 定义域为 R，且 f -x = 3
-x- 13 =
1
3 - 3
x=-f x ，
x 1 x所以 f(x) = 3 - 3 为奇函数，
又 y= 3x与 y=- 1
x x
3 在定义域上单调递增，所以 f(x) = 3
x- 13 在 R 上单调递增；
故选：B
2. (2022·安徽淮南·二模 (理))1947年，生物学家Max Kleiber发表了一篇题为《body size and metabolicrate》的论
3 3
文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的 4 次幂成正比，即F= c0M
4，其中F
为基础代谢率，M为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的 10倍，则基础代谢率为原来的 (参
考数据：4 10 ≈ 1.7783) ( )
A. 5.4倍 B. 5.5倍
C. 5.6倍 D. 5.7倍
【答案】C
【解析】利用幂的运算性质去求解即可解决
【详解】
3
设该哺乳动物原体重为M1、基础代谢率为F 41，则F1= c0M1 ，
经过一段时间生长，其体重为 10M1，基础代谢率为F2，则F2= c0
3
10M 41
3 3 3 3
则 FF = c 4 4 4 4 2
3
2 0 10M1 = 10 c0 M1 = 10 F1，则 F = 10
4≈ 1.77833≈ 5.6
1
故选：C
3. (2022·陕西·西安中学模拟预测 (文))英国著名数学家布鲁克-泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理
著称于世.在数学中，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并建立了
ex= 1+ x+ x
2 x3+ + + x
n
如下指数函数公式： 2 6 + + ，其中 x∈R,n∈N，则 e 的近似值为 (精确到 0.01)n!
( )
A. 1.63 B. 1.64 C. 1.65 D. 1.66
【答案】C
1
【解析】应用题设泰勒展开式可得 e2= 1+ 12 +
1 + 18 48 + +
1
! n + , 随着n的增大，数列
1
n 2 n! n 递减且靠2
1
后各项无限接近于 0，即可估计 e2 的近似值.
【详解】
计算前四项，在千分位上四舍五入
1 0 1 1 2 3 n
1 2 2
1
2
1 1
由题意知: e2= 20! + 1! + 2! + 3! +
2
n! +
≈ 1+ 12 +
1
8 +
1
48 ≈ 1.646≈ 1.65
故选：C
3x+1- 1, x≥ 1
4. (2022·河南洛阳·二模 (文))已知函数 f x = ，且 f m =-2，则 f 6+m = ( )-log3 x+ 5 - 2, x< 1
A. 26 B. 16 C. - 16 D. - 26
【答案】A
【解析】由分段函数的性质可得当m≥ 1 时，3m+1- 1=-2，当m< 1 时，-log3(m+ 5) - 2=-2，求出m的值，从
而可求出 f 6+m
【详解】
由题意得
当m≥ 1 时，3m+1- 1=-2，方程无解，
当m< 1 时，-log3(m+ 5) - 2=-2，解得m=-4，
所以 f 6+m = f(6- 4) = f(2) = 32+1- 1= 26，
故选：A
5. (2022·四川成都·三模 (理)) = x+ log3 x- 1若函数 f x 9 2- 的零点为 x0，则 9
x0 x0- 1 = ( )．x x
A. 13 B. 1 C. 3 D. 2
【答案】B
log x - 1
【解析】由已知有 x> 1，根据零点得到 9x0(x - 1) =- 3 00 x = t，利用指对数的关系及运算性质得到 x0- 1 关0
于 t的表达式，进而由指数函数的单调性确定 t值即可.
【详解】
由题设 x> 1，由 f(x0) =
log x - 1
0 得：9x0(x 3 00- 1) =- x ，0
若 9x0(x t0- 1) = t，可得 x0- 1= > 0，32x0
- log3 x0- 1若 = t，可得 x - 1= 1x 0 2tx > 0，0 3 0
综上， t 1
32x
=
0 32tx
，故 t= 1.
0
故选：B
6. (2022·河南·开封高中模拟预测 (文))若关于 x的不等式 a 2 x > 2 x + 1 x∈R 有实数解，则实数 a的取值范围是
( )
A. 1,+∞ B. 2,+∞ C. 1,+∞ D. 2,+∞
【答案】A
【解析】参变分离得到 a> 1+ 1 ，根据指数函数的性质求出 1+ 1 的取值范围，即可得解；
2 x 2 x
【详解】
解：由题知 a 2 x > 2 x + 1 x∈R ，而 2 x ≥ 1，所以 a> 1+ 1 ，
2 x
又 0< 1 ≤ 1，所以 1< 1+ 1 ≤ 2．
2 x 2 x
因为关于 x的不等式 a 2 x > 2 x + 1 x∈R 有实数解，
即 a> 1+ 1 x∈R 有实数解，所以 a> 1，即 a∈ 1,+∞ ．
2 x
故选：A
7. (2022·四川·内江市教育科学研究所三模 (理))已知函数 f(x)满足：对任意 x∈R，f x+ 12 =-f x-
1
2 ．当 x∈
[-1,0)时，f(x) = 3x- 1，则 f log390 = ( )
A. 1 B. - 1 17 179 9 C. 27 D. - 27
【答案】C
公众号：高中数学最新试题
【解析】根据 f x+ 12 =-f x-
1
2 可得 f x+ 1 =-f x ，T= 2，则 f log390 =-f log
10 10
3 27 ，将 x= log3 27 代
入解析式，即可求解.
【详解】
因为 f x+ 12 =-f x-
1
2 ，
则 f x+ 1 + 1 1 12 2 =-f x+ 2 - 2 ，即 f x+ 1 =-f x ，
所以 f x+ 2 =-f x+ 1 = f x ，即T= 2，
所以 f log390 = f log 103 9 =-f log
10
3 27 ，
因为 log 10
10
3 27 ∈ -1,0 ，所以 f log
10 = 3log3 273 27 - 1=
10 17
27 - 1=- 27 ，
所以 f log 90 = 17 3 27 ，
故选：C
1
8. (2022·上海宝山·二模)关于函数 f(x) = 2x- 1x x 3 和实数m,n的下列结论中正确的是 ( )2
A. 若-3C. 若 f(m)< f(n)，则m2【答案】C
【解析】首先判断函数的奇偶性与单调性，即可得到此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量
的绝对值小，函数值就小，反之也成立，从而一一判断即可；
【详解】
1 1
解：因为 f(-x) = 2-x- 1 (-x) 3= 2x- 1 3-x x x = f(x)，2 2
1
所以函数 f(x) = 2x- 1x x 3 是一个偶函数，2
1
又 x> 0 时，y= 2x- 1x 与 y= x 3 是增函数，且函数值为正数，2
1
故函数 f(x) = 2x- 1x x 3 在 (0,+∞)上是一个增函数2
由偶函数的性质得函数在 (-∞,0)上是一个减函数，
此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，
函数值就小，反之也成立，
考察四个选项，A选项，由-3B选项，mC选项是正确的，由 f(m)< f(n)，一定得出m2D选项由 f(m)< f(n)，可得出 |m| < |n|，但不能得出m3故选：C．
二、多选题
9. (2022·湖南·模拟预测)在同一直角坐标系中，函数 y= ax与 y= loga x- 2 的图象可能是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】分 a> 1 和 0< a< 1 两种情况讨论两个函数的单调性进行判断.
【详解】
当 a> 1 时，y= ax在 (-∞,+∞)单调递增且其图象恒过点 (0,1)，
y= loga x- 2 在 (2,+∞)单调递增且其图象恒过点 (3,0)，
则选项B符合要求；
当 0< a< 1 时，y= ax在 (-∞,+∞)单调递减且其图象恒过点 (0,1)，
y= loga x- 2 在 (2,+∞)单调递减且其图象恒过点 (3,0)，
则选项D符合要求；
综上所述，选项B、D符合要求.
故选：BD.
10. (2022·全国·模拟预测)已知 a> b> 0，下列选项中正确的为 ( )
A. 若 a- b= 1，则 a- b< 1 B. 若 a2- b2= 1，则 a- b< 1
C. 若 2a- 2b= 1，则 a- b< 1 D. 若 log2a- log2b= 1，则 a- b< 1
【答案】BC
【解析】根据指数函数、对数函数的性质,不等式性质判断．
【详解】
A错，例如 a= 9,b= 4 满足 a- b= 1，便 a- b= 5> 1；
B正确，a2= b2+ 1> 1，a> 1，又 b> 0，所以 a+ b> 1，而 a2- b2= (a- b) (a+ b) = 1，所以 a- b< 1；
C正确，设 2a=m> 1，2b=n> 1，m-n= 1，则m=n+ 1，m = n+ 1 1n n = 1+ n < 2，
所以 log m2 n = log2m- log2n< 1，即 a- b< 1．
D错误，log2a- log2b= log a a2 = 1， = 2，a= 2b，所以 a- b= b，b< 1 不一定成立．b b
故选：BC．
11. (2022·广东肇庆·模拟预测)若 a> b，则下列不等式中正确的有 ( )
A. a- b> 0 B. 2a> 2b C. ac> bc D. a2> b2
【答案】AB
【解析】根据作差法，判断A;根据指数函数 f(x) = 2x的单调性，判断B;举反例可说明C的正误；同样据反例，判断
D.
【详解】
对于A选项，因为 a> b，所以 a- b> 0，故A正确；
对于B选项，因为函数 f(x) = 2x在R上单调递增，所以 2a> 2b，故B正确；
对于C选项，当 c≤ 0 时，ac> bc不成立，故C不正确；
对于D选项，当 a= 1，b=-2 时，a2= 1< b2= 4，故D不正确,
故选:AB.
4sinπx, 0< x≤ 112. (2022·全国·模拟预测)已知函数 f (x) = - ，若存在三个实数，使得 f x1 = f x2 = f xx 1 + > 3 ，则2 x, x 1
公众号：高中数学最新试题
( )
A. x1+ x2+ x3的取值范围为 2,3 B. x2 f 5 x3 的取值范围为 3 ,2
C. x1x2x
5 1 1
3的取值范围为 36 , 2 D. x1 f x3 的取值范围为 3 ,2
【答案】ACD
【解析】先作出函数 f x 的大致图象，结合题意令 f x1 = f x2 = f x3 = t，进而得到 x1,x2,x3关于 t的增减性以及
t的取值范围，数形结合分析选项即可得解.
【详解】
作出函数 f x 的大致图象,如图所示，
设 f x1 = f x2 = f x3 = t，
数形结合得:x1,x3均是关于 t的增函数，x2是关于 t的减函
数，且 2< t< 4.
当 0< x≤ 1 时，令 f x = 2，得 x= 16 或
5
6 ，
所以 1 < x < 1 < x < 56 1 2 2 6 ，1< x3< 2，且 x1+ x2= 1，
所以 x1+ x2+ x3∈ 2,3 ，故A正确；
不妨设 x 22= 3 ，则 t= f x2 = 4sin
2π
3 = 2 3= f x3 ，此时
x f x = 4 32 3 3 > 2，所以B错误；
2
因为 x1+ x2= 1，所以 x1x2= x1 1- x 1 11 =- x1- 2 + 4 ∈
536 ,
1
4 ，且 x1x2与 x3均为关于 t的增函数，
所以 x 5 11x2x3∈ 36 , 2 ，故C正确；
因为 x1为关于 t的增函数，
1
6 < x1<
1
2 ，2< f x3 = t< 4，
所以 x1 f x
1
3 ∈ 3 ,2 ，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
-2
13. (2022· 1安徽淮北·一模 (理)) log2 22 + 4 + log 24=___________.
【答案】10
【解析】利用指数幂及对数的运算性质计算即得.
【详解】
1 -2 + 4log2 2+ log 4= 22+ 22log2 22 2 + log 2 2
4= 4+ 2+ 4= 10.
故答案为：10.
14. (2022·四川·模拟预测 (理))已知两个条件：① a,b∈R,f(a+ b) = f(a) f(b)；② f(x)在 (0,+∞)上单调递减.请写出
一个同时满足以上两个条件的函数____________.
x
【答案】f(x) = 12
【解析】对于 f a+ b = f a ·f b 符合指数运算的规则，减函数则应是指数函数里的减函数.
【详解】
x
由题意：是指数函数里的减函数，故可以是：f x 1 = 2 ，
x
故答案为：f 1 x = 2 .
15. (2022· 1河南·模拟预测 (文))函数 f x = 4x- 2x+1+ 3在 -∞, 2 的值域为______．
【答案】 2,3
【解析】令 2x= t，结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】
解：f x = 2x 2- 2× 2x+ 3= 2x- 1 2+ 2，
设 2x= t，
当 x∈ -∞, 1 2 时，0< t≤ 2，所以 2≤ t- 1
2+ 2< 3，
所以 f x 在 -∞, 1 2 的值域为 2,3 ．
故答案为： 2,3 ．
3
16. (2022·山西· x二模 (理))已知函数 f x = x- -x 给出下列结论：① f x 是偶函数；② f x 在 0,+∞ 上是增函2 2
数；③若 t> 0，则点 t,f t 与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______．
【答案】①③
【解析】
对于①：利用偶函数的定义进行证明；
对于②：取特殊值：f 2 ,f 10 ，否定结论；
2 2
对于③：直接表示出点 t,f t 与原点连线的斜率为 tt- ，并判断
t > 0.
2 2-t 2t- 2-t
【详解】
3
函数 f x = x x- -x 的定义域为 -∞,0 ∪ 0,+∞ .2 2
3 3
对于①：因为 f -x x -x = -x- x = x- -x = f x ，所以 f x 是偶函数. 故①正确；2 2 2 2
对于②：取特殊值：由 f 2 = 8 32 1 = 15 > 2，f 10 =
1000
1 < 1，得到 f 2 > f 10 ，不符合增函数，可得4- 4 1024- 1024
②错误；
2
对于③：当 t> 0 时，点 t,
f t
与原点连线的斜率为
- 0
f t t- 0 =
t
t- -t . 因为 t> 0，所以 2
t> 1，所以 2t- 2-t>
2 2
f t
，所以
- 0
0 t
2
t- 0 = t- -t > 0. 故③正确；2 2
所以正确结论的序号为①③．
故答案为：①③
四、解答题
17. (2022·全国·高三专题练习)由于突发短时强降雨，某小区地下车库流入大量雨水.从雨水开始流入地下车库时进
行监测，已知雨水流入过程中，地下车库积水量 y(单位：m3)与时间 t(单位：h)成正比，雨停后，消防部门立即使用
t
抽水机进行排水，此时 y与 t的函数关系式为 y= k× 25 (k为常数)，如图所
示.
(1)求 y关于 t的函数关系式；
(2)已知该地下车库的面积为 2560m2，当积水深度小于等于 0.05m时，小区居
民方可入内，那么从消防部门开始排水时算起，至少需要经过几个小时以后，
小区居民才能进入地下车库？
2000t, 0≤ t≤ 1
【答案】(1)y= t5000× 25 , t> 1
(2)至少需要经过 3 个小时以后，小区居民才能进入地下车库
【解析】
(1)利用 1,2000 求得 y关于 t的函数关系式.
(2)根据积水深度的要求列不等式，结合指数函数的单调性求得需要等待的时间.
(1)
由图可知，当 0≤ t≤ 1 时，y= 2000t.
公众号：高中数学最新试题
t
当 t> 1 时，y= k× 25 ，
因为图象经过点 1,2000 ，所以 k× 25 = 2000，得 k= 5000
2000t, 0≤ t≤ 1所以 y= t .5000× 25 , t> 1
(2)
t
令 5000× 25 ≤ 2.560× 0.05，
2 t即 ≤ 128
4
5 5000 =
16 = 2625 5 ，
解得 t≥ 4，
因为消防部门从 t= 1 时开始排水，故至少需要经过 3 个小时以后，小区居民才能进入地下车库.
1
18. (2022· · ) (1) 9 2- (-9.6)0- 27
- 2
全国 高三专题练习 计算： 3 2
-2
4 8 + 3 ；
1 1 2 -2
(2) - a + a + 1已知 a2+ a 2= 3，求 + -1+ 的值．a a 2
【答案】(1) 8336 ；(2)
16
3 ．
【解析】
(1)根据指数幂的运算法则即可求出；
(2)根据完全平方公式即可求出．
【详解】
3× - 2
解：(1)原式= 3 3 3 92 - 1- 2 + 4 =
3 - 1- 4 + 9 = 832 9 4 36 ，
1 1
(2) ∵ a2+ a- 2= 3，
1 1
∴ a+ a-1= a2+ a-
2
2 - 2= 7，
∴ a2+ a-2= (a+ a-1)2- 2= 47，
∴原式= 47+ 1 487+ 2 = 9 =
16
3 ．
19. (2022·全国·高三专题练习)已知 a> 0，且 a≠ 1，若函数 y= |ax- 2|与 y= 3a的图象有两个交点，求实数 a的取值
范围．
【答案】 0, 23
【解析】讨论 0< a< 1 或 a> 1，作出函数 y= |ax- 2|与 y= 3a的图象，由数形结合即可求解.
【详解】
①当 0< a< 1 时，在同一平面直角坐标系中作出函数 y= |ax- 2|与 y= 3a的图象如图 1．
若直线 y= 3a与函数 y= |ax- 2|(0< a< 1)的图象有两个交点，
则由图象可知 0< 3a< 2，所以 0< a< 23 ．
②当 a> 1 时，在同一平面直角坐标系中作出函数 y= |ax- 2|与 y= 3a的图象如图 2．
若直线 y= 3a与函数 y= |ax- 2|(a> 1)的图象有两个交点，
则由图象可知 0< 3a< 2，此时无解．
所以实数 a的取值范围是 0, 23 ．
20. (2022·全国·高三专题练习)设函数 f(x) = kax- a-x(a> 0且 a≠ 1)是定义域为R的奇函数；
(1)若 f 1 > 0，判断 f x 的单调性并求不等式 f(x+ 2) + f(x- 4)> 0的解集；
(2) f 1 = 3若 ，且 g(x) = a2x+ a-2x2 - 4f(x)，求 g(x)在 [1,+∞)上的最小值．
【答案】(1)增函数，(1,+∞)；(2) - 2．
【解析】
(1)由 f(0) = 0，求得 k= 1，得到 f(x) = ax- a-x，根据 f 1 > 0，求得 a> 1，即可求得函数 f(x) = ax- a-x是增函数，
把不等式转化为 f(x+ 2)> f(4- x)，结合函数的单调性，即可求解；
(2)由 (1)和 f 3 1 = 2 ，求得 a= 2，得到 g x = (2
x- 2-x)2- 4(2x- 2-x) + 2，令 t= 2x- 2-x，得到 g t = t2- 4t+ 2,
t≥ 32 ，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】
(1)因为函数 f(x) = kax- a-x(a> 0 且 a≠ 1)是定义域为R的奇函数，
可得 f(0) = 0，从而得 k- 1= 0，即 k= 1
当 k= 1 时，函数 f(x) = ax- a-x，
满足 f(-x) = a-x- ax=- (ax- a-x) =-f(x)，所以 k= 1，
由 f 1 > 0，可得 a- 1a > 0 且 a> 0，解得 a> 1，所以 f(x) = a
x- a-x是增函数，
又由 f(x+ 2) + f(x- 4)> 0，可得 f(x+ 2)>-f(x- 4) = f(4- x)，
所以 x+ 2> 4- x，解得 x> 1，即不等式的解集是 (1,+∞)．
(2)由 (1)知，f(x) = ax- a-x，
因为 f 1 = 3 2 ，即 a-
1
a =
3
2 ，解得 a= 2，
故 g x = 22x+ 2-2x- 4(2x- 2-x) = (2x- 2-x)2- 4(2x- 2-x) + 2，
令 t= 2x- 2-x，则在 [1,+∞)上是增函数，故 t≥ 21+ 2-1= 32 ，
即 g t = t2- 4t+ 2,t≥ 32 ，
此时函数 g t 的对称轴为 t= 2> 32 ，且开口向上，
所以当 t= 2，函数 g t 取得最小值，最小值为 g 2 = 22- 4× 2+ 2=-2，
即函数 g(x)的最小值为-2．
21. (2022·北京·高三专题练习)定义在D上的函数 f x ，如果满足:对任意 x∈D,存在常数M> 0,都有-M≤ f x ≤
M成立，则称 f x 是D上的有界函数，其中M称为函数 f x 的上界.已知 f x = 4x+ a 2x- 2.
(1)当 a=-2时，求函数 f x 在 0,+∞ 上的值域，并判断函数 f x 在 0,+∞ 上是否为有界函数﹐请说明理由
﹔
(2)若函数 f x 在 -∞,0 上是以 2为上界的有界函数，求实数 a的取值范围.
【答案】(1) (-3,+∞)，不是，理由见解析；(2) 0,3 .
【解析】
(1)用换元法，结合二次函数性质求得值域，可得结论；
(2)设 t= 2x，则可得 t∈ (0,1)，然后由二次函数性质求得函数的值域，再结合新定义可得参数范围．
【详解】
(1)当 a=-2 时，f x = 4x- 2× 2x- 2= (2x- 1)2- 3，
令 2x= t,由 x∈ (0,+∞)，
可得 t∈ (1,+∞)，
令 g t = (t- 1)2- 3，
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有 g t >-3，
可得函数 f x 的值域为 (-3,+∞)
故函数 f x 在 -∞,0 上不是有界函数;
(2)由题意有，当 x∈ -∞,0 时，-2≤ 4x+ a 2x- 2≤ 2,
可化为 0≤ 4x+ a 2x≤ 4
必有 a+ 2x≥ 0 且 a≤ 4x - 2x，2
令 2x= k，由 x∈ -∞,0 ，可得 k∈ 0,1 ，
由 a+ 2x≥ 0 恒成立，可得 a≥ 0，
令 h 4 t = t - t 0< t< 1 ，
可知函数 h t 为减函数，有 h t > 4- 1= 3，
由 a≤ 4x - 2x恒成立，2
可得 a≤ 3,
故若函数 f x 在 (-∞,0)上是以 2 为上界的有界函数，
则实数 a的取值范围为 0,3 .
22. (2022·全国·高三专题练习)已知函数 f(x) = ax+ bx(a> 0,b> 0,a≠ 1,b≠ 1) .
(1)设 a= 2,b= 12 ，求方程 f x = 2的根；
(2)设 a= 2,b= 12 ，若对任意 x∈R，不等式 f 2x ≥ f x - 6m恒成立，求实数m的最大值；
(3)若 0< a< 1,b> 1，函数 g x = f x - 2有且只有 1个零点，求 ab的值.
【答案】(1)0 (2)4 (3)1
【解析】
(1)将原方程转化为 (2x- 1)2= 0，由此求解即可．
(2)由题意可知 f(2x) = ( f(x))2- 2，再根据分离参数法结合基本不等式，即可求出结果．
(3)求出 g x = f x - 2= ax+ bx- 2，求出函数 g x 的导数，设函数 h(x) = g (x)，根据导数在函数最值中的应用，
求出 g x 的最小值，再对 g x 的最小值进行分析，即可求出结果．
(1)
解：因为 a= 2,b= 12 ，所以 f(x) = 2
x+ 2-x.
方程 f(x) = 2，即 2x+ 2-x= 2，亦即 (2x)2- 2× 2x+ 1= 0，
所以 (2x- 1)2= 0，于是 2x= 1，解得 x= 0.
(2)
解：由条件知 f(2x) = 22x+ 2-2x= (2x+ 2-x)2- 2= ( f(x))2- 2.
因为 f(2x)≥mf x - 6 对任意 x∈R恒成立，且 f x > 0，
f(2x) + 6
所以m≤ ( ) 对任意 x∈R恒成立，f x
即 ≤ f(x)
2+ 4
m ( ) 对任意 x∈R恒成立，f x
f(x) 2+ 4 2而 = f(x) + 4( ) ( ≥ ( )
4 = f(0) + 42 f x 4，且 = 4，
f x f x) f(x) f(0)
当且仅当 x= 0 时取等号；
故m≤ 4，故实数m的最大值为 4；
(3)
解：因为函数 g(x) = f(x) - 2 只有 1 个零点，而 g(0) = f(0) - 2= a0+ b0- 2= 0，
所以 0 是函数 g(x)的唯一零点.
因为 g x = f x - 2= ax+ bx- 2，
所以 g (x) = axlna+ bxlnb，又由 0< a< 1,b> 1 知 lna< 0,lnb> 0，
所以 g (x) = 0 有唯一解 x0= log - lnab .a lnb
令 h(x) = g (x)，则 h (x) = (axlna+ bxlnb) = ax(lna)2+ bx(lnb)2，
从而对任意 x∈R，h (x)> 0，所以 g (x) = h(x)是 (-∞,+∞)上的单调增函数，
于是当 x∈ (-∞,x0)，g (x)< g (x0) = 0；
当 x∈ (x0,+∞)时，g (x)> g (x0) = 0.
因而函数 g(x)在 (-∞,x0)上是单调减函数，在 (x0,+∞)上是单调增函数.
下证 x0= 0.
若 x < ，则 < x0 x 0 < 0，于是 xg 00 0 2 2 < g(0) = 0，
又 g(log 2) = aloga2+ bloga2a - 2> aloga2- 2= 0，且函数 g(
x
x)在以 02 和 loga2 为端点的闭区间上的图象不间断，
所以在 x02 和 loga2 之间存在 g(x)的零点，记为 x1.
因为 0< a< 1，所以 loga2< 0，
又 x02 < 0，所以 x1< 0 与“0 是函数 g(x)的唯一零点”矛盾.
若 x0> 0，同理可得，在
x0
2 和 loga2 之间存在 g(x)的非 0 的零点，矛盾.
因此，x0= 0.
于是- lna = 1，故 lna+ lnb= 0，所以 ab= 1.
lnb
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