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考点16 错位相减法
一、单选题
1．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，
得，
两式相减得
，
所以．故选B．
【名师点睛】本题考查数列求和的错位相减法，关键是考查运算能力，属于基础题．
2．在数列中，，对于任意自然数，都有，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】在数列的递推公式中依次取 ，得个等式，累加后再利用错位相减法求 ．
【解析】，，
，，， ，，
以上个等式，累加得①
又②
① ②得
，
，，故选D
【名师点睛】本题主要考查了累加法求数列通项，乘公比错位相减法求数列的和，由通项公式求数列中的项，属于中档题．
3．已知数列的各项均为正数，且满足，，设为数列的前项和，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先根据题中条件，可以整理得到，从而判断出数列是以为首项，以2为公比的等比数列，进而求得，之后应用错位相减法求得，将代入即可求得结果．
【解析】因为，
所以有，
所以，
因为数列的各项均为正数，所以，即，
因为，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，
所以，所以，所以①，
②，
①-②得，
所以，所以，故选C．
【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用递推公式求数列的通项公式，利用错位相减法对数列求和，属于中档题目．
4．定义在上的函数满足：当时，；当时，．记函数的极大值点从小到大依次记为，并记相应的极大值为，则的值为
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出导函数，求出当时的极大值点、极大值，然后根据极大值点、极大值的特征求出其通项公式，然后再利用错位相减法即可求解．
【解析】，
由题当时，易知的极大值点为1，极大值为1，
当时，，则极大值点形成首项为1，公差为2的等差数列，
极大值形成首项为1，公比为3的等比数列，
故，，故．
设①，
设②，
两式相减得
，所以，故选D．
【名师点睛】本题考查了函数极大值点、极大值的求法、等差数列、等比数列的通项公式、错位相减法求和，考查了考生的计算能力，属于中档题．
5．“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的．若这堆货物总价是万元，则n的值为
A．7 B．8
C．9 D．10
【答案】B
【分析】首先由题意列出总价的表达式，再利用错位相减法求和，最后解出值．
【解析】由题意，可知这堆货物的总价为，则
，
两式相减可得
，所以，
当时，解得．故选B
【名师点睛】本题考查等比数列的应用，错位相减法求和，考查了逻辑推理，抽象，概括能力，数学计算能力，属于中档题型．
6．定义在上的函数满足：当时，；当时，．记函数的极大值点从小到大依次记为，并记相应的极大值为，则的值为
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用导数求得时函数的极值点和极值，再结合递推关系，求得数列的通项公式，利用错位相减法即可求得其前项和．
【解析】，
由题当时，易知的极大值点为1，极大值为1，
当时，，则极大值点形成首项为1，公差为2的等差数列，
极大值形成首项为1，公比为3的等比数列，
故，，故．
设①，
设②，
两式相减得
，所以，故选．
【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点和极值，涉及错位相减法求数列的前项和，属综合中档题．
7．已知数列满足，，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】依题意可得即数列是以为首项，以2为公比的等比数列，从而得到，再用错位相减法求和，即可得解；
【解析】由，所以，得．
所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，
所以，所以．
设的前项和为，则，
两边同乘2，得，两个式子相减得
，
所以，所以．故选A
【名师点睛】本题考查构造法求数列通项公式以及错位相减法求和，属于中档题．
8．已知数列是首项为1，公差不为0的等差数列，且，数列是等比数列，其中，，若数列满足，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知列式求得等差数列的公差与等比数列的公比，可得与的通项公式，再求得，然后利用错位相减法求和．
【解析】由题意，，得，；
设数列的公比为，则，即．
．则．
，
令，
则，
两式相减得．故选B
【名师点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式的求法，训练了利用错位相减法求数列的前项和，是中档题．
9．已知数列中，，，则数列的前10项的和为
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题得是以1为首项，1为公差的等差数列，求出，再利用错位相减法求出，即得数列的前10项的和．
【解析】由题意得，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，得．记数列的前n项和为，
则，，
作差得，
得，即，
所以．故选C．
【名师点睛】本题主要考查等差数列的判定和通项的求法，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
10．设是数列的前项和，已知，，，数列的项和为
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用得出数列是等比数列，求得其通项公式后，可得，再由错位相减法求和和．
【解析】因为，所以时，，
所以，即，
又，，，所以是等比数列，首项和公比都是3，
所以，，则，
所以，
两式相减得
，
所以．故选B．
【名师点睛】本题考查错位相减法求数列的和，考查等比数列的通项公式，解题关键是掌握由求的方法及注意点．错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法、倒序相加法是特殊的数列求和方法，注意它们的应用类型．
11．已知单调递增数列的前n项和满足，且，记数列的前n项和为，则使得成立的n的最小值为
A．7 B．8
C．10 D．11
【答案】B
【分析】由数列与的关系转化条件可得，结合等差数列的性质可得，再由错位相减法可得，即可得解．
【解析】由题意，，当时，，
所以，整理得，
因为数列单调递增且，所以，即，
当时，，所以，
所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，所以，
所以，，
所以，
所以，所以，，
所以成立的n的最小值为8．故选B．
12．定义表示不超过的最大整数，如，．若数列的通项公式为，为数列的前项和，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题可得数列依次有1个0，2个1，4个2，8个3，，个，则由可得，即可得，由错位相减法可求得．
【解析】，，
当时，，即（共1项）；
当时，，即（共2项）；
当时，，即（共4项）；…
当时，，即（共项），
由，得．即，所以．
所以，
则，
两式相减得
，．故选D．
【名师点睛】本题考查数列的前n项和的求解，解题的关键是得出数列的特点，从而得出，再利用错位相减法求解．
13．已知数列{an}的首项a1＝3，前n项和为Sn，an+1＝2Sn+3，n∈N*，设bn＝log3an，数列的前n项和Tn的范围
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得，求得，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得，判断为递增数列，可得所求范围．
【解析】首项，前项和为，，
可得，时，，又，
两式相减可得，则，可得，
上式对也成立，则，，，，
则前项和，，
相减可得，
化简可得，由，可得为递增数列，可得，而，可得，综上可得，故选C．
【名师点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式、求和公式，考查数列的错位相减法求和，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．
二、多选题
1．已知数列为等差数列，，且，，是一个等比数列中的相邻三项，记，则的前项和可以是
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】设出等差数列的公差，再由已知列式求得公差，得到数列的通项公式，进一步得到的通项公式，然后利用等差数列的前项和公式及错位相减法求的前项和，则答案可求．
【解析】设等差数列的公差为，由，，是一个等比数列中的相邻三项，
得，即，整理得，即或．
或．当时，，
当时，．若，则的前项和为；
若，设的前项和为，则，
，
，
则．故选BD.
三、填空题
1．已知公比大于的等比数列满足，记为在区间中的项的个数，的前项和为，则_________．
【答案】
【分析】先求出，再由特殊到一般，归纳出时，，从而可得，最后利用错位相减法可得结果．
【解析】设的公比为，由，得或（舍去）
所以，在区间上，，
在区间上上，个1，
在区间上，，个2，
在区间上，，个3，
…归纳得当时，，所以
令，
则，
两式相减，整理得，
所以，故答案为.
2．已知数列中，，则数列的前9项和为_________．
【答案】
【解析】数列的前9项和，
，
两式相减得，
．故答案为．
3．计算=_________．
【答案】
【分析】利用乘公比错位相减法，求数列的前项和即可．
【解析】①，
②，
①②得
，所以，故答案为．
【名师点睛】本题的关键点是能看出所求的式子是数列的前项和，利用乘公比错位相减法即可求．
4．已知数列的前项和为，直线与圆交于，两点，且．若对成立，则实数的取值范围是_________．
【答案】．
【分析】由圆中弦长公式求得，由求得，用错位相减法求得和，然后分离参数转化为求数列的最大项．
【解析】圆心到已知直线的距离为，圆半径为，
所以，所以，，
时，，，
所以是等比数列，公比为，所以．
设，则，
，所以．
不等式对成立，
即对成立，，
设，则，当时，，，
所以，中最大项为．所以．
故答案为．
【名师点睛】本题考查直线与圆相交弦长，考查错位相减法求和，数列不等式恒成立，求数列的最大项．求圆中弦长谅进几何法，即求出圆心到直线的距离，再由勾股定理得弦长，等差数列与等比数列相乘形成的新数列求和一般用错位相减法求和．不等式恒成立常常用分离参数转化为求数列的最大项或最小项．作差法是求数列最值的基本方法．
5．设，对的任意非空子集A，定义为A中的最大元素，当A取遍的所有非空子集时，对应的的和为，则_________．
【答案】
【分析】由题意分析得的任意非空子集A共有个，其中最大值为的有，最大值为的有个，…，最大值为的有个，利用错位相减法求和即可．
【解析】由，
的任意非空子集A共有个，其中最大值为的有，最大值为的有个，…，最大值为的有个，故，
所以，
两式相减得，
所以，故，
所以．故答案为．
【名师点睛】本题是集合和数列结合的题．分析出“的任意非空子集A共有个，其中最大值为的有，最大值为的有个，…，最大值为的有个．”是解题的关键．
6．求和_________．(用数字作答)
【答案】
【解析】设，则，
两式相减得，
．故答案为．
【名师点睛】数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和．
7．在等比数列中，，，则__________．
【答案】9216
【分析】由题可求出，然后利用错位相减法计算即可求出结果．
【解析】设等比数列的首项为，公比为，
由题可得 ，解之得，则，
则，①
①得，②
①②得，
则，
则．故答案为9216．
【名师点睛】一般情况下对于数列，有，其中数列和分别为等差数列和等比数列，则其前n项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例．
8．设数列的前项和为，若，则_________．
【答案】
【解析】设，
则
两式相减得，
所以．故答案为．
9．已知数列的前项和为，且，则数列的前项和_________．
【答案】
【分析】令，可得．由时得出是等比数列，求出后用错位相减法求得和．
【解析】令，可得．
又由已知可得，当时，，
两式相减，，，又，所以，，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以，
所以，，
两式相减，得，
得．故答案为．
【名师点睛】本题考查由数列的前项求数列的通项公式，考查错位相减法求和，．属于中档题．错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法、倒序相加法是数列求和的几种特殊方法．需掌握它们的应用．
10．已知数列中，数列的前n项和．若数列的前项和对于都成立，则实数的最小值等于_________．
【答案】4
【分析】由数列的前项和得，，则，利用错位相减法得到，即可得出结论．
【解析】由数列的前项和得，
当时，有，
当时，有也适合上式，故，
，，
，
，
由得
，即．又对于都成立，
所以，故实数的最小值等于．故答案为4．
11．已知数列满足，，则它的前100项和_________．
【答案】
【分析】由数列满足，，化为，利用等比数列的通项公式，求得，再利用乘公比错位相减法，即可求解．
【解析】由题意，数列满足，，
可化为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，所以，
则
，
两式相减，可得，
所以，所以前100项和．故答案为．
【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等．
12．数列中，其前项和为且，则_________．
【答案】9217
【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．
【解析】数列中，其前项和为且，①当时，解得．当时，且，②，
②①得，整理得（常数），故数列是以为首项为公差的等差数列，所以，整理得
所以①，②，
①②得，整理得，
所以．故答案为9217
【名师点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．
13．数列满足：，且恒成立，则的最小值为_________．
【答案】9
【分析】先利用数列的通项公式与前n项和的关系，由，求得，再根据恒成立，利用错位相减法求 ，再求其最大值即可．
【解析】当 时，由，
得．两式相减得，
当时，．
故，
令，则．
两式相减得， ，
故．
而当时，，故的最小值为9．
【名师点睛】本题主要考查数列的通项公式与前n项和的关系以及错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题．
14．正项等比数列满足：，，则数列的前项和是_________．
【答案】
【分析】先设正项等比数列的公比为，然后根据等比数列的通项公式及题干可计算出首项和公比的值，即可计算出数列的通项公式，再计算出数列的通项公式，再连续两次运用错位相减法可计算出数列的前项和．
【解析】由题意，设正项等比数列的公比为，则，解得，，，．
令，则．
设数列的前项和为，则，
，两式相减，可得
，①
①，可得，②
①②，可得．故答案为．
【名师点睛】本题主要考查等比数列的性质应用，以及连续两次运用错位相减法求数列的前项和，考查了方程思想，转化和化归思想，换元法的应用，以及逻辑思维能力和数学运算能力，属中档题．
15．设等比数列满足，，则数列的前n项和为_________．
【答案】
【分析】先求出等比数列的通项公式为，然后分析求和．
【解析】依题意，有解得
所以数列的通项公式为．设数列的前n项和为
则，（1），．（2）
用（1）-（2），得，（3）
．（4）
用（3）-（4），得
．
故答案为.
【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和数列求和的方法．考查错位相减法求数列的和．属于中档题．
四、双空题
1．已知，，是等差数列，且，则数列的通项公式_________，令，则数列的前项和为_________．
【答案】
【分析】根据题中条件，由累乘法先求出，再设等差数列的公差为，根据题中条件，列出方程组求解，得出首项和公差，即可求出；再利用错位相减法，即可求出数列的前项和．
【解析】因为，所以，则，
因此，，…，，以上各式相乘可得，
又，所以；
设等差数列的公差为，因为，所以，
则，解得，所以；
因此，记数列的前项和为，
则①
所以②
①②得
，所以．故答案为；．
【名师点睛】错位相减法求数列（其中为等差数列，为公比为的等比数列）前项和的一般步骤：
（1）先根据条件，得到；
（2）再上式的基础上，等式两边同乘以公比，得到，
（3）以上两式作差，结合等比数列的求和公式进行整理，即可得出结果．（作差时，要注意错位相减）．
2．若是数列的前项和，且，则_________；_________．
【答案】
【分析】由时，，和已知式子相减可得，再利用错位相减法即可求出．
【解析】，则当时，，
当时，，
两式相减得，即，满足，，
则，
则，
，．
3．“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的，第层的货物的价格为_________，若这堆货物总价是万元，则的值为_________．
【答案】 6
【分析】由题意可得第层的货物的价格为，根据错位相减法求和即可求出．
【解析】由题意可得第n层的货物的价格为，
设这堆货物总价是，①，
则，②，
由① ②可得
，，
因为这堆货物总价是万元，，
故答案为；．
【名师点睛】本题考查了错位相减法求和，考查了运算能力，以及分析问题和解决问题的能力，属于中档题．
五、解答题
1．数列的前项和为，已知，（，2，3，…）．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由，化简得，结合等比数列的定义，即可证得数列是等比数列；
（2）由（1）求得，利用“错位相减法”，即可求解．
【解析】（1）因为，即，
因为，可得，所以，
又，可得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）可得，所以，
则，
，
①②得
，
所以．
【名师点睛】错位相减法求解数列的前项和的分法：
（1）适用条件：若数列为等差数列，数列为等比数列，求解数列的前项和；
（2）注意事项：
①在写出和的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；
②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号；
③作差后，作差部分应用为的等比数列求和．
2．已知等差数列和等比数列中，，公差，公比，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用等差和等比数列通项公式分别求得和，由此可求得结果；
（2）利用错位相减法可求得结果．
【解析】（1）由等差数列通项公式知；
由等比数列通项公式知，
；
（2）由（1）知，
，
两式作差得，
，
．
【名师点睛】当数列通项满足等差等比的形式时，采用错位相减法求解数列的前项和，具体步骤如下：
①列出的形式；
②左右两侧同乘通项中的等比部分的公比，得到；
③上下两式作差得到，结合等比数列通项公式可整理等式右侧的部分；
④整理所得式子求得．
3．已知等比数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列及数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据已知条件求出数列的首项和公比，即可得出通项公式；
（2）先求出等比数列的前n项和，即可，再利用错位相减法即可求出．
【解析】（1）设等比数列的公比为，
由，可得，＝9，
由，可得q＝3，由，可得，可得，
可得；
（2）由，可得，
由，可得，可得bn＝n，
可得的通项公式：，
可得①
②
①﹣②得，
可得．
4．已知正项数列的前项和为，数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，且，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由递推关系可得数列是首项为，公差为的等差数列，则可求得通项公式；（2）可得，利用错位相减法可求得．
【解析】（1）当时，，因为，所以，
由，①，可得，②
②-①得，，整理得，
所以，因为，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以；
（2）因为，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，
于是，③
④
③-④得
，
所以．
5．设数列的前n项和为，从条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列的前n项和为，，____．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n和．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【分析】（1）若选①可得为常数数列，即可求出；若选②利用可得，即可得为常数数列，即可求出；若选③利用可得，即可得到数列是以1为首项，1为公差的等差数列，从而得解；
（2）利用错位相减法求和；
【解析】选条件①时，（1）时，整理得，
所以．
（2）由（1）得，设，其前项和为，
所以 ①， ②，
①②得，
故，所以．
选条件②时，（1）由于，
所以①，当时，②，
①②得，，
整理得，所以．
（2）由（1）得，设，其前项和为，
所以 ①， ②，
①②得，
故，所以．
选条件③时，由于①， ②，
①②时，，整理得（常数），
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．所以．
（2）由（1）得，设，其前项和为，
所以①，②，
①②得，
故，所以．
6．如果数列满足，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据递推关系式可得数列是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求解．（2）利用错位相减法即可求解．
【解析】（1）由题易知．当时，由已知得，
所以，所以，
所以当时，数列是等差数列．设的公差为．
因为，，所以，，，
所以，所以．
（2）由（1）可得．
所以数列的前项和，①
．②
②①可得
．
7．已知数列前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由整理可得；进而得到是首项为3，公比为3的等比数列，即可求出其通项，从而求得结论；
（2）利用第一问的结论，求得数列的通项，再结合错位相减法即可求得结论．
【解析】（1）由题知，即，
即，因为，所以，所以，
所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，
所以，所以；
（2）由（1）知，，所以， ①
所以， ②
①②得，，
所以．
8．已知数列中，，
（1）证明：数列是等比数列
（2）若数列满足，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析 ；（2） ．
【分析】（1）由可得，然后可得答案；
（2）由（1）可算出，，然后用错位相减法可算出答案．
【解析】（1）证明：由，知
又，所以是以为首项，3为公比的等比数列
（2）解：由（1）知，所以，
两式相减得
所以.
9．已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式．
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（ 1）先化简已知，构造等比数列，求出数列的通项公式；（2）先求出，再利用错位相减求出前项和．
【解析】（1）因为，所以，
由已知，所以，所以是以为首项，以2为公比的等比数列，所以，所以．
（2），，
，
所以，
，所以．
【名师点睛】本题主要考查由递推数列求通项，若数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力．
10．已知为等差数列，为等比数列，的前项和为，且，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，利用，求出和的值即可求解；
（2）由为等差数列，可得，所以
利用裂项相消法求得，，利用乘公比错位相减求和即可．
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，，，
，解得或（舍去），
，．
（2）是等差数列，所以，又由（1）知，
，
，，
则 ①
②
由①-②得
，．
【名师点睛】数列求和的方法：
（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解．
11．已知数列是等差数列，前项和为，且．
（1）求；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据是等差数列及题干条件，代入公式，即可求得的值，根据即可求得公差d，代入通项公式，即可求得答案；
（2）由（1）可得，利用错位相减求和法即可求得答案．
【解析】（1）由题意，数列是等差数列，所以，
又，所以，
由，解得，
所以，解得，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）得，
，
，
两式相减得，
，
所以．
12．在等比数列中，，．
（1）求
（2）设，，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合已知条件，，可得，即可求得；
（2）由（1）知，，利用错位相减法即可求数列的前n项和．
【解析】（1）设等比数列的首项为，公比为，由已知，，可得
，解得， 所以
（2）由（1）知，
①
②
①-②得
【名师点睛】本题考查求等比数列的通项公式及数列求和，求数列和常用的方法：
（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；
（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；
（4）等差等比数列：错位相减法．
13．已知等差数列的前项和为，且，，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若（当时），数列满足，求数列的前项和．
【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）．
【分析】（1）由，求得，再由，，成等比数列，得到，联立方程组，求得的值，即可求解；
（2）由（1）得到，得出，结合乘公比错位相减法，即可求解．
【解析】（1）由题意，等差数列的前项和为，且，，，成等比数列，因为，即，可得，即 ①，
又由，，成等比数列，可得，所以 ②，
由①②联立可得或，
当时，；当时，．
（2）因为（当时），所以，
所以，可得，所以，
所以 ①，
②，
由①减②得
，所以．
14．设数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由题中条件，得到，两式作差整理，即可证明结论成立；（2）由（1）的结果，得到，利用错位相减法，即可求出结果．
【解析】（1）由，①，得，②，
①②，得，所以，
又，，所以，，，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以．
（2）由（1）得，，所以，③
，④
③④得，，
所以．
【名师点睛】利用错位相减法求数列（其中为等差数列，是以为公比的等比数列）的前项和时，一般先由前项和的定义，列出等式，在该式的基础上两边同乘以等比数列的公比，得到新的式子，两式作差（注意错位相减）整理，即可得出结果．考点16 错位相减法
一、单选题
1．
A． B．
C． D．
2．在数列中，，对于任意自然数，都有，则
A． B．
C． D．
3．已知数列的各项均为正数，且满足，，设为数列的前项和，则
A． B．
C． D．
4．定义在上的函数满足：当时，；当时，．记函数的极大值点从小到大依次记为，并记相应的极大值为，则的值为
A． B．
C． D．
5．“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的．若这堆货物总价是万元，则n的值为
A．7 B．8
C．9 D．10
6．定义在上的函数满足：当时，；当时，．记函数的极大值点从小到大依次记为，并记相应的极大值为，则的值为
A． B．
C． D．
7．已知数列满足，，则
A． B．
C． D．
8．已知数列是首项为1，公差不为0的等差数列，且，数列是等比数列，其中，，若数列满足，则
A． B．
C． D．
9．已知数列中，，，则数列的前10项的和为
A． B．
C． D．
10．设是数列的前项和，已知，，，数列的项和为
A． B．
C． D．
11．已知单调递增数列的前n项和满足，且，记数列的前n项和为，则使得成立的n的最小值为
A．7 B．8
C．10 D．11
12．定义表示不超过的最大整数，如，．若数列的通项公式为，为数列的前项和，则
A． B．
C． D．
13．已知数列{an}的首项a1＝3，前n项和为Sn，an+1＝2Sn+3，n∈N*，设bn＝log3an，数列的前n项和Tn的范围
A． B．
C． D．
二、多选题
1．已知数列为等差数列，，且，，是一个等比数列中的相邻三项，记，则的前项和可以是
A． B．
C． D．
三、填空题
1．已知公比大于的等比数列满足，记为在区间中的项的个数，的前项和为，则_________．
2．已知数列中，，则数列的前9项和为_________．
3．计算=_________．
4．已知数列的前项和为，直线与圆交于，两点，且．若对成立，则实数的取值范围是_________．
5．设，对的任意非空子集A，定义为A中的最大元素，当A取遍的所有非空子集时，对应的的和为，则_________．
6．求和_________．(用数字作答)
7．在等比数列中，，，则__________．
8．设数列的前项和为，若，则_________．
9．已知数列的前项和为，且，则数列的前项和_________．
10．已知数列中，数列的前n项和．若数列的前项和对于都成立，则实数的最小值等于_________．
11．已知数列满足，，则它的前100项和_________．
12．数列中，其前项和为且，则_________．
13．数列满足：，且恒成立，则的最小值为_________．
14．正项等比数列满足：，，则数列的前项和是_________．
15．设等比数列满足，，则数列的前n项和为_________．
四、双空题
1．已知，，是等差数列，且，则数列的通项公式_________，令，则数列的前项和为_________．
2．若是数列的前项和，且，则_________；_________．
3．“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的，第层的货物的价格为_________，若这堆货物总价是万元，则的值为_________．
五、解答题
1．数列的前项和为，已知，（，2，3，…）．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
2．已知等差数列和等比数列中，，公差，公比，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
3．已知等比数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列及数列的前n项和．
4．已知正项数列的前项和为，数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，且，求数列的前项和．
5．设数列的前n项和为，从条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列的前n项和为，，____．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n和．
6．如果数列满足，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
7．已知数列前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
8．已知数列中，，
（1）证明：数列是等比数列
（2）若数列满足，求数列的前项和．
9．已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式．
（2）设，求数列的前项和．
10．已知为等差数列，为等比数列，的前项和为，且，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，求数列的前项和．
11．已知数列是等差数列，前项和为，且．
（1）求；
（2）设，求数列的前项和．
12．在等比数列中，，．
（1）求
（2）设，，求数列的前n项和．
13．已知等差数列的前项和为，且，，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若（当时），数列满足，求数列的前项和．
14．设数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．

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