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考点23 恒成立问题
一、单选题
1．已知函数的导数为，对恒成立，则下列不等式中一定成立的是
A． B．
C． D．
2．定义在上的连续函数，导函数为．若对任意不等于的实数，均有成立，且，则下列命题中一定成立的是
A． B．
C． D．
3．定义在上的函数，恒有成立，且，对任意的，则成立的充要条件是
A． B．
C． D．
4．
恒成立，则下列各式恒成立的是
A． B．
C． D．
5．定义在R上的偶函数的导函数为，若对任意的正实数x，都有恒成立，则使成立的实数x的取值范围为
A． B．
C． D．
6．定义在上的连续函数，导函数为，若对任意不等于的实数均有成立．且，则下列命题中一定成立的是
A． B．
C． D．
7．已知为定义在上的偶函数，其导函数为，对于任意的总有成立，则下列不等式成立的有
A． B．
C． D．
8．已知定义在上的可导函数，对于任意实数都有成立，且当时，都有成立．若，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
9．已知定义在上的连续奇函数的导函数为，已知，且当时有成立，则使成立的的取值范围是
A． B．
C． D．
10．已知定义在上的偶函数的导函数为，对定义域内的任意，都有成立，则使得成立的的取值范围为
A． B．
C． D．
11．定义在上的偶函数的导函数为，若对任意的实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为
A． B．
C． D．
12．已知函数的导函数为，若，，对恒成立，则下列个等式中，一定成立的是
A． B．
C． D．
13．已知定义在上的可导函数，对于任意实数都有成立，且当时，都有成立，若，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
14．已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则下列不等式均成立的是
A． B．
C． D．
15．已知，，下列说法错误的是
A．若，则 B．若，则
C．恒成立 D．恒成立
二、多选题
1．已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是
A． B．
C． D．
2．已知函数，下列结论中正确的是
A．函数在时，取得极小值
B．对于，恒成立
C．若，则
D．若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为1
3．设数列满足，对任意的恒成立，则下列说法正确的是
A． B．是递增数列
C． D．
4．如果，不等式恒成立，则实数的取值可以是
A．2 B．
C．1 D．
5．当时，恒成立，则整数的取值可以是．
A． B．
C．0 D．1
三、填空题
1．对于总有成立，则= ．
2．若对任意实数，恒成立，则 ．
3．已知函数，则使得成立的范围是 ．
4．定义在R上的函数满足，且对任意的不相等的实数，有成立，若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围 ．
5．已知函数，若恒成立，则的取值范围是 ．
6．已知函数，若恒成立，则a的取值范围是 ．
7．已知，若恒成立，则实数的取值范围是 ．
8．若（且）恒成立，则实数的取值范围为 ．
9．若在上恒成立，则实数的取值范围为 ．
10．设函数，当时，恒成立，则的取值范围是 ．
四、双空题
1．设函数（，，，）若不等式对一切恒成立，则= ，的取值范围为 ．
2．函数，若，则在的最小值为 ；当时，恒成立，则a的取值范围是 ．
3．已知函数为偶函数，函数，则 ；若对恒成立，则的取值范围为 ．
4．已知函数，则在点处的切线方程为 ，若在上恒成立，则实数的取值范围为 ．
5．已知函数的图象关于点对称，则 ，若对于总有成立，则a的取值范围是 ．
6．已知函数．
（1）当时，的极小值为 ；
（2）若在上恒成立，则实数a的取值范围为 ．
7．已知函数．
（1）函数的最大值等于________；
（2）若对任意，都有成立，则实数a的最小值是________．
8．已知函数，则曲线在点处的切线方程是 ；若不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是 ．
9．设函数的定义域为，满足，且当时，，当时，的最小值为_________；若对任意，都有成立，则实数的取值范围是_________．
10．已知函数有两个不同的极值点，，则a的取值范围___________；且不等式恒成立，则实数的取值范围___________．
五、解答题
1．已知函数，且在处取得极值．
（1）求b的值；
（2）若当时，恒成立，求c的取值范围；
（3）对任意的，是否恒成立？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由．
2．已知函数．
（1）当时，若恒成立，求的值；
（2）若但成立，求的最小值．
3．已知函数.
（1）若对于任意的x恒成立，求a的取值范围
（2）证明：对任意的恒成立
4．已知函数，且恒成立．
（1）求实数的值；
（2）记，若，且当时，不等式恒成立，求的最大值．
5．设函数．
（1）当时恒成立，求k的最大值；
（2）证明：对任意正整数n，不等式恒成立．考点23 恒成立问题
一、单选题
1．已知函数的导数为，对恒成立，则下列不等式中一定成立的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，求导后可证得在上单调递减，由，知，从而得解．
【解析】设，则，对恒成立，，即在上单调递减，
，，即，故选D．
2．定义在上的连续函数，导函数为．若对任意不等于的实数，均有成立，且，则下列命题中一定成立的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，利用导数分析出函数在上单调递增，在上单调递减，并推导出函数的图象关于直线对称，进而可判断出各选项的正误．
【解析】构造函数，则，
当时，．当时，则，；
当时，则，．所以，函数在上单调递增，在上单调递减．又，所以，即，故函数的图象关于直线对称．对于A选项，，即，与的大小关系不确定，A选项错误；对于B选项，，即，即，B选项正确；对于C、D选项，，即，C、D选项错误．故选B．
3．定义在上的函数，恒有成立，且，对任意的，则成立的充要条件是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题中条件，先得到关于对称；判定函数单调性，分别讨论，两种情况，结合充分条件和必要条件的概念，即可得出结果．
【解析】由，得函数关于对称，由得，
当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，
因为，若时，函数在上为增函数，满足对任意的，，此时；若，因为函数关于对称，则，则，由得，此时，即；即对任意的，得；反之也成立，所以对任意的，则成立的充要条件为“”．故选B．
4．
恒成立，则下列各式恒成立的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，求出，得到该函数为R上的增函数，故得，，从而可得到结论．
【解析】设，，所以=，
因为对于，所以，所以是R上的增函数，
所以，，即，，
整理得和．故选B．
5．定义在R上的偶函数的导函数为，若对任意的正实数x，都有恒成立，则使成立的实数x的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出时的取值范围，即得解．
【解析】当时，由题得，两边同乘以得，
设，则恒成立．在单调递减，由题得（1），（1），即（1），即；
因为，所以函数是偶函数．当时，函数是偶函数，同理得．
综上可知实数的取值范围为，，，故选A．
6．定义在上的连续函数，导函数为，若对任意不等于的实数均有成立．且，则下列命题中一定成立的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】构造函数．则，的符号与的符号相反，故在上单调递增，在上单调递减；
又，所以，即．
故关于直线对称．综上，，故选B．
7．已知为定义在上的偶函数，其导函数为，对于任意的总有成立，则下列不等式成立的有
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，对其求导，根据题中条件，得到在上是增函数，可判断AB错误；再由与均为偶函数，可得为偶函数，进而可判断C正确，D错误．
【解析】构造函数，则，
因为对于任意的总有成立，
所以当时，，所以在上是增函数，
所以，，即，，
所以，，故A，B错误；
又与均为偶函数，所以为偶函数，
因此，即，所以，故C正确；同理，故D错误．故选C．
8．已知定义在上的可导函数，对于任意实数都有成立，且当时，都有成立．若，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】引入函数，由已知确定是偶函数，由导数可得单调性，题设不等式化为，然后利用单调性和奇偶性可求解．
【解析】设，则，
所以是偶函数，时，因为，所以，即在上是减函数，从而在上是增函数，
，即，即，所以，，，．故选C．
9．已知定义在上的连续奇函数的导函数为，已知，且当时有成立，则使成立的的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，设，对求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得在上单调递减，分析的特殊值，结合函数单调性分析可得在区间和上，都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上，都有，进而将不等式变形转化，解得的取值范围，即可得到答案．
【解析】令，则，
因为当时有成立，所以当时，恒成立，
所以在上单调递减，所以当时，，所以，又，所以，当时，，所以，
又，所以，在是连续的函数，且，所以，时，，又由为奇函数，时，，
所以或，解得或，
则的取值范围是．故选B．
10．已知定义在上的偶函数的导函数为，对定义域内的任意，都有成立，则使得成立的的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据已知构造新函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质，进行求解，即可得到答案．
【解析】当时，由，得，
两边同乘得，设，
则恒成立，所以在单调递减，
由，则，即，
因为是偶函数，所以也是偶函数，则等价，即，则或，即的取值范围是，故选C．
11．定义在上的偶函数的导函数为，若对任意的实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意构造函数，结合函数的单调性和函数的奇偶性求解实数的取值范围即可．
【解析】是上的偶函数，则函数也是上的偶函数，
对任意的实数，都有恒成立，则．
当时，，当时，，
即偶函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
不等式即，
据此可知，则或．即实数的取值范围为．
本题选择B选项．
12．已知函数的导函数为，若，，对恒成立，则下列个等式中，一定成立的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设，，根据题设条件，得到，，得出所以在上单调递减，在上单调递增，结合，，即可求解．
【解析】设，，，
则，．
因为对恒成立，
所以，，所以在上单调递减，
在上单调递增，则，，
即，，即．故选B．
13．已知定义在上的可导函数，对于任意实数都有成立，且当时，都有成立，若，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】令g（x）＝f（x）﹣x2﹣x，可判断出函数g（x）为R上偶函数．由f′（x）＜2x+1成立，可得g′（x）＝f′（x）﹣2x﹣1＜0，可得函数g（x）的单调性．不等式f（2m）＜f（m﹣1）+3m（m+1），即g（2m）＜g（m﹣1），因此g（|2m|）＜g（|m﹣1|），利用单调性即可得出．
【解析】令g（x）＝f（x）﹣x2﹣x，则g（﹣x）﹣g（x）＝f（﹣x）﹣x2+x﹣f（x）+x2+x＝0，所以g（﹣x）＝g（x），所以函数g（x）为R上的偶函数．
因为当x∈（﹣∞，0]时，都有f'（x）＜2x+1成立，所以g′（x）＝f′（x）﹣2x﹣1＜0，
所以函数g（x）在x∈（﹣∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增．
f（2m）＜f（m﹣1）+3m（m+1），即f（2m）﹣4m2﹣2m＜f（m﹣1）﹣（m﹣1）2﹣（m﹣1），所以g（2m）＜g（m﹣1），因此g（|2m|）＜g（|m﹣1|），
所以|2m|＜|m﹣1|，化为3m2+2m﹣1＜0，解得．故选A．
14．已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则下列不等式均成立的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，则．
，，是减函数，则有，，即
，所以．选．
15．已知，，下列说法错误的是
A．若，则 B．若，则
C．恒成立 D．恒成立
【答案】D
【解析】对于A，不妨令，，则，
所以即，由可知，则，
所以，，故A正确；
对于B，若，则，，
故即，与已知矛盾，故B正确；
对于C，，
令，，则，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以即，故C正确；
对于D，设，，则，，
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
在上单调递增，在上单调递减，则，
所以，即当时，故D错误．故选D．
二、多选题
1．已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】设，，，
则，．
因为对恒成立，
所以，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，，即，
即．故选BD．
2．已知函数，下列结论中正确的是
A．函数在时，取得极小值
B．对于，恒成立
C．若，则
D．若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为1
【答案】BCD
【解析】因为，所以，
所以，所以不是函数的极值点，故A错；
若，则，所以函数在区间上单调递减；因此，故B正确；令，则，
因为在上恒成立，所以在上恒成立，因此函数在上单调递减；
又，所以，即，所以，故C正确；
因为函数在上单调递减；所以时，函数也单调递减，因此在上恒成立；
令，，则在上恒成立，
所以在上单调递增，因此，即在上恒成立；综上，在上恒成立，故D正确．故选BCD．
3．设数列满足，对任意的恒成立，则下列说法正确的是
A． B．是递增数列
C． D．
【答案】ABD
【解析】由，，设，
则，所以当时，，
即在上为单调递增函数，所以函数在为单调递增函数，
即，即，
所以 ，即，所以，，故A正确；C不正确；由在上为单调递增函数，，所以是递增数列，故B正确；，所以 ，
因此，故D正确，故选ABD.
4．如果，不等式恒成立，则实数的取值可以是
A．2 B．
C．1 D．
【答案】CD
【分析】由题意即在上恒成立，设，求导数讨论出函数的单调性，得出其最小值，可得出答案．
【解析】，不等式恒成立，即在上恒成立，设，则，
设，则，
所以在上单调递增，且，，
所以存在，使得，即，则，
所以当时， ，则，则单调递减．
所以当时， ，则，则单调递增．
所以当时，有最小值，
即，所以，故选CD．
5．当时，恒成立，则整数的取值可以是．
A． B．
C．0 D．1
【答案】ABC
【分析】将，当时，恒成立，转化为，．当时，恒成立，令，利用导数法研究其最小值即可．
【解析】因为当时，恒成立，
所以，当时，恒成立，令，
则．令，
因为，所以在上单调递增．
因为，所以在上有且仅有一个实数根，
于是在上单调递减，在上单调递增，
所以．（*）
因为，，
所以，且，将代入（*）式，
得，．
因为在上为增函数，所以，即．
因为为整数，所以．故选ABC．
三、填空题
1．对于总有成立，则= ．
【答案】4
【解析】要使恒成立，只要在上恒成立．，
当时，，所以，不符合题意，舍去．
当时，即单调递减，
，舍去．当时，
① 若时在和上单调递增，在上单调递减．所以；
② 当时在上单调递减，
，不符合题意，舍去．综上可知a=4．
2．若对任意实数，恒成立，则 ．
【答案】
【解析】设，则．
当，即时，，则在上单调递减，
故，解得，所以不符合题意；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则．因为，所以．
令，不等式可转化为，设，
则，令，得；令，得，
则在上单调递减，在上单调递增；当时，有最小值0，
即．因为，所以，此时，故．
【名师点睛】本题考查了函数最值的求解，考查了不等式恒成立问题．本题的难点在于将已知恒成立问题，转化为恒成立．本题的关键是结合导数，对含参、不含参函数最值的求解．
3．已知函数，则使得成立的范围是 ．
【答案】
【分析】分析出函数为偶函数，再利用导数分析出函数在区间上为增函数，由可得出，进而得出，进而可求得的取值范围．
【解析】函数的定义域为，，
所以，函数为偶函数，当时，，
则，所以，函数在区间为增函数，
由可得，所以，
则有，可得，解得．
因此，使得成立的范围是．
4．定义在R上的函数满足，且对任意的不相等的实数，有成立，若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围 ．
【答案】
【分析】利用函数的奇偶性和单调性，可得 对 恒成立，通过参变分离即得 且对 恒成立，求得相应的最大值和最小值，从而得到 的取值范围．
【解析】 定义在R上的函数满足 为偶函数，
对任意的不相等的实数，有成立，
在 上单调递减，在 上单调递增，
由在上恒成立，
得在上恒成立，
在上恒成立，即对恒成立，
此时 且对 恒成立，
设，则令，解得，
， 随 的变化如下表：
0
当时， ，
设，则当时， ，
在 上单调递减，即当 时，
则．综上所述， ，故答案为 ．
5．已知函数，若恒成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求导得到，讨论和两种情况，计算时，函数在上单调递减，故，不符合，排除，得到答案．
【解析】因为，所以，因为，所以．
当，即时，，则在上单调递增，从而，故符合题意；
当，即时，因为在上单调递增，且，所以存在唯一的，使得．
令，得，则在上单调递减，从而，故不符合题意．综上，的取值范围是．
6．已知函数，若恒成立，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】若，则，当时，显然成立；
当时，则，因为当时，，
所以只需满足即可，令（），则，
则时，，所以在上递减，当时，，则在上递增，所以，所以，令（），
则，令，得（舍）或，则当时，；当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，故，
综上所述：．故答案为．
【名师点睛】本题考查根据不等式恒成立问题求参数的取值范围问题，考查学生分析问题、转化问题的能力，考查参变分离思想的运用，考查利用导数求解函数的最值，属于难题．
解决此类问题的方法一般有以下几种：
（1）作出函数的图象，利用数形结合思想加以研究；
（2）先进行参变分离，然后利用导数研究函数的最值，即可解决问题，必要时可以构造新函数进行研究．
7．已知，若恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】函数的定义域为，由，得，分类讨论，分离参数，求最值，即可求实数的取值范围．
【解析】函数的定义域为，由，得，
(ⅰ)当时，，，不等式恒成立，所以；
(ⅱ)当时，，，所以；
(ⅲ)当时，不等式恒成立等价于恒成立或恒成立，
令，则，因为，所以，从而，
因为恒成立等价于，所以，令，则，再令，则在上恒成立，在上无最大值，综上所述，满足条件的的取值范围是．
8．若（且）恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】讨论，结合图象可得不可能恒成立；时，运用换底公式原不等式化为，令，求得导数和单调性、最大值，可得的范围．
【解析】当时，由和的图象可得，
此时两个函数图象有一个交点，不等式不可能恒成立；
当时，，不等式可化为，
由，令，，
当时，，递增，当时，，递减，
则，则，可得，故答案为．
9．若在上恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】 （1），
令，因为，所以，
则不等式化为，
设，，，当时，单调递减，
当时，单调递增，因此当时，，
而，因此当时，，因此，
设，，因此要想在上恒成立，只需，，因为，所以，因此在时单调递减，所以，因此．故答案为.
10．设函数，当时，恒成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求得在处的切线的斜率，结合图象，求得的取值范围．
【解析】函数，．对于一次函数，．，令，解得（负根舍去），所以在上递增，在上递减，画出的图象如下图所示．由图可知，要使当时，恒成立，只需大于或等于在处切线的斜率．而，所以．故答案为
四、双空题
1．设函数（，，，）若不等式对一切恒成立，则= ，的取值范围为 ．
【答案】3
【分析】由，先求导，则不等式对一切恒成立，即为对一切恒成立，结合三次函数的性质则，然后再利用二次函数的性质求解．
【解析】因为，所以，
因为不等式对一切恒成立，
所以对一切恒成立，所以，
解得或（舍去），所以对一切恒成立，
当时，，成立，当时，或，不成立，
当时， 则，解得，当时，，
当时， ，
综上：的取值范围为．故答案为①3；②
2．函数，若，则在的最小值为 ；当时，恒成立，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将代入，求出函数的导数得出恒成立，得到单调性进而得最小值；结合性可得，进而可得结果．
【解析】当时，因为，所以．
当时，恒成立，所以在上单调递增．所以在上最小值为．又时，恒成立，令 ，，所以在 递增， 所以，
所以，
恒成立，所以．故答案为；．
3．已知函数为偶函数，函数，则 ；若对恒成立，则的取值范围为 ．
【答案】1
【分析】由已知条件，利用函数奇偶性的性质可得为奇函数，进而根据奇函数的定义求得；将题中不等式分离参数为，构造函数，利用导数求得其最小值，根据不等式恒成立的意义得到的取值范围为．
【解析】因为为奇函数，为偶函数，所以为奇函数，
所以，所以，则．因为对恒成立，
所以对恒成立．设函数，则，
显然在上单调递增，且，所以当时，；当时，．从而可得，
故的取值范围为．故答案为1；．
4．已知函数，则在点处的切线方程为 ，若在上恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】（1），，
所以，因为，所以切线方程为，即；
（2）由题可得在恒成立，设，
则，因为，所以当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，
所以当时，有最小值，所以．故答案为；．
【名师点睛】利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；（2），；
（3），；（4），．
5．已知函数的图象关于点对称，则 ，若对于总有成立，则a的取值范围是 ．
【答案】1
【分析】根据图象的上下平移可得，当时，等价于．构造函数，利用导数求出其最大值即可得到答案．
【解析】由条件知的图象可由奇函数的图象上下平移得到，
所以的图象关于点对称，所以．所以．
当时，恒成立．当时，等价于．设，则，因为，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以时，取得最大值，所以．故答案为1；．
6．已知函数．
（1）当时，的极小值为 ；
（2）若在上恒成立，则实数a的取值范围为 ．
【答案】1
【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，由函数的单调区间，可得函数的极小值；
（2）问题转化为在恒成立，时显然成立，时，问题转化为即，只需求出的最大值，，从而可求出的范围．
【解析】（1）时，，，，，
故在单调递增，而（1），故时，，单调递减，时，，单调递增，故极小值（1）；
（2）若在上恒成立，即在恒成立，
①即时，，，，故在恒成立，②即时，即为在恒成立，
即，只需求出的最大值即可，，
，令，解得，令，解得，
故在单调递增，在，单调递减，故，
故，综上，，．故答案为1，，．
7．已知函数．
（1）函数的最大值等于________；
（2）若对任意，都有成立，则实数a的最小值是________．
【答案】 1
【解析】（1）函数定义域是，，
时，，递增，时，，递减，
所以时，取得极大值也是最大值；
（2）若对任意，都有成立，等价于当时，，由（1）当时，，且，满足题意；
当，在上递增，，在递减，，
只要即可，所以，综上，的最小值是1．故答案为；1．
8．已知函数，则曲线在点处的切线方程是 ；若不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】 ．
【分析】由题意结合导数的几何意义、直线的点斜式方程即可得切线方程；易得的图象与直线无限接近但永远不能相交，再作出函数及的图象，数形结合即可得解．
【解析】由题意，，，
所以曲线在点处的切线方程为；
由，且随着的增加，与的取值不断接近，
所以的图象与直线无限接近但永远不能相交；
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
结合可得即，
在坐标系中作出函数及的图象，如图所示，
由图可知，曲线的最低点必须在以和为端点的线段上运动，
所以，故的取值范围是．故答案为；．
9．设函数的定义域为，满足，且当时，，当时，的最小值为_________；若对任意，都有成立，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【分析】（1）当时，求函数的导数，判断函数的单调性后得到函数的最小值；
（2）根据（1）可先求出时，函数的值域，再根据条件，判断
位于最开始的哪个区间，并求解时，函数的解析式，和时对应的两根中较小根，即可得到的取值范围．
【解析】（1）时，，当时，，当时，，时，函数取得最小值；
（2）当时， ，根据可知
当时，，当时， ，
时，，
当时，，，
，令，
可得 ，
的取值范围是．
【名师点睛】本题考查了以分段函数的形式考查了函数的值域，函数解析式的求法，以及利用恒成立求参数取值范围的问题，属于中档题型，本题的关键是利用条件可分析函数的图象，利用数形结合比较好分析．
10．已知函数有两个不同的极值点，，则a的取值范围___________；且不等式恒成立，则实数的取值范围___________．
【答案】
【解析】，因为函数有两个不同的极值点，所以方程有两个不相等的正实数根，
于是有：，解得．
，
设，，故在上单调递增，故，所以．因此的取值范围是，
故答案为；.
五、解答题
1．已知函数，且在处取得极值．
（1）求b的值；
（2）若当时，恒成立，求c的取值范围；
（3）对任意的，是否恒成立？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由．
【答案】（1）；（2）c的取值范围是．（3）成立，证明见解析．
【分析】（1）由题意得f（x）在x＝1处取得极值所以f′（1）＝3﹣1+b＝0所以b＝﹣2．
（2）利用导数求函数的最大值即g（x）的最大值，则有c2＞2+c，解得c＞2或c＜﹣1．
（3）对任意的x1，x2∈[﹣1，2]，|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，等价于|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min．
【解析】（1）因为f（x）＝x3x2+bx+c，所以f′（x）＝3x2﹣x+b．
因为f（x）在x＝1处取得极值，所以f′（1）＝3﹣1+b＝0．所以b＝﹣2．
经检验，符合题意．
（2）f（x）＝x3x2﹣2x+c．
因为f′（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），当x∈（﹣1，）时，f′（x）＞0，
当x∈（，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，
所以当x时，f（x）有极大值c．
又f（2）＝2+cc，f（﹣1）cc
所以x∈[﹣1，2]时，f（x）最大值为f（2）＝2+c．所以c2＞2+c．所以c＜﹣1或c＞2．
（3）对任意的x1，x2∈[﹣1，2]，|f（x1）﹣f（x2）|恒成立．
由（2）可知，当x＝1时，f（x）有极小值c．又f（﹣1）cc
所以x∈[﹣1，2]时，f（x）最小值为c．
所以|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，故结论成立．
2．已知函数．
（1）当时，若恒成立，求的值；
（2）若但成立，求的最小值．
【答案】（1）；（2）最小值为0．
【分析】（1）令求出导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，从而求出a的值即可；（2）即对任意恒成立，当a≤0时显然不满足题意；当a＞0时，要使对任意x＞0恒成立，需要直线与曲线y＝lnx相切，设出切点坐标，把a，b用切点横坐标表示，得到，构造函数，利用导数求其最小值得答案．
【解析】（1）当时，，令，则，
①当时，在递增，而，故时，
，不恒成立，
②当时，令，解得，令，解得，
故在递增，在递减，故，
令，，
令，解得，令，解得，
在递减，在递增，，．
（2）的定义域是，恒成立，即对任意恒成立，当时显然不满足题意；当时，要使对任意恒成立，
只需直线与曲线相切，设切点为，
则，，则，此时，
设，
当时，，当时，，
在上为减函数，在上为增函数，，
即的最小值为0．
3．已知函数.
（1）若对于任意的x恒成立，求a的取值范围
（2）证明：对任意的恒成立
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）由题，转化为，令求导求得的最大值即可得到答案；（2）由由（1）可得，再令，可得，利用累加的思想可证得题干．
【解析】（1）若，故，即，
即，，令可得在上递增，在上递减，故的最大值为，故a的取值范围为 ；
（2） 由（1）可得当时，，即，
令可得，即，
故，累加可得.
4．已知函数，且恒成立．
（1）求实数的值；
（2）记，若，且当时，不等式恒成立，求的最大值．
【答案】（1）；（2）3．
【分析】（1）由条件可得是的极大值点，从而，可得答案．
（2）由条件，根据条件可得对任意的恒成立，令，求出的导函数，得出单调区间，利用函数的隐零点，分析得出答案
【解析】（1）的定义域是，
因为，恒成立 ，所以是的极大值点，所以，
因为，所以，所以．
（2）依题意得，，，所以，
因为，所以对任意的恒成立，
令，则，
令，则，
所以函数在上单调递增．
因为，，
所以方程在上存在唯一的实数根，且，
则，所以， ①
当时，，即；当时，，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以，
把①代入得，，
所以，故整数的最大值是3．
5．设函数．
（1）当时恒成立，求k的最大值；
（2）证明：对任意正整数n，不等式恒成立．
【答案】（1）k的最大值为2（2）证明见解析
【解析】（1）由知，设，
则令，得．
当时，有成立，在单调递增，，满足题意．
当时，有，，
所以，，于是有时，．
所以在单调递减，结合，知时，舍去．
综上，k的最大值为2．
（2）由（1）知，当且仅当时等号成立，
于是有：，，
，累加可得
．证毕！

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