资源简介

1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定
题型1 充分条件与必要条件的判断 1
题型2 充分条件必要条件与集合的关系 3
类型1 定义法 3
类型2 集合法 4
题型3　由充分，必要条件求参数 6
知识点　充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个__充分_条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个_必要_条件．
题型1 充分条件与必要条件的判断
【例题1】下列命题中，p是q的充分条件的是________．
①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；
②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等；
③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根．
【变式1-1】1.“a>2且b>2”是“a＋b>4，ab>4”的________条件．(充分，必要)
【变式1-1】2．“a＝b”是“ac＝bc”的________条件．(充分，必要)
【变式1-1】3．“x2＝1”是“x＝1”的________条件．(充分，必要)
【例题1-2】指出下列“若p，则q”的命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．
(1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
(2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
(3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA＝PB.
【变式1-2】1. (1)“xy为无理数”是“x，y为无理数”的____________．
(2)“x是无理数”是“x2也是无理数”的________．
【变式1-2】2.设p：实数x，y满足x>1且y>1，q: 实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】3.p是r的充分不必要条件，q是r的必要不充分条件．s是r的必要条件，也是q的充分条件．判断p是q的什么条件，p是s的什么条件．
【变式1-2】4.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　)
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
题型2 充分条件必要条件与集合的关系
类型1 定义法
【例题2-1】判断下列各题中p是q的什么条件？
①p:x 3=0，q:(x 2)(x 3)=0；②p:两个三角形相似，q:两个三角形全等；③p:x=y，q:x+t=y+t；
【变式2-1】1.若命题α为“x＝1”，命题β为“x2＝1”，则α是β（　　）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分又不必要
【变式2-1】2．“对任意，都有”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-1】3．设，则且是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分不必要条件
【变式2-2】1.荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.“这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分不必要条件
【变式2-2】2.在下列四个说法中，与“不经冬寒，不知春暖”意义相同的是（ ）
A．若经冬寒，必知春暖 B．不经冬寒，但知春暖
C．若知春暖，必经冬寒 D．不经春暖，必历冬寒
【变式2-2】3．俗话说“便宜没好货”，这句话的意思是，“不便宜”是“好货”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．不充分不必要
类型2 集合法
【例题2-3】判断下列各图中A是B的什么条件？
①②③
【变式2-3】1．若A、B均为集合，则“AB”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-3】2．“”是“”的__________．条件（选择其中之一填空：充分不必要、必要不充分、充要、不充分不必要）
【变式2-3】3．设，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．不充分不必要
【变式2-4】1．写出“”的一个必要不充分条件是__________________．
【变式2-4】2．已知图形，则“图形是中心对称图形”的一个充分不必要条件可以是___________.
【变式2-4】3．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形
C．对任意实数、，“是无理数”是“为无理数”的充分条件
D．“”是“”的充分不必要条件
题型3　由充分，必要条件求参数
【例题3-1】已知p：实数x满足3a【变式3-1】1.已知p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【变式3-1】2.若“x＜m”是“x＞2或x＜1”的充分不必要条件．求m的范围．
【变式3-1】3．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？
(2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？
【变式3-1】4．若A＝{x|a3}，且A是B的充分条件，则实数a的取值范围为_______________．1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定
题型1 充分条件与必要条件的判断 1
题型2 充分条件必要条件与集合的关系 3
类型1 定义法 3
类型2 集合法 4
题型3　由充分，必要条件求参数 6
知识点　充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个__充分_条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个_必要_条件．
题型1 充分条件与必要条件的判断
【例题1】下列命题中，p是q的充分条件的是________．
①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；
②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等；
③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根．
答案　③
解析　 ①∵(x－2)(x－3)＝0，
∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.
∴p不是q的充分条件．
②∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件．
③∵m<－2，∴12＋4m<0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件．
【变式1-1】1.“a>2且b>2”是“a＋b>4，ab>4”的________条件．(充分，必要)
答案　充分
解析　由a>2且b>2 a＋b>4，ab>4，∴是充分条件．
【变式1-1】2．“a＝b”是“ac＝bc”的________条件．(充分，必要)
答案：充分
【变式1-1】3．“x2＝1”是“x＝1”的________条件．(充分，必要)
答案：必要
【例题1-2】指出下列“若p，则q”的命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．
(1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
(2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
(3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA＝PB.
答案 　(1)这是一条平行四边形的判定定理，p q，所以p是q的充分必要条件．q是p的充分必要条件．
(2)这是三角形相似的一条性质定理，p q，所以q是p的充分必要条件．p是q的必要充分条件．
(3)这是一条菱形的性质定理，p q，所以p是q的充分不必要条件．q是p的必要不充分条件．
(4)这是线段垂直平分线的性质p q.所以p是q的充分必要条件，q是p的充分必要条件．
【变式1-2】1. (1)“xy为无理数”是“x，y为无理数”的____________．
(2)“x是无理数”是“x2也是无理数”的________．
答案：(1)既不充分也不必要　(2)必要条件不充分
【变式1-2】2.设p：实数x，y满足x>1且y>1，q: 实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A 　若x>1且y>1，则有x＋y>2成立，所以p q；反之由x＋y>2不能得到x>1且y>1.所以p是q的充分不必要条件．
【变式1-2】3.p是r的充分不必要条件，q是r的必要不充分条件．s是r的必要条件，也是q的充分条件．判断p是q的什么条件，p是s的什么条件．
答案 由题意得，p、q、r、s之间的关系．如图：p是q的充分不必要条件．p是s的充分不必要条件．
【变式1-2】4.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　)
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
答案　A
解析　因为甲是乙的必要条件，所以乙 甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙 乙，但乙 丙，
如图．综上，有丙 甲，但甲 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
题型2 充分条件必要条件与集合的关系
类型1 定义法
【例题2-1】判断下列各题中p是q的什么条件？
①p:x 3=0，q:(x 2)(x 3)=0；②p:两个三角形相似，q:两个三角形全等；③p:x=y，q:x+t=y+t；
【解】①因为x 3=0 (x 2)(x 3)，但(x 2)(x 3) x 3=0， 所以p是q的充分不必要条件；
【解】②因为相似不一定全等，但全等一定相似，即p q，q p，所以p是q的必要不充分条件；
【解】③因为由p推导到q和由q推导到p都是等式的基本性质，所以p q且q p，所以p是q的充要条件.
【变式2-1】1.若命题α为“x＝1”，命题β为“x2＝1”，则α是β（　　）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分又不必要
【答案】A由，而所以α是β的充分不必要条件．故选：A
【变式2-1】2．“对任意，都有”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
充分性：根据题意，不妨令，此时，但不一定成立，不满足充分性，
必要性：若有，则对任意，都有，满足必要性.
所以“对任意，都有”是“”的必要不充分条件.故选：B
【变式2-1】3．设，则且是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分不必要条件
【答案】A若且，则成立；若，可取，，不满足且；所以且是的充分不必要条件，故选：A
【变式2-2】1.荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.“这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分不必要条件
【答案】B【详解】由已知设“积跬步”为命题，“至千里”为命题，“故不积跬步，无以至千里”，即“若，则”，其逆否命题为“若则”，反之不成立，所以命题是命题的必要不充分条件，故选B.
【变式2-2】2.在下列四个说法中，与“不经冬寒，不知春暖”意义相同的是（ ）
A．若经冬寒，必知春暖 B．不经冬寒，但知春暖
C．若知春暖，必经冬寒 D．不经春暖，必历冬寒
【答案】C 根据原命题和其逆否命题同真假即可解.
【详解】“不经冬寒，不知春暖”的逆否命题为“若知春暖，必经冬寒”.故选：C.
【变式2-2】3．俗话说“便宜没好货”，这句话的意思是，“不便宜”是“好货”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．不充分不必要
【答案】B解：由“便宜没好货”，得“好货”能推出“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要不充分条件，选：B.
类型2 集合法
【例题2-3】判断下列各图中A是B的什么条件？
①②③
【解】①因为B A，所以A是B的充分不必要条件；②因为A=B，所以A是B的充要条件
③【解】因为A B且B A，所以A是B的 既不充分也不必要条件
【变式2-3】1．若A、B均为集合，则“AB”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A当A B时，有成立；当时，有成立，即不能得到A B
故AB”是“”的充分不必要条件.故选：A
【变式2-3】2．“”是“”的__________．条件（选择其中之一填空：充分不必要、必要不充分、充要、不充分不必要）
【答案】充分不必要
【详解】时，，充分的，时，或，不必要，
因此是充分不必要条件．故答案为：充分不必要．
【变式2-3】3．设，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．不充分不必要
【答案】B充分性：取，满足“”但是不满足“”，即充分性不满足；
必要性：对任意都满足，即必要性满足.故“”是“”的必要不充分条件.故选：B
【变式2-4】1．写出“”的一个必要不充分条件是__________________．
【答案】（答案不唯一）因为，故“”的一个必要不充分条件是“”.
故答案为：（答案不唯一）.
【变式2-4】2．已知图形，则“图形是中心对称图形”的一个充分不必要条件可以是___________.
【答案】图形是平行四边形（答案不唯一）【详解】由题意可知，图形为中心对称图形，故“图形是中心对称图形”的一个充分不必要条件可以是“图形是平行四边形”.故答案为：图形是平行四边形（答案不唯一）.
【变式2-4】3．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形
C．对任意实数、，“是无理数”是“为无理数”的充分条件
D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】D
对于A，由不能推出，例：，但，充分性不成立，故A错误；
对于B，因为平行四边形不一定是矩形，四边形是平行四边形不能推出其是矩形，四边形是平行四边形不是它是矩形的充分条件，故B错误；
对于C，对任意实数，是无理数不能推出为无理数，例如：，是无理数，但是有理数，充分性不成立，故C错误；
对于D， 若，则，充分性成立，由不能推出，例如：，满足，但，必要性不成立，是的充分不必要条件，故D正确；故选：D
题型3　由充分，必要条件求参数
【例题3-1】已知p：实数x满足3a解　p：3aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为p q，所以A B，
所以 －≤a<0，
所以a的取值范围是－≤a<0.
【变式3-1】1.已知p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
答案　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x|1-m≤x≤1＋m}?{x|-2≤x≤10}，故有或解得m≤3.又m＞0，所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}.
【变式3-1】2.若“x＜m”是“x＞2或x＜1”的充分不必要条件．求m的范围．
答案　由题意得{x|x＜m}?{x|x＞2或x＜1}．如图：∴m≤1.
【变式3-1】3．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？
(2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？
解　(1)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件，
则只要 {x|x<－1或x>3}，
即只需－≤－1，所以m≥2.
故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件．
(2)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3} ，
这是不可能的．
故不存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件．
【变式3-1】4．若A＝{x|a3}，且A是B的充分条件，则实数a的取值范围为_______________．
答案　{a|a≤－3，或a≥3}
解析　 因为A是B的充分条件，
所以A B，
又A＝{x|a3}．
因此a＋2≤－1或a≥3，
所以实数a的取值范围是{a|a≤－3，或a≥3}．

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