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导数与函数的单调性
知识梳理
1．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增
f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减
f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
常用结论
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．
题型一　确定函数的单调性
例1 （1）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数与单调性的关系，解不等式即可.
【详解】，由，得，
所以函数的单调递增区间是．
故选：D.
（2）下列图像中，可以作为函数的导函数的图像的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】为二次函数，根据参数确定可能的图像即可
【详解】由题意得，则的图像开口向上．
当时，，为偶函数，其图像可以为A中的图像．
当时，不是偶函数，其图像不关于y轴对称，∴当时，的图像可以为C中的图像．
故选：AC
训练巩固
1.求下列函数的单调区间：
(1)；
(2)．
【答案】(1)答案见详解；
(2)答案见详解.
【分析】本题利用导数求函数的单调性即可.
（1）
易得函数的定义域为，，
令，解得，（舍去），
当x变化时，，的变化情况如下表所示：
x
0
∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）
易得函数的定义域为，，
令，解得或，
当x变化时，，的变化情况如下表所示：
x
0 0
∴函数的单调递增区间为，；单调递减区间为，．
2.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用导函数的图象，判断导函数的符号，得到函数的单调性以及函数的极值点，然后判断选项即可．
【详解】解：由题意可知：和时，，函数是增函数，
时，，函数是减函数；
是函数的极大值点，是函数的极小值点；
所以函数的图象只能是．
故选：C．
题型二　函数单调性的应用
例2 （1），，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题可知，，只需比较，，的大小，构造函数，利用导数求解函数的单调性即可求解.
【详解】解：由题可知，所以只需比较，，的大小．
设，
因为，所以，
记，∴，∴，
∴当时，，
所以在上单调递减，故.
故选：C．
（2）定义在R上的函数满足，且，是的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设，结合题设条件，利用导数求得在定义域上单调递增，把不等式，转化为，结合单调性，即可求解.
【详解】设，
可得．
因为，所以，所以，
所以在定义域上单调递增，
又因为，即，
又由，
所以，所以，所以不等式的解集为.
故选：C．
训练巩固
3.已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用导数说明函数的单调性，再根据函数的单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】解：由题意可知，函数的定义域为.
因为恒成立，所以在上单调递减.
则由可得，解得，即原不等式的解集为.
故选：B.
4.已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性，从而即可比较大小.
【详解】解：构造函数，
因为，
所以当时，，
所以函数在上单调递增，
因为，
所以，即，
所以，
题型三　含参数的函数的单调性
例3 （1）若函数的单调递减区间为，则_________．
【答案】
【解析】求出，由和3是的根可得．
【详解】由题意，所以的两根为和3，
所以，所以，
．
故答案为：．
（2）已知函数，．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在区间内单调递增，求a的取值范围；
（3）若存在单调递减区间，求a的取值范围．
【答案】（1）的增区间是，减区间是；（2）；（3）．
【分析】（1）由解析式确定，令、求x的范围，即可知单调区间；
（2）由在内单调递增，则在上恒成立，令，即，进而求参数范围；
（3）由存在单调递减区间，则在有解，可求参数范围.
【详解】（1）当时，且定义域为，即，
∴若，得；若，得，
∴的增区间是，减区间是．
（2）由题意知：在内恒成立，则恒成立，
令，则即可，而在内的最小值为．
∴．
（3）依题意，在区间内有解，即在区间内有解，而对称轴为且开口向上，
∴必有，即．
【点睛】关键点点睛：
（1）利用导数研究函数的单调区间即可；
（2）由在区间内单调增，即在区间内恒成立，求参数值；
（3）由在定义域内存在减区间，即在定义域内有解，求参数值；
训练巩固
5.设函数，若函数在区间上是单调函数，求实数m的取值范围.
【答案】
【分析】先求得的单调区间，再根据函数在区间上是单调函数，列出不等式，即可得到结果.
【详解】，，
令，解得或，
令，解得.
故在上严格增，在上严格减，在上严格增.
又在区间上是单调函数，
则只需，解得.
故实数m的取值范围为.
6.设函数，求的单调区间．
【答案】答案见解析
【分析】利用导数判断单调性，分成和两种情况讨论.
【详解】的定义域为，．
若，则，所以在上单调递增．
若，则当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
课后练习
1．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求定义域，利用导数与单调性的关系，解不等式即可.
【详解】函数的定义域为，
，
令，得，解得，
故函数的单调递增区间为．
故选：B．
2．函数在定义域内可导，其图象如图所示．记的导函数为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据单调性与导数的关系判断．
【详解】由题意，知的解集即的单调递减区间，
故的解集为．
故选：A．
3．已知在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导，利用单调性得到在上恒成立，求出实数a的取值范围.
【详解】由可得，
由题意得，即在上恒成立，而，故．
故选：B
4．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性与导函数之间的关系，将单调性转化为导函数恒大于或等于0，即可求解.
【详解】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立.
令，则，所以在上单调递增，则，所以.
故选:B.
5．“”是“函数在区间上是增函数”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求出导数，由题意求出的范围，利用充要条件的判断方法，判断即可．
【详解】解：函数在区间上是增函数，所以在上恒成立，所以，
显然，则有函数在区间上是增函数，函数在区间上是增函数，可以为0，所以“”是“函数在区间上是增函数”的充分而不必要条件．
故选：．
【点睛】本题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，导数的应用，属于中档题．
6．已知函数，若，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析函数的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为，解之即可.
【详解】函数的定义域为，，故函数为奇函数，
且不恒为零，
故函数在上为增函数，
由可得，则，
所以，，解得.
故选：A.
7．若都有成立，则a的最大值为（ ）
A． B．1 C．e D．2e
【答案】B
【分析】原不等式可转化为，令，利用导数可得在上单调递增，又由题意可得函数在上单调递增，从而即可得的最大值.
【详解】解：原不等式可转化为，令，则，
当时，，则单调递增；当时，，则单调递减.
由于都有，
所以函数在上单调递增，
所以，
所以a的最大值为1.
故选：B.
8．已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，根据可得，即可得在上单调递减，进而可求解.
【详解】构造函数,则,因为,故,因此可得在上单调递减，由于，故，
故选：A
9．已知函数是在R上连续的奇函数，其导函数为．当x＞0时，，且，则函数的零点个数为______．
【答案】1
【分析】函数的零点就是方程的根, 设，对求导，结合题意知为上的增函数，由，即可得出答案.
【详解】，
则函数的零点就是方程的根．
设，
由题意得，
因为的定义域为R，所以为R上连续的奇函数．
易得，
由题知，当x＞0时，，则，
即函数为上的增函数，
又因为为R上连续的奇函数，所以为R上的增函数．
由，得，则方程只有一个根，
故函数只有1个零点．
故答案为：1.
10．设函数
(1)求函数的单调区间：
(2)若函数在区间内单调递增，求的取值范围.
【答案】(1)详见解析；
(2).
【分析】（1）分，讨论，根据导数与单调性的关系即得；
（2）根据函数的单调区间结合条件即得.
（1）
由题可得，
由，可得，
若，则当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
若，则当时，，函数f(x)单调递增；
当时，，函数f(x)单调递减；
∴时，函数的减区间为，增区间为；
时，函数的减区间为，增区间为；
（2）
∵函数在区间内单调递增，
∴若，则，即时，函数在区间内单调递增，
若，则，即时，函数在区间内单调递增，
综上可知，函数在区间内单调递增时，的取值范围是.
11．已知．
(1)当时，讨论的单调区间；
(2)若在定义域内单调递增，求的取值范围．
【答案】(1)单调增区间是，单调递减区间为.
(2)．
【分析】（1）对求导，利用导函数的正负讨论单调区间；
（2）在定义域内单调递增，即导函数恒成立，解的取值范围即可.
（1）
当时，，定义域.
.
令，即解得：；
令，即解得：；
∴当时，函数的单调增区间是，递减区间为.
（2）
∵，∴
∵在上单调递增，即恒成立，
∵时
∴，即a的取值范围为．导数与函数的单调性
知识梳理
1．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增
f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减
f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
常用结论
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．
题型一　确定函数的单调性
例1 （1）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
（2）下列图像中，可以作为函数的导函数的图像的是（ ）
A． B．
C． D．
训练巩固
1.求下列函数的单调区间：
(1)；
(2)．
2.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A． B． C． D．
题型二　函数单调性的应用
例2 （1），，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
（2）定义在R上的函数满足，且，是的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B．
C． D．
训练巩固
3.已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4.已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
题型三　含参数的函数的单调性
例3 （1）若函数的单调递减区间为，则_________．
（2）已知函数，．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在区间内单调递增，求a的取值范围；
（3）若存在单调递减区间，求a的取值范围．
训练巩固
5.设函数，若函数在区间上是单调函数，求实数m的取值范围.
6.设函数，求的单调区间．
课后练习
1．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
2．函数在定义域内可导，其图象如图所示．记的导函数为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．“”是“函数在区间上是增函数”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知函数，若，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．若都有成立，则a的最大值为（ ）
A． B．1 C．e D．2e
8．已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数是在R上连续的奇函数，其导函数为．当x＞0时，，且，则函数的零点个数为______．
10．设函数
(1)求函数的单调区间：
(2)若函数在区间内单调递增，求的取值范围.
11．已知．
(1)当时，讨论的单调区间；
(2)若在定义域内单调递增，求的取值范围．

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