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导数与函数的极值、最值
知识梳理
1．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
常用结论
对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
题型一　利用导数求函数的极值问题
例1 （1）函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．的极小值点为， B．的极大值点为
C．有唯一的极小值 D．函数在上的极值点的个数为
【答案】D
【分析】根据图象直接判断即可.
【详解】由图像可知，的极小值点为，极大值点为，故A，B选项错误；
，为的极小值点，故C错误；
由极值点的概念知函数在上的极值点是，，个数为2，D正确；
故选：D.
（2）设函数，则（ ）
A．1为的极大值点 B．1为的极小值点
C．－1为的极大值点 D．－1为的极小值点
【答案】D
【分析】求得，根据导数值的正负，判断函数的单调性，进而求得函数极值点即可.
【详解】由，可得f′(x)＝(x＋1)ex，
令f′(x)>0可得x>－1，即函数f(x)在(－1，＋∞)上是增函数；
令f′(x)<0可得x<－1，即函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，
所以x＝－1为f(x)的极小值点．
故选：D
训练巩固
1.已知函数在处连续，下列命题中正确的是（ ）．
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
C．如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值
D．如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
【答案】B
【分析】用极值点的定义判断A选项，用极大值和极小值的定义来判断BCD选项
【详解】导数为0的点不一定是极值点，还要满足导函数在这一点的左侧与右侧的函数值异号，故A错误；
根据极值的概念，在附近的左侧，函数单调递增；在附近的右侧，函数单调递减，所以为极大值，故B正确，CD错误．
故选：B
2.已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解　(1)因为f(x)＝x－1＋，
所以f′(x)＝1－，
又因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝0，
即1－＝0，所以a＝e.
(2)由(1)知f′(x)＝1－，
当a≤0时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
因此f(x)无极大值与极小值；
当a>0时，令f′(x)>0，则x>ln a，
所以f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，
令f′(x)<0，则x所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
故f(x)在x＝ln a处取得极小值，
且f(ln a)＝ln a，但是无极大值，
综上，当a≤0时，f(x)无极大值与极小值；
当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，但是无极大值．
题型二　利用导数求函数最值
例2 （1）求下列函数的极值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）极大值，无极小值；（2）极小值为；极大值为．
【分析】(1)求出函数的导数及其零点，再列出，随变化的表格，观察表格即可得解；
(2)求出函数的导数及其零点，再列出，随变化的表格，观察表格即可得解.
【详解】（1）由求导得，令，得，
当变化时，，的变化情况如下表：
1
+ 0 -
观察表格可得：函数在处取得极大值，无极小值，
所以函数极大值为，无极小值；
（2）由求导得，
令，解得，，
当变化时，，的变化情况如下表：
1
- 0 + 0 -
观察表格可得：当时，取得极小值，当时，取得极大值，
所以极小值为，极大值.
（2）已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的极值和最小值．
【答案】(1)
(2)在上有极大值，无极小值，且，
【分析】（1）根据导数的几何意义，结合极值点处导函数为0求解即可；
（2）求导分析区间内的单调性，进而求得极值，再与端点值判断大小关系可得最值.
（1）
，结合题意可得解得，
故，经检验符合题意.
（2）
由（1）知．
令，解得x＞3或，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在上有极大值，无极小值，且，
又因为，，，故在上的最小值是．
训练巩固
3.求下列函数的极值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)函数的极大值为，极小值为.
(2)函数的极大值为，极小值为.
(3)函数的极大值为，，极小值为，.
(4)函数的极小值为，无极大值.
【分析】求出导函数，判断出函数的单调性，分别求出各个函数的极值.
(1)
的定义域为R，导函数.
令，解得：或；
令，解得：或；
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，在单调递减.
所以函数的极大值为，极小值为.
(2)
的定义域为R，导函数.
令，解得： ；令，解得：或；
所以在单调递增，在，单调递减.
所以函数的极大值为，极小值为.
(3)
的定义域为R，导函数.
令，解得： ；令，解得：；
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以函数的极大值为，，极小值为，.
(4)
的定义域为R，导函数.
令，解得： ；令，解得： ；
所以在单调递减，在单调递增.
所以函数的极小值为，无极大值.
4.已知函数（，为自然对数的底数）.
(1)求函数f（x）的单调区间；
(2)求函数f（x）在区间[0，m]上的最大值和最小值.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为;
(2)答案见解析.
【分析】（1）求导后求解导函数的正负区间即可；
（2）根据（1）中的单调区间，分，和三种情况讨论即可
（1）
，求导得，因为，
令，即，解得或.
令，即，解得.
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）
①当时，因为在上递减，
所以在区间上的最大值为，最小值为.
②当时，因为在上递减，在上递增，且，
所以在上的最大值为，最小值为.
③当时，因为在上递减，在上递增，且，
所以在上的最大值为，最小值为.
题型三　函数的极值与最值的综合运用（恒成立问题）
例3 已知函数，，为自然对数的底数.
(1)求的最小值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)最小值为1
(2)
【分析】（1）对原函数求导后可知函数在上单调递增，得到即可；
（2）将题意转化为恒成立，构造，由，，可知对分为和讨论即可.
(1)
，∴.
又∵当时，且，
∴当时，，即.
∴函数为上的增函数，
∴.
因此，，∴的最小值为1.
(2)
∵恒成立，∴恒成立.
令（），则，，.
①当时，由（1）可知，∴在上为增函数，
∴恒成立.∴满足题意.
②当时，由（1）可知在上单调递增，
而，,∴存在，使得.
∴时，单调递减，∴，不满足题意.
综上，的取值范围为.
【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
训练巩固
5.已知函数,.
(1)求f(x)的单调区间与零点；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)f(x)在[0，+∞）单调递增，f(x)有唯一零点
(2)（—∞，]
【分析】（1）首先求函数的导数，判断函数的单调性，再判断函数的零点；
（2）首先根据不等式，设函数，再变形为，讨论当时，利用不等式放缩为，再换元为二次函数，说明不等式不成立，当时，，设函数，利用导数证明不等式恒成立.
(1)
因为当时，．
所以f(x)在[0，+∞）单调递增，
所以当时，
所以f(x)有唯一零点
(2)
令
①若，则
先证明当时，
事实上，令,
因为当时，，所以u(x)在（0，+∞）单调递增，
所以当时，，所以．
由得．
因为当时，，v(x)单调递增
当x时，单调递减
所以，所以．
因此当时，
令
因为(x)的图象是开口向下的抛物线，所以存在，使得，从而
，不合题意．
②若，则
令
（i）当时，
（ii）当时，
所以h(x)在[0，1）单调递增，所以当时，
由（i）（ii）知当时，，满足题意
综上，a的取值范围为（—∞，]．
【点睛】本题的关键时构造函数后，利用，放缩后得到.
课后练习
1．函数（ ）
A．有最大（小）值，但无极值 B．有最大（小）值，也有极值
C．既无最大（小）值，也无极值 D．无最大（小）值，但有极值
【答案】C
【分析】由的符号即可求的单调性，即可判断
【详解】，当时，，所以在上单调递减，
因此函数无最大值和最小值，也无极值，
故选：C
2．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极小值为 B．的极大值为
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
【答案】B
【分析】求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调区间，进而求出函数的极值.
【详解】因为，所以，
令，得或；令，得；
所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减，
所以在处有极大值，极大值为；
在处有极小值，极小值为.
故选：B.
3．已知函数在处取得极值，则的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，从而得到函数解析式，再根据导函数得到函数单调性，即可求出函数的极值点，从而求出函数的极大值；
【详解】解：因为，所以，依题意可得，即，解得，所以定义域为，且，令，解得或，令解得，即在和上单调递增，在上单调递减，即在处取得极大值，在处取得极小值，所以；
故选：B
4．设函数，若对任意的有恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先不等式恒成立转化为，然后利用导数求函数的最大值，即可求解.
【详解】，令，得或.当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，，所以
因为对任意的有恒成立，所以，即.
故选：C
5．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，求导，将函数在单调递增转化为导函数在恒成立，再构造，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数求函数的最值.
【详解】令，
因为当时，不等式恒成立，
所以在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立；
令（），则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得极小值，也是最小值；
即，所以，即，
则实数的最大值为.
故选：A.
6．已知函数.
(1)求函数在上的单调区间和极值；
(2)若在区间上，函数总有最小值，求出的取值范围.
【答案】(1)在单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值
(2)
【分析】（1）求出导函数，利用列表法研究单调性，求出极值；
（2）利用列表法判断出的单调性，由函数最小值，列不等式求出的取值范围.
（1）
由，，
所以和在区间上随变化的情况如下：
0 1 2
﹣ 0 +
0 ↓ ↑
所以在上单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，取得极小值，极小值为，无极大值；
（2）
，列表得：
1
+ 0 ﹣ 0 +
↑ ↓ ↑
当，
由于在区间上，总有最小值，所以，
所以的取值范围为.
7．已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)极小值为；无极大值
(2)a的取值范围为
【分析】（1）先判断函数定义域，再求导结合函数单调性求出极值即可；
（2）对函数进行同构变形，令，则对任意恒成立，首先可以证明对恒成立，原题转化为求在上单调递增时a的取值范围即可.
（1）
由题意得：，，
所以，
令，解得，
当时；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以有极小值，为；无极大值．
（2）
由已知得，对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，则对任意恒成立，
下证：对任意恒成立，
令，．
则在上恒成立，且仅当时取""．
所以在上单调递减，，
即，
所以对任意恒成立，只需在上单调递增，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
所以即a的取值范围为.
【点睛】导数求参问题要善于运用转化的手法，本题先运用同构方法对原不等式变形，最终转化为函数单调性问题，结合函数的单调性与导数的关系，即可解答.
8．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求证：函数存在极小值；
(3)请直接写出函数的零点个数.
【答案】(1)；
(2)详见解析；
(3)当或时，函数有一个零点，当或时，函数有两个零点.
【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义即得；
（2）讨论函数在区间和上的符号即可推理作答；
（3）在时，分离参数，构造函数，再探讨在上的零点情况即可作答.
（1）
由函数求导得，
，则，而，
所以曲线在点处的切线方程是；
（2）
函数的定义域为，由（1）知，，
因为，则当时，，，，
则有，函数在上递减，
当时，，，，
则有，函数在上递增，
于是得当时，函数取得极小值，
所以当时，函数存在极小值；
（3）
函数的定义域为，
由，可得，
显然是函数的零点，
当时，函数的零点即为方程的解，
令，则，
令，则，
当时，，当时，，
函数在上递增，在上递减，
，，
即有，在，上都递减，
令，，
当时，，当时，，
在上递增，在上递减，，
即，恒有，当且仅当时取“=”，
当时，，当时，，
因此，在上单调递减，取值集合为，在上递减，取值集合为，
于是得当或时，方程有唯一解，当或时，此方程无解，
所以，当或时，函数有一个零点，当或时，函数有两个零点.
【点睛】利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.导数与函数的极值、最值
知识梳理
1．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
常用结论
对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
题型一　利用导数求函数的极值问题
例1 （1）函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．的极小值点为， B．的极大值点为
C．有唯一的极小值 D．函数在上的极值点的个数为
（2）设函数，则（ ）
A．1为的极大值点 B．1为的极小值点
C．－1为的极大值点 D．－1为的极小值点
训练巩固
1.已知函数在处连续，下列命题中正确的是（ ）．
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
C．如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值
D．如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
2.已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
题型二　利用导数求函数最值
例2 （1）求下列函数的极值：
（1）；
（2）．
（2）已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的极值和最小值．
课后练习
1．函数（ ）
A．有最大（小）值，但无极值 B．有最大（小）值，也有极值
C．既无最大（小）值，也无极值 D．无最大（小）值，但有极值
2．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极小值为 B．的极大值为
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
3．已知函数在处取得极值，则的极大值为（ ）
A． B． C． D．
4．设函数，若对任意的有恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数.
(1)求函数在上的单调区间和极值；
(2)若在区间上，函数总有最小值，求出的取值范围.
7．已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．
8．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求证：函数存在极小值；
(3)请直接写出函数的零点个数.

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