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第二讲-不等式性质与一元二次不等式
知识点一、不等式性质
1、比较原理：
两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：；；.
；；．
2、不等式的性质：
①对称性:，
②传递性:
③可加性:
移项法则:
推论：同向不等式可加.
④可乘性:，
推论1：同向(正)可乘:
推论2：可乘方(正):
⑤可开方(正):
考点一、比较大小
【典型例题】
1、设，则与的大小关系为( )
不能确定
2、（多选题）对于实数，正确的命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则， D．若，，则
3、（多选题）已知且，则下列结论正确的是( )
4、按要求解决下列问题：
（1）若，比较与的大小；
（2）已知，求的取值范围.
【变式练习】
1、（多选题）对于实数，下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C.若,则 D.
2、已知，且，，则之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．x，y的关系随c而定
3、设，，，则、、的大小顺序是 .
4、按要求解决下列问题：
（1）比较与的大小；
（2）已知，求的取值范围.
考点二、不等式求解
【典型例题】
1、不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2、解下列不等式：
（1） （2）
（3） （4）
【变式练习】
1、不等式的解集是（ ）
A． B． C. D.
2、不等式的解集为 .
3、解下列不等式:
（1）；
（2）；
（3）
考点三、参数问题求解
【典型例题】
1、已知不等式的解集为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2、若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
. .
. .
3、一元二次方程的两根均大于2，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4、若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D.
5、若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
. . . .
6、已知，都有，则的取值为（ ）
.或 .或
.或 .
【变式练习】
1、若不等式的解集是，则（ ）
A． B． C． D．
2、（多选题）已知关于的不等式解集为或，则（ ）
A． B．不等式的解集为
C． D．不等式的解集为或
3、若关于x的方程有两个不等实根，，且，，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4、若关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是 .
5、当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D.
6、,方程的实数的取值范围是 .
7、已知函数，不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________．
考点四、含参的不等式讨论
【典型例题】
1、已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.
2、设函数.
（1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；
（2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；
（3）解关于的不等式：.
【变式练习】
1、已知函数（为常数）.
（1）当时，解关于的不等式.
（2）若对于任意且，总有成立，求实数的取值范围．
2、已知．当时，求关于的不等式的解集．
【模拟训练】
已知实数，则（ ）
A． B． C． D．
2、若，下列不等式中不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
3、不等式的解集是( )
A． B． C. D.
4、不等式的解集为 .
5、若关于的不等式解集不是空集，则实数的取值范围是________．
6、已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
. .
. .
7、已知当时，不等式任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）
. .
. .
8、解不等式：.第二讲-不等式性质与一元二次不等式
知识点一、不等式性质
1、比较原理：
两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：；；.
；；．
2、不等式的性质：
①对称性:，
②传递性:
③可加性:
移项法则:
推论：同向不等式可加.
④可乘性:，
推论1：同向(正)可乘:
推论2：可乘方(正):
⑤可开方(正):
考点一、比较大小
【典型例题】
1、设，则与的大小关系为( )
不能确定
【答案】A
2、（多选题）对于实数，正确的命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则， D．若，，则
【答案】ABD
【解析】
对选项A，因为，所以，，
所以，故A正确；
对选项B，，，所以，
因为，所以，即，故B正确；
对选项C，令，，满足，不满足，.
对选项D，因为，，
所以，故D正确.
故选：ABD
3、（多选题）已知且，则下列结论正确的是( )
【答案】AC
4、按要求解决下列问题：
（1）若，比较与的大小；
（2）已知，求的取值范围.
【答案】
【变式练习】
1、（多选题）对于实数，下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C.若,则 D.
【答案】ABC
2、已知，且，，则之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．x，y的关系随c而定
【答案】C
3、设，，，则、、的大小顺序是 .
【答案】
4、按要求解决下列问题：
（1）比较与的大小；
（2）已知，求的取值范围.
【答案】
；（2）
考点二、不等式求解
【典型例题】
1、不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
2、解下列不等式：
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）或.
【解析】
（1）由，得，得，
所以不等式的解集为，
（2）由，得，得，
所以原不等式的解集为，
（3）由，得，解得或，
所以不等式的解集为或，
（4）由，得，，解得或，
所以原不等式的解集为或
【变式练习】
1、不等式的解集是（ ）
A． B． C. D.
【答案】C
2、不等式的解集为 .
【答案】
3、解下列不等式:
（1）；
（2）；
（3）
【答案】（1）R；（2）；（3）.
【解析】
（1）由可得：，，故解集为R；
（2）由可得，即，解得：
故解集为；
（3）由整理可得：，等价于，
解得：，解集为：.
考点三、参数问题求解
【典型例题】
1、已知不等式的解集为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
由题意，不等式的解集为，
可得和是方程，所以，解得，
所以.
故选：D.
2、若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
. .
. .
【答案】C
3、一元二次方程的两根均大于2，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
4、若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D.
【答案】A
5、若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
. . . .
【答案】D
6、已知，都有，则的取值为（ ）
.或 .或
.或 .
【答案】C
【变式练习】
1、若不等式的解集是，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意可知方程的根为
由根与系数的关系可知，
解得
即
故选：C
2、（多选题）已知关于的不等式解集为或，则（ ）
A． B．不等式的解集为
C． D．不等式的解集为或
【答案】ABD
【解析】
因为关于的不等式解集为或，
所以和是方程的两个实根，且，故正确；
所以，，所以，
所以不等式可化为，因为，所以，故正确；
因为，又，所以，故不正确；
不等式可化为，又，
所以，即，即，解得或,故正确.
3、若关于x的方程有两个不等实根，，且，，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设，由题知：
，解得且.
4、若关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是 .
【答案】
5、当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D.
【答案】D
6、,方程的实数的取值范围是 .
【答案】
7、已知函数，不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
由题意可得的根为0和5.代入得，，原不等式可化为恒成立，即，令，对称轴，所以，最小值为10，所以．
考点四、含参的不等式讨论
【典型例题】
1、已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
（1）不等式可化为：，
①当时，不等无解；
②当时，不等式的解集为；
③当时，不等式的解集为.
（2）由可化为：，
必有：，化为，
解得：.
2、设函数.
（1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；
（2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；
（3）解关于的不等式：.
【答案】(1)；(2)；(3)分类求解，答案见解析.
【解析】
(1)依题意，有实数解，即不等式有实数解，
当时，有实数解，则，
当时，取，则成立，即有实数解，于是得，
当时，二次函数的图象开口向下，要有解，当且仅当，从而得，
综上，，
所以实数的取值范围是；
(2)不等式对于实数时恒成立，即，
显然，函数在上递增，从而得，即，解得，
所以实数的取值范围是；
(3) 不等式，
当时，，
当时，不等式可化为，而，解得，
当时，不等式可化为，
当，即时，，
当，即时，或，
当，即时，或，
所以，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为.
【变式练习】
1、已知函数（为常数）.
（1）当时，解关于的不等式.
（2）若对于任意且，总有成立，求实数的取值范围．
【答案】
解：原不等式可化为
（1）∵原不等式等价于, ∴
∵, ∴
当，即时，解集为
当，即时，解集为
当，即时，解集为
（2）若对于任意总有即成立；
即对于任意成立
当
2、已知．当时，求关于的不等式的解集．
【答案】
当时，原不等式可化为
即
方程的两根分别为
当时，不等式的解集为
当时，由原不等式解得1＜x＜
当时，由原不等式解得＜x＜1
当时 ，由原不等式解得或
【模拟训练】
已知实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2、若，下列不等式中不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
A：，又，知：，但无法确定符号，错误；
B：，，故，正确；
C：由，知，即，正确；
D：由，有，正确；
故选：A
3、不等式的解集是( )
A． B． C. D.
【答案】B
4、不等式的解集为 .
【答案】
5、若关于的不等式解集不是空集，则实数的取值范围是________．
【答案】
6、已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
. .
. .
【答案】A
7、已知当时，不等式任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）
. .
. .
【答案】A
8、解不等式：.
【答案】
，
解方程得，，
∴当时，解集为；
当时，不等式，解集为；
当时，解集为.

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