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第一讲-集合与简易逻辑
知识点一、集合的概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个总体，这个总体就叫集合，其中每一个对象叫元素.
2、集合中元素的三个特性： 确定性、互异性、无序性．
3、集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种,表示符号为 “”或“”．
4、集合的表示常见的有四种方法
（1）自然语言描述法，（2）列举法，（3）描述法，（4）Venn图法.
5、常见的特殊集合：
（1）非负整数集（即自然数集）（包括零）
（2）正整数集或
（3）整数集(包括负整数、零和正整数)
（4）有理数集
（5）实数集
6、空集：不含任何元素的集合
知识点二、集合间的基本关系
1、子集：对于两个集合，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，并称集合为集合的子集. 记作：（或），读作“含于”（或“包含”）.
2、相等集合：
3、真子集：如果，但存在元素且，则称集合是集合的真子集. 记作（或）
4、规律总结：若集合是有个元素的集合，则集合有个子集，个真子集，个非空子集，个元素的非空真子集有个.
知识点三、集合运算及简单应用
1、并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集
记作：；读作：“并”
符号语言：.
2、交集：一般地，由属于集合且属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的交集
记作：；读作：“交”
符号语言：
3、全集与补集：
(1)全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作.
注：通常也把给定的集合作为全集.
(2)补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作.
符号语言：.
4、性质：
考点一、元素、集合基本关系
【典型例题】
已知集合，如果，那么的取值集合为 。
2、设集合，，若，求、的值及集合、．
3、已知集合，，则满足条件的集合的子集可以是 。
【变式练习】
1、已知集合，若，则实数的取值范围是 .
2、已知集合，集合,若，则实数的集合为（ ）
A． B． C． D．
3、若集合有且仅有两个子集，则实数 .
考点二、交并补综合应用
【典型例题】
已知全集,集合，，则 , 。
已知集合，,，求实数的取值范围．
3、在“①，②”这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题．
已知集合，．
(1)若，求；
(2)若________，求实数的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．
【变式练习】
1、已知全集，集合，则 ， .
2、设全集为R，集合．
(1)若，求；
(2)在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
考点三、韦恩图的应用
【典型例题】
1、已知全集，集台和的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无穷多个
2、我校某班62名同学中，有37名喜欢语文，49名喜欢数学，两门都喜欢的有30名，则两科都不喜欢的同学有 名同学
【变式练习】
1、（多选）（福州三中高一期中）图中是全集，、、是的子集，阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
2、某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则阅读过《西游记》的学生人数为 .
知识点四、充分条件与必要条件
命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．
中学数学中的许多命题可以写成 “若，则” 、“如果，那么”等形式．其中称为命题的条件，称为命题的结论．
1、充分条件与必要条件
一般地，“若，则”为真命题，是指由可以推出，记作，且是的充分条件，是
的必要条件.
2、充要条件
一般地，如果既有 ，又有 ，就记作 ，此时我们说是的充分必要条件，简称充要条件．
显然，是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果 ，那么与互为充要条件．
3、充分条件、必要条件、充要条件与命题的真假之间关系：
条件与结论关系 结论
且 是的充分不必要条件
且 是的必要不充分条件
且，即 是的充要条件
且 是的既不充分也不必要条件
知识点五、全称量词和存在量词
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等
1、全称量词
①短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示，含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．
②全称量词命题的表述形式：对中任意一个，有成立，可简记为：
③常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义．
2、存在量词
①短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示，含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．
②存在量词命题的表述形式：存在中的一个，使成立，可简记为，．
③存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义．
3、命题的否定
对于一个命题，它的否定原则为条件不变、结论相反.
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题.
含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
考点四、简易逻辑
【典型例题】
1、设，则“”是“”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2、不等式成立的一个必要不充分条件是（　　）
A． B． C． D．
3、命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4、已知集合，.
(1)当a=3时，求.
(2)若“”是 “”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【变式练习】
1、（多选）下列结论中正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．在中，“是”为直角三角形“的充要条件”
C．若，则“”是“a，b不全为0”的充要条件
D．“x为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件
2、不等式的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
3、生活中，我们还常用“滴水石穿”、“有志者，事竟成”、“坚持就是胜利”等熟语来勉励自己和他人保持信心、坚持不懈地努力．在这些熟语里，“石穿”、“事成”、“胜利”分别是“水滴”、“有志”、“坚持”的 条件，这正是我们努力的信心之源，激励着我们直面一切困难与挑战，不断取得进步．（填“充分不必要、必要不充分、充要或者既不充分也不必要”）
4、命题，则为 .
已知，，若是的充分条件，求实数的取值范围。
【模拟训练】
1、若，集合，则 .
2、设集合，，，则实数 .
3、已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
4、（多选）已知，，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
5、学校举办秋季运动会时，高一（1）班共有26名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳和田赛的有3人，同时参加游泳和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的有 人；同时参加田赛和径赛的有 人.
6、（多选）下列说法正确的是（ ）
A. 已知，，则是的必要不充分条件
B. 不等式的一个充要条件是
C. 命题的否定是
D. 命题，则
7、已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
已知全集，集合，，.
求，
若“”为“”的充分不必要条件，求的取值范围.第一讲-集合与简易逻辑
知识点一、集合的概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个总体，这个总体就叫集合，其中每一个对象叫元素.
2、集合中元素的三个特性： 确定性、互异性、无序性．
3、集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种,表示符号为 “”或“”．
4、集合的表示常见的有四种方法
（1）自然语言描述法，（2）列举法，（3）描述法，（4）Venn图法.
5、常见的特殊集合：
（1）非负整数集（即自然数集）（包括零）
（2）正整数集或
（3）整数集(包括负整数、零和正整数)
（4）有理数集
（5）实数集
6、空集：不含任何元素的集合
知识点二、集合间的基本关系
1、子集：对于两个集合，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，并称集合为集合的子集. 记作：（或），读作“含于”（或“包含”）.
2、相等集合：
3、真子集：如果，但存在元素且，则称集合是集合的真子集. 记作（或）
4、规律总结：若集合是有个元素的集合，则集合有个子集，个真子集，个非空子集，个元素的非空真子集有个.
知识点三、集合运算及简单应用
1、并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集
记作：；读作：“并”
符号语言：.
2、交集：一般地，由属于集合且属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的交集
记作：；读作：“交”
符号语言：
3、全集与补集：
(1)全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作.
注：通常也把给定的集合作为全集.
(2)补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作.
符号语言：.
4、性质：
考点一、元素、集合基本关系
【典型例题】
已知集合，如果，那么的取值集合为 。
【答案】
2、设集合，，若，求、的值及集合、．
【答案】
解：或
3、已知集合，，则满足条件的集合的子集可以是 。
【答案】
【变式练习】
1、已知集合，若，则实数的取值范围是 .
【答案】
2、已知集合，集合,若，则实数的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
3、若集合有且仅有两个子集，则实数 .
【答案】0或
考点二、交并补综合应用
【典型例题】
已知全集,集合，，则 , 。
【答案】 ;
已知集合，,，求实数的取值范围．
【答案】
解：由x2﹣3x+2＝0解得x＝1，2．
∴A＝{1，2}．
∵A∪B＝A，∴B A．
1°B＝ ，△＝8a+24＜0，解得a＜﹣3．
2°若B＝{1}或{2}，则△＝0，解得a＝﹣3，此时B＝{﹣2}，不符合题意．
3°若B＝{1，2}，∴，此方程组无解．
综上：a＜﹣3．
∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）．
3、在“①，②”这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题．
已知集合，．
(1)若，求；
(2)若________，求实数的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．
【答案】(1)或；(2)或
【解析】
(1)
当时，，所以或，
所以或.
(2)由（1）知：，
选①，
若则，
当即时，，此时符合题意，
当时，，解得：，
综上所述：实数的取值范围为.
选②，
若，则或，
当时，即，
当时，或，可得或不存在，
综上所述：实数的取值范围为或.
【变式练习】
1、已知全集，集合，则 ， .
【答案】
2、设全集为R，集合．
(1)若，求；
(2)在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
【答案】(1)；(2)
【解析】
(1)因为全集为R，
且或，
当时，，
所以.
(2)选择①：
因为，所以.
当时，，解得；
当时，或，
解得或，
即或；
综上所述，实数a的取值范围是.
选择⑵：
因为，所以.
当时，，解得；
当时，或，
解得或，
即或；
综上所述，实数a的取值范围是.
选择③：
因为，所以.
当时，，解得；
当时，或，
解得或，
即或；
综上所述，实数a的取值范围是.
考点三、韦恩图的应用
【典型例题】
1、已知全集，集台和的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无穷多个
【答案】B
【解析】由题意，集台，
所以阴影部分表示的集合为，有3个元素.
故选：B.
2、我校某班62名同学中，有37名喜欢语文，49名喜欢数学，两门都喜欢的有30名，则两科都不喜欢的同学有 名同学
【答案】6
【变式练习】
1、（多选）（福州三中高一期中）图中是全集，、、是的子集，阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】在阴影部分区域内任取一个元素，则或.
故阴影部分所表示的集合为或 .
故选：BD.
2、某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则阅读过《西游记》的学生人数为 .
【答案】70
知识点四、充分条件与必要条件
命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．
中学数学中的许多命题可以写成 “若，则” 、“如果，那么”等形式．其中称为命题的条件，称为命题的结论．
1、充分条件与必要条件
一般地，“若，则”为真命题，是指由可以推出，记作，且是的充分条件，是
的必要条件.
2、充要条件
一般地，如果既有 ，又有 ，就记作 ，此时我们说是的充分必要条件，简称充要条件．
显然，是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果 ，那么与互为充要条件．
3、充分条件、必要条件、充要条件与命题的真假之间关系：
条件与结论关系 结论
且 是的充分不必要条件
且 是的必要不充分条件
且，即 是的充要条件
且 是的既不充分也不必要条件
知识点五、全称量词和存在量词
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等
1、全称量词
①短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示，含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．
②全称量词命题的表述形式：对中任意一个，有成立，可简记为：
③常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义．
2、存在量词
①短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示，含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．
②存在量词命题的表述形式：存在中的一个，使成立，可简记为，．
③存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义．
3、命题的否定
对于一个命题，它的否定原则为条件不变、结论相反.
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题.
含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
考点四、简易逻辑
【典型例题】
1、设，则“”是“”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
2、不等式成立的一个必要不充分条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
3、命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】因为全称量词的命题的否定是存在量词的命题，
命题“，”是全称量词的命题，
所以其否定是“，”.
故选：C
4、已知集合，.
(1)当a=3时，求.
(2)若“”是 “”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【解析】
(1)由题意得：当时，
可解得集合的解集为
由可解得或
故.
(2)的解集为
又
又“”是“x∈A”的充分不必要条件
解得：，故实数a的取值范围
【变式练习】
1、（多选）下列结论中正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．在中，“是”为直角三角形“的充要条件”
C．若，则“”是“a，b不全为0”的充要条件
D．“x为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件
【答案】CD
【解析】解：对于A，若，则或，所以“”是“”的必要不充分条件，故A错误；
对于B，在中，若，则为直角三角形，反之，若为直角三角形，直角为时，不成立，所以“是”为直角三角形“的充分不必要条件，故B错误；
对于C，若，则a，b不全为0，若a，b不全为0，则，所以“”是“a，b不全为0”的充要条件，故C正确；
对于D，当x为无理数，若，则为有理数，若为无理数，则x为无理数，所以“x为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件，故D正确.
故选：CD.
2、不等式的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
3、生活中，我们还常用“滴水石穿”、“有志者，事竟成”、“坚持就是胜利”等熟语来勉励自己和他人保持信心、坚持不懈地努力．在这些熟语里，“石穿”、“事成”、“胜利”分别是“水滴”、“有志”、“坚持”的 条件，这正是我们努力的信心之源，激励着我们直面一切困难与挑战，不断取得进步．（填“充分不必要、必要不充分、充要或者既不充分也不必要”）
【答案】必要不充分
4、命题，则为 .
【答案】
已知，，若是的充分条件，求实数的取值范围。
【答案】
【模拟训练】
1、若，集合，则 .
【答案】2
2、设集合，，，则实数 .
【答案】-1
3、已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
4、（多选）已知，，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】因为，，，
所以由维恩图可知阴影部分表示的集合为，
也可表示为，
5、学校举办秋季运动会时，高一（1）班共有26名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳和田赛的有3人，同时参加游泳和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的有 人；同时参加田赛和径赛的有 人.
【答案】6 2
6、（多选）下列说法正确的是（ ）
A. 已知，，则是的必要不充分条件
B. 不等式的一个充要条件是
C. 命题的否定是
D. 命题，则
【答案】A、B
7、已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
已知全集，集合，，.
求，
若“”为“”的充分不必要条件，求的取值范围.
【答案】
，
的取值范围是

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