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二项式定理
一、基础知识梳理
1、二项式展开式，
（1）完全展开后的项数为
（2）二项展开式的通项公式 （注意是第项）
2、二项式系数：项前面的称为二项式系数，二项式系数的和为
3、系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数
注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数。二项式系数是展开式通项公式中的，对于确定的一个二项式，二项式系数只由决定。而系数是指展开并化简后最后项前面的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数。例如：展开式中第三项为，其中为该项的二项式系数，而
化简后的结果为该项的系数
3、有理项：系数为有理数,次数为整数的项
4、二项式系数的最大值：在中，数值最大的位于这列数的中间位置。若为奇数（共有偶数项），则最大值为中间两个，例如时，最大项为，若为偶数（共有奇数数项），则最大值为中间项，例如时，最大项为
二、考点突破
（一）展开式中的通项问题
例1 的展开式中项的系数为___．
例2.已知的展开式中各项系数的和为，则该展形式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
自主练习
1. 二项式的展开式中项的系数为，则（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
2.在二项展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. D.
（二）二项式的系数和与各项系数和
例3.已知的展开式中第6项的系数为-189，则展开式中各项的系数和为______.
例4.若，则
（1）________；
（2）________．
自主练习
3.展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（ ）
A. 120 B. -120 C. 60 D. -60
4.在的展开式中的，下列说法正确的是（ ）
A．二项式系数和为64 B．常数项为60
C．二项式系数和为1 D．各项系数和1
（三）二项式系数的最值问题
例5.设函数的最小值为，且，则______，______.
自主练习
5.二项式展开式中系数最大的项为___________
综合练习
1. 的展开式中，所有项的系数和为________，项的系数为________.
2.的展开式中的系数为______.
3.的展开式中，的系数为______.
4.设常数，如果的二项展开式中项的系数为-80，那么______.
5.已知，则__________．
6.（）的展开式中的系数为9，则______.
二项式定理解析
一、基础知识梳理
1、二项式展开式，
（1）完全展开后的项数为
（2）二项展开式的通项公式 （注意是第项）
2、二项式系数：项前面的称为二项式系数，二项式系数的和为
3、系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数
注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数。二项式系数是展开式通项公式中的，对于确定的一个二项式，二项式系数只由决定。而系数是指展开并化简后最后项前面的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数。例如：展开式中第三项为，其中为该项的二项式系数，而
化简后的结果为该项的系数
3、有理项：系数为有理数,次数为整数的项
4、二项式系数的最大值：在中，数值最大的位于这列数的中间位置。若为奇数（共有偶数项），则最大值为中间两个，例如时，最大项为，若为偶数（共有奇数数项），则最大值为中间项，例如时，最大项为
二、考点突破
（一）展开式中的通项问题
例1 的展开式中项的系数为___．
【答案】80
【解析】
【分析】由二项式定理得出项的系数.
【详解】的展开式的通项为，则展开式中含的项为，故的展开式中项的系数为80．
故答案为：
例2.已知的展开式中各项系数的和为，则该展形式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令则，
∴展开式中含的项为，所以的系数为38.
故选：C.
自主练习
1. 二项式的展开式中项的系数为，则（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【解析】
二项式的展开式的通项是，令得的系数是，因为的系数为，所以，即，解得：或，因为，所以，故选C．
2.在二项展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因为,可得时，的系数为，C正确.
（二）二项式的系数和与各项系数和
例3.已知的展开式中第6项的系数为-189，则展开式中各项的系数和为______.
【答案】128
【解析】
【分析】
根据二项展开式的通项公式得出，从而得出第六项系数，求出，最后利用赋值法求展开式中各项的系数和.
【详解】解：由题意，通项为：，
由于的展开式中第6项的系数为-189，
则第六项系数为：，解得：，
故该二项式为，
令得展开式各项系数的和为：．
故答案为：128．
例4.若，则
（1）________；
（2）________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
（1）化简二项式为，利用通项，求得，再令，求得，即可求解；
（2）令，求得，根据和（1）中，即可求解.
【详解】（1）由题意，可化为，
由，可得，
令，即时，可得，
所以.
（2）令，
则，
则，
由（1）可得，
所以.
自主练习
3.展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（ ）
A. 120 B. -120 C. 60 D. -60
【答案】C
【解析】
【分析】
由二项式系数和求出，然后写出展开式的通项公式得常数项所在项数，从而得常数项．
【详解】由题意，解得，
展开式通项公式为，令，，
所以常数项为．
故选：C．
4.在的展开式中的，下列说法正确的是（ ）
A．二项式系数和为64 B．常数项为60
C．二项式系数和为1 D．各项系数和1
【答案】ABD
【详解】
由条件可知中，二项式系数的和为，故A正确，C不正确；
通项公式，当时，，
所以展开式中的常数项是，故B正确；令，，所以各项系数和为1，故D正确.故选：ABD
（三）二项式系数的最值问题
例5.设函数的最小值为，且，则______，______.
【答案】 (1). 2 (2). 9
【解析】
【分析】
化简函数，换元后利用的单调性求出最小值即可得出，将转化为，再利用展开式的通项即可得到答案.
【详解】由，
令，
因为函数，为减函数，
所以当时，，
即，
所以，
因为的展开式通项为：，
所以当，即时，展开式的项为，
又，所以.
故答案为：2；9
自主练习
5.二项式展开式中系数最大的项为___________
【答案】
解：
设项的系数为
若最大，则
解得： 　　　或
经检验：系数最大的项为
答案：
综合练习
1. 的展开式中，所有项的系数和为________，项的系数为________.
【答案】 (1). 1 (2).
【解析】
【分析】
令可得所有项的系数和，把多项式化为二项式，然后由二项式定理可得的系数．
【详解】令，则展开式中所有项的系数和为，
，展开式通项公式为，令，，∴的系数为．
故答案为：1；－20．
2.的展开式中的系数为______.
【答案】-6480
【解析】
分析】
，利用二项式定理得到，再展开，计算得到答案.
【详解】，展开式的通项为：，
取，则，
的展开式的通项为：，
取，得到，
故的系数为.
故答案为：.
3.的展开式中，的系数为______.
【答案】30
【解析】
【分析】
表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有2个因式选 ，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选 ，即可得到含 的项，即可算出答案.
【详解】 表示5个因式的乘积，
在这5个因式中，有2个因式选 ，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选 ，即可得到含 的项，
故含的项系数是
故答案为：30
4.设常数，如果的二项展开式中项的系数为-80，那么______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用二项式定理的通项公式即可得出.
【详解】的二项展开式的通项公式：，
令，解得.
∴，
解得.
故答案为：-2.
5.已知，则__________．
【答案】180
【解析】
，，，故答案为.
6.（）的展开式中的系数为9，则______.
【答案】1
【解析】
【分析】
通过分类讨论结合二项展开式的通项公式进行求解即可．
【详解】解：的通项公式，
若第一括号是1，则第二个括号必须是相乘，
若第一括号是，则第二个括号必须是相乘，
则项系数，
即，得，
得或（舍，
故答案为：1．

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