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一、单选题
1．已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=
A． B．3 C． D．4
2．如图，分别为双曲线的左、右焦点，过点作直线，使直线与圆相切于点P,设直线交双曲线的左右两支分别于A、B两点（A、B位于线段 上），若,则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的左 右焦点分别为，，点是双曲线渐近线上一点，且(其中为坐标原点)，交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，下列条件，能使得（m，n）的轨迹存在实轴和虚轴相等的双曲线的是（ ）
A．成等差数列 B．成等比数列
C．成等差数列 D．成等比数列
5．已知双曲线的左 右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若，则此双曲线的渐近线为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线右支交于点，过作的角平分线的垂线，垂足为，若,则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的左 右焦点分别为，M为右支上一点，的内切圆圆心为Q，直线交x轴于点N，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线，其左右焦点分别为，，点P是双曲线右支上的一点，点I为的内心（内切圆的圆心），，若，，则的内切圆的半径为（　　）
A． B．
C． D．
9．已知双曲线的左右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，满足，点是线段上一点，满足.现将沿折成直二面角，若使折叠后点，距离最小，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，c是双曲线C的半焦距，点A是圆上一点，线段交双曲线C的右支于点B，，，则双曲线C的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
11．从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为T，延长交双曲线右支于P点，M为线段的中点，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
12．如图，设，是双曲线的左、右焦点，过点作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点，若的面积为，离心率满足，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
13．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
14．已知双曲线（，）的左，右焦点分别是，，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
15．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点．若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．已知分别为双曲线的左 右焦点，为双曲线的右顶点.过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点在第一象限），设分别为的内心，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
17．双曲线的左、右焦点分别为，，点P为C的左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，，垂足为Q．当的最小值为3时，的中点在双曲线C上，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
18．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一点，满足，点N是F1F2线段上一点，满足．现将△MF1F2沿MN折成直二面角，若使折叠后点F1，F2距离最小，则为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
19．已知双曲线的左、右焦点分别为 ，点在双曲线上．若为直角三角形，且，则双曲线的离心率为 _______________________ ．
20．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过原点的直线与的左、右两支分别交于，两点，直线交双曲线于另一点（，在的两侧）.若，且，则双曲线的渐近线方程为______.
21．已知双曲线的左、右焦点分别为，，斜率大于0的直线经过点与的右支交于，两点，若与的内切圆面积之比为9，则直线的斜率为______．
22．设过原点的直线与双曲线：交于两个不同点，为的一个焦点，若，，则双曲线的离心率为__________.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离公式求得的值.
详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，
从而得到，所以直线的倾斜角为或，
根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，
可以得出直线的方程为，
分别与两条渐近线和联立，
求得，
所以，故选B.
点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.
2．B
【解析】连接，，设则，由题意可知，，即，即， 则，求解离心率即可.
【详解】连接，，设则，即，，
根据双曲线定义可知，
即
即
直线与圆相切于点P
在中①
在中②
在中③
②③联立得，即
①②联立得即④
将代入④，即，
整理得即
故选：B
【点睛】本题考查双曲的离心率，解决本题的关键是根据双曲线的定义表示出与，本题属于中档题.
3．C
【分析】根据双曲线的定义和余弦定理建立关于的方程，从而可得双曲线的离心率．
【详解】根据双曲线的对称性，不妨设点在第二象限，设，因为，点到直线的距离，
所以，因为，所以，因为，所以，
由双曲线的定义可知，在中，由余弦定理可得，整理得，
所以，即离心率.
故选：C.
【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．
4．C
【分析】根据等差数列和等比数列的性质列出方程，根据函数解析式化简，再根据双曲线的方程特点判断.
【详解】对A，若成等差数列，则，即，整理可得，则当时，的轨迹为圆，时，的轨迹不存在，故A错误；
对B，若成等比数列，则，即，整理可得，方程不能表示双曲线，故B错误；
对C，若成等差数列，则，即，整理可得，当且时，方程化为，此时表示实轴和虚轴相等的双曲线，故C正确；
对D，若成等比数列，则，即，整理可得，
当，且时，由得，此时是实轴和虚轴不相等的双曲线，故D错误.
故选：C.
5．D
【分析】通过得到，结合题干中的斜率条件表达出点坐标，再代入双曲线方程求解与的关系，求解渐近线方程.
【详解】因为，所以，故三角形是等腰三角形，即，又因为，过点A作AB⊥x轴于点B，则，设，，由勾股定理得：，解得：，故，把A点代入双曲线方程，得：，解得：，显然=0，所以，所以双曲线的渐近线为
故选：D
6．D
【分析】如图根据题意可得，在中利用余弦定理可得，再根据的范围，从而求得的范围.
【详解】
如图所示，由已知可知是的角平分线，
且，延长交于，
易知，
由，
所以，
又，，
所以，
在中，
由的斜率可无限靠近渐近线的斜率，所以，
所以，
解得.
故选：D
7．A
【分析】先由切线长定理及双曲线的定义求得点横坐标为，再由直线的方程求出，再借助求得，进而求得，在，由双曲线的定义及余弦定理即可求出.
【详解】
如图，设内切圆Q与的三边分别切于三点，过作轴于点，易得，
又由双曲线定义得，即，又，
故，即点横坐标为，又，则，故直线的方程为，代入，
解得，即，又，则，故，
又，则，，在中，由余弦定理得，
即，化简得，即，解得或，又离心率大于1，故离心率为.
故选：A.
8．B
【分析】依据题给条件列出关于的内切圆半径的方程，即可求得的内切圆半径.
【详解】由结合点I是的内切圆的圆心可知，
又有，所以，
又，可得，，
再根据，由余弦定理可得，
解之得，则
即，解之得.
故选：B.
9．C
【分析】根据双曲线方程，结合双曲线定义及，求得，，设，在三角形中分别表示出，，从而求得的带三角函数表达式，当取最小值时，求得，从而得出N点的位置，求出.
【详解】由双曲线方程知，，，，
设，则，，又，
则，解得或-3（舍），
设折叠后点达到F点，如图所示，作于A点，易知平面，，，设，
则，在中，，，
在中，由余弦定理知，
，
则，
当且仅当，即时，等号成立，折叠后点，距离最小.
此时MN为的角平分线，由角平分线定理知，
，则，
故选：C
【点睛】关键点点睛：用分别表示出，，从而表示出，找到其取最小值时的位置，进而求得N点的位置.
10．A
【分析】根据已知及双曲线的定义，可把用a表示，再用勾股定理推出，在中，利用勾股定理建立a，c的关系式即可求出离心率.
【详解】如下图，由题意可知，由双曲线定义可知，
易得，由勾股定理可得，在中，再由勾股定理得，所以.
故选：A.
11．B
【分析】先求得的关系，再去求双曲线的离心率
【详解】设双曲线的右焦点，连接,
则△中，,，则
由直线与圆相切，可得
又双曲线中，
则
又，则，整理得
两边平方整理得，则双曲线的离心率
故选：B
12．B
【分析】根据几何关系列出关于渐近线倾斜角与面积的等量关系式，求出渐近线的倾斜角，从而根据渐近线方程计算的值，确定双曲线的方程
【详解】设双曲线的渐近线的倾斜角为，则，在等腰三角形中，根据正弦定理可得：，得，所以，解得或，又，，所以，从而，所以双曲的方程为，
故选：B．
【点睛】本题目比较巧妙的地方在于借助渐近线的倾斜角，得到倾斜角与的关系，结合解三角形的方法来表示三角形的面积，求出的值；题目也可以用渐近线方程直接求解
13．B
【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.
【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，
设，则，显然有，，
，因此，，在，，
即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，
所以E的离心率为.
故选：B
【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
②齐次式法，由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
14．C
【分析】由可得在的角平分线上，由双曲线的定义和切线长定理可得为的内心，再由内心的向量表示，推得，再由双曲线的定义和离心率公式，即可求解.
【详解】因为，所以是的角平分线，
又因为点在直线上，且在双曲线中，点是双曲线右支上异于顶点的点，
则的内切圆圆心在直线上，即点是的内心，
如图，作出，并分别延长、、至点、、，使得，
，，可知为的重心，
设，，，由重心性质可得，
即，
又为的内心，所以，
因为，所以，，则，
所以双曲线的离心率.
故选：C.
【点睛】三角形重心、内心和外心的向量形式的常用结论：
设的角，，所对边分别为，，，则
（1）的重心满足；
（2）的内心满足；
（3）的外心满足.
15．D
【分析】因为过作圆的切线，切点为，故，过作 于M，
利用得关于a,b的不对等时，从而得出关于e的不等式，结合切线与双曲线左支有交点，得出.
【详解】
过作 于M，
,O为 的中点，
， ，
令 ，则 ，
，
在 中，
解得 ,
即 ， ，
且 与左支有交点， ，即 ，
，
.
故选：D
【点睛】充分利用题中相切的特点，以及双曲线自身的几何特征，建立关于a,b,c的不等式，得出离心率的范围，特别是切线与双曲线左支有交点这个条件的利用.
16．B
【分析】由内心的性质，可知M，N的横坐标都是a，得到MN⊥x轴，设直线AB的倾斜角为θ，有，将表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.
【详解】设上的切点分别为H I J，
则.
由，得，
∴，即.
设内心M的横坐标为，由轴得点J的横坐标也为，则，
得，则E为直线与x轴的交点，即J与E重合.
同理可得的内心在直线上，
设直线的领斜角为，则，
，
当时，；
当时，由题知，，
因为A，B两点在双曲线的右支上，
∴，且，所以或，
∴且，
∴，
综上所述，.
故选：B.
17．A
【解析】由双曲线定义得到，再利用焦点到渐近线的距离为求得设出渐近线方程求得的中点坐标代入双曲线方程联解求得的解.
【详解】解：，
，
又，，
双曲线的渐近线方程为：，
即，
焦点到渐近线的距离为，
即的最小值为b，
即，
不妨设直线OQ为：，
，
点，，的中点为，
将其代入双曲线C的方程，得：，
即，
解得：
又，，
，
故双曲线C的方程为．
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用双曲线定义及焦点到渐近线的距离为.
18．B
【分析】由已知条件及双曲线的定义可得，，将△MF1F2沿MN折成直二面角后，过作，应用直角三角形边角关系、余弦定理及勾股定理求最小时的大小，进而求值.
【详解】∵，，
∴，，
将△MF1F2沿MN折成直二面角，过作，易知面，
设，在中有，，
∴在△中，，有，
∴，
∴，当且仅当，时等号成立.
∴F1，F2距离最小时，为角平分线，故，可得.
故选：B
【点睛】关键点点睛：由双曲线的定义求、，结合直角三角形边角关系、余弦定理、勾股定理求与的函数关系，再求最小值，最后即可求参数值.
19．或
【分析】设点在双曲线的右支上，由为直角三角形，可分类讨论或，由，设长度，再结合结合勾股定理，得到关系，求出离心率.
【详解】根据双曲线的对称性，设点在双曲线的右支上
由为直角三角形，可知或
（1）若，由，设
由勾股定理知：，又，即
（2）若，由，设
由勾股定理知：，
又，即
综上可知，双曲线的离心率为：或
故答案为：或
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了双曲线的离心率的求法，双曲线的定义，通过已知条件找到几何关系是解题的关键，考查学生的分类讨论思想与计算能力，属于中档题.
20．
【分析】连接，，，由双曲线的对称性得四边形是平行四边形，令，，则，结合双曲线的定义可得，在中，由余弦定理可得的关系，得到与的关系，进而在中利用余弦定理可得的关系，进而求解.
【详解】连接，，，如图所示：
由双曲线的对称性得四边形是平行四边形，
所以，令，，，
由双曲线的定义，得，
所以，
在中，由及余弦定理得：
，
代入化简可得，
又得，.
在中，，
即，可得，
∴，，
所以的渐近线方程为.
故答案为：
【点睛】本题考查双曲线的几何性质和渐近线，涉及余弦定理的运用，双曲线的定义的运用，关键是利用双曲线的对称性，定义，和余弦定理得到的关系.属中档题.
21．
【分析】设与的内切圆圆心分别为，， 的内切圆与三边分别切于点，，， 利用内切圆的性质得．设直线的倾斜角为，在中，，在中，，由题得得，再由二倍角公式可得答案．
【详解】设与的内切圆圆心分别为，，连接，，，
的内切圆与三边分别切于点，，，如图，
则，
所以，即，
同理，所以，
设直线的倾斜角为，则，
在中，，
在中，，
由题得，所以，
解得，所以．
故答案为：﹒
22．
【解析】如图所示：连接，根据对称性知为平行四边形，计算得到
，利用余弦定理计算得到答案.
【详解】如图所示：连接，根据对称性知为平行四边形.
，则，，
，，故.
根据余弦定理：，化简得到，故.
故答案为：.
【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.
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