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第二章 整式的加减
2.1 整 式
知识点一用字母表示数
用字母表示数，能用式子把数量关系简明地表示出来.
用字母表示数的书写规范 举例
(1)在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“·”或省略不写，并且数字写在字母的前面 100×t可以写成100·t或100t，m×n通常写成m·n或mn
(2)数与数相乘时，为了避免歧义，只能用“×”，不能省略或写成“·” 3×5不能写成35或3·5
(3)带分数与字母相乘，带分数要写成假分数 1×m要写成m
(4)当式子为含字母的除法算式时，结果一般写成分数的形式 mn÷7c应写成
(5)数字因数为“1”或“-1”时，通常省略“1” 1×mn写成mn，-1×bc写成-bc
特别提醒
(1)用字母表示数，字母和数一样可以参与运算.
(2)同一问题中，不同的量要用不同的字母表示；不同的问题中，不同的量可以使用相同的字母表示，但字母的含义不同.
(3)用字母表示几个数的和、差，并且后面有单位时，要把和、差用括号括起来.
带分数与字母相乘时，要化成假分数.
【例1】用含有字母的式子表示：
(1)比a的2倍少3的数是 ；
(2)某班有女生a名，男生是女生人数的1倍，那么该班有男生 名；
(3)李晓茹步行的速度是v km／h，那么她步行3 km的路程，需要 h；
(4)a块边长为a m的正方形地板砖，能铺设地面的面积是 m2；
(5)丽丽去鲜花店买花，买了m枝玫瑰，每枝a元，n枝康乃馨，每枝b元，则应付 元.
答案：(1)2a-3 (2)a (3) (4)a3 (5)(ma+nb)
总结
用字母表示数量关系“三要”
(1)要辨析词语意义：应认真审题，审题时要对语言叙述中的关键词语所代表的意义进行仔细辨析；
(2)要分清数量关系：需分清语言叙述中各数量之间的和、差、倍、分关系，不要见多就加、见少就减、见倍就乘；
(3)要书写规范：必须按照用字母表示数的书写要求正确、规范地书写.
知识点二单项式及其有关概念
【例2】判断下列各式是不是单项式 如果是，请指出它们的系数和次数.
(1)-m+1； (2)-；(3)710xyz2；(4).
解：(1)不是单项式.
(2)是单项式，系数是-，次数是3·
(3)是单项式，系数是710，次数是4.
(4)不是单项式.
总结
确定单项式的系数和次数的“一方法。二注意”
(1)确定单项式系数的方法是把式子的字母及其指数去掉，剩余的为其系数.
(2)确定单项式的次数时要注意两点：①没有写指数的字母，其指数为1，不要将其遗漏；②不能将系数的指数计算在内.
特别提醒
(1)圆周率π是常数，在计算含有π的单项式的次数时，注意不要加上π的指数.
(2)单项式的系数包括它前面的符号，且只与数字因数有关，而次数只与字母有关，如-x3yz4的系数是-，次数是3+1+4＝8.
(3)单项式中某个字母没有写指数，则它的指数为1，而不是0，如3y的次数是1.
单独的一个数或一个字母也是单项式.
几个单项式的和叫做多项式.
拓展
若一个多项式含有m项，次数为n，则这个多项式就叫做n次m项式，如x2+3x=20是二次三项式.
知识点三多项式及其有关概念
【例3】对于多项式3x2-x4y-1.3+2xy2，分别回答下列问题：
(1)它是几项式 (2)写出它的各项；(3)写出它的最高次项；
(4)写出最高次项的次数；(5)写出多项式的次数；(6)写出常数项.
解：(1)多项式3x2-x4y-1.3+2xy2由4项组成，是四项式.
(2)它的各项分别是3x2，-x4y，-1.3，2xy2.
(3)它的最高次项是-x4y.
(4)最高次项的次数是5.
(5)多项式的次数是5.
(6)常数项是-1.3.
特别提醒
(1)在识别多项式的各项时，应连同它前面的符号，尤其注意项的符号为负号的情况.
(2)单项式的次数是所有字母指数的和，而多项式的次数是多项式中次数最高项的次数，二者不要混淆.
知识点四整式
单项式与多项式统称整式.
【例4】指出下列各式中哪些是单项式 哪些是多项式 哪些是整式
x2+y2，-x，，10，6xy+1，，m2n，2x2-x-5，，a7.
解：，的分母中含有字母，既不是单项式，也不是多项式，更不是整式.
单项式有-x，10，m2n，a7；
多项式有x2+y2，，6xy+1，2x2-x-5；
整式有x2+y2，-x，，10，6xy+1，m2n，2x2-x-5，a7.
特别提醒
(1)单项式必定是整式，多项式也必定是整式，但整式有可能是单项式，也有可能是多项式.
(2)分母中含有字母的式子，既不是单项式，也不是多项式，所以不是整式.
应用能力·巧提升
题型一整式的实际应用
【例1】(吉林中考)小红要购买珠子穿成一条手链，黑色珠子每个a元，白色珠子每个b元，要穿成如图2.1-1所示的手链，小红购买珠子应该花费 ( )
A.(3a+4b)元 B.(4a+3b)元
C.4(a+b)元 D.3(a+b)元
审题关键：总花费为黑色珠子个数x黑色珠子单价+白色珠子个数×白色珠子单价.
解析：因为要穿成如图2.1-1所示的手链，需要3个黑色珠子，4个白色珠子，所以小红购买珠子应该花费(3a+4b)元.故选A.
答案：A
解后反思
用整式表示实际问题中的数量关系，关键是先理解题意，抓住关键词句，再用适当的式子表示出来.
变式训练
1.某商品原价每件x元，后来店主将每件涨价10元，再降价25％，则现在的单价(单位：元)是 ( )
A.25％x+10
B.(1-25％)x+10
C.25％(x+10)
D.(1-25％)(x+10)
2.有长为1的铁栏杆，利用它和一面墙围成一个长方形的花圃(如图2.1-2)，花圃垂直于墙的边长为x.用含x的式子表示花圃的面积，并求出当x=0.3时的花圃面积.
题型二整式的相关概念的应用
【例2】已知多项式-24x2ym-3x4y-10是七次三项式，单项式2xyn的次数与这个多项式的次数相同，求2m-3n的值.
审题关键：分析多项式中每一项的次数，根据多项式与单项式的次数的概念解答.
破题思路：根据题意先确定多项式和单项式的次数，再根据次数相同求得m，n的值，最后代入求值.
解：根据题意，得
2+m=7，1+n=7，
所以m=5，n=6，
所以2m-3n=2×5-3×6=-8.
解后反思
求解多项式中的字母的值时，要根据多项式的次数或系数列出含有字母的等式，先求出字母的值再解决其他问题.
变式训练
3.已知多项式-x2ym+1·+xy2-3x3-6是六次四项式，单项式3x2ny5-m与该多项式的次数相同，求m，n的值.
题型三利用整体思想求整式的值
【例3】若a2-2a-1=0，则2a2-4a= .
审题关键：逆用乘法分配律，可得2a2-4a=2(a2-2a)，由条件易求得a2-2a的值，由此将其作为整体，代入求值.
解析：因为a2-2a-1=0，
所以a2-2a=1.
所以2a2-4a=2(a2-2a)=2×1=2.
答案：2
方法技巧
整体思想妙求整式值
在整式的求值问题中，当式子中出现不易求出值的字母时，一般是将含该字母的部分看成一个整体，采用整体代入的方法求解.
变式训练
4.已知多项式x2+2x+5的值为7，试求多项式3x2+6x+3的值.
题型四与整式有关的规律探究题
【例4】用黑白两种正六边形地面瓷砖按如图2.1-3所示规律拼成若干图案，第1个图案中有白色瓷砖 块；第2个图案中有白色瓷砖 块；第3个图案中有白色瓷砖 块……第n个图案中有白色瓷砖 块.
审题关键：发现图案变化规律“每增加一块黑色瓷砖，白色瓷砖增加4块”是解题的关键.
解析：方法1(观察数字变化)：第1个图案中白色瓷砖的块数是6；
第2个图案中白色瓷砖的块数是10=6+4：
第3个图案中白色瓷砖的块数是14=6+4×2：
……
以此类推，第n个图案中白色瓷砖的块
数是6+4(n-1).
方法2(观察图形变化)：前3个图案中白色瓷砖的数量分别为6块，10块，14块，对比发现，后面的每个图案中都比前一个图案在右侧多4块白色瓷砖，
所以第n个图案中有[6+4(n-1)]块白色瓷砖.
答案：6 10 14 [6+4(n-1)]
规律总结
“双管齐下”，解密图形变化规律
解决图形变化规律问题可以从“形”和“数”两个角度入手，通过逐一看图，观察、分析、归纳图形或数字的变化规律，从而得出答案.这体现了从特殊到一般的数学思想.
变式训练
5.当n等于1，2，3，…时，由白色正方形和黑色正方形组成的图形分别如图2.1-4所示，则第n个图形中自色正方形和黑色正方形的个数总和为 .
6.观察下列各单项式：-2a，4a2，-6a3，8a4，-10a5，12a6……
通过观察：
(1)写出第n个单项式；
(2)写出第2 020个单项式.
易误易混·精辨析
易错点一书写不规范
【例1】用整式表示：
(1)3与a的积减去b的；
(2)a除以5的商的平方.
解：(1)a-b.
(2)()2.
防错警示
(1)当带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数.
(2)用整式表示商时，要写成分数形式；而分数作为乘方的底数，要加括号.
易错点二确定单项式的系数和次数时出错
【例2】单项式-22πxy2的系数是 ，次数是 .
解析：单项式-22πxy2的数字因数是-22π，故系数为-22π；xy2中所有字母的指数之和为3，故单项式的次数为3.
答案：-22π 3
防错警示
(1)π是常数，不能看作字母.
(2)单项式的次数是所有字母的指数之和，与系数中的指数无关.
(3)单项式的系数包括前面的符号.
易错点三确定多项式的次数时出错
【例3】多项式-a2+10b+的次数是 ，它是 次 项式.
解析：多项式中次数最高的项是“-a2”，次数为2，多项式共有3项，因此它是二次三项式.
答案：2 二 三
防错警示
解决此类问题的关键是掌握多项式次数的概念，否则很容易出错.例如本题，由多项式中第一项的次数是2，第二项的次数是1，第三项的次数是0，得多项式的次数是2+1+0=3，这是错误的.多项式的次数不是将各项的次数相加，而是次数最高项的次数.
真题解密·探源头
中考真题
(内蒙古呼和浩特中考)某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10％，5月份比4月份增加了15％，则5月份的产值是 ( )
A.1(a-10％)(a+15％)万元
B.a(1-90％)(1+85％)万元
C.a(1-10％)(1+15％)万元
D.a(1-10％+15％)万元
解析：由题意可得，4月份的产值为a(1-10％)，5月份的产值为a(1-10％)(1+15％)，故选C.
答案：C
教材原型
教材第57页练习第2(3)题
产量由m kg增长10％，就达到 kg.
解析：增长后的产量为m(1+10％)kg.
答案：m(1+10％)
命题人解密：教材练习题和中考题都考查了实际背景下的整式的应用.教材练习题较为简单，一步就可得出结果，中考题则是在教材练习题的基础上多加了一步，由两步计算得到结果.
阅卷人解密：这类问题在中考中为基础题，很少失分.在求解时注意不要混淆降低率公式和增长率公式.
高效训练·速提能
【基础达标】
1.(贵州铜仁中考)单项式的系数是 ( )
A. B.π C.2 D.
2.(重庆中考)若a=2，b=-1，则a+2b+3的值为( )
A.-1 B.3 C.6 D.5
3.下列说法中，错误的是 ( )
A.单项式a的系数和次数都是1
B.数字1也是单项式
C.-是系数为-的二次单项式
D.-a是多项式
4.在式子①-2x2+，②-，③-2，④-，⑤，⑥+y中，单项式有 ，多项式有 ，整式有 .(只填序号)
5.(吉林长春中考)长春市净月潭国家森林公同门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元.若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费 元.
6.(四川绵阳中考)若多项式xy|m-n|+(n-2)x2y2+1是关于x，y的三次多项式，则mn= .
7.(江苏连云港中考)按照如图2.1-5所示的计算程序，若x=2，则输出的结果是 .
8.根据题意列式子，并判断是否为整式.如果是整式，指明是单项式还是多项式.
(1)a，b两数的积除以a，b两数的和；
(2)a，b两数积的一半的平方；
(3)国庆节前夕，七(1)班和七(2)班的同学参加了广场摆花坛活动，(1)班搬了a盆花，(2)班比(1)班的2倍多b盆，两个班一共搬了多少盆花
9.已知单项式-x2y3与多项式xym+2x-3的次数相同，求m的值，并指出多项式的每一项.
【能力提升】
10.图2.1-6是一组有规律的图案，第1个图案是由4个基础图形组成；第2个图案是由7个基础图形组成……第n(n是正整数)个图案中的基础图形的个数为 (用含n的式子表示).
11.请对多项式a+2的实际意义作出解释.
12.已知多项式3x2-x的值为5，试求多项式-x2++7的值.
13.已知(a-1)x2ya+1是关于x，y的五次单项式：
(1)试求下列整式的值：
①a2+2a+1； ②(a+1)2.
(2)由(1)中两小题的结果你发现了什么结论 任意取几个a值验证你的结论.
【素养创新题】
14.小明房间窗户的装饰物如图2.1-7①所示，它们由两个半径相同的四分之一圆组成.
(1)请用含a，b的式子表示装饰物的面积；
(2)请用含a，b的式子表示窗户能射进阳光部分的面积；
(3)请你在图2.1-7②中帮小明重新设计该窗户的装饰物，并且用含a，b的式子表示此时窗户能射进阳光部分的面积.(要求装饰物由若干个圆或半圆或四分之一圆组成)
本书习题参考答案
2.1 整式
应用能力·巧提升
1.D
2.解：因为花圃垂直于墙的边长为x，
所以花圃与墙相对的一边长为1-2x，
所以花圃的面积为x(1-2x).
当x=0.3时，
面积为0.3×(1-2×0.3)=0.12.
3.解：根据题目中的已知条件，得2+m+1=6，所以m=3.又因为单项式3x2ny5-m的次数也是6，所以2n+5-m=6，即2n+5-3=6，解得n=2.
4.解：因为x2+2x+5=7，所以x2+2x=2.所以3x2+6x+3=3(x2+2x)+3=3×2+3=9.
5.n2+4n 解析：第1个图形：白色正方形1个，黑色正方形4×1＝4(个)，共有1+4＝5(个)；第2个图形：白色正方形22＝4(个)，黑色正方形4×2＝8(个)，共有4+8＝12(个)；第3个图形：白色正方形32＝9(个)，黑色正方形4×3＝12(个)，共有9+12=21(个)；
……
第n个图形：白色正方形n2个，黑色正方形4n个，共有(n2+4n)个.
6.解：(1)系数分别为-2，4，-6，8，-10，12，…，均为偶数，且奇数项为负数，偶数项为正数，可得系数规律：(-1)n×2n.
字母因数为a，a2，a3，a4，a5，a6，…，可得规律：an，所以第n个单项式为(-1)n×2nan.
(2)把n=2020代入(-1)n×2nan，可得(-1)2020×2×2020a2020=4040a2020.
高效训练·速提能
1.D
2.B 解析：把a＝2，b＝-1代入a+2b+3中，得a+2b+3=2+2×(-1)+3=3.
3.D 解析：多项式是整式，整式的分母中不合字母，D项中分母中含有字母a，故不是整式，也不是多项式.
4.②③ ①⑤ ①②③⑤
5.(30m+15n)
6.0或8 解析：因为多项式xy|m-n|+(n-2)x2y2+1是关于x，y的三次多项式，所以n-2=0，1+|m-n|=3，所以n=2，|m-n|=2，所以m-n=2或n-m=2，所以m=4或m=0，所以mn=0或8.
7.-26 解析：把x=2代入程序中，得10-22=10-4=6>0，把x=6代入程序中，得10-62=10-36=-26<0，所以最后输出的结果是-26.
8.解：(1)，不是整式.
(2)()2，是整式，且是单项式.
(3)3a+b，是整式，且是多项式.
9.解：因为单项式-x2y3的次数是5，所以多项式xym+2x-3的次数也是5，所以m+1=5，即m=4.
故多项式为xy4+2x=3，共有三项，分别是xy4，2x，-3.
10.3n+l 解析：认真观察图形，确定图形变化规律：第1个图案是由4个基础图形组成，第2个图案是由7个基础图形组成，以后每个图案都比前一个图案多3个基础图形，所以第n(n是正整数)个图案中的基础图形的个数为3n+1.
11.解：答案不唯一.例如：(1)某班原有学生a人，本学期又转来新生2人，本学期这个班共有学生(a+2)人.
(2)一个圆的半径为a cm，将半径增加2 cm，则现在圆的半径为(a+2)cm.
12.解：因为3x2-x=5，所以-x2++7=-(3x2-x)+7=-×5+7=.
13.解：因为(a-1)x2ya+1是关于x，y的五次单项式，所以2+a+1=5，解得a=2.
(1)①a2+2a+1=4+4+1=9.
②(a+1)2=32=9.
(2)猜想：a2十2a+1=(a+1)2.
当a=1时，a2+2a+1=4，(a+1)2=4，等式成立；
当a=3时，a2+2a+1=16，(a+1)2=16，等式成立.
14.解：(1)因为装饰物的面积等于一个半圆的面积，所以面积为π()2＝πb2.
(2)因为能射进阳光的面积＝长方形面积-装饰物面积，所以面积为ab-πb2.
(3)答案不唯一，只要画图符合要求即可.
如答图2.1-1，窗户能射进阳光部分的面积为ab-πb2.
教材参考答案
2.l整式
练习(第56页)
1.解：在这个月内销售这种商品的收入是4.8m元.
2.解：由圆柱体的体积=底面积×高，得这个圆柱体的体积是πr2h.
3.解：两片棉田的产量分别是ma kg，nb kg，则两片棉田上棉花的总产量为(ma+nb)kg.
4.解：剩余部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，则剩余部分的面积为(a2-b2)mm2.
练习(第57页)
1.
单项式 2a2 -1.2h xy2 -t2 -
系数 2 -1.2 1 -1 -
次数 2 1 3 2 2
2.(1)48%x x-48％x (2) (3)(1+10％)m
问题(第58页)
v+2.5的项分别是v，2.5，次数是1.
3x+5y+2z的项分别是3z，5y，2z，次数是1.
ab-πr2的项分别是ab，-πr2，次数是2.
练习(第58页)
1.(1)2(a+b) ab 10 6
(2)(a+b)h 15
2.解：(1)5x，这个单项式的次数是1.
(2)x2+3x+6，这个多项式的次数是2，项分别是x2，3x，6.
(3)x+2，这个多项式的次数是1，项分别是x，2.
习题2.1(第59页)
1.解：(1)6a2 cm2.
(2)(1-20％)a=0.8a(元).
(3)vt km.
(4)xb m2.
2.解：(1)(t+5)℃.
(2)(3x-3y)km.
(3)(50-5x)元.
(4)(πR2a-πr2a)cm3.
3.-15 4
2 4 3 2 4
4x2，-3 a4，-2a2b2，b4
4.解：高度的变化是年数的5倍，所以生长了n年的树苗的高度为(100+5n)cm.
5.解：第2排有(a+1)个座位，第3排有(a+2)个座位，由上述规律可看出：第n排的座位比第1排的座位多(n-1)个，所以第n排有[a+(n-1)]个座位.如果第1排有20个座位，那么第19排的座位数为20+(19-1)=38.
6.解：V=(a·a-πr2)h.
当a=6 cm，r=0.5 cm，h=0.2 cm时，
V≈(×6×6-3×0.52)×0.2=3.45(cm3).
7.解：(1)2n.
(2)2n-1(或2n+1).
8解：若有3个球队，则共比赛场数为=3；
若有4个球队，则共比赛场数为=6；
若有5个球队，则共比赛场数为＝10；
若有n个球队，则共比赛场数为.
9.解：密码L dp d jluo，破译它的“钥匙”x-3.
密码的意思是“I am a girl”.
(答案不唯一，合理即可)

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