资源简介

3.2解一元一次方程(一)——合并同类项与移项
基础知识·细解读
知识点一利用合并同类项解方程
1.合并同类项的意义
将一元一次方程同侧的含有未知数的项与常数项分别合并，使方程转化为mx=n(m≠0)的简单形式，从而更接近x-a(常数)的形式，便于求解.
2.合并同类项的依据
合并同类项的法则.
3.利用合并同类项解一元一次方程的步骤
注意：(1)“系数化为1”使方程由mx=n(m≠0)变形为x=a(常数)，依据是等式的性质2.
(2)像x，-y这样系数为1或-1的项，在合并同类项时不要漏掉.
特别提醒
利用合并同类项解一元一次方程时，要明确这类方程的特点：等号一边是只含未知数的项，另一边只舍常数项.
【例1】解方程：-9x+2x-4x=50-2-4.
解：合并同类项，得-11x=44.
系数化为1，得x=-4.
总结
(1)把方程中的同类项合并时，要牢记合并同类项的法则：同类项的系数相加，字母连同它的指数不变.
(2)在系数化为1时，特别注意系数是负数时，符号不要出错.
知识点二利用移项解方程
移项
(1)目的：将含有未知数的项移到方程的一边，将不含未知数的常数项移到方程的另一边，使方程更接近于mx=n(m≠0)的形式.
(2)依据：等式的性质1.
(3)两个变化：位置变化和符号变化.
注意：(1)方程中的项包括它前面的符号.
(2)在解方程时，习惯上把含有未知数的项移到等号的左边，不合有未知数的项移到等号的右边.
(3)移项时一定要变号.
特别提醒
移项解一元一次方程的步骤
特别提醒
移项与加法交换律的区别：移项指的是把某一项从等号的一边移到另一边，且要变号；加法交换是在等号的同一边变动某项的位置，且不用改变符号.
【例2】解方程：(1)3x-7+4x=6x-2；
(2)6-8x=3x+3-5x.
解：(1)移项，得3x+4x-6x=-2+7.
合并同类项，得x=5.
(2)移项，得-8x-3x+5x=3-6.
合并同类项，得-6x=-3.
系数化为1，得x=.
知识点三列方程解应用题
1.总量和分量关系问题：相等关系“总量=各部分量的和”.
一般是先设其中一个部分的量为x，再用x表示出其他部分的量，最后根据相等关系列方程.
2.盈不足问题：相等关系“表示同一个量的两个不同的式子相等”.在实际问题中，同一个量可以用不同的式子表示(最多一个未知数)，由这两个式子相等即可列出方程.
注意：(1)设未知数列方程时，要注意统一单位.
(2)对于实际问题中的方程的解，一定要检验是否符合实际意义，对于与现实生活不符的结果(如得到人数为负数、小数等)，要进行必要的取舍.
特别提醒
(1)一般情况下，问题中给出的条件l在列方程时不能重复利用，否则恰得到一个恒等式，虽然正确但怃法求出应用题的解.
(2)列出方程后，可以进一步利用移项、合并同类项等步骤解方程.
【例3】育才中学七(1)班全体同学参加义务植树活动，如果每人种7棵树苗，那么剩余18棵树苗；如果每人种8棵树苗，那么还差35棵树苗.这个班共有多少人 共有多少棵树苗
解：设这个班共有x人.
根据题意，得7x+18=8x-35.
解方程，得x=53.
7x+18=389.
答：这个班共有53人，共有389棵树苗.
应用能力·巧提升
题型一列一元一次方程求值
【例1】用方程解答下列问题：
(1)25与x的差是-8，求x；
(2)m的五分之三与8的和是2，求m.
审题关键：“是”前后语句表示的式子或数是相等的，根据这个相等关系可以列方程.
破题思路：列出方程，再用“移项”“合并同类项”等步骤解方程.
解：(1)由题意，得25-x=-8.
移项，得8+25=x，
即x=25+8.
合并同类项，得x=33.
(2)由题意，得
m+8=2.
移项，得m=2-8.
合并同类项，得m=-6.
系数化为1，得m=-10.
解后反思
在移项时，一般地，将含有未知数的项移到等号的左边，但有时候移到右边会更简单，如第(1)题.
变式训练
1.(海南中考改编)若式子x+2的值为1，则x等于 ( )
A.1 B.-1 C.3 D.-3
2.用方程解答下列问题：
(1)x的5倍减去4与25的积，差是15，求x；
(2)已知3y-1与y互为相反数，求y.
题型二一元一次方程解的应用
【例2】已知x=-5是方程x2+mx-10=0的解，求当x=3时，x2+mx-10的值.
审题关键：题中字母既有x又有m，关键是确定哪个是未知数，如将x=-5代入方程后就变成关于m的方程.
破题思路：先求出m的值，再代入多项式计算求解.
解：把x=-5代入方程x2+mx-10=0，得
(-5)2+(-5)m-10=0.
即-5m+15=0.
解得m=3.
故当x=3时，
x2+mx-10=32+3×3-10=8.
变式训练
3.若方程2x+1=3的解与关于x的方程x+3a=7的解相同，求关于x的方程-ax+4=3的解.
解后反思
解此类题的关键是把已知解代入方程中，使未知数转化为已知数，从而得到关于字母系数的方程.解关于字母系数的方程，求出字母系数.
题型三列方程解决实际问题
角度1 总量和分量关系问题
【例3】在植树节，学校开展植树活动，七年级三个班共植树100棵，其中一班植树的棵数比二班植树的棵数多4棵，三班植树的棵数比二班植树棵数的2倍少4棵，求三个班各植树多少棵.
审题关键：题中告知的是一班、三班植树的棵数分别与二班植树的棵数的关系，所以可以考虑设二班植树x棵.
破题思路：设二班植树x棵，再根据题目所给信息，表示出一班和三班分别植树的棵数，最后根据相等关系“三个班共植树100棵”列方程.
解：设二班植树x棵，则一班植树(x+4)棵，三班植树(2x-4)棵.
根据题意，得x+x+4+2x-4=100.
合并同类项，得4x=100.
系数化为1，得x=25.
所以x+4=29，2x-4=46.
答：一班植树29棵，二班植树25棵，三班植树46棵.
规律总结
解决“总量一各部分量的和”问题的四个步骤
第1步：弄清楚总量包括几部分量，并设出未知数.
第2步：根据“总量一各部分量的和”列出方程.
第3步：解方程求出所设未知数.
第4步：求出其余各部分量，并作答.
变式训练
4.甲、乙两站的路程为365 km，一列慢车从甲站开往乙站，每小时行驶65 km，慢车行驶了1 h后，另有一辆快车从乙站开往甲站，每小时行驶85 km，快车行驶几小时后与慢车相遇
5.我国民间流传着许多趣味算术题，它们多以顺口溜的形式表述，如这样一个数学问题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一个，一人两个少两梨，请问君子知道否，几个老头，几个梨 请用所学知识解答这个数学问题.
角度2 盈不足问题——表示同一个量的两个式子相等
【例4】已知一列火车匀速驶过一条隧道，从车头进人隧道到车尾离开隧道共用45 s，而整列火车全在隧道内的时间为33 s，且火车的长度为180 m，求隧道的长度和火车的速度.
审题关键：隧道的长度未知，但不论用怎样的式子表示，隧道的长度是不变的.故可以考虑用不同的式子表示隧道的长度，根据“表示同一个量的两个式子相等”来列方程.
破题思路：从车头进入隧道到车尾离开隧道行驶的路程为“隧道的长度+火车的长度”，整列火车全在隧道内行驶的路程是“隧道的长度一火车的长度”，设火车的速度为z m／s，即可用不同的式子表示隧道的长度.
解：设火车的速度为x m／s.
根据题意，得
45x-180=33x+180.
移项，得45x-33x=180+180.
合并同类项，得12x=360.
系数化为1，得
X=30.
33×30+180=1 170(m).
答：隧道的长度为l 170 m，火车的速度为30 m／s.
规律总结
解“表示同一个量的两个不同的式子相等”应用题的四个步骤
第1步：找出应用题中贯彻始终的一个不变的量.
第2步：用两个不同的式子表示出这个量.
第3步：由表示同一个量的两个不同式子相等列出方程.
第4步：解方程，求出答案并作答.
6.(安徽中考)《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数，物价各几何
译文为：
现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人 这个物品的价格是多少
请解答上述问题.
易误易混·精辨析
易错点一移项时忘变号而出错
【例1】解方程：5x-2=-7x+8.
解：移项，得5x+7x=8+2.①
合并同类项，得12x＝10.
系数化为1，得
X＝.
防错警示
①移项时要将某项从等式的一边移到另一边，同时要改变该项的符号，这两个条件缺一不可.否则会出现“移项，得5x-7x＝8-2”的错误.
易错点二系数化为l时误把系数作分子
【例2】解方程：16+12x=19+10x.
解：移项，得12x-10x=19-16.
合并同类项，得2x=3.
系数化为1，得x=.
防错警示
在系数化为1时，易把未知数的系数看作分子，得到x=，出错的原因是没有弄清“系数化为1”的依据.“系数化为1”是根据等式的性质2，方程的两边都除以未知数的系数2，因此未知数的系数2应为分母.
真题解密·探源头
中考真题
(江苏常州中考改编)若式子x-5与2x-1的值相等，则x的值是 .
解析：根据题意，得x-5＝2x-1.
移项，得x-2x＝-1+5.
合并同类项，得-x＝4.
系数化为1，得x＝-4.
答案：-4
教材原型
教材第91页习题3.2第4(1)题
用方程解答下列问题：
x的5倍与2的和等于x的3倍与4的差，求x.
解：根据题意，得5x+2＝3x-4.
移项，得5x-3x＝-4-2.
合并同类项，得2x＝-6.
系数化为1，得x＝-3.
命题人解密：教材习题很典型地考查了列一元一次方程及其解法.中考题也是针对这一考点进行设置，通过改变题目的背景进行命题.
阅卷人解密：这类问题为基础题.在解方程时尤其要注意移项要变号.
高效训练·速提能
【基础达标】
1.下列说法中正确的是 ( )
A.3x=5+2可以由3x+2=5移项得到
B.1-x=2x-1移项后得1-1=2x+x
C.由5x=15，得x=，这种变形也叫移项
D.1-7x=2-6x移项后得1-2=7x-6x
2.如果一个数的等于4与这个数的的差，那么这个数是 ( )
A.4 B.-4
C.5 D.-5
3.(湖北荆州中考改编)某电商平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为 ( )
A.120元 B.100元
C.80元 D.60元
4.如果关于工的方程3x+6=0与5x+m=20的解相同，那么m的值是 ( )
A.30 B.10
C.32 D.-30
5.根据图3.2-1提供的信息可知，每个杯子的价格是 元.
6.解下列方程：
(1)5x=4x+2；
(2)3x-1=2x+3；
(3)x-1=x；
(4)4x+4-5x+1=6x+18.
7.某种农药需用甲、乙、丙、丁四种原料配制而成，其配制比例为1：3：2：4.若要生产这种农药300 k，则四种原料各需要多少千克
【能力提升】
8.某年5月份的月历表如图3.2-2所示，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是 ( )
A.27 B.51 C.69 D.75
9.已知|a-2|+|b-5|=0，解关于x的方程：ax+b=-7.
10.(江西中考)图3.2-3是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成.闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度(如图3.2-3①所示)；使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸(如图3.2-3②所示).图3.2-3③是这根鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图.已知第1节套管长50 cm，第2节套管长46 cm，依此类推，每一节套管均比前一节套管少4 cm.完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为x cm.
(1)请直接写出第5节套管的长度；
(2)当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311 cm，求x的值.
11.某中学组织七年级的学生去观看运动会，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位，如果租用同样数量的60座客车，那么多出一辆，且其余客车恰好坐满.已知一辆45座客车的租金为每天220元，一辆60座客车的租金为每天300元.
(1)七年级有多少人 原计划租用45座客车多少辆
(2)若租用45座或60座客车，并使每个同学都有座位，则怎样租车最合算
【素养创新题】
12.小华写信给老家的爷爷，问候“八一”建军节.折叠长方形信纸、装入信封时发现：若将信纸如图3.2-4①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时，宽绰有3.8 cm；若将信纸如图3.2-4②三等分折叠后，同样方法装入时，宽绰1.4 cm.试求信纸的纸长与信封的口宽.
本书习题参考答案
3.2解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
应用能力·巧提升
1.B
2.解：(1)根据题意，得5x-4×25＝15.
即5x-100＝15.
移项，得5x＝15+100.
合并同类项，得5x＝115.
系数化为1，得x＝23.
(2)根据题意，得3y-1+y＝0.
移项，得3y+y＝1.
合并同类项，得4y＝1.
系数化为1，得y＝.
3.解：解方程2x+1＝3，得x＝1.
把x＝1代入方程x+3a＝7，
得1+3a＝7，解得a＝2.
把a=2代入方程-ax+4=3，
得-x+4=3，解得x=1.
4.解：设快车行驶x h后与慢车相遇.
由题意，得65+65x+85x=365.
移项，得65x+85x=365-65.
合并同类项，得150x=300.
系数化为1，得x=2.
答：快车行驶2 h后与慢车相遇.
5.解：设老头有x个.
由题意，得x+1=2x-2，解得x=3.
所以x+1=3+1=4.
答：共有3个老头，4个梨.
6.解：设共有x人.
可列方程8x-3=7x+4.
解得x=7.
则8x-3=53.
答：共有7人，这个物品的价格是53元.
高效训练·速提能
1.D
2.A 解析：设这个数为x.根据题意，得
x＝4-x，解得x＝4.
3.C 解析：设进价为x元，则200×0.5-x＝20，解得x＝80.
4.A 解析：解方程3x+6＝0，得x＝-2.把x＝-2代入5x+m＝20，得m＝30.
5.8 解析：设每个杯子的价格是x元，则每个暖瓶的价格是(43-x)元.
根据题图中信息，得3x+2×(43-x)＝94，解得x＝8.
6.解：(1)移项，得5x-4x＝2.
合并同类项，得x＝2.
(2)移项，得3x-2x＝3+1.
合并同类项，得x＝4.
(3)移项，得x-x＝1.
合并同类项，得x＝1.
系数化为1，得x＝2.
(4)移项，得4x-5x-6x＝18-4-1.
合并同类项，得-7x＝13.
系数化为1，得x＝-.
7.解：设甲种原料需要x kg，则乙种原料需要3x kg，丙种原料需要2x h，丁种原料需要4x kg.
根据题意，得x+3x+2x+4x=300.
合并同类项，得10x=300.
系数化为1，得x=30.
所以3x＝90，2x＝60，4x＝120.
答：甲种原料需要30 kg，乙种原料需要90 kg，丙种原料需要60 kg，丁种原料需要120 kg.
8.D 解析：设三个数中最大的数为x，则其他两个数分别为x-7，x-14，三个数的和为3x-21.当3x-21＝27时，x＝16，这时三个数为2，9，16；当3x-21＝51时，x＝24，这时三个数为10，17，24；当3x-21＝69时，x＝30，这时三个数为16，23，30；当3x-21＝75时，x＝32，由于5月份的月历表中最大的数是31，没有32，所以这种情况不可能，即这三个数的和不可能是75.故选D.
9.分析：因为|a-2|与|b-5|均为非负数，且它们之和为0，所以它们分别为0.
解：由题意，得a-2=0，b-5=0.
解得a=2，b=5.
所以原方程ax+b=-7为2x+5=-7.
解方程，得x=-6.
10.解：(1)第5节套管的长度为50-4×(5-1)=34(cm).
(2)第10节套管的长度为50-4×(10-1)=14(cm).
已知每相邻两节套管间重叠的长度为x cm
根据题意，得(50+46+42+…+14)-9x＝311，即320-9x＝311.
解得x＝1.
答：每相邻两节套管间重叠的长度为1 cm.
11.解：(1)设原计划租用45座客车工辆，则七年级有(45x+15)人.
根据题意，得45x+15＝60x-60.
解方程，得x＝5.
所以45x+15＝45×5+15＝240.
答：七年级有240人，原计划租用45座客车5辆.
(2)方案一：租用6辆45座客车，所需费用为220×6＝1320(元).
方案二：租用4辆45座客车，1辆60座客车，所需费用为220×4+300=880+300＝1180(元).
方案三：租用3辆45座客车，2辆60座客车，所需费用为220×3+300×2＝1260(元).
方案四：租用2辆45座客车，3辆60座客车，所需费用为220×2+300×3＝1340(元).
方案五：全部租用60座客车需租4辆，所需费用为300×4＝1200(元).
答：要使每个同学都有座位，则租用4辆45座客车，1辆60座客车最合算.
12.解：设信纸的纸长为x cm.
根据题意，得+3.8＝+1.4.
移项，得＝1.4-3.8.
合并同类项，得-＝-2.4.
系数化为1，得x＝28.8.
所以+3.8＝11.
答：信纸的纸长为28.8 cm，信封的口宽为11 cm.
教材参考答案
3.2解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
思考(第87页)
通过合并同类项，可以化简方程，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式，从而求出方程的解.
练习(第88页)
1.解：(1)合并同类项，得3x=9.
系数化为1，得x=3.
(2)合并同类项，得2x=7.
系数化为l，得x=.
(3)合并同类项，得-2.5x=10.
系数化为1，得x=-4.
(4)合并同类项，得2.5x=2.5.
系数化为1，得x=l.
2.解：设前年的产值是x万元，则去年的产值是1.5x万元，今年的产值是(2×1.5x)万元.
根据题意，得x+1.5x+(2×1.5x)=550，
解得x=100.
答：前年的产值是100万元.
思考(第89页)
通过移项，可以将含有未知数的项与常数项分别移到方程的两边，先通过合并同类项，使方程化为ax=b(a≠0)的形式，再将系数化为1，即可求出方程的解.
练习(第90页)
1.解：(1)移项，得6x-4x=-5+7.
合并同类项，得2x=2.
系数化为1，得x=1.
(2)移项，得x-x=6.
合并同类项，得-x=6.
系数化为l，得x=-24.
2.解：设她们采摘用了x h.
根据题意，得8x-0.25=7x+0.25.
移项，得8x-7x=0.25+0.25.
合并同类项，得x=0.5.
答：她们采摘用了0.5 h.
习题3.2(第91页)
1.解：(1)合并同类项，得9x=18.
系数化为1，得x=2.
(2)合并同类项，得-x=-3.
系数化为1，得x=3.
(3)合并同类项，得6.5y=-6.5.
系数化为1，得y=-1.
(4)合并同类项，得b=3.
系数化为1，得b=.
2.解：移项是解方程的一个步骤，一般是把含有未知数的项都移到等号的左边，把不含未知数的项(常数项)都移到等号的右边，即把等式一边的某项变号后移到另一边.
移项的根据是等式的性质1.例如上式，等式两边同减3x，把3x从等式右边移到了等式左边；等式两边同加5，把-5从等式左边移到了等式右边.
3.解：(1)合并同类项，得4x=-16.
系数化为1，得x=-4.
(2)合并同类项，得6y=5.
系数化为1，得y=.
(3)移项，得3x-4x=1-5.
合并同类项，得-x=-4.
系数化为l，得x=4.
(4)移项，得-3y-5y=5-9.
合并同类项，得-8y=-4.
系数化为1，得y=.
4.解：(1)根据题意，得5x+2=3x-4.
移项，得5x-3x=-4-2.
合并同类项，得2x=-6.
系数化为1，得x=-3.
(2)根据题意，得-5y=y+5.
移项，得-5y-y=5.
合并同类项，得-6y=5.
系数化为1，得y=-.
5.解：设现在小新的年龄为x岁.
根据题意，得3x=28+x，
移项，得3x-x=28.
合并同类项，得2x=28.
系数化为1，得x=14.
答：现在小新的年龄为14岁.
6.解：设I型洗衣机计划生产x台，则Ⅱ型洗衣机计划生产2x台，Ⅲ型洗衣机计划生产14x台.
根据题意，得x+2x+14x=25 500.
合并同类项，得17x=25 500.
系数化为1，得x=1 500.
所以2x=2×1 500＝3 000，
14x＝14×1 500＝21 000.
答：I型、Ⅱ型、Ⅲ型洗衣机分别计划生产1 500台、3 000台、21 000台.
点拨：此题属于比例分配问题，解比例分配问题时，若三个数的比为l：m：n，则设三个数分别为lx，mx，nx(x≠0).比例分配问题的相等关系是总量等于各部分量之和.
7.解：设长方形的宽为x m，则长为1.5x m.
根据题意，得2x+2×1.53x=60.
解得x=12.
所以1.5x=1.5×12=18.
答：长和宽分别是18 m和12 m.
8.解：(1)若第一块实验田用水x t，则第二块实验田用水25％x t，第三块实验田用水15％x t.
(2)根据题意，得x+25％x+15％x=420.
合并同类项，得1.4x=420.
系数化为1，得x＝300.
所以25％x＝25％×300＝75，
15％x＝15％×300=45.
答：第一块实验田用水300 t，第二块实验田用水75 t，第三块实验田用水45 t.
9.解：设它前年10月生产再生纸x t.
根据题意，得2x+150=2 050.
移项，得2x＝2 050-150.
合并同类项，得2x=1 900.
系数化为1，得x＝950.
答：它前年10月生产再生纸950 t.
10.解：设在距木棍一端x cm处锯开.
根据题意，得2x-5＝100-x.
移项，得2x+x＝100+5.
合并同类项，得3x＝105.
系数化为1，得x＝35.
答：应该在距木棍一端35 cm处锯开.
11.解：设参与种树的人数为x.
根据题意，得10x+6＝12x-6.
移项，得10x-12x＝-6-6.
合并同类项，得-2x＝-12.
系数化为1，得x＝6.
答：参与种树的人数为6.
12.解：能.设相邻三行里同一列的三个日期数分别为x-7，x，x+7.
由题意，得x-7+x+x+7＝30.
解得x＝10.
所以x-7＝3，x+7＝17.
答：相邻三行里同一列的三个日期数之和能为30，这三个数分别是3，10，17.
13.解：设个位上的数为x，则十位上的数为3x+1.
根据题意，得3x+1+x＝9.
移项，得3x+x＝9-1.
合并同类项，得4x＝8.
系数化为1，得x＝2.
所以3x+1＝3×2+1＝7.
所以这个两位数是7×10+2＝72.

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