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3.4实际问题与一元一次方程
基础知识·细解读
知识点一列—元—次方程解决实际问题的—般步骤
【例】七年级3班65名学生为学校建花坛搬砖，其中男生每人搬8块，女生每人搬6块，若一共搬了460块，则女生有多少人
以上面的实际问题为例，说明列一元一次方程解决实际问题的一般步骤：
注意：一道应用题中往往含有多个未知量，应恰当选择其中一个设为未知数，其他的未知量可用含有未知数的式子来表示，从而列出方程.一般问什么设什么，但有时也间接设未知数.
列方程解应用题的一般步骤
特别提醒
列方程解应用题的关键是审题，找出问题中的相等关系，并根据相等关系列出方程.
知识点二列—元一次方程解决实际问题的常见题型
列方程解决实际问题常见的题型如下：
题型 涉及的公式 等量关系 注意事项
和、差、倍、分问题 — — 弄清“倍数”及“多少”关系
等积变形问题 各种图形的面积、体积公式 变形前后的面积豉体积不变 分清半径、直径及各边长
行程问题 相遇 问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 两者路程之和为相距的距离 注意始发时间和地点
追及 问题 两者路程之差为相距的距离 —
比例分配问题 — 全部数量=各种成分的数量之和 灵活设未知数
工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或多个对象所 完成的工作量的和 等于总工作量 一般把总工作量设为1
销售 问题 利润=实际售价-进价(或成本) 利润率=×100％ 找出利润或利润率之间的关系 打几折就是按百分之几十出售
数字 问题 设a，b分别为一个两位数的个位上的数字与十位上的数字，则这个两位数可表示为10b+a 数的大小与表示数的各字母之间的关系 一般间接设未知数
比赛积 分问题 总积分=胜场总积分+平场总积分+负场总积分 比赛场数=胜场数+负场数+平场数 搞清比赛中胜、平、负一场的积分
应用能力·巧提升，
题型一利用一元一次方程解决分配问题
角度1 生产配套问题
【例1】某车间共90名工人，每名工人平均每天加工甲种部件15个或乙种部件8个，且每3个甲种部件和2个乙种部件刚好配套.应安排加工甲种部件和乙种部件的工人各多少名，才能在每天加工结束后使所有部件刚好配套
审题关键：弄清是如何配套的，找出各个量之间的数量关系.
破题思路：设出加工每种部件的工人人数，表示出加工的每种部件的数量，根据“甲种部件数：乙种部件数=3：2”即2×甲种部件数=3×乙种部件数列出方程.
解：设应安排x名工人加工甲种部件，(90-x)名工人加工乙种部件.
依题意，得2×15x=3×8(90-x).
解得x=40.
此时，90-x=90-40=50.
答：应安排40名工人加工甲种部件，50名工人加工乙种部件，才能在每天加工结束后使所有部件刚好配套.
解后反思
解答配套问题的关键
在配套问题中，一套物品的各个零部件之间会有一定的倍数关系，这个倍数关系就是列方程的关键.其中最常见的配套问题的等量关系是如果a件甲产品和b件乙产品配成一套，那么，由等式的性质可得，甲产品数的b倍等于乙产品数的a倍.
变式训练
1.某车间有工人100名，每人每天平均可加工螺栓180个或螺母240个，要使每天加工的螺栓和螺母配套(1个螺栓配2个螺母)。应如何分配加工螺栓和螺母的工人
角度2 调配问题
【例2】某厂甲车间有工人32人，乙车间有工人62人.现从厂外招聘98名工人分配到两个车间，如何分配才能使乙车间人数是甲车间人数的3倍
审题关键：抓住问题最后的要求“乙车间人数=3×甲车间人数”.
破题思路：可列表进行分析，使信息更清晰：
设往甲车间分配x人.
车间 原有人数 增加人数 现在人数
甲 32 x 32+x
乙 62 98-x 62+(98-x)
解：设往甲车间分配工人，则往乙车间分配(98-x)人.
根据题意，得62+(98-x)=3(32+x).
解得x=16.所以98-x=82.
答：分配给甲车间16人，乙车间82人，才能使乙车间人数是甲车间人数的3倍.
解后反思
用列表法分析调配前后人数变化情况，可以较方便地找出数量关系，并根据相等关系列出方程.
学校在组织大扫除，已知在教学楼打扫的有23人，在宿舍楼打扫的有17人.现调20人去支援，使在教学楼打扫的人数是在宿舍楼打扫的人数的2倍，应调往教学楼和宿舍楼的人数各为多少
题型二利用一元一次方程解决比赛积分问题
【例3】在一次有12个球队参加的足球循环赛(每两队之间必须比赛一场)中，规定胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分.某队在这次循环赛中所胜场数比所负场数多两场，结果积18分，该队平了几场
审题关键：12个队的循环赛，每队需要比赛12-1=11(场).
破题思路：根据“某队在这次循环赛中所胜场数比所负场数多两场”，可设负了工场，这样胜的场数和平的场数都可以用x表示出来，最后根据“积18分”列方程.
解：设该队负x场，则胜(x+2)场，平的场数为11-x-(x+2)=-2x+9.
根据题意，得3(x+2)+1×(-2x+9)+0×x=18.
解得x=3.
此时-2x+9=-2×3+9-3.
答：该队平了3场.
变式训练
3.足球比赛的积分规则：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分.一个足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛了8场，输了1场，得了17分，请问：
(1)前8场比赛中，这个足球队共胜了多少场
(2)这个足球队打满14场比赛，最高能得多少分
(3)通过对比赛情况的分析，这个足球队打满14场比赛得分不低于29分就可以达到预期的目标，请你分析一下，在后面的6场比赛中，这个足球队至少要胜几场才能达到预期目标
规律总结
比赛积分问题中的等量关系
(1)比赛总场数一胜场总数+平场总数+负场总数.
(2)比赛总积分一胜场总积分+平场总积分+负场总积分.
题型三利用一元一次方程解决工程问题
【例4】某项工作甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲、乙合作，但乙中途离开了一段时间，后2天由乙、丙合作完成，这项工作总共用了9天完成.乙中途离开了几天
审题关键：工程问题一般根据工作量之间的关系列方程.当全部完成时，相等关系一般为所有工作量的和等于1.
破题思路：本题的相等关系为甲的工作量+乙的工作量+丙的工作量-1.设乙中途离开x天，则甲工作7天，丙工作2天，乙工作(7-x+2)天.
解：设乙中途离开了x天.
根据题意，得=1.解得x=3.
答：乙中途离开了3天.
解后反思
工程问题中的两点注意
(1)工程类应用题的工作量并不是具体数量时，往往把工作总量看作“1”.
(2)工作总量看作“1”时，工作效率=，工作时间=.
变式训练
4.某工程由甲、乙两队单独施工分别需要3 h和5 h，若两队合作完成这项工程的80％，则需 h.
5.一项工作，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，丙单独做24天完成.现甲、乙合作3天后，甲因另有任务离开，由乙、丙合作，则乙、丙还需要几天才能完成这项工作
题型四利用一元一次方程解决销售问题
【例5】某商品月末的进货价比月初的进货价降了8％，而销售价不变，这样，月末的利润率比月初高10％.月初的利润率是多少
审题关键：本题有两个未知量：进货价和利润率，可采用设而不求的方法.
破题思路：设月初进货价为a，则0.92a是月末进货价，设月初的利润率是x％，那么根据该商品的销售价保持不变列出方程，解方程即可.
解：设月初的利润率为x％，月初进货价为a，则0.92a是月末进货价.
由题意，得
a(1+x％)=0.92a[1+(x+10)％].
约去a，得1+x％=0.92[1+(x+10)％].
解得x=15.
答：月初的利润率为15％.
变式训练
6.丽丽的妈妈到商场给她买一件漂亮毛衣，售货员说：“这款毛衣前两天打八折，今天又在八折的基础上降价10％，只卖144元.”丽丽很快算出了这件毛衣的原标价，你知道原标价是多少元吗
解后反思
销售问题中的两个基本公式
(1)利润=售价-进价.等式左边的“利润”若为正，就是盈利；若为负，就是亏损.
(2)利润率=×100％，还可以变形为利润率×进价=售价-进价.
题型五 利用一元一次方程解决行程问题
角度1 相遇问题
【例6】甲、乙两站间的路程为480 km，一列慢车从甲站开出，每小时行驶48 km，一列快车从乙站开出，每小时行驶72 km.
(1)两车同时开出，相向而行，多少小时后相遇
(2)快车先开25 min，两车相向而行，慢车行驶了多少小时后两车相遇
审题关键：相遇问题的关键是确定各段的路程和.
破题思路：
解：(1)设两车行驶了xh后相遇.
根据题意，得48x+72x=480，解得x=4.
答：两车开出4 h后相遇.
(2)设慢车行驶了y h后两车相遇.
根据题意，得48y+72y+72×=480，解得y=3.
答：慢车行驶了3h后两车相遇.
变式训练
7.甲、乙两人骑自行车同时从相距71.5 km的两地相向而行，甲的速度是17.5 km／h，乙的速度是15 km／h.相遇前，经过几小时后两人相距32.5 km
角度2 追及问题
【例7】甲、乙两人环湖散步，环湖一周是400 m，甲每分钟走80 m，乙的速度是甲的速度的1.甲、乙两人同时同地同向而行，经过多长时间两人首次相遇
审题关键：追及问题的关键是确定各段的路程差.
解：设经过x min甲、乙两人首次相遇.
根据题意，得80×1x-80x=400.
解得x=20.
答：经过20 min两人首次相遇.
方法技巧
相遇或追及，各个击破
(1)相向而行的问题即相遇问题，解决此类问题时，尽可能地利用图形分析.相等关系：总路程=甲行驶的路程+乙行驶的路程.
(2)同向而行的问题即追及问题，解决此类问题时，尽可能地利用图形分析.相等关系：快者行驶的路程一慢者行驶的路程=路程差.
8.某行军纵队以9 km／h的速度行隧，队尾的通讯员以15 km／h的速度赶到队首送一封信，送到后又立即返回队尾，共用20 min，求这支队伍的长度.
9.甲、乙两站相距480 km，一列慢车从甲站开出，每小时行驶90 km，一列快车从乙站开出，每小时行驶140 km.
(1)若慢车先开出1 h后，快车再开出，两车相向而行，则快车开出多少小时后两车相遇
(2)若两车同时开出，且同向而行，快车在慢车的后面，则多少小时后快车追上慢车
(3)若慢车先开出1 h，快车再开，两车同向而行，快车在慢车的后面，则快车开出多少小时后追上慢车
题型六 利用一元一次方程解决航行问题
【例8】一艘轮船在A，B两个码头之间航行，顺水航行需8 h，逆水航行需12 h.已知该船在静水中的航行速度为20 km／h，求A，B两个码头之间的距离.
审题关键：不管顺水航行还是逆水航行，两个码头之间的距离是不变的.
破题思路：
解：设水流速度为x km／h.
根据题意，得8(20+x)=12(20-x).
解得x=4.
所以(20+4)×8=192(km).
答：A，B两个码头之间的距离为192 km.
解后反思
解决航行问题的两大公式
(1)顺水速度=静水中速度+水流速度.
(2)逆水速度=静水中速度-水流速度.
灵活运用以上两个公式列方程可以较轻松解决航行问题.
变式训练
10.一架飞机飞行在两城市之间，顺风需要2 h 45 min，逆风需要3 h，已知风速是20 km／h，求两城市之间的距离.
题型七 利用一元一次方程解决方案决策问题
【例9】某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1 000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4 500元；经精加工后销售，每吨利润增加到7 500元.当地一家公司收获这种蔬菜140 t，该公司加工厂的生产能力是如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16 t；如果进行精加工，每天可加工6 t，但两种加工方式不能同时进行.受季节等条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部加工或销售完毕.为此公司研究了三种不同的方案：
方案一：将蔬菜全部粗加工；
方案二：尽可能进行精加工，没来得及进行加工的在市场上直接销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余进行粗加工，恰好15天完成.你认为选择哪种方案获利最多 为什么
审题关键：题中给出了三种方案，先分别计算出三种方案的获利再比较.
破题思路：对于方案一和方案二可直接计算出获利多少；对于方案三可设精加工x天，利用相等关系“精加工量+粗加工量=总量”列出方程，解方程可求出该方案获利多少，最后比较即可.
解：选择方案三获利最多.
理由：方案一可获利润为
140×4 500=630 000(元).
方案二可获利润为
15×6×7 500+(140-15×6)×1 000=725 000(元).
方案三：设精加工x天，则粗加工(15-x)天.
依题意，得6x+16(15-x)=140.
解得x=10.所以15-10=5.
故方案三可获利润为
10×6×7 500+5×16×4 500=810 000(元).
因为630 000<725 000<810 000，
所以选择方案三获利最多.
解后反思
无论是直接给出几种可行方案，还是通过分析给出可选择方案，都可以把实际问题转化为数学问题，通过解方程找出相对应的未知数的值，根据未知数的值及已知量之间的数量关系进行分析，最终得出可行性方案.
变式训练
11.某牛奶加工厂现有鲜奶8 t，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1 200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2 000元.该工厂的生产能力是如制成酸奶每天可加工3 t；如制成奶片每天可加工1 t.受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕.为此，该工厂设计了两种可行方案：
方案一：尽可能多地制成奶片，其余鲜奶直接销售；
方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成.
你认为选择哪种方案获利多 为什么
易误易混·精辨析
易错点混淆数量关系
【例】甲、乙两人环湖散步，湖的周长为400 m，乙的刮度是80 m／min，甲的速度是乙的速度的1倍，且甲在乙的前面100 m处.如果两人同时出发，且都按顺时针方向走，那么多少分钟后两人第一次相遇
解：设x min后两人第一次相遇.
根据题意，得80x+300=80×x，
解得x=15.
答：15 min后两人第一次相遇.
防错警示
易将方程错列为80x+100=80×x.此题中，尽管甲在乙前，但是由速度的大小关系，知是甲追乙，而不是乙追甲.甲追乙时，甲在乙后，且相距400-100=300(m).解答此类问题时，一定要弄清题意，分清谁追谁，相距多远，这样才能正确列出方程.
真题解密·探源头
中考真题
(海南中考·8分)世界读书日，某书店举办“书香”图书展，已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，《汉语成语大词典》按标价的50％出售，《中华上下五千年》按标价的60％出售，小明花80元买了这两本书，求这两本书的标价各多少元.
解：设《汉语成语大词典》的标价为x元，则《中华上下五千年》的标价为(150-x)元.………………………………1分
依题意，得50％x+60％(150-x)＝80，………………………………5分
解得x＝100，
150-x＝150-100＝50.……………………………………………………7分
答：《汉语成语大词典》的标价为100元，《中华上下五千年》的标价为50元.………………………………………………8分
教材原型
教材第106页练习第1题
某商店有两种书包，每个小书包比大书包的进价少10元，而它们的售后利润额相同.其中，每个小书包的盈利率为30％，每个大书包的盈利率为20％，试求两种书包的进价.
解：设大书包的进价为x元，则小书包的进价为(x-10)元.
根据题意，得x×20％＝(x-10)×30％.
解得x＝30，所以x-10＝20.
答：大书包的进价为30元，小书包的进价为20元.
命题人解密：教材练习题考查了利用一元一次方程解决商品利润问题.中考题是根据这一常用的相等关系，通过改变题目背景针对这一考点进行设置.
阅卷人解密：解决这类问题的关键在于弄清售价、进价、利润率之间的关系.在解答此类题时，往往因为弄不懂这三者之间的数量关系而无从下手，导致失分.
高效训练·速提能
【基础达标】
1.(福建南平中考)闽北某村原有林地120公顷，旱地60公顷，为适应产业结构调整，需把一部分旱地改造为林地，改造后，旱地面积占林地面积的20％.设把x公顷旱地改造为林地，则可列方程为 ( )
A.60-x=20％(120+x)
B.60+x=20％×120
C.180-x=20％(60+x)
D_60-x=20％×120
2.一件商品按成本价提高40％后标价，再打八折(标价的80％)销售，售价为240元，设这件商品的成本价为x元.根据题意，下面所列的方程正确的是 ( )
A.x·40％×80％=240
B.(1+40％)x×80％=240
C.240×40％×80％=x
D.x·40％=240×80％
3.某车间每天需生产50个零件，才能在规定的时间内完成一批零件的生产任务，实际上该车间每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天完成并超额生产120个零件.若设该车间原计划完成的零件生产任务为x个，则可列方程( )
A.=3 B.=3
C.=3 D-=3
4.甲、乙两人都从某地出发去学校，甲每小时步行5 km，先出发1.5 h，乙骑自行车，乙出发50 min后，两人同时到达学校，则乙骑自行车的速度为 ( )
A.12 km／h B.13 km／h
C.14 km／h D.15 km／h
5.(内蒙古通辽中考)一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25％，另一件亏损25％，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是( )
A.亏损20元 B.盈利30元
C.亏损50元 D.不盈不亏
6.(黑龙江鸡西中考)“元旦”期间，某商店单价为130元的书包按八折出售可获利30％，则该书包的进价是 元.
7.足球比赛的记分规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.一个球队进行了14场比赛，其中偾5场，共得19分，那么这个球队胜了 场.
8.两个连续奇数的和为28，则这两个连续奇数分别为 .
9.某车间有60名工人，生产某种由1个螺杆及2个螺母为一套的配套产品，平均每人每天生产螺杆1400个或螺母2 000个，如何安排生产才能使每天生产的螺杆和螺母正好配套
【能力提升】
10. (内蒙古呼和浩特中考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了 ( )
A.102里 B.126里
C.192里 D.198里
11.(浙江绍兴中考)书店举行购书优惠活动：
①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；
②一次性购书超过100元但不超过200元，一律按原价打九折；
③一次性购书超过200元一律按原价打七折.
小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么，小丽这两次购书原价的总和是 元.
12.(江苏连云港中考)某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房.
(1)求该店有客房多少间 房客多少人
(2)假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加.每间客房收费20钱，且每间客房最多人住4人，一次性定客房18间以上(含18间)，房价按八折优惠.若诗中“众客”再次一起人住，他们如何定房更合算
13.某地上网有如下两种收费方式，用户可以任选其一.A计时制：1元／时，B包月制：80元／月.此外，每一种上网方式都加收通讯费0.1元／时.
(1)某用户每月上网40 h，选择哪种上网方式比较合算
(2)某用户每月有100元用于上网，选择哪种上网方式比较合算
(3)请你为用户设计一个方案，使用户能合理地选择上网方式.
【素养创新题】
14.要用20张白卡纸做包装盒，每张白卡纸可以做盒身2个或盒底3个.如果1个盒身和2个盒底可以做成一个包装盒，那么能否把这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒底，使做成的盒身和盒底正好配套 在不允许剪开白卡纸使一部分做盒身另一部分做盒底的情况下，请你设计一种分法，并求出最多能做多少个包装盒.
本书习题参考答案
3.4实际问题与一元一次方程
应用能力·巧提升
1.解：设分配x人加工螺栓，则加工螺母的为(100-x)人.
根据题意，得2×180x＝(100-x)×240，
解得x=40.所以100-x＝60.
答：应分配40人加工螺栓，60人加工螺母.
2.解：设应调往教学楼的人数为x，则调往宿舍楼的人数为20-x.
根据题意，得×(23+x)＝17+(20-x).
解得x＝17.
所以20-x＝3.
答：应调往教学楼的人数为17，调往宿舍楼的人数为3.
3.解：(1)设前8场比赛中，这个足球队共胜了x场，则平了(8-1-x)场.
根据题意，得3x+(8-1-x)＝17.
解得x＝5.
答：前8场比赛中，这个足球队共胜了5场.
(2)打满14场比赛最高得分为
17+(14-8)×3＝35(分).
答：最高能得35分.
(3)由题意，知在后面的6场比赛中，只要得分不低于12分即可.
所以在后面的6场比赛中，
当胜的场数不少于4时，一定能达到预期目标；
当胜3场、平3场时，正好达到预期目标.
所以在后面的6场比赛中，这个足球队至少
要胜3场、平3场才能达到预期目标.
4.1.5解析：设需x h，则＝80％，解得x＝1.5.
5.解：设乙、丙还需要x天才能完成这项工作.
根据题意，得
()×3+()x=1.
解得x=3.
答：乙、丙还需要3天才能完成这项工作.
6.解：设原标价是x元.
根据题意，得0.8x(1-10％)=144，
解得x=200.
答：原标价是200元.
7.解：设相遇前，经过x h后两人相距32.5 km.
根据题意，得17.5x+15x=71.5-32.5，
解得x=1.2.
答：相遇前，经过1.2 h后两人相距32.5 km.
8.解：设通讯员从队尾把信送到队首用x h，则立即返回队尾用(-x) h，根据题意，得(15-9)x=(15+9)(-x).
解得x=.
所以(15-9)x=1.6.
答：这支队伍的长度为1.6 km.
9.解：(1)设快车开出x h后两车相遇.
由题意，得140x+90(x+1)=480，
即230x=390.
解得x=1.
答：快车开出1h后两车相遇.
(2)设x h后快车追上慢车.
由题意，得140x=90x+480，
即50x=480，
解得x=9.6.
答：9.6 h后快车追上慢车.
(3)设快车开出x h后追上慢车.
由题意，得140x=90(x+1)+480，
即50x=570.
解得x=11.4.
答：快车开出11.4 h后追上慢车.
10.解：设飞机在无风的条件下的速度为x km／h.根据两城市之间的路程不变，列方程为(x+20)×2＝(x-20)×3.
解得x＝460.
所以(460-20)×3＝1320(km).
答：两城市之间的距离为1320 km.
11.解：方案二获利多.理由如下：
方案一：最多生产4 t奶片，其余的鲜奶直接销售，则其利润为4×2 000+(8-4)×500＝10000(元).
方案二：设生产奶片x天，则生产酸奶(4-x)天.
根据题意，得x+3(4-x)＝8.
解得x＝2.
则其利润为2×2000+2×3×1200＝4000+7200＝11 200(元).
因为10 000<11 200，所以选择方案二获利多.
高效训练·速提能
1.A
2.B
3.C
4.C解析：设乙骑自行车的速度为x km／h.根据甲步行走的路程＝乙骑自行车走的路程，列方程为(1.5+)×5＝x.
解得x＝14.
5.A解析：设盈利的商品的进价为x元，根据题意，得150-x＝25％x，解得x＝120；设亏损的商品的进价为y元，根据题意，得150-y=-25％y，解得y=200.所以150+150-120-200=-20(元)，即亏损20元.故选A.
6.80 解析：设该书包的进价为x元.
根据售价×80％-进价=进价×利润率列出方程，得130×80％-x=30％x，解得x=80，则该书包的进价是80元.
7.5解析：设这个球队胜了x场，那么平了(9-x)场.根据题意列方程，得3x+(9-x)=19.解得x=5.
8.15，13 解析：设两个连续奇数分别为2n+1，2n-1.依题意，得2n+1+2n-1=28.解得n=7.当n=7时，2n+1=2×7+1=15，2n-1=2×7-1=13.
9.解：设安排x名工人生产螺杆，则(60-x)名工人生产螺母.
根据题意，可列方程
1 400x×2=2 000(60-x)，解得x=25.
所以60-x=60-25=35.
答：应安排25名工人生产螺杆，35名工人生产螺母.
10.D解析：设此人第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依次往前推，可得第一天走的路程为32x里.
依题意，得x+2x+4x+8x+16x+32x=378，解得x=6.
32x=192，6+192=198(里)，故此人第一和第六这两天共走了198里，故选D.
11.248或296解析：设第一次购书原价为x元，则第二次购书原价为3x元.
(1)若第一、第二次购书原价均不超过100元，则两次购书款之和小于200元，不符合题意；
(2)当第一次购书不超过100元，第二次购书超过100元但不超过200元时，x+0.9×3x＝229.4.
解得x＝62，3x＝186，则两次购书原价的总和是248元；
(3)当第一次购书不超过100元，第二次购书超过200元时，x+0.7×3x=229.4.
解得x=74，3x=222，则两次购书原价的总和是296元；
(4)当第一次购书超过100元但不超过200元，第二次购书超过200元时，0.9×x+0.7×3x=229.4。
解得x=76，76<100,不符合题意；
(5)若第一、第二次购书原价均超过200元，则购书总付款大于280元，不符合题意.
12.解：(1)设客房有x间.
根据题意可得，7x+7＝9x-9.
解得x＝8，房客有7×8+7＝63(人).
答：该店有客房8间，房客63人.
(2)如果每4人一个房间，由63÷4＝15，得需要16间客房，总费用为16×20＝320(钱).
如果定18间客房，其中有4人一起住，有3人一起住，
则总费用为18×20×0.8＝288(钱).
因为288<320，
所以他们再次人住定18问客房更合算.
13.解：(1)若用户每月上网40 h，则选择A方式需支付40×(1+0.1)＝44(元)，
选择B方式需支付80+40×0.1＝84(元).
因为44<84，所以选择A方式比较合算.
(2)设用户选择A方式用100元可以上网x h，选择B方式用100元可以上网y h.
由题意，得(1+0.1)x=100，
解得x=.
80+0.1y=100，解得y=200.
因为≈91<200，
所以选择B方式较合算.
(3)设当每月上网m h时，两种方式的消费额相等.
由题意，得(1+0.1)m=80+0.1m.
解得m=80.
故当每月上网不足80 h时，选择A方式比较合算；当每月上网80 h时，两种方式的消费额相等，选择A，B方式均可；当每月上网超过80 h时，选择B方式比较合算.
14.解：设用x张白卡纸做盒身，则用(20-x)张白卡纸做盒底，可做盒身2x个，盒底3(20-x)个.
根据题意，得2×2x=3(20-x)，
解得x=8.
所以20-x=11.
因为解为分数，所以在不允许剪开白卡纸的情况下，只能用8张白卡纸做盒身，共可做16个盒身，用11张白卡纸做盒底，共可做33个盒底，而16个盒身只需32个盒底，所以最多只能做16个包装盒，且剩余一张白卡纸和一个盒底的材料，无法全部利用白卡纸.
教材参考答案
3.4实际问题与一元一次方程
问题(第100页)
2 000x＝2×1 200(22-x).
练习(第101页)
1.解：设应用x m3钢材做A部件，(6-x)m3钢材做B部件，这种仪器恰好配套.
根据题意，得3×40x＝240(6-x).
去括号，得120x＝l 440-240x.
移项，得120x+240x＝l 440.
合并同类项，得360x＝1 440.
系数化为1，得x＝4.
所以40x＝160，6-x＝2.
答：应用4 m3钢材做A部件，2m3钢材做B部件，恰好配成这种仪器160套.
2.解：设两个工程队同时施工，要x天铺好这条管线.
根据题意，得=1.
去分母，得2x+x=24，
合并同类项，得3x=24，
系数化为1，得x=8.
答：要8天可以铺好这条管线.
练习(第106页)
1.解：设每个小书包的进价为x元，则每个大书包的进价为(x+10)元.
根据题意，得30％x=(x+10)×20％.
解方程，得0.3x=0.2x+2，
0.3x-0.2x=2，
0.1x=2，
x=20.
所以x+10=30.
答：小书包的进价为20元，大书包的进价为30元.
2.解：设复印张数为x(x>20)时，两处的收费相同.
根据题意，得
0.1x=20×0.12+(x-20)×0.09.
解方程，得0.1x=20×0.12+0.09x-1.8，
0.1x-0.09x=2.4-1.8，
0.01x=0.6，
X=60.
答：复印张数为60时，两处的收费相同.
3.解：设文艺小组每次活动时间为x h.
根据题意，得.
解方程，得-4x+3x=10.5-12.5，
-x=-2，
X=2。
所以科技小组每次活动时间为
=1.5(h).
设九年级文艺小组活动次数为y，科技小组活动次数为z.
由题意，得2y+1.5z=7.
由y，z都是自然数，得y=z=2.
所以九年级文艺小组活动次数为2，科技小组活动次数也为2.
习题3.4(第106页)
1.解：首先将实际问题转化为数学问题(列一元一次方程)；然后通过解方程得到数学问题的解(x=a)；最后将得到的解代回原方程检验，得到实际问题的答案.
2.解：设用x m3木材制作桌面，用(12-x)m3木材制作桌腿.
根据题意，得4×20x=400(12-x).
解方程，得80x=4800-400x，
80x+400x=4 800，
480x=4 800，
x=10.
所以12-x=2.
答：用10 m3木材制作桌面，用2 m3木材制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子.
点拨：用12 m3木材制作尽可能多的桌子，就是能使制作的桌面与桌腿尽可能配套.“4条桌腿与1个桌面为一套”，由此可见，本题的相等关系是“桌面个数的4倍一桌腿条教”.
3.解：设用x天制作甲种零件，用(30-x)天制作乙种零件，才能制作最多的成套产品.
根据题意，得500x=250(30-x).
解方程，得500x=7 500-250x，
500x+250x=7 500，
750x=7 500，
X=10.
所以30-x=20.
答：甲种零件应制作10天，乙种零件应制作20天.
4.解：设共需x h完成.
根据题意，得=1.
去分母，得l+1.5x=7.5.
移项，得1.5x=7.5-1.
解得x=.
答：共需h完成.
5.解：设先安排x人做2 h.
根据题意，得.
解方程，得，
x+4=6，
X=2.
答：应先安排2人做2 h，再安排7人做8 h.
6.解：设这件衣服值x枚银币.
依题意，得.
解得x=9.2.
答：这件衣服值9.2枚银币.
点拨：本题中要把衣服折合为银币求它的价值，解题时应按常规考虑，以月为单位计酬，即本题中的相等关系为每个月的报酬是固定的.
7.解：设每箱装x个产品.
依题意，得+1.
解得x=12.
答：每箱装12个产品.
点拨：此题中的相等关系是每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品，由此相等关系即可列出方程解决此题.
8.解：(1)由时间与温度的数据规律，知设时间为x min，则温度为(3x+10)℃.
当x=21时，温度为3×21+10=63+10=73(℃).
(2)由时间与温度的数据规律，知若设温度为y℃，则时间为min.
当y=34时，时间为＝8(min).
9.解：设用x kg面粉制作大月饼，用(4 500-x)kg面粉制作小月饼，才能生产最多的盒装月饼.
根据题意，得.
解方程，得，
40x=225 000-50x.
40x+50x=225 000，
90x=225 000。
x=2 500。
所以4 500-x=4 500-2 500=2 000.
答：用2 500 kg面粉制作大月饼，用2 000 kg面粉制作小月饼，才能生产最多的盒装月饼.
10.解：设小强的行进速度为x km／h，则小刚的行进速度为(x+)km／h.
根据题意，得0.5(x+)=2x.
解方程，得0.5x+6=2x，
0.5x-2x=-6。
-1.5x=-6，
x=4.
所以x+=4+12=16.
小强从相遇再到A地所用时间为=8(h).
答：小强和小刚的行进速度分别是4 km／h，16 km／h；相遇后经过8 h小强到达A地.
点拨：本题的相等关系：小刚0.5小时走的路程=小强2小时走的路程.
11.解：设销售量要比按原价销售时增加x.
根据题意，得(1+x)(1-20％)=1.
解方程，得0.8+0.8x=1，
0.8x=1-0.8。
x==25％.
答：销售量要比按原价销售时增加25％.
点拨：销售总金额=销售量×商品单价.本题将原销售总金额看作“1”.
12.解：设此月人均定额是x件，那么甲组工人实际人均工作量为件，乙组工人实际人均工作量为件.
根据题意，得
(1)，解得x=45.
答：此月人均定额是45件.
(2)+2，解得x=35.
答：此月人均定额是35件.
(3)-2，解得x＝55.
答：此月人均定额是55件.
点拨：本题中的“人均定额”和“人均工作量”是两个不同的概念，前者是计划的量，后者是实际完成的量.本题根据(1)(2)(3)中所给的甲、乙两组工人实际完成的此月人均工作量的关系列出方程即可.
13.解：(1)设丢番图的寿命为x岁.
根据题意，得+4＝x.
解得x＝84.
答：丢番图的寿命是84岁.
(2)丢番图开始当爸爸时的年龄为()×84+5＝38(岁).
答：丢番图开始当爸爸时的年龄为38岁.
(3)儿子死时丢番图的年龄是84-4＝80(岁).
复习题3（第111页)
1.解：(1)t-t=10. (2)(1-45％)n=110.
(3)1.1a-10=210. (4)=2.
2.解：(1)-8x=3-x，
去分母，得8-48x=18-33x.
移项，得-48x+33x=18-8.
合并同类项，得-15x=10.
系数化为1，得x=-.
(2)0.5x-0.7=6.5-1.3x，
移项，得0.5x+1.3x=6.5+0.7.
合并同类项，得1.8x=7.2.
系数化为1，得x=4.
(3)(3x-6)=x-3，
去括号，得x-1=x-3.
去分母，得5x-10=4x-30.
移项，得5x-4x＝-30+10.
合并同类项，得x＝-20.
（4），
去分母，得7(1-2x)＝3(3x+1)-63.
去括号，得7-14x＝9x+3-63.
移项，得-14x-9x＝3-63-7.
合并同类项，得-23x＝-67.
系数化为1，得x＝.
3.解：（1）x-＝7-，
去分母，得15x-5(x-1)＝105-3(x+3).
去括号，得15x-5x+5＝105-3x-9.
移项，得15x-5x+3x＝105-9-5.
合并同类项，得13x＝91.
系数化为1，得x＝7.
所以当x＝7 时，x-的值与7-的值相等.
（2），
去分母，得4x+5(x-1)＝15(x-1)-16x.
去括号，得4x+5x-5＝15x-15-16x.
移项，得4x+5x-15x+16x＝-15+5.
合并同类项，得10x＝-10.
系数化为1，得x＝-1.
所以当x＝-1时，的值与的值相等.
4.解：(1)把S＝30，a=6，h=4，代入S＝(a+b)h，得30=(6+b)×4.
去分母，得60=(6+b)×4.
去括号，得60=24+4b，
解得b==9.
(2)把S=60，b=4，h=12代入S＝(a+b)h，
得60=(a+4)×12.
去分母，得120=(a+4)×12.
去括号，得120=12a+48.
解得a==6.
(3)把S=50，a=6，b=a=×6=10
代入S＝(a+b)h，得50=(6+10)h，
即50=8h，解得h=.
5.解：设快马x天可以追上慢马.
依题意，得150×12+150x=240x.
解得x=20.
答：快马20天可以追上慢马.
点拨：此题为追及问题，本题中的相等关系：慢马一共行的路程一快马行的路程，由此相等关系即可列出方程.
6.解：设经过x min首次相遇.
依题意，得350x+250x=400. 解得x=·
因此可知小康和小健两人每隔min就相遇一次，即又经过min再次相遇.
答：经过 min首次相遇，又经过min再次相遇.
点拨：本题中情境是环绕运动场转圈，要根据这个特点入手，其相等关系：两人相遇时所经过的路程之和是运动场周长的整数倍.
7.解：设有x个鸽笼，则原有(6x+3)只鸽子.
根据题意，得6x+3+5=8x.
解方程，得6x-8x=-3-5，
-2x=-8.
x=4.
所以6x+3=6×4+3=27.
答：原有27只鸽子和4个鸽笼.
8.解：设女儿现在的年龄是x岁，则父亲现在的年龄为(91-x)岁.
根据题意，得2x-(91-x)=(91-x)-x.
解方程，得6x-(91-x)=3(91-x)-3x，
6x-91+x=273-3x-3x，
6x+x+3x+3x=273+91，
13x=364，
x=28.
答：女儿现在的年龄为28岁.
点拨：本题的相等关系为父亲的年龄与女儿年龄的差保持不变.
9.解：由题意，知答对一题加5分，答错一题扣1分.
(1)设参赛者F答对了x道题，
则答错了(20-x)道题.
根据题意，得5x-(20-x)=76.
解方程，得5x-20+x=76，
6x=76+20.
6x=96，
x=16.
答：参赛者F得76分，他答对了16道题.
(2)若参赛者G得80分，答对了y道题，则答错了(20-y)道题.
由题意，得5y-(20-y)=80.
解方程，得5y-20+y=80，
5y+y=80+20，
6y=100，
Y=16.
因为y只能是小于或等于20的自然数，所以参赛者G不可能得80分.
10.解：设购入场券x张时，付一样的钱.
根据题意，得3x=80+x.
解方程，得3x-x=80，
2x=80，
X=40.
所以，(1)当购入场券40张时，购会员证与不购证付一样的钱.
(2)当购入场券大于40张时，购会员证比不购证更合算.
(3)当购入场券小于40张时，不购会员证比购证更合算.
11.解：设这个村去年种植油菜的面积是x hm2，今年种植油菜的面积是(x-3)hm2.
根据题意，得(2 400+300)×50％×(x-3)-2-400×40％x+3750.
解方程，得1 350x-4 050=960x+3 750，
l 350x-960x=3 750+4 050.
390x=7 800。
X=20.
所以x-3=20-3=17.
答：这个村去年种植油菜的面积是20 hm2，今年种植油菜的面积是17 hm2.

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