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4.2直线、射线、线段
基础知识·细解读
知识点一直线
1.直线的基本事实
经过两点有一条直线，并且只有一条直线，简单说成：两点确定一条直线.
注意：“两点确定一条直线”中的“确定”有两层含义：一表示这样的直线存在；二表示这样的直线唯一，即不会有两条、三条……
特别提醒
直线是直的，没有端点，向两方无限延伸，不能度量，不可以比较长短，没有粗细.
2.直线的表示方法
表示方法 图形举例 特征
(1)用直线上任意表示两点的大写字母表示； (2)用—个小写字母表示 直线AB或直线BA或直线l (1)无端点； (2)向两方无限延伸； (3)无长短
注意：(1)用字母表示直线时，必须在字母前加上“直线”二字.
(2)用两个大写字母表示直线时，字母无顺序.
(3)用一个小写字母表示直线时，该字母不是表示直线上点的字母.
3.点与直线的位置关系
(1)如图4.2-1，点A在直线l上，也可以说成直线l经过点A.
(2)如图4.2-2，点A在直线l外，也可以说成直线l不经过点A或点A不在直线l上.
4.交点
当两条不同的直线有一个公共点时，我们称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点.如图4.2-3，直线AB与CD相交于点O.
特别提醒
直线常用“一根拉得很紧的细线”“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述.
【例1】如图4.2-4所示，直线l上有两点A，B，直线l外有两点C，D.
(1)作经过A，C两点的直线m，并判断点B与直线m的位置关系；
(2)分别过点A，B，C作直线n，p，q，使这三条直线都经过点D；
(3)直线l与q相交吗 若相交，标出交点O的位置.
解：(1)直线优如图4.2-5所示，点B在直线m外.
(2)直线n，p，q如图4.2-5所示.
(3)直线l与q相交，交点O的位置如图4.2-5所示.
总结
作图应注意语言转化
由点与直线、直线与直线的位置关系，可根据要求画出符合题意的图形，作图时需要具备将文字语言转化为图形语言的能力.
知识点二射线
定义 表示方法 图形举例 特征
直线上一点和它一旁的部分叫做射线，这一点叫做射线的端点 (1)用表示射线端点和射线上另一点的两个大写字母表示(表示端点的字母必须写在前面)； (2)用一个小写字母表示 射线OA或射线l (1)一个端点； (2)向一方无限延伸； (3)无长短
注意：(1)用字母表示射线时，必须在字母前加上“射线”二字.
(2)用两个大写字母表示射线时，字母有顺序，表示端点的字母写在前面.
(3)用一个小写字母袁示射线时，该字母不是表示射线上点的字母.
特别提醒
射线是直线的一部分，也是直的，有一个端点，可向一方无限延伸，不可以度量，不能比较大小.
【例2】图4.2-6中一共有几条射线 能用字母表示的请表示出来.
分析：可用字母表示的有射线AB、射线BA；不可用字母表示的射线有以点A为端点及它左边的部分和以点B为端点及它右边的部分.
解：图中有4条射线，可用字母表示的有射线AB、射线BA.
总结
牢抓两点，辨别射线的异同
端点不同，所表示的射线不同；端点相同，延伸方向不同，所表示的射线也不同.只有端点和延伸方向都相同时，才是同一条射线.
拓展
若一条直线上有n个点，则有2n条射线.
知识点三线段的基本概念
1.线段
定义 表示方法 图形举例 特征
直线上两点及两点间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点 (1)用表示线段的两个端点的大写字母表示； (2)用一个小写字母表示 线段AB或线段BA或线段a (1)两个端点； (2)无延伸方向； (3)有长短
注意：(1)用字母表示线段时，必须在字母前加上“线段”二字.
(2)用两个大写字母表示线段时，字母无顺序.
2.线段、射线、直线的区别与联系
名称 区别 联系
图形及表示方法 延伸情况 端点个数 度量情况
线段 线段AB或线段BA或线段l 不能延伸 2 能度量 线段是直线的一部分；线段向一方延伸就成为射线，向两方延伸就成为直线；射线向反方向延伸就成为直线
射线 射线OA或射线l 只向一方无限延伸 1 不能度量
直线 直线AB或直线BA或直线l 向两方无限延伸 0 不能度量
注意：(1)线段、射线和直线都是“直的线”，其中线段是有头有尾的“直的线”，它的两个端点就是“头”和“尾”；射线是有头无尾的“直的线”，它的“头”就是端点；直线是一条无头无尾的“直的线”.
(2)当用两个大写字母表示直线和线段时，两个字母可以交换位置.而表示射线时，因为第一个字母表示的是射线的端点，所以必须放在另一个字母的前面.
巧记口诀
直线、射线与线段
直线射线与线段，
形状相似有关联.
直线长短不确定，
可向两方无限延.
射线仅有一端点，
反向延长成直线.
线段定长两端点，
双向延伸变直线.
两点定线是共性，
组成图形最常见.
【例3】图4.2-7中的线段一共有 ( )
A.3条 B.4条 C.5条 D.6条
解析：图中的线段有线段AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6条.
思路一：如果按从左向右的顺序表示线段，以点A开头的线段有AB，AC，AD三条，以点B开头的线段有BC，BD两条，以点C开头的线段有CD一条，那么共有3+2+1=6(条)线段.
思路二：每个点和其他三个点都能确定一条线段，则四个点共可以确定3×4=12(务)线段.每务线段如线段AB在点A和点B各被统计了一次，因此每条线段都被统计了两次，所以实际线段的条数为6.
答案：D
总结
我们可以将例题中思路二的结论推广到n(n为正整数，n≥2)个点的情况：一条直线上有n(n为正整数，n≥2)个点，则线段条数为1+2+3+…+(n-1)或.还可以将此结论继续推广：以n(n为正整数，n≥2)个不在同一条直线上的点为端点的线段条数是1+2+3+…+(n*1)或.
拓展
线段的延长线具有方向性
利用直尺可以把线段向任意一方延伸，线段向一方延伸的部分叫做线段的延长线.如图4.2-8，从点B开始把线段AB延长，常说成“延长线段AB”或“反向延长线段BA”；对于图4.2-9，从点A把线段AB进行延长，常说成“延长线段BA”或“反向延长线段AB”.这里所说的线段AB和线段BA的延长线都是指图中的虚线部分，不包含线段AB.线段的延长线一般画成虚线.
知识点四线段的画法及比较
1.尺规作图：限定用无刻度的直尺和圆规作图.
2.画一条线段等于已知线段
画法一(尺规作图)：如图4.2-10所示，先用直尺画射线AC，再用圆规在射线AC上截取AB＝a.
画法二(测量长度)：先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段.
为防止误差，一般不目测比较线段长短，而是通过度量.
特别提醒
在将两条线段用“<”“>”或“一”连接起来的时候，字母前的“线段”两字就省略不写了.只有线段才能比较大小，而直线、射线不能比较大小.
3.线段的比较
(1)线段比较大小的实质是线段的长度的比较.
注意：“线段”和“线段的长度”不是同一个概念，线段是“图形”，而线段的长度是一个“数量”.
(2)线段大小的比较方法
①度量法(数的比较)：
用刻度尺量出线段的长度，根据长度大小来比较，长度大的线段较长，
长度相等时两线段相等.
②叠合法(形的比较)：
比较两条线段AB与CD的长短，可以把线段AB移到线段CD上，使点A与点C重合，点B与点D在重合点的同一侧.
注意：比较线段的大小时，“度量法”是从“数”入手，而“叠合法”是从“形”入手.
拓展
截取法比较线段大小
将圆规的两个尖与线段AB的两端点重合，然后用圆规的一个尖与点C重合，把另一个尖同向放在C，D所在的直线上.
用圆规截取法比较线段的大小，实质上就是叠合法的一个操作应用.
【例4】如图4.2-11，有一张三角形纸片，你能准确地比较线段AB与线段BC的长短吗
解：方法1(度量法)：用刻度尺测得AB=2.0 cm，BC=1.7 cm，所以AB>BC.
方法2(叠合法)：把边BC翻折到AB上，可知点C在线段AB上，所以AB>BC.
总结
线段比较大小两方法
(1)度量法：先分别度量出两条线段的长度，再比较度量值的大小.
(2)叠合法：设法使两条线段放在同一条直线上，且其中的一个端点重合，另一端点均在重合端点的同侧，从而比较线段的长短.
知识点五尺规作线段的和与差
线段的和、差及作法
条件
图形
作法 用圆规在射线AE上截取线段AB=a，再在射线BE上截取线段BC=b 用圆规在射线AE上截取线段AB=a，再在线段AB上截取线段BD=b
结论 线段AC是线段a与b的和 线段AD是线段a与b的差
AC=a+b AD=a-b
特别提醒
几何中线段的和差与代数中的数的和差有联系也有区别，在数量上是线段长度的和差，在图形上作线段的和差得到的图形是一条线段.
【例5】如图4.2-12所示，已知线段a，b，c(a>c)，用圆规和直尺画一条线段，使它等于a+2b-2c.
解：作法：(1)作射线AE；
(2)在射线AE上顺次截取线段AC，CF，FD，使AC=a，CF=FD=b；
(3)在线段AD上截取线段DG=GB=c，则线段AB即为所求.如图4.2-13所示.
总结
线段和差作图，“内”“外”要分清
进行线段的和差作图时，要掌握画一条线段等于已知线段的方法.同时注意“加”在外画(即在线段的延长线上画)，“减”在内画(即在线段上画)；作图时作图痕迹要保留，并且结论必须写明哪条线段是所求作的线段.
知识点六线段的中点及等分点
1.线段的中点
如图4.2-14，点M在线段AB上，AM=BM，点M是线段AB的中点.
应用：因为点M是线段AB的中点，所以AM=BM=AB，AB=2AM=2BM.
特别提醒
(1)线段的中点只有一个，而线段的三等分点有两个.
(2)如果题目中没有现成的图形，一定要先画图.数形结合是数学学习中的一种重要方法，应特别注意对线段中点的灵活运用.
2.线段的等分点
如图4.2-15所示，B，C是线段AD上的两点，且AB=BC=CD=AD或AD=3AB=3BC=3CD，我们称点B，C是线段AD的三等分点.类似地，还有线段的四等分点，如图4.2-16所示，AB=BC=CD=DE=AE等.
拓展
线段的中点可以从两个角度来理解.一是根据定义，某一点要成为一条线段的中点应满足两个条件：①这个点必须在这条线段上；②这个点要把这条线段分成相等的两条线段.二是根据几何表达式，若AB=2AC=2BC或AC=BC=AB，则点C是线段AB的中点.
【例6】下列说法正确的是 ( )
A.若AP=AB，则点P为线段AB的中点
B.若AP=PB，则点P为线段AB的中点
C.若AB=2PB，则点P为线段AB的中点
D.若AP=PB=AB，则点P为线段AB的中点
解析：A选项未说明点P是否在线段AB上，它可以有如图4.2-17①所示的情况，满足AP=AB，但点P不是线段AB的中点；B选项也未说明点P是否在线段AB上，故可有如图4.2-17②所示的情况，满足PA=PB，但点P不是线段AB的中点；C选项也未说明点P是否在线段AB上，故可有如图4.2-17③所示的情况，满足AB=2PB，但点P不是线段AB的中点.由定义可知选项D正确.
答案：D
总结
若点A是线段BC的中点，则AB=AC一定成立；但反过来，若AB=AC，则点A不一定是线段BC的中点，如图4.2-18所示.
特别提醒
要注意“点C是线段AB的中点”与“点C是线段AB上一点”的区别：前一句中，点C在线段AB上的位置是固定的，即中点；后一句中，点C在线段AB上的位置不固定，所分两条线段AC和BC的长度可能相等，可能不相等.
知识点七线段的性质
1.线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短.
2.两点的距离：连接两点间的线段的长度.
注意：线段是一个图形，两点的距离是指线段的长度，是一个数值，而不是线段本身，因此不能说“A，B两点间的距离是线段AB”，而应说“A，B两点间的距离是线段AB的长度”.
两点之间，线段最短.
【例7】如图4.2-19(示意图)，把弯曲的河道改直，可以缩短航程，这样做的道理是 ，若河道边有一座城市C，河道A处到城市C的距离为8 km，河道B处到城市C的距离为3 km，则A，B间的距离AB 11 km(填“>”“<”或“=”).
解析：把原河道中的A处和B处看作两个点，由于“两点之间，线段最短”，把河道改直后可得线段AB，所以能缩短航程，同时可知A，B两点之间的距离小于A，C两点之间的距离与B，C两点之间的距离的和，即AB<11 km.
答案：两点之间，线段最短 <
总结
掌握“两点之间，线段最短”的性质是解决此类问题的关键.在很多实际问题中都涉及线段的这一基本性质.
特别提醒
(1)连接两点的线有无数条，其中线段的长度最短；
(2)连线是指以两个点为端点的任意线，包括线段、折线和曲线；
(3)数学上连接AB是指画线段AB.
应用能力·巧提升
题型一按要求作图
【例1】如图4.2-20所示，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图.
(1)画射线AB，直线CD交于点E；
(2)画线段AC，BD交于点F；
(3)连接EF.
审题关键：本题为作图题，要先明确要作的是直线、射线还是线段，再根据相关特征完成作图.
破题思路：(1)分别作以A为端点，经过点B的射线和经过C，D两点的直线，两线交点即为点E的位置；
(2)分别作以A，C为端点的线段和以B，D为端点的线段，两线段的公共点即为点F；
(3)作以E，F为端点的线段.
解：(1)(2)(3)如图4.2-21所示.
解后反思
理解概念有助于作图
过两点画直线时，这两点不能成为端点，要“出头”；过两点画射线时，要注意谁是端点，向哪个方向延伸；过两点画线段时，要确定哪两个点是端点，不能“出头”.另外，应注意延长线与反向延长线的区别，因为这些概念“方向性”很强，所以要注意对概念的理解，才能准确画出图形.
变式训练
1.按下列语句画出图形：
(1)直线EF经过点D，点C不在直线EF上；
(2)线段AB，CD相交于点B；
(3)点P是直线a外一点，过点P有一条线段b与直线a不相交.
2.如图4.2-22所示，平面上有三条线段AB，BC，CD，按照下列要求作图.
(1)作射线BD；
(2)分别延长线段AB，CD相交于点E；
(3)作直线AD，与线段BC交于点F.
题型二点、线的规律探究
【例2】已知平面内的四个点A，B，C，D，过其中的两个点画直线，可以画出多少条
审题关键：本题考查直线条数的确定，应分析出过两点的直线的所有可能性.
破题思路：因为原题中未说明这四个点的位置关系，因此应分四个点在同一条直线上、三个点在同一条直线上、任意三个点都不在同一条直线上三种情况来讨论.
解：(1)当A，B，C，D四个点在同一条直线上时，只可以画出一条直线，如图4.2-23①所示.
(2)当A，B，C，D四个点中有三个点在同一条直线上时，可以画出4条直线，如图4.2-23②所示.①
(3)当A，B，C，D四个点中任意三个点都不在同一条直线上时，可以画出6条直线，如图4.2 23③所示.②
过程释疑：
①不管哪三个点在同一条直线上，另外一个点在这条直线外，所得到的情形相同.
②由图4.2-23③可以看出，对于任意三个点都不共线的四个点A，B，C，D，过其中任何一个点都有三条直线经过，共4×3＝12(条)，但是因为直线AB与BA，AC与CA，AD与DA……分别是同一条直线，
变式训练
3.在同一平面内，互不重合的三条直线的交点的个数( )
A.可能是0，1，2
B.可能是0，2，3
C.可能是0，1，2，3
D.可能是1，3
4.根据图4.2-24回答下列问题：
(1)以O为端点的射线共有几条 请写出来；
(2)图中的线段共有几条 请写出来；
(3)射线AB和射线CB的公共部分是什么
说明每条直线都重复计算一次，所以实际能画出的直线共有12÷2＝6(条).
方法技巧
直线条数的确定有规律可循
如果平面上有n个点，其中任意三个点都不在同一务直线上，那么过两点画一条直线，共可以画出去n(n-1)条直线(n≥3，且n为正整数).
题型三线段的中点与线段的和与差的综合应用
【例3】已知线段AB=8 cm，点C在线段AB上，且BC=3 cm，M为线段AC的中点，求线段MC的长度.
审题关键：解答此类问题时，画出图形进行分析更为直观、具体.
破题思路：因为线段AB与线段BC的长度已知，所以可以求出线段AC的长度.由点M为线段AC的中点，可求得结果.
解：如图4.2-25所示.
因为AB=8 cm，BC=3 cm，
所以AC=AB-BC=8-3=5(cm).
又因为M为线段AC的中点，
所以MC=AC=×5=2.5(cm).
解后反思
在本题中，因为M是线段AC的中点，所以要想求MC的长度，只需求出线段AC的长度即可.由于AC=AB-BC=8-3=5(cm)，从而问题得解.
变式训练
5.如图4.2-26，已知D，E分别是线段AB，BC的中点.
(1)若AB=3 cm，BC=5 cm，则DE= cm；
(2)若AC=8 cm，EC=3 cm，则AD= cm.
题型四点与线段的实际应用
【例4】A，B两火车站之间有三个站点，假设每两站间的票价不同.
(1)在A，B两站之间需要多少种不同的票价
(2)应制作多少种不同的车票
审题关键：要理解票价、车票与站点之间的关系，可画出线段图，将车票问题转化为线段问题来解决.
破题思路：(1)首先确定五个站点之间有几条不同的线段，因为不同的线段代表两站之间的票价不同，所以只需数出有几条不同的线段，即可确定有几种不同的票价.
(2)每两站之间有两种不同的车票，故车票数是线段条数的2倍.
解：(1)如图4.2-27，设点C，D，E表示中途三站，在线段AB上有多少条线段，就有多少种不同的票价.图中有线段AC，AD，AE，AB，CD，CE，CB，DE，DB，EB，共10条，①
所以A，B两站之间共需要10种不同的票价.
(2)由于往返时起始站和终止站恰好相反，故应制作10×2＝20(种)不同的车票.
过程释疑：
①数线段的条数时，为了既不重复，又不遗漏，可以按如图4.2-28所示画弧线的方法确定条数.
方法技巧
画线段图。巧解问题
借助线段图解题，可以化抽象的语言为具体、形象、直观的图形.小学时我们经常利用线段图解应用题，现在利用线段的端点的数目，同样可以解决许多现实生活中的问题.
变式训练
6.4支排球队进行单循环比赛(参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛)，则共比赛 场.
7.由河源到广州的某次列车，运行途中停靠的车站依次是河源、惠州、东莞东、广州，那么要为该次列车制作的火车票有 ( )
A.3种 B.4种 C.6种 D.12种
题型五线段的性质在生活中的应用
【例5】如图4.2-29，设A，B，C，D为4个居民小区，现在需要在四边形ABCD内建一个购物中心，请你确定一个点，使这4个居民小区到购物中心的距离之和最小.
审题关键：根据“两点之间，线段最短”来确定该点的位置.
破题思路：该点一定为线段AC上的任意一点，同理，也必须为线段BD上的任意一点，故在线段AC，BD的交点上.
解：如图4.2-30所示，连接AC，BD，两线段交于点P，则应该建在线段AC，BD的交点P处.
解后反思
线段的性质在日常生活中有很多应用，我们要善于抓住问题的实质，最大限度地把所学到的数学知识应用到实际生活中去.
变式训练
8.小明打算从汽车站A去火车站F，他不知道怎么走最近，于是去问乘务员，乘务员给他画了四条路线图，如图4.2-31.你认为小明应该走哪条路线(用字母表示) 为什么
易误易混·精辨析
易错点一数线段、射线、直线的条数时漏解
【例1】已知A，B，C三点，过其中每两点画直线，一刘可以画出的直线条数为 .
解析：当A，B，C三点在同一条直线上时，可以画1条直线，如图4.2-32.
当A，B，C三点不在同一条直线上时，可以画3条直线，如图4.2-33.
所以一共可以画1条或3条直线.
答案：1或3
防错警示
此题易忽略A，B，C三点可能在同一条直线上的情况，因此在判断线段、射线、直线的条数时要注意条件限制，以防漏解.
易错点二考虑问题不全面而漏解
【例2】已知线段AB=12 cm，直线AB上有一点C，且BC=6 cm，M是线段AC的中点，求线段AM的长度.
解：当点C在线段AB上时，如图4.2-34所示.
因为M是AC的中点，
所以AM=AC.
又因为AC=AB-BC，AB=12 cm，BC=6 cm，
所以AM=AC=(AB-BC)=×(12-6)=3(cm).
当点C在线段AB的延长线上时，如图4.2-35所示.
因为M是AC的中点，
所以AM=AC.
因为AC=AB+BC，AB=12 cm，BC=6 cm，
所以AM=AC=(AB+BC)=×(12+6)=9(cm).
故线段AM的长度为3 cm或9cm.
防错警示
因为题中只是说明A，B，C三点在同一条直线上，无法判断点C是在线段AB上，还是在线段AB的延长线上，所以应分两种情况讨论.本题易因忘记分情况讨论而出现漏掉一个解的错误.
易错点三盲目应用线段的性质而出错
【例3】某公司员工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在同一条直线上，位置如图4.2-36所示.该公司的接送班车打算在此区间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在 区.
解析：若停靠在A区，则所有员工的步行路程之和为0+15×100+10×(100+200)=4 500(m)；
若停靠在B区，则所有员工的步行路程之和为30×100+0+10×200=5 000(m)；
若停靠在C区，则所有员工的步行路程之和为30>(100+200)+15×200+0=12 000(m).
综上可知，若要使所有员工的步行路程之和最小，则停靠点应设在A区.
答案：A
防错警示
本题易错填B区.在解此类问题时，要分别计算出所有人到不同地点的路程的总长度，再进行比较.
真题解密·探源头
中考真题
(新疆中考)如图4.2-37所示，某同学的家在A处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店B，请你帮助他选择一条最近的路线 ( )
A.A→C→D→B B.A→C→F→B
C.A→C→E→F→B D.A→C→M→B
解析：根据两点之间，线段最短，可得C，B两点之间的最短距离是线段CB的长度，所以想尽快赶到书店，那么最近的路线是A→C→F→B.
答案：B
教材原型
教材130页习题4.2第8(1)题
如图4.2-38，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度有什么变化
解：把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短了.
命题人解密：教材习题很典型地考查了线段的性质.中考题就是针对这一考点进行设置的，通过改变题目的背景进行命题.
阅卷人解密：这类问题在中考中为基础题，很少失分.在解决这类问题时要结合生活经验和线段的性质来说明，体现数学知识的实用性.
高效训练·速提能
【基础达标】
1.下列说法中，错误的是 ( )
A.经过一点可以作无数条直线
B.经过两点只能作一条直线
C.一条直线只能用一个字母表示
D.线段CD和线段DC是同一条线段
2.如果你想将一根细木条固定在墙上，那么至少需要钉子的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3. (广西柳州中考)如图4.2-39，在直线l上有A，B，C三点，则图中线段共有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
4.已知线段OA=5 cm，OB=3 cm，则下列说法正确的是 ( )
A.AB=2 cm B.AB=8 cm C.AB=4 cm D.不能确定AB的长度
5.(福建中考)已知A，B，C是数轴上的三个点，且点C在点B的右侧，点A，B表示的数分别是1，3，如图4.2-40所示.若BC=2AB，则点C表示的数是 .
6.下列说法：①延长直线AB；②延长线段M；③若AB=BC，则B是线段AC的中点；④连接两点间的线段叫做两点的距离；⑤射线OM和射线MO是同一条射线；⑥经过两点只有一条直线.其中正确的有 .(填序号)
7.平面上有任意3个点A，B，C.问：
(1)一共可以画出多少条直线
(2)以一点为端点，且经过另两点中的一点或两点的射线有多少条
(3)似其中两点为端点可以画多少条线段
8.作图题：取不在同一条直线上的三点P，Q，R.
(1)涟接PQ，并延长至点E；
(2)连接RQ并反向延长至点F；
(3)过点R画射线PR.
9.已知C，D两点将线段AB分为三部分，且AC：CD：DB=2：3：4，若AB的中点为M，BD的中点为N，且MN=5，求AB的长.
【能力提升】
10.已知平面上有三点，经过其中的任意两点画直线，最多能把这个平面分成 ( )
A.4部分 B.5部分
C.6部分 D.7部分
11.(四川凉山州中考)点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点.若线段AB=12 cm，则线段BD的长为 ( )
A.10cm B.8 cm C.10 cm或8 cm D.2 cm或4 cm
12.如图4.2-41，有一个三角形ABC，你能说出AB+BC与AC的大小关系吗
13.如图4.2-42，点C在线段AB上，AC=8 cm，CB=6 cm，M，N分别是AC，BC的中点.
(1)求线段MN的长；
(2)若C为线段AB上任意一点，满足AC+CB=a cm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗 请说明理由；
(3)若点C在线段AB的延长线上，且满足AC=CB=b cm，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗 请画出图形，写出你的结论，并说明理由.
【素养创新题】
14.通过阅读所得的启示来回答问题(阅读中的结论可直接用).
阅读：在直线上有”个不同的点，则此图中共有多少条线段
分析：通过画图尝试，得表格：
图形 直线上点的个数 共有线段条数 两者关系
2 1 1=0+1
3 3 3=0+1+2
4 6 6=0+1+2+3
5 10 10=0+1+2+3+4
… … … …
n =0+1+2+…+(n-1)
问题：(1)某学校九年级共有8个班进行辩论赛，规定进行单循环赛(每两班之间赛一场)，那么该九年级的辩论赛共有多少场
(2)有一列火车，往返两地，中途停靠13个车站，要准备多少种不同的车票
本书习题参考答案
4.2直线、射线、线段
应用能力·巧提升
1.解：(1)如答图4.2-1所示.
(2)如答图4.2-2所示.
(3)如答图4.2-3所示.
2.解：(1)(2)(3)如答图4.2-4所示.
3.C 解析：在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交和不相交.三条直线的位置关系如下：三条直线互相无交点；两条直线不相交，第三条直线与它们都相交，有2个交点；三条直线两两相交，最多有三个交点，最少有1个交点.由题意作出图形，如答图4.2-5所示.
4.解：(1)共有4条，分别是射线OA，射线OB，射线OC，射线OD.
(2)共有8条，分别是线段OA，线段OB，线段OC，线段OD，线段AB，线段BC，线段AC，线段AD.
(3)线段AC.
5.(1)4 (2)1 解析：(1)DE=DB+BE=AB+BC=×3+×5=4(cm).
(2)AD=AB=(AC-2EC)=(8-2×3)=1(cm).
6.6解析：如答图4.2-6，将4支排球队看作直线上的4个点A，B，C，D，直线上有多少条线段就代表有多少场比赛.由图可得，共有6条不同的线段：AB，AC，AD，BC，BD，CD，故共比赛6场.
7.D解析：本题可以看成一条线段上取两点后，有多少条线段就有多少种不同的票价.如答图4.2-7所示，有线段AC，AD，AB，CD，CB，DB，共6条，所以共有6种不同的票价.故要为该次列车制作6×2=12(种)火车票.
8.解：小明应该走如下路线：A→B→E→F.
理由：因为无论选择哪条路线，A→B和E→F这两段路线是必经之路，所以只需比较路线B→M→E，B→E，B→C→E，B→C→D→E的长短.根据两点(B和E)之间，线段最短，知走B→E最近.因此，从汽车站A去火车站F走A→B→E→F这条路线最近.
高效训练·速提能
1.C
2.B解析：两点确定一条直线.
3.C解析：题图中线段有AB，AC，BC，共3条.
4.D 解析：若点O，A，B在同一条直线上，则AB=2 cm或8 cm；若点O，A，B不在同一条直线上，则AB的长度有无数种情况.
5.7 解析：因为点A，B表示的数分别是1，3，所以AB=3-1=2.
设点O表示的数是0(图略).
因为BC=2AB=4，点C在点B的右侧，
所以OC=OA+AB+BC=1+2+4=7.
所以点C表示的数是7.
6.⑥ 解析：①直线没有端点，故不能延长；②线段的表示方法有误，应该用两个大写字母或一个小写字母来表示；③若A，B，C三点不在同一条直线上，则不成立；④连接两点间的线段的长度叫做两点的距离；⑤射线OM和射线MO的端点不同，故不是同一射线.⑥正确.
7.解：(1)经过A，B两点可以画一条直线，则点C与直线AB的位置关系有：
①点C在直线AB上(如答图4.2-8)，显然直线CA，直线CB与直线AB是同一条直线，因此在这种情况下可以画出1条直线.
②点C不在直线AB上(如答图4.2-9)，根据过两点有且只有一条直线，可以画出3条直线，即直线AB，直线BC，直线CA.
综上所述，给出平面上的任意3点，可以画出1条或3条直线.
(2)当A，B，C三点在同一条直线上(如答图4.2-8)时，以最左端一点A为端点，且经过点B，C的射线有2条：射线AB，射线AC，但这2条实际上是同一条射线.同理，以C为端点也只有1条射线符合题意，以中间一点B可以得到2条射线：射线BA，射线BC.所以可以得到4条射线.
当A，B，C三点不在同一条直线上(如答图4.2-9)时，以点A为端点的射线有4条，其中只有2条经过点B或点C，所以以点A为端点的射线有2条符合题意.同理，以点B、点C为端点的射线也各有2条符合题意.所以共有6条射线.
综上所述，可以画出4条或6条满足要求的射线.
(3)以其中两点为端点可以画3条线段.
8.解：(1)(2)(3)如答图4.2-10所示.
9.解：根据题意画出线段图，如答图4.2-11所示.
设AC=2x，CD=3x，DB=4x，
则.MB=AB=(AC+CD+DB)=(2x+3x+4x)=x，NB=DB=2x.
因为MN=MB-NB，
所以x-2x=5，
解得x=2.
所以AB=2x+3x+4x=18.
10.D
11.C 解析：因为点C是线段AB的中点，AB=12 cm，所以AC=BC=AB=×12=6(cm).
由题意，知点D是线段AC的三等分点，
①当AD=AC时，如答图4.2-12，BD=BC+CD=BC+AC=6+4=10(cm)；
②当AD′＝AC时，如答图4.2-12，
BD′＝BC+CD′＝BC+AC=6+2=8(cm).
所以线段BD的长为10 cm或8 cm，故选C.
12.分析：先将AB，BC两条线段组合在一起，看成是从A到C的一条折线，再根据“两点之间，线段最短”来确定AB+BC与AC的大小关系.
解：AB+BC>AC.
13.解：(1)因为M，N分别是AC，BC的中点，
所以MC=AC，CN=CB.
所以MN=AC+CB=×8+×6=7(cm).
(2)若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=a cm，其他条件不变，则MN=a cm. 理由如下：
因为M，N分别是AC，BC的中点，
所以MC=AC，CN=CB.
又因为AC+CB=a cm，
所以MN=AC+CB=(AC+CB)=a cm.
(3)如答图4.2-13.
结论：MN=b cm. 理由如下：
因为点M，N分别为AC，BC的中点，
所以MC=AC，NC=CB.
又因为AC-CB=b cm，
所以MN=MC-NC=AC-CB=(AC-CB)=b cm.
14.解：(1)n=8，
该九年级的辩论赛场数为=28.
(2)=105.
因为每两站之间要准备往返两种车票，
所以需要准备210种不同的车票.
教材参考答案
4.2 直线、射线、线段
练习(第126页)
1.解：(1)正确(2)正确(3)不正确(4)正确
2.解：如答图4.2-1所示.
3.解：(1)点P在直线AB(或直线l)外.
(2)直线a，b，c两两相交，直线b，c相交于点A，直线a，b相交于点B，直线a，c相交于点C.
练习(第128页)
1.解：(1)AB>AC；(2)AB(3)AB=AC.(检验略)
2.解：如答图4.2-2所示，先作射线AM，以点A为端点，顺次截取AB＝BC＝a，再以点C为端点，在射线CB上截取CD=b，则线段AD即为所求.
3.解：因为D是线段AB的中点，所以AD=AB.
因为AB=4 cm，所以AD=×4=2(cm).
义因为C是线段AD的中点，
所以CD=AD=×2=1(cm).
习题4.2(第129页)
1.解：可以看成直线的如笔直的公路、地平线等；可以看成射线的如手电筒发出的光、流星的发光轨迹等；可以看成线段的如铅笔、木条等.
2.解：如答陶4.2-3所示.
3.解：答图4.2-4①中虚线部分为线段AB的延长线；
答图4.2-4②中虚线部分为线段AB的反向延长线.
4.解：如答图4.2-5所示.
5.解：如答图4.2-6所示，正方形ABDC为原正方形，延长线段AB到点E，使BE=AB，延长线段CD到点F，使DF=CD，延长线段AC到点G，使CG=AC，延长线段BD到点H，使DH=BD.连接EF，GH，延长EF交GH了的延长线于点M，所画正方形AGME的面积即是原正方形面积的4倍.
6.解：折叠后使AB，AC边重合，然后比较两个端点B，C所处的位置，从而确定AB，AC的长短.经折叠可知AB7.略.
8.解：(1)把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短了；
(2)这样做不仅可以容纳更多游人，而且延长了游人观赏湖面风光的时间，增加了游人的路程.
道理：两点之间，线段最短.
9.解：如答图4.2-7.
10.解：当点C在线段AB的延长线上时，
AC＝AB+BC＝3+1＝4(cm)：
当点C在线段AB上时，
AC＝AB-BC＝3-1＝2(cm).
综上，AC的长为4 cm或2 cm.
11.解：由于“两点之间，线段最短”，故蚂蚁要从顶点A爬行到顶点B的路线最短，只需沿线段AB爬行即可. 同样，如果要使爬行到顶点C的路线最短，那么可将这个正方体展开，在展开图上连接AC，沿线段AC爬行即可.
12.解：三条直线相交，最多有3个交点，四条直线相交，最多有6个交点……
规律：n(n为正整数，n≥2)条直线相交，最多有个交点.

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