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4.3 角
4.3.1 角
基础知识·纲解读
知识点一角
1.角的定义
角的定义 文字描述 图示
静态定义 从一点O出发的两条射线OA，OB所组成的图形，其中点O是角的顶点，射线OA，OB是角的边
动态定义 射线OA绕着点O旋转到OB的位置后形成的图形.射线OA，OB分别是这个角的始边和终边
注意：(1)角是有公共端点的两条射线组成的图形，“有公共端点”和“两条射线”这两个条件缺一不可.
(2)角同线段一样，可以度量，可以比较大小，也可以参与运算.
2.平角与周角
(1)平角：如果角的终边是由角的始边旋转半周得到的(这时角的始边和终边互为反向延长线)，如图4.3.1-1所示，这样的角叫做平角，
1平角=180°.
(2)周角：如果角的终边是由角的始边旋转一周得到的(这时角的始边和终边重合)，如图4.3.1-2所示，这样的角叫做周角，1周角＝360°.
注意：(1)平角和周角都是“角”，而不是“线”.因此不能说“一条直线就是平角”，也不能说“一条射线就是周角”.
(2)平角的一半是直角，1直角＝90°，通常在直角的顶点处加上“”或“”标志.
(3)没有特殊说明，我们只讨论大于等于0°且小于等于180°的角.
特别提醒
(1)角的动态定义中，旋转的方向可以是顺时针，也可以是逆时针.
(2)构成角的两个要素是顶点和两边，且两边都是射线，而不是线段.
【例1】下列说法正确的是 ( )
A.两条射线组成的图形叫做角
B.角是由一条线段绕着它的一个端点旋转而成的图形
C.有公共端点的两条线段组成的图形叫做角
D.角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形
解析：A选项中未强调“有公共端点”，错误；B，C选项中说的是线段，错误；D选项符合角的动态定义.故选D.
答案：D
知识点二角的表示
角的表示方法 记法及注意 图示
用三个大写英文字母表示 记作∠AOB或∠BOA.O是角的顶点，写在中间；A和B分别是角的两边上的点，写在两边，可以交换位置
用一个大写英文字母表示 记作∠O.在以点O为顶点的角只有一个时，才能用这种方法
用数字或小写希腊字母表示 记作∠1或∠a.要在靠近顶点处加上弧线，标注上阿拉伯数字或小写希腊字母α，β，γ等
注意：用阿拉伯数字或小写希腊字母表示角时，一定要在图中标出该角的位置，画出小弧线(表示从哪边到哪边)并标上数字或小写希腊字母，方可使用.
特别提醒
角的表示方法有多种，具体用哪种方法要根据角的情况具体分析.但要记住一个原则：角的表示要明确，不能使人产生误解.
【例2】如图4.3.1-3，写出符合下列条件的角：
(1)能用一个大写字母表示的角；
(2)以点B为顶点的角.
分析：(1)以点A，C为顶点的角分别只有一个，因此可用表示顶点的大写字母A，C来表示，即∠A，∠C.
(2)以点B为顶点的角有三个，因此以点B为顶点的角必须用三个大写字母表示.
解：(1)∠A，∠C.
(2)∠ABC，∠ABD，∠CBD.
总结
角的表示不固定，牢记两点很容易
(1)当以某一点为顶点的角有两个或两个以上时，其中任意一个角都不能只用一个大写英文字母表示.
(2)用三个大写英文字母表示角时，一定要把表示顶点的字母写在中间.
知识点三角的度量及换算
1.度量工具：量角器、经纬仪、测角器等.
2.度量单位
度：把一个周角360等分，每一等份是1度的角，l度记作l°.
分：把1°的角60等分，每一等份是1分的角，1分记作1′.
秒：把1′的角60等分，每一等份是1秒的角，1秒记作1″.
用量角器可以量出任何给定度数的角.
注意：(1)以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.
(2)角的度、分、秒是60进制的，这与计量时间的时、分、秒是一样的.
3.换算方法
(1)从高位到低位：1°＝60′，1′＝60″，1°＝3 600″.
(2)从低位到高位：1″＝()′，1′＝()°，1″=()°.
【例3】(1)把36°36′化成度的形式，
(2)把27.457 5°化成度、分、秒的形式.
解：(1)因为36′＝0.6°，所以36°36′＝36.6°.
(2)因为0.457 5°＝0.457 5×60′＝27.45′，
0.45′＝0.45×60″＝27″，
所以27.457 5°＝27°27′27″.
总结
角的换算方法
(1)将度化为度、分、秒的形式的方法：从左往右依次进行，整数度保持不变，先把不满1度的小数部分乘60化为分，再把化成分的小数部分乘60化为秒，最后以度、分、秒的形式写出来.
(2)将度、分、秒的形式化为度的形式的方法：a°b′c″＝(a++)°.
特别提醒
度、分、秒的相互转化
知识点四角的画法
角的三种常用的画法
(1)用量角器画出任意给定度数的角.
(2)用直尺和圆规画一个角等于已知角.
(3)用三角尺画30°，45°，60°，90°等特殊的角.
用三角尺可以画出15°的整数倍的角.
【例4】用一副三角尺，你能画出哪些大于0°而小于180°的角
解：用一副三角尺可直接画出30°，45°，60°和90°的角.
因为15°＝45°-30°(或60°-45°)，
所以可用一副三角尺画出15°的角.
具体操作步骤：如图4.3.1-4，先用含45°角的三角尺画出45°的∠AOB，再在∠AOB的内部用含30°角的三角尺画出30°的∠AOC，则∠BOC＝15°.
同理，因为75°＝45°+30°，105°＝45°+60°，120°＝90°+30°，135°＝90°+45°，150°＝90°+60°，165°＝180°-45°+30°，
所以用一副三角尺还可以画出75°，105°，120°，135°，150°，165°的角.
综上，用一副三角尺可以画出符合要求的角为15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°.
拓展
角的三种画法的选择
(1)若画一个给定度数的角，则用量角器比较适合.
(2)若画一个角等于已知角，则用直尺和圆规比较适合.
(3)若画15°的整数倍的角，则可直接用一副三角尺进行拼合与拆分.
应用能力·巧提升
题型一确定图形中角的个数
【例1】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，如图4.3.1-5所示，如果过角的顶点：
(1)在角的内部作一条射线，那么图中一共有几个角
(2)在角的内部作两条射线，那么图中一共有几个角
(3)在角的内部作三条射线，那么图中一共有几个角
(4)在角的内部作”条射线，那么图中一共有几个角
审题关键：按一定的顺序数，做到不重不漏，由题图可知，角的顶点固定，故可以考虑按照确定始边，寻找终边的方法来数.
破题思路：对于规律型的图示，要从特殊到一般，归纳出能表示角的个数的关系式.
解：(1)在角的内部作一条射线，那么图中一共有1+2=3(个)角，即个角.
(2)在角的内部作两条射线，那么图中一共有1+2+3=6(个)角，即个角.
(3)在角的内部作三条射线，那么图中一共有1+2+3+4=10(个)角，即个角.
(4)在角的内部作n条射线，那么图中一共有1+2+3+…+n+(n+1)=(个)角.
方法技巧
确定角的个数的方法
(1)类比法：把射线类比为点，则角就类比为线段，即运用寻找线段数的方法来求角的个数.
(2)顺序寻找法：以某边为始边，按顺序寻找角的另一边，直至找完为止.
变式训练
1.如图4.3.1-6所示，以O为顶点，且小于180°的角有几个 分别写出这些角.
2.第1题中，以O为顶点，且为钝角的角有几个 分别写出这些角.
题型二有关钟表中角度的计算
【例2】若现在是9时20分，则钟面上的时针与分针的夹角是 ( )
A.150° B.160° C.162° D.165°
审题关键：当9时20分时，时针指在数字9和数字10之间，分针指向数字4，根据每两个数字之间相隔30°和时针1 min走0.5°可得夹角的度数.
解析：时针经过20 min所走的度数为20×0.5°＝10°，
数字4与数字9之间的夹角为5×30°＝150°，
所以钟面上的时针与分针的夹角是150°+10°＝160°.
答案：B
方法技巧
钟表中角的计算方法
为了研究问题方便起见，我们不妨设m时"分，两针的夹角为a.我们知道时针每小时旋转30°，则每分钟旋转()°＝()°，而分针每分钟旋转6°，所以两针的夹角就是两针旋转的角度之差的绝对值，即a＝|（30m°）+（）°-（6n）°|，当求出的a大于180°时，两针的夹角为360°减去上式.
变式训练
3.钟表上12时15分时，时针与分针的夹角为 ( )
A.90° B.82.5° C.67.5° D.60°
易误易混·精辨析
易错点一角的表示有误
【例1】如图4.3.1-7，以点A为顶点的角有几个 把它们表示出来.
解：以点A为顶点的角有三个，分别是∠BAD，∠DAC，∠BAC.
防错警示
当一个顶点处有多个角时，不能用表示顶点的一个大写字母表示角.
易错点二角度换算时出错
(1)把26.2°转化为度、分、秒的形式；
(2)把33°24′36″转化成度的形式.
解：(1)26.2°＝26°+0.2°＝26°+0.2×60′＝26′+12′＝26°12′.
(2)33°24′36″=33°+24′+36″=33°+24×()°+36×()°＝33°+0.4°+0.01°＝33.41°.
防错警示
角度是60进制，在进行角度换算时，应熟记以下关系：1°＝60′，1′＝60″，1°＝3600″和1″＝()°，1″＝()′，1′＝()°.本题易因记错换算关系而出错.
真题解密·探源头
中考真题
(四川雅安中考)l.45°＝ ′.
解析：因为1°＝60′，所以1.45°＝1.45×60′＝87′.
答案：87
教材原型
教材第134页练习第2(1)题
35°等于多少分 等于多少秒
解：35°-35×60′=2100′；
35°-35×3600″＝126 000″.
命题人解密：教材练习题考查了角的度数的换算问题.中考题就是根据这一知识点设置了题目.
阅卷人解密：解决这类问题的关键在于弄清度、分、秒之间的关系.考生在解答此题时往往因为忘记度、分、秒之间的进制而失分.
高效训练·速提能
【基础达标】
1.下列说法正确的有 ( )
①由两条射线组成的图形叫做角；
②平角的两边成一条直线；
③平角是一条直线.
A.d个 B.1个 C.2个 D.3个
2.下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是 ( )
3.将60°的角放到一个能放大10倍的放大镜下，则该角的度数 ( )
A.扩大10倍 B.缩小到原来的
C.不变，仍是60° D.无法确定
4.下列说法正确的是 ( )
A.一个周角就是一条射线
B.平角是一条直线
C.角的两边越长，角就越大
D.∠AOB也可以表示为∠BOA
5.若时间是2时30分，则此时钟面上分针、时针所成的度数是 ( )
A.120° B.105° C.75° D.90°
6.一条射线绕其端点O按逆时针方向旋转得到∠AOB，当角的终边OB旋转到与角的始边OA成一条直线时，称∠AOB为 ；若角的终边继续旋转，当角的终边OB与角的始边OA重合时，称∠AOB为 .
7.上体育课时，体育老师喊“向右转”的口令时，你转过了 (填度数).
8.图4.3.1-8中以OC为边的角有 个，它们分别是 .
【能力提升】
9.(1)把26.29°转化成用度、分、秒表示的形式；
(2)把35°48′36″转化成用度表示的形式.
【素养创新题】
10.王老师去市场买菜，发现如果把10 kg的菜放到秤上，指标盘上的指针转了180°，第二天王老师给同学们出了两个问题：
(1)如果把0.5 kg的菜放在秤上，指针转过多少度
(2)如果指针转过了54°，这些菜有多少千克
11.在1时与2时之间，时钟的时针与分针在什么时间成90°
4.3.2 角的比较与运算
基础知识·细解读
知识点一角的比较
名称 方法 举例
度量法 先用量角器量出角的度数，再比较它们的大小 用量角器量得∠a＝30°，∠β＝45°，那么∠a<∠β
叠合法 把两个角的顶点和其中一边分别重合，另一边放在重合边的同侧，通过另一边的位置关系比较大小 EF落在∠ABC的内部，那么∠ABC大于∠DEF，记作∠ABC>∠DEF
EF落在∠ABC的外部，那么∠ABC小于∠DEF，记作∠ABC<∠DEF
EF和BC重合，那么∠ABC等于∠DEF，记作∠ABC=∠DEF
特别提醒
(1)角的大小与角的两边画出部分的长度无关，只与角的两边张开的幅度大小有关.
(2)角的大小的关系和角的度数的关系是一致的，这是从“数”的角度来进行比较的.
(3)角的大小一旦确定，它的大小就不因图形的位置、图形的放大或缩小而改变.
【例1】对于图4.3.2-1中的∠ABC与∠DEF，分别用度量法和叠合法比较它们的大小.
解：度量法：用量角器量得∠ABC＝50°，∠DEF＝70°，
即∠DEF>∠ABC.
叠合法：如图4.3.2-2.
把∠ABC放在∠DEF上，使点B和点E重合，边EF和BC重合，ED和BA在EF的同侧，从图形可以看出AB边落在∠DEF的内部，表明∠ABC的度数小于∠DEF的度数，即∠DEF>∠ABC.
总结
叠合法比较两个角的大小
(1)两重合：两个角顶点和其中一条边分别重合；
(2)一同侧：另一边落在重合边的同侧.
特别提醒
对于角的和(或差)的意义可以从“形”与“数”两方面认识.“形”的方面是画一个角等于已知角的和(或差)；“数”的方面是一个角的度数等于两个已知角的度数的和(或差).
知识点二角的和差
名称 文字描述 数学语言 图示
角的和 ∠AOC是∠AOB与∠BOC的和 ∠AOC=∠AOB+∠BOC
角的差 ∠AOB是∠AOC与∠COB的差 ∠AOB=∠AOC-∠COB
【例2】如图4.3.2-3，回答下列问题：
(1)∠AOC是哪两个角的和
(2)∠AOB是哪两个角的差
(3)如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC与∠DOB相等吗 为什么
解：(1)∠AOC=∠AOB+∠BOC.
(2)∠AOB-∠AOD-∠BOD=∠AOC-∠BOC.
(3)相等.因为∠AOB=∠COD，
所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
即∠AOC=∠DOB.
总结
解决角的和差计算问题的关键是明确两角之间的关系，要点是看一个角’是在另一个角的内部还是外部，两个角是否有公共边.
特别提醒
(1)角的平分线是一条射线，而不是线段或直线.
(2)角还有三等分线、四等分线等.
知识点三角的平分线
文字语言 几何语言 图示
从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线 OC是∠AOB的平分线，则∠AOC-∠COB=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠COB
【例3】如图4.3.2-4，∠AOB=90°，∠BOC＝60°，OD是∠AOC的平分线，求∠BOD的度数.
解：因为∠AOB＝90°，∠BOC=60°，
所以∠AOC=∠AOB-∠BOC＝90°-60°=30°.
因为OD是∠AOC的平分线，
所以∠DOC＝∠AOC=×30°＝15°.
所以∠BOD＝∠DOC+∠BOC＝15°+60°＝75°.
总结
结合角平分线求角的大小
(1)利用角平分线进行计算时，要灵活运用角平分线的几种不同的表达方式.
(2)在计算角的大小时，常常要用到等量代换，即用已知角代替与它相等的未知角.
特别提醒
角平分线必须同时满足三个条件：
(1)是从角的顶点引出的射线；
(2)在角的内部；
(3)将已知角平分.
特别提醒
当OD在∠AOB的内部且满足以下情况之一时，可以判断OD是∠AOB的平分线：
(1)∠AOD=∠BOD；
(2)∠AOD=∠AOB；
(3)∠BOD=∠AOB；
(4)∠AOB=2∠AOD；
(5)∠AOB=2∠BOD.
知识点四角度的四则运算
运算 法则 举例
加法运算 先同级相加，再对分、秒化简 27°26′+53°48′＝80°74′＝81°14′
减法运算 从低位算起，若同级不够减，则向上一位借1作为60 90°-79°18′6″＝89°59′60″-79°18′6″＝10°41′54″
乘法运算 当一个角度与一个正整数相乘时，先用正整数分别与度、分、秒相乘，再把所得的积相加后化简 18°13′×5＝90°65′＝91°5′
除法运算 当一个角度除以一个正整数时，从高位算起，余数乘60化为下一级再运算 49°8′52″÷4＝12°+68′52″÷4＝12°17′13″
特别提醒
角度的四则运算三注意
(1)注意运算顺序是从高到低，还是从低到高；
(2)进位时要注意60进制；
(3)注意运算结果是否需要四舍五入.
应用能力·巧提升
题型一与角平分线有关的计算
【例1】如图4.3.2-5，OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，∠AOD=40°，∠BOE＝25°，求∠AOB的度数.
审题关键：先结合图形找出所求角与已知角的关系，再根据角的平分线的性质求角的度数.
破题思路：因为∠AOB=∠AOC+∠BOC，所以只需利用角平分线的性质，即可求出结果.
解：因为OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
所以∠AOC=2∠AOD，∠BOC=2∠BOE.
又因为∠AOD=40°，∠BOE＝25°，
所以∠AOC=80°，∠BOC=50°，
所以∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝130°.
解后反思
角度的计算首先要观察图形，确定几个角之间的和差关系，有角平分线时，注意角平分线性质的运用.
变式训练
1.如图4.3.2-6，已知∠AOE＝90°，OD，OB分别是∠EOC和∠AOC的平分线，求∠DOB的度数.
题型二几何图形中角的和差的计算
【例2】如图4.3.2-7所示，∠DOE：∠BOE=1：2，∠DOC：∠COA=1：2.如果∠AOB=120°，那么∠COE是多少度
审题关键：根据图形找出各角之间的关系是解题的关键.
破题思路：思路1：因为∠DOE：∠BOE＝1：2，∠DOC：∠COA=1：2，所以∠BOD=∠BOE+∠DOE=3∠DOE，∠AOD=∠DOC+∠COA=3∠DOC.再利用∠AOB=∠BOD+∠AOD=120°，∠COE=∠DOE+∠DOC，即可求出∠COE的度数.
思路2：设∠DOE=x°，∠DOC=y°，即求x°+y°，易推得3(x°+y°)＝120°，故x°+y°＝40°.
解：方法1：因为∠DOE：∠BOE=1：2，∠DOC：∠COA＝1：2，
所以∠BOE=2∠DOE，∠COA=2∠DOC，
所以∠BOD=3∠DOE，∠AOD=3∠DOC.
又因为∠AOB=∠BOD+∠AOD=3∠DOE+3∠DOC=3(∠DOE+∠DOC)=3∠COE，
所以∠COE=∠AOB=40°.
变式训练
2.如图4.3.2-8，∠AOD＝80°，∠DOC：∠BOC：∠AOB=1：1：2，则∠AOC= (填度数).
3.如图4.3.2-9，已知∠AOD：∠BOD=3：4，OC平分∠AOB，∠COD=10°，求∠AOB的度数.
方法2：设∠DOE＝x°，∠DOC=y°.
因为∠DOE：∠BOE＝1：2，∠DOC：∠COA=1：2，
所以∠BOE=2x°，∠COA=2y°.
因为∠DOE+∠BOE+∠DOC+∠COA=∠AOB，
所以x°+2x°+y°+2y°=120°，
所以3(x°+y°)＝120°，所以x°+y°＝40°.
因为∠COE＝∠DOE+∠DOC，所以∠COE=x°+y°＝40°.
解后反思
对比两种解法可以发现，在涉及比例或倍分关系的线段或角的运算中，利用方程解题可使思路清晰，步骤简捷.在利用方程解题时，必须先找出能够沟通题目中所有数量关系的关键量，再用未知数表示题目中所涉及的量，列出方程，求出未知量.
题型三与角平分线有关的探究性问题
【例3】如图4.3.2-10，已知∠AOB=80°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线.
(1)当么∠AOC=30°时，求∠MON的大小；
(2)当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小是否发生改变 请说明理由.
审题关键：紧扣角平分线概念的实质，研究角度之间的关系.
破题思路：(1)先根据∠AOB=80°，∠AOC=30°求出∠BOC的度数，再根据ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线求出∠COM及∠CON的大小，根据∠MON=∠COM-∠CON即可得出结论；
(2)根据∠MON-∠MOC-∠NOC，结合OM，ON分别是∠BOC和∠AOC的平分线可得，∠MON=∠AOB.又因为∠AOB=80°，是定值，所以∠MON的大小不改变.
解：(1)因为∠AOB=80°，∠AOC=30°，
所以∠BOC＝∠AOB+∠AOC=80°+30°-110°.
因为OM是∠BOC的平分线，ON是∠AOC的平分线，
所以∠COM-∠BOC=×110°＝55°，∠CON＝∠AOC-×30°＝15°，
所以∠MON=∠COM-∠CON=55°-15°=40°.
(2)不改变.理由如下：
因为ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，
所以∠COM＝∠BOC，∠CON=∠AOC.
又因为∠AOB=80°，
所以∠MON＝∠COM-∠CON＝(∠BOC-∠AOC)＝∠AOB-40°.
变式训练
4.如图4.3.2-11，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线.
(1)如果∠AOC=28°，∠MON＝35°，求出∠AOB的度数；
(2)如果∠MON＝72°，求出∠AOB的度数；
(3)如果∠MON的大小改变，∠AOB的大小是否随之改变 它们之间有怎样的大小关系 请直接写出来.
易误易混·精辨析
易错点一忽略角的不同位置造成漏解
【例1】已知∠AOB＝40°，以O为顶点，OB为边作∠BOC＝10°，求∠AOC的度数.
解I如图4.3.2-12①，当∠BOC在∠AOB的内部时，∠AOC＝∠AOB-∠BOC=40°-10°＝30°.如图4.3.2-12②，当∠BOC在∠AOB的外部时，∠AOC-∠AOB+∠BOC=40°+10°＝50°.
防错警示
由于题目中并没有说明所作的∠BOC的具体位置，故要对∠BOC是在∠AOB的内部还是外部进行讨论.凡是涉及此类问题而没有给出图形的，一般需要分类讨论.
易错点二对角平分线理解不清而出错
【例2】已知∠AOB＝140°，射线OC是∠AOB内部任意一条射线，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，下列叙述正确的是 ( )
A.∠DOE的度数不能确定
B.∠AOD+∠BOE＝∠EOC+∠CDD=∠DOE=70°
C.∠BOE＝2∠COD
D.∠AOD=∠EOC
解析：因为射线OC是∠AOB内部任意一条射线，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，所以∠AOD=∠COD=∠AOC，∠BOE=∠COE=∠BOC，所以∠DOE=∠COD+∠COE=(∠AOC+∠BOC)=∠AOB=×140°＝70°.
答案：B
防错警示
当一个图形中存在多条角平分线时，易因为分不清谁是谁的平分线而错选，理解并灵活应用角平分线的概念是解决这类问题的关键.
高教训练·速提能
【基础达标】
1.如图4.3.2-13，∠AOB＝∠COD，则 ( )
A.∠1>∠2
B.∠1＝∠2
C.∠1<∠2
D.∠1与∠2的大小无法比较
2.已知∠BAC＝80°，AD是∠BAC的平分线，AE平分∠DAC，则∠BAE的度数是 ( )
A.20° B.40° C.50° D.60°
3.如图4.3.2-14，OB平分∠AOC，OD平分∠COE，∠1=20°，∠AOE＝88°，则∠2的度数为 ( )
A.24° B.28° C.68° D.以上都不正确
4.如图4.3.2-15所示，其中最大的角是 ，∠DOC，∠DOB，∠DOA的大小关系是 .
5.如图4.3.2-16，OB平分∠AOC，∠AOD＝78°，∠BOC=20°，则∠COD的度数为 .
6.如图4.3.2-17，BD平分∠ABC，BE分∠ABC为2：5两部分，∠DBE=21°，则∠ABC＝ .
7.计算：
(1)(180°-91°32′24″)×3：
(2)34°25′×3+35°42′.
8.如图4.3.2-18，从点O引四条射线OA，OB，OC，OD，若∠AOB，∠BOC，∠COD，∠DOA的度数之比为l：2：3：4.求∠BOC的度数.
9.已知∠AOB=31.5°，∠BOC＝24.3°，求∠AOC的度数.
【能力提升】
10.如图4.3.2-19，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠(点F在BC上，且不与点B，C重合)，使点C落在长方形内部点E处.若FH平分∠BFE，则么∠GFH的大小为( )
A.90°<∠GFH<180°
B.0°<∠GFH<90°
C.∠GFH＝90°
D.∠GFH随折痕GF位置的变化而变化
11.如图4.3.2-20，已知OM，ON分别平分∠AOC和∠COB，如果∠AOB=110°，求∠MON的度数.
【素养创新题】
12.如图4.3.2-21，∠AOB＝90°，∠BOC=40°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
(1)求∠MON的度数.
(2)若∠AOB＝α，∠BOC＝β(0°<β<90°)，其他条件不变，求∠MON的度数(用含α，β的式子表示).
(3)探究：从(1)(2)中你发现了什么规律
4.3.3余角和补角
基础知识·细解读
知识点一余角和补角
名称 概念 图示 性质
余角 如果两个角的和等于90°(直角)，那么这两个角互为余角(简称互余)，其中一个角是另一个角的余角 同角（等角）的余角相等
补角 如果两个角的和等于180°(平角)，那么这两个角互为补角(简称互补)，其中一个角是另一个角的补角 同角（等角）的补角相等
注意：(1)互余(或互补)都是指两个角的数量关系，与位置无关.
(2)余角、补角是成对出现的，单独的一个角、三个或三个以上的角之间不能说互余或互补.如当∠1+∠2+∠3＝90°时，不能说∠1，∠2，∠3互余.
特别提醒
(1)一个角的余角可以不止一个，但是它们的度数都是相等的.补角也是如此.
(2)只有锐角才有余角，一个角的余角一定是一个锐角；锐角、直角、钝角都有补角，锐角的补角是一个钝角，直角的补角是直角，钝角的补角是一个锐角.
【例1】如图4.3.3-2，∠BOC-∠BOD＝90°，OA，OF分别是∠BOC，∠BOD的平分线.写出∠AOC的余角和补角.
解：因为OA，OF分别是∠BOC，∠BOD的平分线，所以∠AOC=∠AOB=∠BOC=45°，∠FOB＝∠FOD＝∠BOD=45°.所以∠AOD＝135°，∠COF＝135°.
根据余角和补角的定义，得∠AOC的余角是∠AOB，∠FOB，∠FOD，补角是∠AOD，∠COF.
拓展
当互补的两个角有公共顶点，且有一边互为反向延长线时，称这两个角互为邻补角(简称邻补角).如图4.3.3-1，∠1与∠2互为邻补角.
知识点二表示方向的角
表示方向的角就是以正北、正南方向为基准，来表示方向的，常用于航行、测绘等工作.
注意：几个特殊的表示方向的角，如图4.3.3-3所示.
东北方向表示北偏东45°，东南方向表示南偏东45°，
西南方向表示南偏西45°，西北方向表示北偏西45°.
【例2】已知学校、电影院、公园在平面图上对应的点分别是A，B，C，电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西25°方向，那么平面图上的∠CAB等于 ( )
A.115° B.155° C.25° D.65°
解析：因为南北与东西方向是互相垂直的，且公园在学校的南偏西25°方向，所以容易求出∠CAB的大小.依据题意画出草图如图4.3.3-4，则平面图上的∠CAB=90°+25°＝115°.
答案：A
总结
解答与表示方向的角有关的问题需要从图形的角度入手，找准中心，正确画出表示方向的角是解答此类题的关键.
特别提醒
表示表示方向的角时习惯将南或北写在前面，东或西写在后面，如“南偏西30°”一般不说“西偏南60°”.
应用能力·巧提升
题型一 余角、补角的综合运算
【例1】已知∠A与∠B互余，∠A与∠C互补，∠B与∠C的和等于周角的，求∠A+∠B+∠C的度数.
审题关键：用其中一个角表示出其他角，根据角之间的关系列方程求解即可.
破题思路：根据“∠B与∠C的和等于周角的”，知若把∠B和∠C用一个未知数分别表示出来，便可列出一个方程，解这个方程，就使问题得到解决.
解：设∠A的度数为α，那么∠B＝90°-α，∠C＝180°-α.
根据题意，得
(90°-α)+(180°-α)＝×360°.
解得α＝75°.
所以∠B的度数是90°-75°＝15°，
∠C的度数是180°-75°＝105°.
所以∠A+∠B+∠C＝75°+15°+105°＝195°.
变式训练
1.已知一个锐角的余角的补角比这个锐角的补角的一半多12°，求这个锐角.
2.(一题多解)如果一个角等于它的补角的，那么这个角和它的余角各是多少度
规律总结
余角、补角的相关计算往往利用方程思想，即设一个角的度数为α，则它的余角和补角的度数分别为90°-α，180°-α，再根据题目所给的条件列方程求解.
题型二 表示方向的角的实际应用
【例2】如图4.3.3-5，点A，O分别表示学校和市文化广场，超市位于市文化广场北偏西50°的方向上，且位于学校北偏东60°的方向上，画出表示超市的点C.
审题关键：超市在两条线的交点上，关键是找出这两条线.
破题思路：根据表示方向的角的概念，画出以市文化广场为端点北偏西50°的射线和以学校为端点北偏东60°的射线，两条射线的交点即为所求点C.
解：如图4.3.3-6所示.
规律总结
一般地，如果点A相对于点B，C的方向角已知，那么点A的位置就可以确定.点A相对于点B，C方向所在射线的交点便是点A的位置.
变式训练
3.如图4.3.3-7，一只蚂蚁从点O出发，沿北偏东60°方向爬行4cm后到达A地，后折向西北方向爬行3 cm到达B地.
(1)求∠OAB的度数；
(2)I测量∠OBA的度数及B地离出发点O的距离，并求出点B与点O的相对位置.
易误易混·精辨析
易错点一混淆互余和互补的概念而致错
【例1】有下列说法：①钝角与锐角互补；②∠A的余角是90°-∠A；③∠B(0°<∠B<180°)的补角是180°-∠B；④若∠1+∠2+∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余.
其中正确说法的序号为 .
解析：120°(钝角)和30°(锐角)不互补，故①错误；当∠A≥90°时，它没有余角，故②错误；根据补角的概念，③正确；互余是两个角之间的关系，故④错误.
答案：③
防错警示
(1)互余和互补专指两个角之间的关系，单个、三个及三个以上的角之间不存在互余或互补的关系；(2)互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°，二者不要混淆.
易错点二 找余角或补角时漏解
【例2】如图4.3.3-8，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，OF⊥CD，垂足为O.写出图中所有与∠AOD互补的角.
解：因为直线AB，CD相交于点O，
所以∠AOC和∠BOD均与∠AOD互补.
因为OF平分∠AOE，所以∠AOF=∠EOF.
因为OF⊥CD，所以∠COF=∠DOF=90°，
所以∠DOE=∠AOC，
所以∠DOE也是∠AOD的补角，
所以与∠AOD互补的角有∠AOC，∠BOD，∠DOE.
防错警示
互余和互补是两角之间的数量关系，而非位置关系，解答此类问题时，只需要考虑两角的度数和，不要忽略不相邻的角.
真题解密·探源头
中考真题
(山东日照中考)一个角是70°39′，则它的余角的度数是 .
解析：因为互为余角的两个角的和为90°，
所以这个角的余角的度数是90°-70°39′＝19°21′.
答案：19°21′
教材原型
教材第139页练习第2题
一个角是70°39′，求它的余角和补角.
解：90°-70°39′＝19°21′，
180°-70°39′＝109°21′.
答：它的余角是19°21′，补角是109°21′.
命题人解密：教材练习题考查了互余和互补的概念，中考题就是根据这一知识点设置了题目，但只考查了互余的概念.
阅卷人解密：解决此类问题的关键在于弄清互余的概念，即两个角的和为90。，要注意与互补概念的区分.
高效训练·速提能
【基础达标】
1.如图4.3.3-9所示，∠AOB＝∠COD＝90°，则∠AOC-∠BOD，这是根据 ( )
A.同角的余角相等
B.直角都相等
C.同角的补角相等
D.互为余角的两个角相等
2.下列说法正确的是 ( )
A.90°的角是余角
B.如果一个角有补角，那么它一定有余角
C.若∠1+∠2+∠3＝180°，则∠1，∠2，∠3互补
D.等角的余角一定相等
3.若两个角的大小之比是7：3，它们的差是36°，则这两个角的关系是 ( )
A.相等 B.互余 C.互补 D.无法确定
4.如果∠A既有余角，又有补角，那么∠A是( )
A.锐角 B.直角 C.钝角 D.平角
5.已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上.符合条件的示意图是 ( )
6.(湖北十堰中考)如图4.3.3-10，将一副三角尺重叠放在一起，使直角顶点重合于点O.若∠AOC=130°，则∠BOD＝ ( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
7.(四川自贡中考)如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是 ( )
A.50° B.70° C.130° D.160°
8.如图4.3.3-11，已知∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则∠1与∠A是否相等 请说明理由.
【能力提升】
9.如图4.3.3-12，已知∠EOC是平角，OD平分么取比，在平面上画射线OA，使∠AOC和∠COD互余，若∠BOC＝50°，则∠AOB的度数是 .
10.已知∠1和∠2互补，∠3和∠2互余，试说明：∠3＝(∠1-∠2).
11.如图4.3.3-13所示，已知∠AOB是一个平角，∠AOC＝90°，∠DOE＝90°.
(1)图中哪些角是相等的(至少写出两对)
(2)图中哪些角是互余的(至少写出三对)
(3)图中哪些角是互补的(至少写出三对)
【素养创新题】
12.如图4.3.3-14所示，∠AOB，∠COD都是直角.
(1)试猜想∠AOD和∠BOC在数量上是否存在相等、互余或互补关系，并说明你的猜想的正确性；
(2)当∠COD绕点O旋转到如图4.3.3-15所示的位置时，你的猜想还成立吗 为什么
本书习题参考答案
4.3角
4.3.1 角
应用能力·巧提升
1.解：9个.从边OE开始，按顺时针方向数：
∠EOD，∠EOC，∠EOB，∠DOC，∠DOB，∠DOA，∠COB，∠COA，∠BOA.
2.解：4个.从边OE开始，按顺时针方向数：∠EOC，∠EOB，∠DOB，∠DOA.
3.B解析：钟表上共有12个大格，每大格为30°.钟表上12时15分时，分针指向钟面上的数字3，时针从数字12开始走了个大格，时针与分针相隔个大格，故夹角为×30°＝82.5°.
高效训练·速提能
1.B
2.B解析：A选项不能用∠O表示，C选项也不能用∠O表示，D选项∠1和∠O(或∠AOB)表示的不是同一个角.
3.C解析：角的大小仅与角的两边张开的幅度有关.放大之后角的两边张开的幅度大小没有变，所以角度大小不变.
4.D解析：周角和射线，以及平角和直线是完全不同的概念.角的大小和角两边的长度无关.用三个大写的英文字母表示角时，应该把表示顶点的字母写在中间，其余两个字母无顺序性.
5.B解析：因为时针在钟面上每分钟转过0.5°，分针每分钟转过6°，所以时间是2时30分时，时针与分针的夹角是20×6°-30×0.5°＝105°.
6.平角 周角 7.90°
8.3 ∠DOC，∠BOC，∠AOC
9.解：(1)26.29°
＝26°+0.29°
＝26°+0.29×60′
＝26°+17.4′
=26°+17′+0.4×60″
=26°17′+24″
＝26°17′24″.
(2)35°48′36″
＝35°+48′×()°+36″×()°
＝35°+0.8°+0.01°
＝35.81°.
1|0.解：(1)＝18°，0.5×18°＝9°，
所以0.5 k的菜放到秤上，指针转过9°.
(2)54°÷18°＝3，
所以菜的质量为3 kg.
11.解：根据时针每分钟转过0.5°，而分针每分钟转过6°可知，1时时，时针与分针成30°.设时针在1时x分时，时针与分针成90°.
当时针在分针的后面时，
6x-30-0.5x＝90，
解得x=21.
所以时钟的时针与分针在1时21分时成90°.
当分针在时针的后面时，
360-6x+30+0.5x＝90，
解得x=54.
所以时钟的时针与分针在1时54分时成90°.
综上可得，时钟的时针与分针在1时21分或1时54分时成90°.
4.3.2角的比较与运算
应用能力·巧提升
1.解：因为OD平分∠EOC，OB平分∠AOC，所以∠DOC=∠EOC，∠BOC=∠AOC，
所以∠DOB=∠DOC+∠BOC=∠EOC+∠AOC=(∠EOC+∠AOC)=×∠AOE=×90°＝45°.
2.60° 解析：设∠DOC＝x°，则∠BOC＝x°，∠AOB＝2x°，所以∠AOD＝x°+x°+2x°＝80°，解得x=20.
所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=3x°＝60°.
3.解：设∠AOD＝3x°，则∠BOD＝4x°，
∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝7x°.
因为OC平分∠AOB，
所以∠AOC=∠AOB＝x°，
所以∠COD-∠AOC-∠AOD-x°-3x°＝x°，
所以x°＝10°，所以x＝20，
所以∠AOB＝7x°＝140°.
4.解：(1)因为OM是∠AOC的平分线，∠AOC＝28°，
所以∠COM＝∠AOC＝×28°＝14°.
因为∠MON＝35°，
所以∠CON＝∠MON-∠COM＝35°-14°＝21°.
因为ON是∠BOC的平分线，
所以∠BOC＝2∠CON＝2×21°＝42°，
所以∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝28°+42°＝70°.
(2)因为OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
所以∠COM=∠AOC，∠CON=∠BOC，
所以∠AOB=∠AOC+∠BOC=2∠COM+2∠CON=2∠MON.
又因为∠MON=72°，
所以∠AOB＝2×72°＝144°.
(3)∠AOB的大小随∠MON的大小的改变而改变，∠AOB＝2∠MON.
高效训练·速提能
1.B 解析：由∠AOB＝∠COD，得∠AOB-∠BOD＝∠COD-∠BOD，即∠1＝∠2.
2.D 解析：因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝×80°＝40°.
又因为AE平分∠DAC，
所以∠DAE＝∠DAC=×40°＝20°.
所以∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝40°+20°＝60°.
3.A 解析：因为OB平分∠AOC，
所以∠AOC=2∠1.
因为∠1=20°，所以∠AOC＝40°.
因为∠AOE＝88°，
所以∠COE=48°.
因为OD平分∠COE，
所以∠2＝∠EOC＝24°.
故选A.
4.∠DOA ∠DOA>∠DOB>∠DOC
5.38° 解析：因为OB平分∠AOC，∠BOC=20°，
所以∠AOC＝2∠BOC=40°.
因为∠AOD＝78°，所以∠COD＝∠AOD-∠AOC＝38°.
6.98° 解析：设∠ABE＝2x°，则∠EBC＝5x°，∠ABC=7x°.因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝3.5x°，所以∠DBE＝∠ABD-∠ABE＝1.5x°＝21°，所以x=14.当x=14时，∠ABC=7x°＝98°.
7.解：(1)(180°-91°32′24″)×3
=88°27′36″×3
=264°81′108″
=265°22′48″.
(2)34°25′×3+35°42′
＝103°15′+35°42′
＝138°57′.
8.解：设∠AOB，∠BOC，∠COD，∠DOA的度数分别为x°，2x°，3x°，4x°.
由题意，得
x°+2x°+3x°+4x°＝360°，
解得x=36.
所以∠BOC-2x°＝72°.
9.解：分两种情况：(1)如答图4.3.2-1①，
∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝31.5°+24.3°＝55.8°.
(2)如答图4.3.2-1②，∠AOC＝∠AOB-∠BOC＝31.5°-24.3°＝7.2°.
10.C 解析：由折叠可知，∠CFG＝∠EFG，且由题意，知FH平分∠BFE，所以∠GFH=∠EFG+∠EFH=∠EFC+∠EFB=(∠EFC+∠EFB)=×180°＝90°.故选C.
11.解：因为OM，ON分别平分∠AOC和∠COB，所以∠COB=2∠CON，∠AOC=2∠COM，所以∠AOB=∠COB+∠AOC=2∠CON+2∠COM=2(∠CON+∠COM)=2∠MON.
又因为∠AOB=110°，
所以∠MON=∠AOB＝55°.
12.解：(1)因为OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，所以∠MOB＝∠AOB＝45°，么∠BON＝∠BOC＝20°，
所以∠MON=∠MOB+∠BON=65°.
(2)由(1)可知，∠MON=∠MOB+∠BON=(∠AOB+∠BOC)=(α+β).
(3)在已知条件不变时，∠MON总是等于∠AOB与∠BOC和的一半.
4.3.3余角和补角
应用能力·巧提升
1.解：设这个锐角为x°，依题意，得180-(90-x)=(180-x)+12，解得x=8，所以这个锐角为8°.
2.解：方法l：设这个角的度数是“，则它的补角是180°-α，余角是90°-α.
依题意，得α＝(180°-α)，解得α＝30°.
故这个角是30°，它的余角是60°.
方法2：设这个角的补角的度数是α，则这个角的度数是α.
依题意，得α+α=180°，解得α=150°.
α＝×150°＝30°.
故这个角是30°，它的余角是60°.
3.解：(1)从点O到点A是往北偏东60°方向，故从点A往点O看是南偏西60°方向，即西偏南30°方向.
所以∠OAB＝30°+45°＝75°.
(2)测得∠OBA约为63°，OB约为4.3 cm，则∠AOB≈180°-75°-63°＝42°.
而60°-42°＝18°，
所以B地在点O的北偏东18°方向，距离点O约为4.3 cm的位置.
高效训练·速提能
1.A
2.D 解析：余角是相对于两个角来说的，单个角构不成余角，故A选项错误；大于或等于90°的角有补角，但没有余角，故B选项错误；补角是相对于两个角来说的，三个角不能说互为补角，故C选项错误；等角的余角一定相等，故D选项正确.故选D.
3.B 解析：设这两个角分别是7x°，3x°.
根据题意，得7x-3x＝36，
解得x=9，所以7x°+3x°＝63°+27°＝90°，
所以这两个角的关系是互余，故选B.
4.A 解析：由∠A有余角，得0°<∠A<90°；①由∠A有补角，得0°<∠A<180°. ②由①②，得0°<∠A<90°，即∠A是锐角.
5.D解析：先画出P，Q两点，再分别以P，Q为参照点画南偏东30°方向的射线和南偏西45°方向的射线，交点记为R.可知D选项正确.
6.C 解析：因为∠AOC=130°，所以∠BOC＝∠AOC-∠AOB=40°，所以∠BOD＝∠COD-∠BOC＝50°.故选C.
7.C 解析：设这个角是x°.
根据题意，得x=2(180-x)+30，解得x=130.即这个角的度数为130°.故选C.
8.解：∠1＝∠A.理由如下：
因为∠B＝90°，所以∠A+∠ACB＝90°.
因为∠ACB+∠ACE+∠1＝180°，
∠ACE＝90°，
所以∠ACB+∠1＝180°-∠ACE=90°.
所以∠1-∠A(同角的余角相等).
9.115°或15° 解析：(1)如答图4.3.3-1①，
当点A在OC的左侧时.
因为OD平分∠BOC，∠BOC＝50°，
所以∠COD=∠BOC=×50°＝25°.
因为∠AOC和∠COD互余，
所以∠AOC=90°-25°＝65°，
所以∠AOB＝∠AOC+∠BOC=65°+50°＝115°.
(2)如答图4.3.3-1②，当点A在OC的右侧时，同理可得∠AOC=65°，
则∠AOB＝∠AOC-∠BOC＝65°50°=15°.
10.解：由题意，得∠2+∠3＝90°，∠1+∠2＝180°，
所以2(∠2+∠3)-∠1+∠2，
故可得，∠3＝(∠1-∠2).
11.解：(1)∠AOD与∠COE，∠COD与∠BOE，∠BOC与∠AOC，∠DOE与∠BOC，∠DOE与∠AOC(任选两对即可).
(2)∠COE与∠BOE，∠COE与∠COD，∠AOD与∠BOE，∠AOD与∠COD(任选三对即可).
(3)∠BOE与∠AOE，∠BOC与∠AOC，∠BOD与∠AOD，∠COE与∠BOD，∠COD与∠AOE，∠EOD与∠BOC，∠EOD与∠AOC(任选三对即可).
12.解：(1)∠AOD与∠BOC互补.
因为∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+∠BOD，∠BOC=90°-∠BOD，
所以∠AOD+∠BOC=90°+∠BOD+90°-∠BOD＝180°，
所以∠AOD与∠BOC互补.
(2)∠AOD与∠BOC互补仍然成立.
如答图4.3.3-2所示，作射线OA的反向延长线OE。
因为∠AOB+∠BOE＝180°，
所以∠BOE＝90°.
又因为∠COD=90°，所以∠BOE=∠COD.
所以∠BOC＝∠DOE.
因为∠AOD+∠DOE＝180°，
所以∠AOD+∠BOC＝180°，
即∠AOD与∠BOC互补.
教材参考答案
4.3 角
思考(第132页)
平角，周角.
练习(第134页)
1.解：180°；120°；75°.
2.解：(1)35°＝35×60′＝2 100′；
35°＝35×3 600″＝126 000″.
(2)38°15′和38.15°不相等，
38°15′＝38.25°>38.15°.
3.略.
思考(第134页)
共有三个角：∠AOB，∠BOC，∠AOC.
它们的关系为∠AOC=∠AOB+∠BOC，
∠AOB=∠AOC-∠BOC，
∠BOC=∠AOC-∠AOB.
探究（第135页）
30°，45°，60°，90°，105°，120°，135°，150°，165°，180°.
练习(第136页)
1.解：估计∠1<∠2；∠1＝∠2.检验略.
2.解：360°÷8＝45°，即把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是45°；
360°÷15°＝24，即如果要使每份中的角是15°，那么这个蛋糕应等分成24份.
3解：∠AOC＝=90°，
∠AOD=∠AOC-∠COD=90°-31°28′＝58°32′.
练习(第138页)
1.解：10°的角和80°的角互为余角，30°的角和60°的角互为余角；10°的角和170°的角互为补角，30°的角和150°的角互为补角，60°的角和120°的角互为补角，80°的角和100°的角互为补角.
2.解：90°-70°39′＝19°21′，
180°-70°39′＝109°21′.
答：它的余角是19°21′，补角是109°21′.
3.解：根据题意，得180°-∠α＝3∠α，解得∠α=45°.
4.解：一个角是钝角，则它的一半是锐角，且是大于45°而小于90°的锐角.
习题4.3(第139页)
1.解：时针旋转出一个平角至少要用6个小时，旋转出一个周角至少要用12个小时.
点拨：时针每小时转动一个大格，即旋转出一个30°的角，180°÷30°＝6，360°÷30°＝12.
2.略.
3.解：(1)48°39′+67°31′＝116°10′.
(2)21°17′×5＝106°25′.
4.＝ >
5.解：因为BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
所以∠ABC=2∠DBC，∠ACB=2∠ECB.
又因为∠DBC=∠ECB=31°，
所以∠ABC＝2×31°＝62°，
∠ACB＝2×31°＝62°.
所以∠ABC＝∠ACB.
6.(1)∠AOC (2)∠AOD (3)∠BOC (4)∠BOD
7.解：测量方法：反向延长射线OA，并在延长线上取一点C，测量出∠BOC的度数后，求它的补角的度数，即为∠AOB的度数.
点拨：根据平角的定义，知∠AOC＝180°，所以∠AOB+∠BOC=180°，量得∠BOC的度数后就可以计算出∠AOB的度数.
8.解：如答图4.3-1所示.
(1)射线OA表示北偏西30°；
(2)射线OB表示南偏东60°；
(3)射线OC表示北偏东15°；
(4)射线OD表示西南方向(南偏西45°).
9.解：(1)因为OB是∠AOC的平分线，且∠AOB=40°，
所以∠BOC＝∠AOB＝40°.
因为OD是∠COE的平分线，
且∠DOE＝30°，
所以∠DOC=∠DOE=30°.
所以∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝40°+30°＝70°.
(2)因为∠COD＝30°，OD是∠COE的平分线，
所以∠COE=2∠COD=60°.
因为∠AOE＝140°，
所以∠AOC＝∠AOE-∠COE=140°-60°＝80°.
又因为OB是∠AOC的平分线，
所以∠AOB＝∠AOC=×80°＝40°.
10.解：360°÷15＝24°，
所以15个齿的齿轮每相邻两齿中心线间的夹角是24°；
360°÷22≈16°22′.
所以22个齿的齿轮每相邻两齿中心线间的夹角约是16°22′.
11.解：题图(1)中的∠α与∠β互余；
题图(4)中的∠α与∠β互补；
题图(2)和题图(3)中的∠α与∠β相等.
12.解：如答图4.3-2所示，点C即为船的位置.
13.解：(1)90°÷2=45°，即这两个角都是45°.
(2)设一个锐角为x°，则它的余角为90°-x°，补角为180°-x°，则(180°-x°)-
(90°-x°)＝90°，所以一个锐角的补角比这个角的余角大90°.
14.解：图略.画出不同的四边形且每个四边形中都有30°，90°，105°的角，经过测量，这些四边形的另一个角都是135°，可以发现：四边形的四个内角的和为360°.
15.解：(1)经测量，∠1+∠2+∠3＝360°，画出几个类似的图，量出的角的度数的和仍是360°，由此发现：三角形的外角和为360°.
(2)经测量，∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，画出几个类似的图，量出的角的度数的和仍为360°，可以发现：四边形的外角和为360°.
综合(1)(2)，可以猜想：任意多边形的外角和都为360°.
复习题4(第147页)
1.解：这几个立体图形的名称分别为四棱柱(长方体)、六棱柱、三棱柱、圆柱、圆锥、四棱锥、五棱锥、球.
2.解：a—F；b—D；c—A；d—E；e—C；f—B
3.解：答图4-l①为观察第一个立体图形所得到的平面图形，答图4-1②为观察第二个立
体图形所得到的平面图形，答图4-1③为观察第三个立体图形所得到的平面图形.
4.(1)D (2)C
5.解：乙尺不是直的.理由：如果乙尺是直的，那么过A，B两点就有两条直线，这与“两点确定一条直线”是矛盾的.
6.解：由题意，知
AB=AD-BD=76-70＝6(mm)，
BC＝BD-CD＝70-19＝51(mm).
答：AB和BC的长分别为6 mm和51 mm.
7.(1)√ (2)× (3)√ (4)×
解析：(1)中根据补角的定义，180°减去锐角，差一定是钝角.(2)中一个角的范围不确定，这个角可以是锐角，还可以是直角，还可以是钝角，如果这个角是100°，那么它的补角是80°，80°<100°.(3)中根据补角的性质解题.(4)中如钝角120°和锐角30°不互补.
8.解：因为∠α和∠β互为补角，
所以∠β＝180°-∠α.
又因为∠β的一半比∠α小30°，
所以(180°-∠α)＝∠α-30°，
解得∠α＝80°，∠β＝100°.
9.A
10.解：第1个图形可以折叠成四棱柱；第2个图形不能折叠成棱柱，因为折叠后两个底面重合在一起，另一端没有底面；第3个图形可以折叠成三棱柱；第4个图形不能折叠成棱柱，因为折叠后只有侧面，没有底面.
11.解：画图略.量得AB的长约为10.5 cm.
设A，B两地的实际距离为x m.
根据题意，得，解得x=105.
答：A，B两地的实际距离约为105 m.
12.解：因为E是线段AB上一点，
所以∠AEB=180°.
又因为∠BEM=∠MEF，∠AEN=∠NEF，
所以∠NEM=∠NEF+∠MEF
=∠AEF+∠BEF
=(∠AEF+∠BEF)
=×180°＝90°.
13.提示：准确测量，并按方向的正确表示方法写出测量结果.
14.解：经测量发现：EF＝GH，FG＝HE；
∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，∠3+∠4＝180°，∠4+∠1＝180°，且∠1＝∠3，
∠2＝∠4.
可以猜想：顺次连接各边中点得到的四边形的对边相等、对角相等、邻角互补.
15.解：连接AC，BD，两条线段的交点即为所求的点O.理由：两点之间，线段最短.举例略.

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