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第一章 有理数
1.1 正数和负数
基础知识·细解读
0既不是正数，也不是负数.
知识点一正数和负数的概念
注意：正数和负数在书写时的区别：正数前的“+”号可以省略，负数前的“-”号一定不能省略!
【例1】(山东临沂中考)四个数-3，0，1，2，其中负数是( )
A.-3 B.0 C.1 D.2
解析：-3是在正数3的前面加了“-”号的数，故-3是负数.
答案：A
总结
紧扣两个点，正负数分类更便捷
(1)0既不是正数，也不是负数.
(2)除0外，先判断是不是正数，不是正数即为负数.
拓展
(1)“+”“-”的双重意义：
①作为运算符号是加、减号；
②作为数的性质符号是正、负号.
(2)带“+”号的数不一定是正数，带“-”号的数也不一定是负数，如+(-3)就不是正数，-(-5)也不是负数.(以后会学到)
知识点二用正数和负数表示具有相反意义的量
1.具有相反意义的量
(1)在现实生活中，表示相反意义的词语有很多，如下表：
收入 盈利 上升 零上 增加 向东 …
支出 亏损 下降 零下 减少 向西 …
(2)具有相反意义的量的表示：如上升5 m与下降3 m.
注意：(1)具有相反意义的量必须是成对出现的，单独一个量不能成为具有相反意义的量.
(2)具有相反意义的量必须具备两个条件：一是两个量所表示的属性相同，即表示的是同一类对象，也就是说这两个量的单位相同；二是两个量所表示的意义恰好相反.
2.用正数、负数表示具有相反意义的量的方法
为了区别具有相反意义的量，把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，那么与之具有相反意义的量用负数表示.
特别提醒
具有相反意义的量必须是同类量，如盈利8 000元与出口200箱就不是具有相反意义的量.
注意：(1)具有相反意义的量的正负性是相对的，且是可以互换的，如若向东3 m记为+3 m，则向西5 m记为-5 m；若向东3 m记为-3 m，则向西5 m记为+5 m.
(2)用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正是可以任意选择的，但习惯上把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负.
【例2】 (1)孔子出生于公元前551年，如果用-551年表示，那么司马迁出生于公元前145年可表示为 年，欧阳修出生于公元1007年可表示为 年；
(2)如果+20％表示人数增加20％，那么-6％表示人数 .
解析：(1)题目规定公元前年份用负数表示，则公元后年份用正数表示.
(2)用“+”表示“增加”，则用“-”表示“减少”，故-6％表示减少6％.
答案：(1)-145 +1007 (2)减少6％
特别提醒
(1)具有相反意义的量和具有相反意义的关键词语有关，与后面的数字无关.
(2)除百分比外，用正数和负数表示具有相反意义的量时，要写上单位，这一点极易被忽略.
总结
用正数、负数表示具有相反意义的量的“三步法”
第1步：找，即找出问题中具有相反意义的量；
第2步：定，即确定把其中的一个量规定为“+”；
第3步：写，即用正数或负数表示其他具体数量或说明数表示的意义.
知识点三对“0”的认识
1.表示没有
例如，0个苹果.
2.某种量的基准
例如，0℃不是表示没有温度，而是表示在标准大气压下，水开始结冰的温度.
3.分界点
0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界点.
【例3】下列关于“0”的说法正确的个数是 ( )
①0是正数和负数的分界点；
②0只表示“什么也没有”；
③0可以表示特定的意义，如0℃等；
④0是正数；
⑤0是自然数；
⑥0是非负数.
A.3 B.4
C.5 D.6
解析：0除了可以表示“无”的意义，还有其他意义，故②错误，③正确；
0既不是正数，也不是负数，故④错误；①⑤⑥显然正确.
答案：B
拓展
“非正数”就是“不是正数”，包括负数和0；“非负数”就是“不是负数”，包括正数和0.
应用能力·巧提升
题型一正数和负数在实际生活中的应用
角度1 用正数和负数表示具体数量
【例1】在一次数学测验中，七(1)班全体同学的平均分为85分，其中5名同学的成绩分别为80分、98分、90分、84分、73分.以平均分为基准，用正数表示超出部分，用负数表示不足部分.
(1)上面5名同学对应的成绩分别应记为多少
(2)另有2名同学的成绩分别记为+3分和0分，这2名同学的实际成绩是多少
审题关键：用正数和负数表示每名同学的成绩与平均成绩的关系时，要明确正数与负数所表示的意义.
破题思路：比平均成绩高的记为正数，高1分记作+1分，依此类推；比平均成绩低的记为负数，低1分记作-1分，依此类推；若和平均成绩相同，则记作0分.
解：(1)80分比平均成绩低5分，记作-5分；
98分比平均成绩高13分，记作+13分；
90分比平均成绩高5分，记作+5分；
84分比平均成绩低1分，记作-1分；
73分比平均成绩低12分，记作-12分.
(2)+3分表示比平均成绩高3分，即该同学的成绩为88分；
0分表示与平均成绩相同，即该同学的成绩为85分.
过程释疑：
①确定一个成绩比平均成绩高或低多少，即可用正数或负数表示这个成绩.
解后反思
火眼金睛明辨“0”的实际意义
(1)对于0，要注意它在实际问题中所表示的意义，如本例第(2)问中，0分表示这个同学的成绩与平均成绩相同，而不是表示这个同学未得分.
(2)弄清问题中的基准量“0”的意义，明确用正数和负数表示的数量关系，从而解决问题.
变式训练
1.张玉同学的身高是1.50 m，李素素同学的身高是1.62 m，汪美同学的身高是1.65 m.如果以张玉同学的身高为基准，用正数表示超出部分，用负数表示不足部分，那么李素素同学的身高是 m，汪美同学的身高是 m.如果以李素素同学的身高为基准，用正数表示超出部分，用负数表示不足部分，那么张玉同学的身高是 m，汪美同学的身高是 m.
2.小明练习书法，以每天写50个字为标准，超出部分记为正，不足部分记为负.他某一周中每天的写字情况为+8，-5，+12，0，-4，-3，+15，请你写出他这一周每天实际写了多少个字，并求出这一周他一共写了多少个字.
角度2 用正数和负数表示误差范围
【例2】(浙江金华中考)图1.1-1是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品(单位：mm)，其中不合格的是 ( )
A.Φ45.02 B.Φ44.9
C.Φ44.98 D.Φ45.01
审题关键：题图中有零件尺寸要求Φ，先据此确定零件合格尺寸的范围，再判断各数是否在此范围内.
解析：由题图可知，45表示标准直径为45 mm，+0.03表示最多比标准直径多0.03 mm，即最大直径为45.03 mm，0.04表示最多可以比标准直径少0.04 mm，即最小直径可为44.96 mm，所以生产出来的零件尺寸在44.96～45.03 mm范围内都是合格的.在各选项给出的尺寸中，因为44.9<44.96，所以这个尺寸的产品是不合格的.
答案：B
3.某饮料公司生产一种碳酸饮料，饮料瓶上标有“600±20(mL)”字样，那么“±20 ml。”是什么含义 质监局抽查了5瓶该产品，容量分别为603 mL，611 mL，580 mL，622 mL，570 mL，问：抽查的饮料容量是否合格
方法技巧
定好误差范围再判断
(1)用“+”或“-”表示物体的长度、质量等的范围时，首先要明确以何为标准，然后根据正数和负数的意义确定符合要求的范围，运用小学学过的数的大小比较方法即可确定给出的数是否符合要求.
(2)“+”号在运算时可以看成加号，“-”号在运算时可以看成减号.
题型二有关正数和负数的规律探究题
【例3】(辽宁丹东中考)观察下列数据：-2，，-，，-，…，它们
是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是 .
审题关键：根据数的先后顺序分析数的符号变化规律及去掉符号以后数字的变化规律，再根据规律写出要求的数.由于除-2外的数都是分数，故可考虑将-2化成分数形式.
解析：观察各数的排列规律可知，第奇数个数的符号为“- ”，第偶数个数的符号为“+”.
由于-2=-，而2=1×1+1，5=2×2+1，10=3×3+1，17=4×4+1，26=5×5+1……从而可知分母部分与数的次序相同，而分子部分比这个数的分母与分母的积大1.
故第11个数为-=-.
答案：-
变式训练
4.观察下列依次排列的一列数，它们的排列有一定的规律，请按规律写出后面的数.
(1)-1，2，-3，4，-5，6， ， ， ，…；
（2）1，-，，-，，-，，-， ， ， ，….
解后反思
“双管齐下”，看透数的变化规律
数的变化规律要从符号和数字两个方面进行观察，若是分数还要分别从分子、分母两部分进行观察，由特殊到一般是解决这类问题的主要方法.
易误易混·精辨析
易错点一 对正数、负数和0的概念把握不准
【例1】下列说法正确的有 ( )
①不带“-”号的数都是正数；①
②任意一个正数，前面加上“-”号，就是一个负数；
③0既是非负数，也是非正数；
④常数a既是正数，也是负数.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析：②符合负数的概念，正数前面加上“-”号就是负数，故正确；非负数是0和正数，非正数是0和负数，故0既是非负数，也是非正数，故③正确.
答案：B
防错警示
①林带“-”号的数不一定都是正数，如0就不是正数.
②常数a可以是正数、负数或0，但一个数不可能同时是正数和负数.
易错点二对具有相反意义的量的理解出现偏差
【例2】在下列各组量中具有相反意义的量的是 ( )
A.足球比赛胜5场与负5场
B.向东走3千米与向南走3千米
C.增产10 t粮食与减产-10 t粮食
D.下降与上升
解析：胜5场与负5场满足具有相反意义的量的特征，A选项正确；向东与向南意义并不相反，所以B选项错误；增产与减产表示相反意义，但增产记为正，则减产-10 t就是增产10 t的意思，故C选项错误；下降与上升只是具有相反的意义，并没有涉及量，故D选项错误.
答案：A
防错警示
解决此题的关键是要理解“正”和“反”的相对性，在理解“增产10 t粮食与减产-10 t粮食”这一选项时，难点就是理解“-”就是减产的意思.
真题解密·探源头
中考真题
(广西河池中考)如果收入10元记作+10元，那么支出10元记作 ( )
A.+20元 B.+10元 C.-10元 D.-20元
解析：收入和支出是具有相反意义的量.如果收入10元记作+10元，那么支出10元记作-10元.故选C.
答案：C
教材原型
教材第4页练习第3题
如果水位升高3 m时水位变化记作+3 m，那么水位下降3 m时水位变化记作 m，水位不升不降时水位变化记作 m.
解析：如果水位升高3 m时水位变化记作+3 m，那么水位下降3 m时水位变化记作-3 m，水位不升不降时水位变化记作0 m.
答案：-3 0
命题人解密：教材练习题很典型地考查了用正数和负数表示具有相反意义的量，中考题就是针对这一知识点进行设置，通过改变题目的背景进行命题.
阅卷人解密：这类问题在中考中为基础题，很少失分.在求解时要注意两点：(1)表示具有相反意义的量的属性相同，意义相反；(2)确定其中一个量用正数表示，则另一个量就用负数表示.
中考真题
(四川攀枝花中考)下列各效中，不是负数的是 ( )
A.+2 B.3 C.- D.-0.10
解牛：-2，-，-0.10这三个数都是负数，选项B种的3是正数，不是负数.
答案：B
教材原型
教材第5页习题1.1第l题
下面各数哪些是正数，哪些是负数
5，-，0，0.56，-3，-25.8，，-0.000 1，+2，-600.
解：正数：5，0.56，，+2；
负数：-，-3，-25.8，-0.000 1，-600.
命题人解密：教材习题考查了正数和负数的概念，中考题也是考查这一知识点，不同的是中考题直接判断负数，没有考查到“0既不是正数，也不是负数”.
阅卷人解密：这类问题虽然简单，但在对“0”归类时易出现错误，要注意0是正数与负数的分界点，它既不是正数，也不是负数.
高效训练·速提能
【基础达标】
1.(甘肃天水中考)四个数-3，0，1，π中的负数是 ( )
A.-3 B.0 C.1 D.π
2.(四川成都中考)《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数.若气温为零上10℃记作+10℃，则-3℃表示气温为 ( )
A.零上3℃ B.零下3℃
C.零上7℃ D.零下7℃
3.(福建中考)2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10 907 m.假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0 m，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100 m的某地的高度记为+100 m，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10 907 m处，该处的高度可记为 m.
4.某水文站以24 m为标准水位，规定高于标准水位记为正，低于标准水位记为负.记录表上有3次记录分别为+2.5 m，0 m，-1.6 m，这三次记录表示的实际水位分别是 .
5.一潜水艇所在高度是-800 m，如果它下潜l00m，那么此时它所在的高度是 .
6.下列各数中，哪些是正数 哪些是负数
+2 017，0.35，-，-3.06，0，-4，3.14.
【能力提升】
7.(湖南株洲中考)一实验室检测A，B，C，D四个元件的质量(单位：g)，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是 ( )
8.某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有“净含量为(25±0.1)k”“净含量为(25±0.2)kg'“‘净含量为(25±0.3)kg'’的字样，从中任意取出两袋，它们的质量最多相差 ( )
A.0.8 kg B.0.6 kg
C.0.5 kg D.0.4 kg
9.观察下列依次排列的数的规律，完成填空：
(1)1，-3，5，-7，9，-11， ， ， .
（2）-，，-，，-， ， ， .
【素养创新题】
10.某种股票上周末的收盘价格是10.00元，李先生买了2 000股，本周一到周五的这种股票的收盘情况如下表(单位：元)：(“+”表示股票比前一天上涨，“-”表示股票比前一天下跌)
上周末收盘价 周一 周二 周三 周四 周五
10.00 +0.28 -0.36 +0.38 -0.35 +0.25
(1)周三这种股票的收盘价是多少元
(2)本周末的收盘价与上周末收盘价相比是怎样变化的
(3)李先生在本周五将股票全部卖出，若不考虑其他因素，请分析李先生在本次股票买卖过程中的盈亏情况.
本书习题参考答案
1.1正数和负数
应用能力·巧提升
1.+0.12 +0.15 -0.12 +0.03
2.解：以写50个字为标准，超出部分记为正，不足部分记为负，
所以这一周每天的写字情况应为50+8，50-5，50+12，50+0，50-4，50-3，50+15，即他这一周每天实际写字情况为58个、45个、62个、50个、46个、47个、65个.
58+45+62+50+46+47+65＝373(个)，
所以这一周他一共写了373个字.
3.解：“+20 mL”表示比600mL多20 mL，“-20 mL”表示比600 mL少20 mL，也就是说容量在(600-20)mL至(600+20)mL，即580 mL至620 mL这个范围内，饮料都是合格的.
抽查的5瓶饮料中，570 mL的少于580 mL，622 mL的多于620 mL，这2瓶饮料不合格，其余3瓶都是合格的.
4.(1)-7 8 -9 (2) -
解析：(1)中的符号规律是“-”“+”依次出现，数字规律是连续的自然数；(2)中的符号规律是“+”“-”依次出现，数字规律是：分子是l，分母是连续的奇数.
高效训练·速提能
1.A 2.B 3.-10 907
4.26.5 m，24 m，22.4 m
解析：根据题意，得+2.5 m，0 m，-1.6 m三次记录表示的实际水位分别是26.5 m，24 m，22.4 m.
5.-900 m解析：潜水艇所在高度是-800 m，是以水平面为基准，水平面以下用负数来表示，-800 m表示潜水艇在水平面以下800 m处，再下潜100 m，潜水艇在水平面以下900 m处，所以记为-900 m.
6.解：正数：+2 017，0.35，3.14；
负数：-，-3.06，-4.
7.D解析：A元件比标准质量多1.2 g，B元件比标准质量少2.3 g，C元件比标准质量多0.9 g，D元件比标准质量少0.8 g.经比较，D元件最接近标准质量.
8.B解析：根据面粉袋上标的这些净含量，可以算出这三种面粉的质量最小的为24.7 k，最大的为25.3 k，所以质量最多相差25.3-24.7＝0.6(k).
9.(1)13 -15 17 (2) -
解析：(1)观察这一列数，不考虑符号，数字都是奇数，第奇数个数都是正数，第偶数个数都是负数.(2)这一列数的分母分别为2，3，4，…，分子相应的为1，2，3，…，并且第奇数个数为负数，第偶数个数为正数.
10.解：(1)10.00+0.28-0.36+0.38
＝10.00+0.66-0.36
＝10.00+0.30
＝10.30(元).
答：周三这种股票的收盘价是10.30元.
(2)10.30-0.35+0.25
＝10.55-0.35
＝10.20(元).
10.20-10.00＝0.20(元).
答：本周末的收盘价与上周末收盘价相比，上涨0.20元.
(3)0.20×2 000＝400(元).
答：稀利400元.
教材参考答案
1.1正数和负数
问题(第2页)
3，1.8％，3.5表示的实际意义分别是零上3摄氏度，产量增长1.8％，收入3.5元.
问题(第3页)
增长-6.4％表示减少6.4％.
既不增长也不减少的情况下，增长率是0，即这一年的商品进出口总额与上一年相同.
练习(第3页)
l_解：2010年，2009年，2008年我国全年平均降水量比上年的增长量分别是+108.7mm，-81.5 mm，+53.5 mm.
2.解：这个物体又移动了-1 m的意思是这个物体又向左移动了1 m.这时物体回到了原来的位置.
思考(第4页)
教材左图中的正数和负数的含义是：A地高于海平面4 600 m，B地低于海平面100m.教材右图中正数和负数分别表示存入2 300.00元和支出1 800.00元.举例略.
练习(第4页)
1.解：读数略.正数有2.5，+，120；
负数有-1，-3.14，-1.732，-.
2.向西走60 m
3.-3 0
4.+126(或126) -150
习题1.1(第5页)
1.解：正数有5，0.56，警，+2；
负数有-，-3，-25.8，-0.000 1，-600.
2.解：(1)0.08 m表示水面高于标准水位0.08 m；-0.2 m表示水面低于标准水位0.2 m.
(2)水面低于标准水位0.1 m用-0.1 m表示；水面高于标准水位0.23 m用+0.23 m(或0.23 m)表示.
3.解：说法不对.不是正数的数可以是0，不一定是负数；不是负数的数可以是0，不一定是正数.
4.解：这个物体又移动+5 m，表示又向前移动5 m.这时物体离它两次移动前的位置为0 m，即回到了它两次移动前的位置.
5.解：七次测量的平均值是
＝80(m).
以平均值为标准，超出部分用正数表示，不足部分用负数表示，七次测得的数据可分别表示为-0.6 m，+0.6 m，+0.8 m，-0.9 m，0 m，-0.4 m，+0.5 m.
6.解：氢原子中的原子核所带电荷可以用+1表示，氢原子中的电子所带电荷可以用-1表示.
7.解：第二天0时的气温是零下1℃.
8.解：服务出口额增长的国家有中国、意大利；服务出口额减少的国家有美国、德国、英国、日本.意大利的增长率最高，日本的增长率最低.

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