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1.3有理数的加减法
1.3.1 有理数的加法
基础知识·细解读
知识点一有理数的加法
1.有理数的加法法则
类型 方法或结果
同号两数相加 取相同的符号，并把绝对值相加
异号两 数相加 绝对值 不相等 取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
互为相反数 结果为0
一个数与0相加 结果为原数
特别提醒
有理数的加法可分为以下四种情况：①同号加；②异号加；③“相反”加；④与0加.每种情况要注意和的符号及绝对值的确定.
2.有理数的加法运算步骤
注意：两负数相加时，不要漏掉负号.
巧记口诀
有理数加法口诀
同号相加一边倒；
异号相加“大”减“小”，
符号跟着“大”的跑，
绝对值相等“零”正好；
数零相加变不了.
其中“大”“小”指两个数绝对值的大小.
【例1】计算：
(1)(-16)+(+9)；
(2)(+4.6)+(-5.7)；
(3)(-)+(+)；
(4)(-7)+0.
解：(1)(-16)+(+9)=-(16-9)=-7.
(2)(+4.6)+(-5.7)=-(5.7-4.6)=1.1.
(3)(-)+(+)=0.
(4)(-7)+0=-7.
拓展
互为相反数的另一种表示方法：
a，b互为相反数a+b=0.
总结
有理数的加法要抓住两“关键”
运用有理数的加法法则进行加法运算时，有两大关键：一是确定和的符号；二是利用绝对值的和或差进行计算.
知识点二有理数的加法运算律
有理数加法运算律主要包括加法交换律和结合律.
运算律 文字语言 符号语言
加法交换律 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变 a+b=b+a
加法结合律 有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a+b)+c=a+(b+c)
【例2】计算：(1)(-6)+8+(-4)+12；
(2)(-3.5)+(-)+(-)+(+)+0.75+(-).
解：(1)(-6)+8+(-4)+12
=[(-6)+(-4)]+(8+12)
=-10+20
=10.
（2）（-3.5）+(-)+(-)+(+)+0.75+(-)
=[(-3.5)+(+)]+[(-)+0.75]+[(-)+(-)]
=0+0+(-)
=-.
特别提醒
交换加数的位置时，一定注意应连南符号一起交换，即带着“符号”搬家.
巧记口诀
多数相加要记住，
先看有无相反数，
正加正，负加负；
再看能否凑整数；
易通分的放一处，
两数结合添括号.
总结
有理数的加法运算律中的“五法”
在运用有理数加法运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到简化的目的，通常有下列规律：
(1)互为相反数的两数，可先加——相反数结合法；
(2)符号相同的数，可先加——同号结合法；
(3)分母相同的分数，可先加——同形结合法；
(4)几个数相加能得到整数的，可先加——凑整法；
(5)带分数相加时，可先拆成整数和分数，再利用加法运算律相加——拆项结合法.
应用能力·巧提升
题型一有理数的加法与数轴的综合应用
【例1】若有理数a，b，c在数轴上的位置如图1.3.1-1所示，则下列结论中，错误的是 ( )
A.a+b<0 B.b+c<0
C.a+b+c<0 D.|a+b|=a+b
审题关键：先结合数轴提供的信息判断出有理数的符号及绝对值的大小关系，再运用有理数的加法运算法则分析判断.
解析：根据有理数a，b，c在数轴上的位置可知，
a>0，b<0，c<0，且|c|>|b|>|a|，
所以a+b<0是正确的，b+c<0也是正确的，
a+b+c<0也是正确的.①
因为|a+b|>0，而a+b<0，所以选项D是错误的.
答案：D
过程释疑：
①由a+b<0，c<0，可转化为两个负数相加，和为负.
解后反思
在数轴上，利用数形结合思想，一般可读出三个方面的信息：
(1)对应点所表示的数是正数还是负数；
(2)对应点到原点的距离，即绝对值的大小；
(3)对应点表示的数的大小关系，即数轴上的数从左往右越来越大.
变式训练
1.已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1.3.1-2所示，则
(1)|a+b|= ；
(2)|a+c|= .
2.根据图1.3.1-3中表示有理数a，b，c的点在数轴上的位置，试确定下列各式的符号.
(1)(-a)+b；
(2)a+b；
(3)(-b)+(-c).
题型二有理数加法与绝对值的综合应用
【例2】已知|a|=5，|b|=3，a审题关键：有绝对值的可考虑先解绝对值，即求a，b的值.
破题思路：先解绝对值，再根据a解：由|a|=5，|b|=3，
得a=±5，b=±3.
因为a当a=-5，b=3时，
a+b=(-5)+3=-2；
当a=-5，b=-3时，
a+b=(-5)+(-3)=-8.
变式训练
3.已知|a|=2，|b|=2，|c|=3，且有理数a，b，c在数轴上的位置如图1.3.1-4所示，计算
a+b+c的值.
解后反思
本题考查了有理数的加法和绝对值的性质，在计算过程中，不要漏解.
变式训练
4.某辆出租车一天下午以公园为出发地在东西方向上行驶，规定向东走为正，向西走为
负，行车里程(单位：km)依先后次序记录如下：+9，-5，-3，+6，-7，+10，-6，-4，+4，+3，+7.
(1)将最后一名乘客送到目的地时，出租车离公园多远 在公园的什么方向
(2)若出租车每千米耗油量为0.1 L，则这辆出租车这天下午耗油多少升
题型三有理数的加法在实际中的应用
【例3】某超市一星期内每天的盈利或亏损情况如下：+853.5元，+237.2元，-325元，+138.5元，-280元，-520元，+103元.这一星期内该超市是盈利还是亏损 盈利或亏损多少元
审题关键：通常正数表示盈利，负数表示亏损.
破题思路：将七天的盈利、亏损相加，和为正数表示盈利，和为负数则表示亏损.
解：(+853.5)+(+237.2)+(-325)+(+138.5)+(-280)+(-520)+(+103)
=[(+853.5)+(+237.2)+(+138.5)+(+103)]+[(-325)+(-280)+(-520)]
=(+1 332.2)+(-1 125)
=+207.2(元).
答：这一星期内该超市是盈利，盈利207.2元.
解后反思
实际问题巧转化
解答本题的关键是利用转化思想把实际问题转化为数学问题，先将盈利、亏损问题转化为求各数的和，再通过和的正负判断是盈利还是亏损.
题型四有理数加法运算律的探究题
【例4】计算：(-1)+2+(-3)+4+(-5)+6+…+(-99)+100.
审题关键：仔细观察算式，找出每两个数之间计算结果的规律.
破题思路：(-1)+2=1，(-3)+4=1，…，(-99)+100=1，发现这个算式是由100÷2=50个1相加得到的.
解：(-1)+2+(-3)+4+(-5)+6+…+(-99)+100
=
=50.
规律总结
探究运算规律巧解题
探究规律时，一般先要从几个不同的方面入手分析其特点，再汇总起来得出结论，即分组组合法.例如，本题就是将每两个数组合在一起，简化了运算的过程.
变式训练
5.计算：
1+(-2)+(-3)+4+5+(-6)+(-7)+8+…+2013+(-2014)+(-2015)+2016+2017+(-2018)+(-2019)+2020.
易误易混·精辨析
易错点一计算时忘记先确定和的符号
【例1】计算：(+3.2)+(-4.6).
解：(+3.2)+(-4.6)
=-(4.6-3.2)
=-1.4.
防错警示
绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较
小的绝对值，而不是把绝对值相加.因此，进行有理数的加法运算，一定要按照“一观察、二定号、三求和(或差)”的步骤细心计算.
易错点二对带分数拆项时出现错误
【例2】计算：-5+(-9)+(-3)+17.
解：原式=[（-5）+(-)]+[（-9）+(-)]+[（-3）+(-)]+(17+)
=[(-5)+(-9)+(-3)+17]+[(-)+(-)+(-)+]
=0+(-)
=-.
防错警示
几个带分数相加时，把整数部分和分数部分拆开后分别相加是一种简便算法，但要注意
对带分数拆项时，易出现符号错误，如错将-5，-9和-3分别拆成了-5+，-9+和-3+.其实带分数的符号所“管辖”的不仅是前面的整数，也包括后面的分数，所以-5=-5+（-），-9=-9+(-)，-3=-3+(-)，
真题解密·探源头
中考真题
(浙江丽水中考)下列四个数中，与-2的和为0的数是 ( )
A.-2 B.2 C.0 D.-
解析：因为-2的相反数是2，所以与-2的和为0的数是2，故选B.
答案：B
教材原型
教材第24页习题1.3第11(4)题
填空：
12+ ＝0.
解析：根据互为相反数的两个数的和等于0可知，与12的和为0的数是-12.
答案：-12
命题人解密：教材习题很典型地考查了互为相反数的两个数的和为0，中考题就是针对这一考点进行设置.
阅卷人解密：这类问题在中考中为基础题，很少失分.在求解时要注意：互为相反数的两个数和为0.
高效训练·速提能
1.7+(-3)+(-4)+18+(-11)＝(7+18)+[(-3)+(-4)+(-11)]是应用了 ( )
A.加法交换律
B.加法结合律
C.分配律
D.加法交换律与结合律
2.下列各组运算结果符号为负的有 ( )
(+)+(-)，(-)+(+)，(-3)+0，(-1.25)+(-)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.若a与1互为相反数，则|a+l|等于 ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
4.有理数a，b在数轴上的位置如图1.3.1-5所示，则a+b的值 ( )
A.大于0 B.小于0
C.小于a D.大于b
5.计算：
(1)0.75+(-2)+(+0.125)+(-12)+(-4);
(2)-3+2+(-5).
6.一只蚂蚁从原点出发来回爬行，爬行的各段路程依次为+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10.
回答下列问题：
(1)蚂蚁最后是否回到出发点；
(2)在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻
【能力提升】
7.若两个数的和为负数，则这两个数一定 ( )
A.同正 B.同负
C.一正一负 D.至少有一个负数
8.计算：-1+3-5+7-9+11-…-97+99= .
9.若｜a｜=｜-8｜，则a= ；若｜m｜=6，且m<0，则｜m-4｜= .
【素养创新题】
10.小明写作业时不慎将墨水滴在了数轴上，根据图1.3.1-6中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是 .
1.3.2有理数的减法
基础知识·细解读
知识点一有理数的减法
1.有理数的减法法则
减去一个数，等于加这个数的相反数.
用字母表示：a-b=a+(-b).
注意：在进行有理数减法运算时，减数与被减数不能互换，即减法没有交换律.
减去一个数等于加这个数的相反数.
2.有理数的减法运算步骤
第1步：把减号变为加号(改变运算符号)；
第2步：把减数变为它的相反数(改变性质符号)；
第3步：按照有理数的加法法则进行计算.如
【例1】计算：
(1)(-3)-(+7)；
(2)-(-)；
(3)(-2)-；
(4)0-(-5).
解：(1)(-3)-(+7)=(-3)+(-7)=-10.
(2)-(-)
=+=.
(3)(-2)-
=(-2)+(-)=-3.
(4)0-(-5)=0+5=5.
总结
转化思想本领大
小学学过的减法运算是在非负数范围内进行的，且被减数要大于或等于减数；利用有理数的减法法则，可以把任意两个有理数的减法转化为加法，也就是说有理数的减法运算总是能进行的.
特别提醒
注意转化有“两变”“一不变”：两变：一是将运算符号“-”变成“+”，二是把减数符号改变，即减数变成它的相反数；一不变：被减数和减数的位置不变.
拓展
在有理数的减法中，当减数为正数时，差一定小于被减数；当减数为负数时，差一定大于被减数.
知识点二省略算式中的括号和加号
1.依据：有理数减法法则.
2.方法：
3.省略写法：在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式.
(-12)+(-8)+(-6)+(+5)=-12-8-6+5.
4.和式读法：对于算式“-12-8-6+5”，有两种读法：
(1)把各个数前面的符号看作这个数的性质符号，按这个式子表示的意义来读，可读作“负12、负8、负6、正5的和”；
(2)把各个数前面的符号看作运算符号，按照算式的意义来读，可读作“负12减8减6加5”.
注意：加号可以省略，但必须保留性质符号.省略加号的和式中的每一个数连同它的性质符号可以看成一项，都是和式中的一个加数.
特别提醒
第一个加数的符号只能读作“正”或“负”，而不能读作“加”或“减”.
【例2】把(-6)-(-3)+(-2)-(+6)写成省略括号的和的形式是 ，读作： 或 .
解析：首先应把这个式子中的减法转化为加法，然后写成省略括号的和的形式.(-6)-(-3)+(-2)-(+6)=(-6)+(+3)+(-2)+(-6)=-6+3-2-6.这个式子读作“负6、正3、负2、负6的和”或读作“负6加3减2减6”.
答案：-6+3-2-6 负6、正3、负2、负6的和 负6加3减2减6
知识点三有理数加减混合运算
1.有理数加减混合运算方法
根据有理数的减法法则，把减法转化成加法，加减混合运算也就转化成了连加.有理数加减混合运算实质就是有理数的加法运算.
特别提醒
进行有理数加减混合运算时，应有斜理地按步骤进行，不要随意地酬步，否则容易出错.
2.有理数加减混合运算步骤
应用能力·巧提升
题型一 有理数的加减法法则
角度1 法则的判断与理解
【例1】下列说法中，正确的是 ( )
A.如果两个数的和为负数，那么这两个数都是负数
B.若减数大于被减数，则减法运算无法进行
C.零减去一个数，仍得这个数
D.一个数减去这个数的相反数，等于这个数的两倍
审题关键：根据有理数加、减法的法则逐项分析、判断.
解析：虽然两个负数的和还是负数，但当一个正数与一个负数相加，且负数的绝对值大于正数的绝对值时，和也为负数；当0与一个负数相加时，和也是负数，故A项错误.有理数的减法可转化为加法来进行，当减数大于被减数时也可以进行计算，故B项错误.零减去一个数，等于零加上这个数的相反数，结果为这个数的相反数，故C项错误.一个数减去这个数的相反数，根据减法法则可知等于这个数再加上这个数，结果为这个数的两倍，故D项正确.
答案：D
解后反思
终于“够减”啦!
引进负数后，对于任何两个有理数都可以求出其差，不存在“不够减”的问题，并有如下结论：
大数减小数，差为正数；小数减大数，差为负数；
某数减去零，差为该数；零减去某数，差为该数的相反数；
相等的两数相减，差为零.
变式训练
1.下列说法，其中正确的有 ( )
①只有两个正数的和才可能是正数；
②减去一个负数等于加上这个负数的相反数；
③两数的和不可能比这两个加数都小；
④正数减负数，差为正数；
⑤两数相减，差不一定小于被减数.
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
角度2 有理数的减法与数轴的综合应用
【例2】(山东威海中考改编)有理数a，b在数轴上的位置如图1.3.2-1所示，则|a|-|b|可化简为 ( )
A.a-b B.b-a
C.a+b D.-a-b
审题关键：观察数轴，确定a，b的正负是解题的关键.
解析：由有理数a，b在数轴上的位置可知，a>0，b<0，则|a|-|b|=a-(-b)=a+b.
故选C.
答案：C
解后反思
数形结合是我们解题常用的一种方法，解决本题还要熟悉大数减小数差为正，小数减大数差为负的规律.
2.有理数a，b在数轴上的位置如图1.3.2-2所示，下列结论正确的是 ( )
A.a-b<0
B.-a-b<0
C.a-(-b)>0
D.-a-(-b)<0
3.如图1.3.2-3，数轴上A，B两点分别表示有理数a，b，则下列结论正确的是 ( )
A.a>-1 B.a-b>0
C.a+b>0 D.|a|-|b|>0
题型二有理数的加减混合运算
【例3】计算：
(1)12+7-3-12-6+3-7-9+5：
(2)5.4-(-10.3)+(-9.5)-(+7.4)-(-2.7)+3.5；
(3)3.76-39-5+68-4.76-2+1；
(4)-2+(-2)+(-5).
审题关键：按有理数加减混合运算的方法计算，先根据每个算式中各加数的特点，判断能否运用交换律和结合律简化运算.
破题思路：(1)发现12与-12，7与-7，-3与3分别互为相反数，把它们分别结合在一起比较简便；
(2)先把算式写成省略加号和括号的和的形式，再把和为整数的两个数结合在一起进行计算；
(3)仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是-1，两个整数的和是29，三个分数的和通分后也不难算，所以把整数、分数、小数分别分为一组；
(4)式子中是几个带分数的加减运算，可先把各数的整数部分与分数部分分离，重新组合再加减.
解：(1)原式=12-12+7-7-3+3-6-9+5
=0+0+0-15+5
=-10.
(2)原式=5.4+(+10.3)+(-9.5)+(-7.4)+(+2.7)+3.5
=5.4+10.3-9.5-7.4+2.7+3.5
=5.4-7.4+10.3+2.7-9.5+3.5
=-2+13-6
=5.
(3)原式=(3.76-4.76)+(-5-2+1)+(-39+68)①
=-1+(-6)+29=22.
(4)原式=-2--2--5-②
＝(-2-2-5)+(---)
＝-9+(-)
＝-9.
过程释疑：
①为便于计算，可交换加数的位置后把需要结合在一起的加数放在括号前是“+”号的括号内.
②把三个带分数-2，-2，-5分别拆分成-2-，-2-，-5-，这样使运算简化.
变式训练
4.计算：
(1)(-15)+(+19)-(+16)-(-7)+(-23)+(+24)；
(2)-15.63-3.15+15.20+3.15+0.43-2；
(3)-0.125-0.75-++1；
(4)-1+2+1-2.
带分数拆项时易出现符号错误.
方法技巧
加减混合，有律可循
有理数的加减混合运算常需用到加法的交换律、结合律，把加数结合时有一定技巧，常用的规律有：
(1)几个整数相加，可分别把正数、负数相加；
(2)把互为相反数的两个数结合在一起；
(3)把能凑成整数的数结合在一起；
(4)把整数、分数、小数先分组再相加；
(5)把整数部分和分数部分分别相加.
题型三 有理数加减混合运算在实际中的应用
【例4】某集团公司对所属甲、乙两分厂上半年经营情况记录(其中“+”表示盈利，“-”表示亏损，单位：亿元)如下表：
分厂 月份
一 二 三 四 五 六
甲厂 -0.1 -0.4 +0.3 0 +1.2 +l.1
乙厂 +1.1 -0.7 -1.5 +0.8 -1.0 +0.7
(1)二月份乙厂比甲厂多亏损多少亿元
(2)分别计算上半年甲、乙两个分厂盈利或亏损多少亿元.
(3)上半年甲厂比乙厂多盈利(或亏损)多少亿元
审题关键：根据表格读出上半年每个月份甲厂和乙厂的盈亏情况，根据具体问题列出相应算式计算.
破题思路：(1)由表格可得出二月份乙厂亏损0.7亿元，甲厂亏损0.4亿元，由此可得出结果.
(2)将甲、乙两个分厂每个月的盈利或亏损相加即可得出结果.
(3)用上半年甲厂盈利或亏损的数据减去乙厂盈利或亏损的数据可作出判断.
解：(1)(-0.7)-(-0.4)=-0.3(亿元).
答：二月份乙厂比甲厂多亏损0.3亿元.
(2)甲厂：(-0.1)+(-0.4)+(+0.3)+0+(+1.2)+(+1.1)
=[(-0.1)+(-0.4)]+[(+0.3)+(+1.2)]+(+1.1)
=(-0.5)+(+1.5)+(+1.1)
=+2.1(亿元)；
乙厂：(+1.1)+(-0.7)+(-1.5)+(+0.8)+(-1.0)+(+0.7)
=[(-0.7)+(+0.7)]+[(+1.1)+(+0.8)]+[(-1.5)+(-1.0)]
=(+1.9)+(-2.5)
=-0.6(亿元).
答：上半年甲厂盈利2.1亿元，乙厂亏损0.6亿元.
(3)(+2.1)-(-0.6)=2.1+0.6=2.7(亿元).
答：上半年甲厂比乙厂多盈利2.7亿元.
变式训练
5.图1.3.2-4是某市未来一周中每天的最高气温和最低气温的天气预报，回答下列问题：
(1)该市未来一周的最高气温和最低气温分别是多少
(2)未来一周中，该市周几的温差最大 最大是多少
方法技巧
加减混合解决实际问题，读题列式最关键
有理数的加减运算及其混合运算在实际生活中有着广泛的应用，解决这类问题时要注意读懂题意，正确列出算式，这是解题的关键所在.在求解时要能恰当运用运算律来简化运算，还要注意结果所表达的实际意义.
题型四有理数加减运算的规律探索题
【例5】计算：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+…+2017+2018-2019-2020.
审题关键：利用加法结合律解决此类问题，根据问题特点灵活分组.
破题思路：把若干个数相加凑成相等的数(本题可以凑成-4，4或0等)，从中找出解题规律.
解：方法1(所分组结果均为-4)：
1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+…+2017+2018-2019-2020
=(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+…+(2017+2018-2019-2020)
=
=
=-2020.
方法2(所分组结果均为4)：
1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-1l-12+…+2017+2018-2019-2020
=1+2+(-3-4+5+6)+(-7-8+9+10)+…+(-2015-2016+2017+2018)-2019-2020
=3+4×504-2019-2020
=3+2016-2019-2020
=-2020.
方法3(所分组结果均为0)：
1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-1l-12+…+2017+2018-2019-2020
=1+(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(10-11-12+13)+…+(2018-2019-2020+2021)-2021
=1+0×505-2021
=1-2021
=-2020.
过程释疑：
①2018-2019-2020＝2018-2019-2020+2021-2021-(2018-2019-2020+2021)-2021.这是为了凑分组，所以加上2021又减去2021.
变式训练
6.观察下列各式：
＝1-，
＝-，
＝-，
……
(1)请根据以上式子填空：
①＝ ；
②＝ (n是正整数).
(2)由以上几个式子及所找到的规律计算：
+++…+.
解后反思
灵活运用运算律。加减混合变容易
对于有多个有理数参与的加减混合运算，不要急着逐个计算，先通过观察找出规律，按规律结合或分组，每组结果要尽可能相等，这样运算更简便.
易误易混·精辨析
易错点 进行有理数加减运算时符号易错
【例1】计算：
(1)-3.2+0.6；(2)--.
解：(1)-3.2+0.6=-(3.2-0.6)①＝-2.6.
（2）--＝-(+)②＝-.
防错警示
①判断出结果的符号为“-”后，再进行绝对值的减法，此处3.2-0.6必须加括号，避免出现-(3.2+0.6)的错误；
②既可以先用减法法则转化为加法运算，也可直接看作-与-的和，即两个负数相加，要避免出现-(-)的错误.
【例2】计算：(-1.5)-(-2)+2.75-(+6).
解：（-1.5）-(-2)+2.75-(+6)
=(-1.5)+(+2.25)+2.75+(-6.5)①
＝-1.5+2.25+2.75-6.5
＝-1.5-6.5+2.25+2.75②
＝-8+5
＝-3.
防错警示
①把分数化为小数，可使计算简便，但要注意分数和小数的互化方法，此外，把减法变为加法时，不要出现符号错误；
②利用交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起移动，不要出现只移动数而没有移动符号的错误.
真题解密·探源头
中考真题
(天津中考)计算(-2)-5的结果等于 ( )
A.-7 B.-3 C.3 D.7
解析：(-2)-5-(-2)+(-5)=-(2+5)＝-7.
答案：A
教材原型
教材第23页练习第1(5)题
计算：(-2.5)-5.9.
解：(-2.5)-5.9＝(-2.5)+(-5.9)＝-(2.5+5.9)＝-8.4.
命题人解密：教材练习题很典型地考查了有理数的减法运算.这种形式的运算是中考的热点，中考题就是针对这一考点进行设置，不同的是把两个加数都换成了整数，降低了解题难度.
阅卷人解密：这类问题在中考中为基础题，很少失分.在求解时要结合相关法则进行运算，注意和的符号.解这类基础题时切不可粗心大意，若出现错误往往都是粗心造成的.
高效训练·速提能
【基础达标】
1.(江苏南通中考)计算｜-1｜-3，结果正确的是 ( )
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
2.把(+12)-(-18)+(-7)-(+15)写成省略括号和加号的形式是 ( )
A.12-18-7+15 B.-12+18+7-15
C.12+18+7-15 D.12+18-7-15
3.(宁夏中考)某地一天的最高气温是8℃，最低气温是-2℃，则该地这天的温差是 ( )
A.10℃ B.-10℃
C.6℃ D.-6℃
4.计等：-3.5+-（-2）= .
5.计算:（1）-(-)；
（2）(-2)-；
(3)0-(-5).
6.计算：
（1）(+)+(-)-(+)-(-)-(+1)；
（2）-4.4-(-4)-(+2)+(-2)+12.4.
7.利理数a，b，c在数轴上的位置如图1.3.2-5所示，化简｜c｜-｜a｜+｜-b｜+｜-a｜.
【能力提升】
8.符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
(1)f(1)=0，f(2)=1，f(3)=2，f(4)=3……
（2）f()=2，f()=3，f()=4，f()=5……
利用以上规律计算：f(2019)-f()= .
9.当a=，b=-，c=-时，分别求下列式子的值：
(1)a+b-c；
(2)a-b+c；
(3)a-b-c.
10.按如图1.3.2-6所示的程序分别输入-4，-5进行计算，请分别写出输出的结果.
11.一口水井，水面比井口低3 m，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了0.5 m后又往下滑了0.1 m；第二次往上爬了0.42 m后又往下滑了0.15 m；第三次往上爬了0.7 m后又往下滑了0.15 m；第四次往上爬了0.75 m后又往下滑了0.1 m；第五次往上爬了0.55 m，没有下滑；第六次又往上爬了0.48 m，那么最终蜗牛有没有爬出井口
【素养创新题】
12.有一支温度计出了一点小毛病，把它放在零下15℃的空气中，指示为-12℃，在35℃的水中指示为38℃，那么它量得某天某一时刻的温度是18℃，则真正的温度是多少
本书习题参考答案
1.3有理数的加减法
1.3.1有理数的加法
应用能力·巧提升
1.(1)-(a+b) (2)-(a+c)
解析：观察数轴可知，a0，且|a|>|b|>|c|，所以a+b<0，a+c<0.所以|a+b|=-(a+b)，|a+c|=-(a+c).
2.解：-a，-b，-c，a，b，c在数轴上的位置如答图1.3.1-1所示.
(1)因为-a(2)因为a>0，b<0，且|a|>|b|，
所以a+b>0.
(3)因为-b>0，-c<0，且|-b|<|-c|，所以(-b)+(-c)<0.
3.解：由数轴上a，b，c的位置可知，
b<0，0又因为|a|＝2，|b|＝2，|c|=3，
所以a=2，b=-2，c=3.
故a+b+c=2-2+3=3.
4.解：(1)(+9)+(-5)+(-3)+(+6)+(-7)+(+10)+(-6)+(-4)+(+4)+(+3)+(+7)
=(+6)+(-6)+(+4)+(-4)+(-3)+(+3)+(+7)+(-7)+(+9)+(+10)+(-5)
=+14(km).
所以将最后一名乘客送到目的地时，出租车离公园14 km，在公园的正东方向.
(2)|+9|+|-5|+|-3|+|+6|+|-7|+|+10|+|-6|+|-4|+|+4|+|+3|+|+7|
=9+5+3+6+7+10+6+4+4+3+7=64(km).
因为64×0.1=6.4(L)，
所以这辆出租车这天下午耗油6.4 L.
5.解：原式=[1+(-2)]+[(-3)+4]+[5+(-6)]+[(-7)+8]+…+[2017+(-2018)]+[(-2019)+2020]
=(-1)+1+(-1)+1+…+(-1)+1
＝0.
高效训练·速提能
1.D 2.D
3.B 解析：因为a与1互为相反数，所以a+1＝0，所以|a+1|=0.故选B
4.A 解析：从数轴上得出a<0，b>0，|a|<|b|，所以a+b>0.
5.解：(1)原式=[0.75+(-2)]+[(+0.125+(-4)]+(-12)
=(-2)+(-4)+(-12)
=-18.
(2)原式=-3+(-)+2++(-5)+(-)=[(-3)+2+(-5)]+[(-)++(-)]=-6+0=-+6.
6.解：(1)(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-9)+(+12)+(-10)=-3.
故蚂蚁最后没有回到出发点.
(2)(|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|)×2=114(粒).
7.D 解析：若两个数的和为负数，则它们不可能同正，故A选项错误；如-5+2=-3，一
正一负的两个数的和可以为负数，故B选项错误；如5+(-2)＝-7，同负的两个数的
和可以为负数，故C选项错误；若两个数的和为负数，则两数中至少有一个负数，故D
选项正确.故选D.
8.50 解析：原式＝[(-1)+3]+[(-5)+7]+[(-9)+11]+…+[(-97)+99]
＝
＝50.
9.±8 2 解析：由已知，得|a|＝8，则a＝±8.由|m|＝6，得m＝±6.因为-m<0，即-m为负数，所以m为正数，所以m=6，所以|m-4|=2.
10.-4 解析：由题图可知，原点左边盖住的整数有-2，-3，-4，-5，原点右边盖住的整数有1，2，3，4，所以它们的和是(-2)+(-3)+(-4)+(-5)+1+2+3+4=-4.
1.3.2有理数的减法
1.B 解析：②④⑤是正确的.错误的说法可举例说明：对于①，由(-3)+(+5)=2可知，该说法错误；对于③，因为(-1)+(-2)=-3，而-3<-2<-1，所以该说法也错误.
2.D 解析：由已知条件，知a，b，-a，-b在数轴上的位置如答图l.3.2-1所示.
a，b，-a，-b与0的大小关系是b<-a<0因为a-b=a+(-b)>0，所以选项A是错误的；
因为-a-b=-a+(-b)>0，所以选项B是错误的；
因为a-(-b)=a+b<0，所以选项C是错误的；
因为-a-(-b)=-a+b<0，所以选项D是正确的.
3.D 解析：观察数轴，知a<-1<0|b|，故选项A错误；根据有理数加减法法则，知a-b<0，a+b<0，故选项B，C错误；由|a|>|b|，得|a|-|b|>0，故选项D正确.
4.解：(1)原式=-15+19-16+7-23+24
=-15-16-23+19+7+24
=-54+50
=-4.
(2)原式=(-15.63+15.20+0.43)+(-3.15+3.15)-2
=0+0-2=-2.
(3)原式=---++1
=-+--+1
=0-+1
=-.
(4)原式=-1-+2++1+-2-
=(-1+2+1-2)+(-++-)
=-++-
=-.
5.解：(1)由题图可知，最高气温和最低气温分别是9℃和-4℃.
(2)未来一周中，周四的温差最大，温差是4-(-4)=8(℃).
6.解：(1)①- ②-
(2)
=1-+-+-+…+-＝1-＝.
高效训练·速提能
1.C 2.D 3.A
4.1 解析：-3.5+|-(-)|-（-2）＝-3.5+2.5+2＝1.
5.解：(1)-(-)=+=.
(2)(-2)-=(-2)+(-)=-3.
(3)0-(-5)=0+5=5.
6.解：(1)(+)+(-)-(+)-(-)-(+1)
=(+)+(-)+(-)+(+)+(-1)
=[(+) +(+)]+[(-)+(-)]+(-1)
=1+(-1)+(-1)=-1.
(2)-4.4-(-4)-(+2)+(-2)+12.4
=-4.4+4-2-2+12.4
=-4.4+12.4+4+(-2-2)
=8+4+(-5)=8+(-1)=7.
7.解：由题意，得b所以原式=-c-a-b+a=-c-b.
8.-1 解析：观察(1)中的各数，可得f(2019)=2018，观察(2)中的各数，可得f()=2019.所以f(2019)-f()=2018-2019=-1.
9.解：(1)a+b-c=+(-)-(-)=+(-)+=.
(2)a-b+c=-(-)+(-)=++(-)=.
(3)a-b-c=-(-)-(-)=++=.
10.解：当输入-4时，根据程序可得，(-4)-3+6(-4)=3.结果不大于3，需再把3输入，得3-3+6(-4)=10，结果大于3，所以输出的结果为10.
同理，当输入-5时，得-5-3+6-(-4)=2.结果不大于3，需再把2输入，得2-3+6-(-4)=9，结果大于3，所以输出的结果为9.
11.解：由题意可知，蜗牛往上爬的高度为0.5-0.1+0.42-0.15+0.7-0.15+0.75-0.1+0.55+0.48=2.90<3，故没有爬出井口.
12.解：根据题意可知，(-12)-(-15)=3(℃)，38-35=3(℃)，故真正温度比温度计指示的温度低3℃.所以当量得某天某一时刻的温度为18℃时，真正温度为15℃.
教材参考答案
1.3有理数的加减法
问题(第17页)
算式③用数轴表示如答图1.3-1①所示.算式④用数轴表示如答图1.3-1②所示.
练习(第18页)
1I解：(1)-4+7＝3(℃).
(2)7-5＝2(元).
2.解：(1)-10. (2)-2. (3)2. (4)0.
(5)10. (6)-10. (7)0. (8)-6.
3.解：(1)15+(-22)＝-(22-15)＝-7.
(2)(-13)+(-8)＝-(13+8)＝-21.
(3)(-0.9)+1.5＝1.5-0.9＝0.6.
(4)+(-)=-(-)=-.
4.解：答案不唯一，例如，饭店来了5位客人，又走了3位客人，还剩2位客人；某时温度为-5℃，下降了3℃，现在温度为-8℃.
问题(第19页)
例2中，把正数和负数分别相加，从而使计算简化.根据是加法交换律和加法结合律.
问题(第20页)
比较例3中的两种解法，解法2把互为相反数的一对数结合起来相加，可以使计算简化.这种方法使用了加法交换律和加法结合律.
练习(第20页)
1.解：(1)23+(-17)+6+(-22)
=(23+6)+[(-17)+(-22)]
=29+(-39)
=-10.
(2)(-2)+3+1+(-3)+2+(-4)
=[(-2)+2]+[3+(-3)]+[1+(-4)]
=-3.
2.解：(1)1+(-)++(-)
=(1+)+[(-)+(-)]
=+(-)
=.
(2)3+(-2)+5+(-8)
=(3+5)+[(-2)+(-8)]
=9+(-11)
=-2.
实验与探究(第21页)
1 2 -3
-4 0 4
3 -2 -1
(答案不唯一)
是将0填放中央的格中.
问题(第21页)
从温度计可以直观地看出，3℃比-3℃高6℃.
探究(第22页)
从③式能看出减-3相当于加+3.
0-(-3)＝0+3＝3，
(-1)-(-3)＝(-1)+3＝2，
(-5)-(-3)＝(-5)+3＝-2.
这些数减-3的结果与它们加+3的结果相同.
9-8＝1，9+(-8)＝1；
15-7＝8，15+(-7)＝8.
可以发现，减去一个正数等于加上这个正数的相反数.
思考(第22页)
会，如1-2＝1+(-2)＝-1，(-1)-l＝-2.
一般地，较小的数减去较大的数，所得的差的符号是负号.
练习(第23页)
1.解：(1)6-9＝-3.
(2)(+4)-(-7)＝4+7＝11.
(3)(-5)-(-8)＝-5+8＝3.
(4)0-(-5)＝5.
(5)(-2.5)-5.9＝-8.4.
(6)1.9-(-0.6)＝1.9+0.6=2.5.
2.解：(1)2-8＝-6(℃).
(2)-3-6＝-9(℃).
问题(第23页)
减法转化为加法后使用了加法交换律和加法结合律.
探究(第24页)
当a=2，b=6时，点A，B之间的距离是|2-6|=4；当a=0，b=6时，点A，B之间的距离是|0-6|=6；当a=2，b=-6时，点A，B之间的距离是|2-(-6)|=8；当a=-2，b=-6时，点A，B之间的距离是|-2-(-6)|=4.
由此可以发现，点A，B之间的距离等于数a，b差的绝对值.
练习(第24页)
解：(1)1-4+3-0.5
=(1-4+3)-0.5
=-0.5.
(2)-2.4+3.5-4.6+3.5
=[(-2.4)+(-4.6)]+(3.5+3.5)
=-7+7
=0.
(3)(-7)-(+5)+(-4)-(-10)
=-7-5-4+10
=-16+10
=-6.
(4)-+(-)-(-)-1
=--+-l
=
=
=-
=-.
习题1.3(第24页)
1.解：(1)(-10)+(+6)=-4.
(2)(+12)+(-4)=8.
(3)(-5)+(-7)=-12.
(4)(+6)+(-9)=-3.
(5)(-0.9)十(-2.7)=-3.6.
(6)+(-)=-.
(7)(-)+==.
(8)(-3)+(-1)
=(-)+(-)
=-
=-
=-.
2.解：(1)(-8)+10+2+(-1)=12-9=3.
(2)5+(-6)+3+9+(-4)+(-7)=17-17=0.
(3)(-0-8)+1.2+(-0.7)+(-2.1)+0.8+3.5
=(-0.8)+0.8+(1.2+3.5)-0.7-2.1
=0+4.7-2.8
=1.9.
(4)+(-)++(-)+(-)
=+(-)+--
=0+-1
=-.
3.解：(1)(-8)-8=-16.
(2)(-8)-(-8)=-8+8=0.
(3)8-(-8)=8+8=16.
(4)8-8=0.
(5)0-6=-6.
(6)0-(-6)=0+6=6.
(7)16-47=-31.
(8)28-(-74)=28+74=102.-
(9)(-3.8)-(+7)=-3.8-7=-10.8.
(10)(-5.9)-(-6.1)=-5.9+6.1=0.2.
4.解：(1)(+)-(-)=+=1.
(2)(-)-(-)=-+=.
(3)-=.
(4)(-)-=.
(5)--(-)=-+=-=-.
(6)0-(-)=0+=.
(7)(-2)-(+)=(-2)+(-)=-2.
(8)(-16)-(-10)-(+1)
=(-16)+10+(-1)
=(-6)+(-1)
=-8.
5.解：(1)-4.2+5.7-8.4+10
=(-4.2-8.4)+(5.7+10)
=-12.6+15.7
=3.1.
(2)-++-
=(--)+(+)
=-+
=.
(3)12-(-18)+(-7)-15
=12+18-7-15
=30-22
=8.
(4)4.7-(-8.9)-7.5+(-6)
=4.7+8.9-7.5-6
=13.6-13.5
=0.1.
(5)(-4)-(-5)+(-4)-(+3)
=(-4)-(+3)-(-5)+(-4)
=-8+5-4
=-6.
(6)(-)+|0-5|+|-4|+(-9)
=-+5+4-9
=(--9)+(5+4)
=-10+10
=0.
6.解：8 844.43-(-415)=8 844.43+415=9 259.43(m)，
所以两处高度相差9 259.43 m.
7.解：-7+11-9=-16+11=-5(℃)，
所以半夜的气温是-5℃.
8.解：132+(-12.5)+(-10.5)+127+(-87)+136.5+98=383.5(元).
所以食品店一周总盈余383.5元.
9.解：25×8+(1.5-3+2-0.5+1-2-2-2.5)=200+(4.5-10)=194.5(kg).
所以这8筐白菜一共194.5 kg.
10.解：星期一：10-2=8(℃)；
星期二：12-1=11(℃)；
星期三：11-0=11CC)；
星期四：9-(-1)=10(℃)；
星期五：7-(-4)=11(℃)；
星期六：5-(-5)＝10(℃)；
星期日：7-(-5)＝12(℃).
所以星期日的温差最大，星期一的温差最小.
11.(1)16 (2)(-3) (3)18 (4)(-12) (5)(-7) (6)7
12.解：(-2)+(-2)＝-4，
(-2)+(-2)+(-2)＝-6，
(-2)+(-2)+(-2)+(-2)＝-8，
(-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2)＝-10.
猜想：(-2)×2＝(-2)+(-2)＝-4，
(-2)×3＝(-2)+(-2)+(-2)＝-6，
(-2)×4＝(-2)+(-2)+(-2)+(-2)＝-8，
(-2)×5＝(-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2)＝-10.
进一步猜想：负数乘正数得负，积的绝对值等于两个乘数的绝对值的积.
13.解：第一天：0.3-(-0.2)＝0.5(元)；
第二天：0.2-(-0.1)＝0.3(元)；
第三天：0-(-0.13)＝0.13(元).
＝0.31(元).
答：第一天的最高价与最低价的差为0.5元，
第二天的最高价与最低价的差为0.3元，
第三天的最高价与最低价的差为0.13元，
这些差的平均值为0.31元.

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