资源简介

1.5有理数的乘方
1.5.1 乘 方
基础知识·细解读
知识点一乘方
注意：(1)一个数可以看作这个数本身的一次方，例如2就是21，通常指数1省略不写.
(2)当底数是负数或分数时，要用括号将底数括起来，在底数右上方写指数，指数要写得小一些.注意与()2的意义不同，同祥(-2)2与-22的意义也不相同.
特别提醒
指数n是正整数，底数a可以是任何有理数.
【例1】用乘方表示下列各式，并指出底数和指数.
(1)(-2)-(-2)×(-2)×(-2)；
(2)×××××.
解：(1)(-2)×(-2)×(-2)×(-2)＝(-2)4，
底数是-2，指数是4.
（2）×××××＝()6，
底数是，指数是6.
总结
看因数，找底数，定指数
要找底数和指数就要先去找“相同的因数”，相同的因数是哪个数，底数就是哪个数；有几个相同的因数，指数就是几.
乘方运算，当底数是负数或分数时，底数要加括号.
知识点二乘方运算
【例2】计算：(1)(-5)4；(2)-54；(3)(1)3；(4)(-1)2；(5)-(-)3.
解：(1)(-5)4=+(5×5×5×5)=625.
(2)-54=-(5×5×5×5)＝-625.
（3）(1)3＝()3＝.
（4）(-1)3＝(-)3＝-(××)＝-.
（5）-(-)3＝-(-)=.
总结
乘方运算的两种方法
(1)将乘方转化成乘法，再根据乘法法则计算。
(2)先根据乘方运算的符号法则判断幂的符号，再计算幂的绝对值.
特别提醒
(1)任何一个有理数的偶次幂都是非负数，即a2n≥0(n为正整数)；
(2)1的任何次幂都是1，-1的奇次幂是-1，-1的偶次幂是1；
(3)(-a)n与-an的意义完全不同，(-a)n表示n个-a相乘，-an表示n个a相乘的积的相反数；
(4)在进行幂的运算时一定要注意符号问题.
知识点三 有理数的混合运算
【例3】计算：(1)-1-[2-（1-）×0.5)]×[32-(-2)2]；
(2)-42-[-5+(1-)÷(-2)3].
解：(1)原式=-1-[2-(1-)]×(9-4)
=-1-×5
=-1-=-.
(2)原式=-16-[-5+÷(-8)]
=-16-(-5-)
=-16+5+=-10.
总结
有理数的混合运算要这样算
解决有理数的混合运算问题的基本思路是先观察有几种运算，再将除法运算转化为乘法运算，减法运算转化为加法运算，最后按运算顺序计算，这体现了数学中的转化思想.
特别提醒
(1)“同级运算”是指加和减同级，乘和除同级，乘方和开方同级，其中开方以后会学到.
(2)进行有理数的混合运算时，一要注意运算顺序，二要注意符号问题.
(3)灵活地运用运算律，可以使运算快速、简便.
应用能力·巧提升
题型一有理数的混合运算
【例1】计算：(1)(-2)2+(-2)÷(-)+(-)×(-24)；
（2）｜-｜2-()2+（-1）2020-1×(0.5-)÷.
审题关键：弄清运算顺序及运算法则是解答本题的关键.
破题思路：按照有理数混合运算的顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的.
解：(1)原式=4+2×+(-)×(-16)=4+3+1=8.
（2）原式=()2-+1-×(-)×4
=-+1-×(-)×4
=-+1+1=2.
方法技巧
有理数混合运算有妙招
(1)可以以加减号为界，把算式分成几部分，每一部分可同时单独运算.
(2)计算时，通常把小数化成分数，带分数化成假分数；做乘除或乘方运算时，应先确定积、商或幂的符号.
变式训练
1.(湖北宜昌中考)计算：
(-2)2×(1-).
2.计算：(-3)2-(1)3×-6÷|-|3.
变式训练
3.(浙江舟山中考)13世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为 ( )
A.42 B.49 C.76 D.77
4.你喜欢吃拉面吗 拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起，然后拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成许多细的面条，如图1.5.1-1所示.
捏合到第 次后，可拉出128根面条.
题型二乘方运算在实际问题中的应用
【例2】将一根绳子对折1次，从中间剪断，绳子变成3段；将一根绳子对折2次，从中间剪断，绳子变成5段；将一根绳子对折3次，从中间剪断，绳子变成9段……依此类推，将一根绳子对折10次，从中间剪一刀，全部剪断后，绳子变成 段.
审题关键：观察前几次的结果，找出规律.
解析：将一根绳子对折1次，从中间剪断，绳子变成3段，即3=1+2；
将一根绳子对折2次，从中间剪断，绳子变成5段，即5=1+22；
将一根绳子对折3次，从中间剪断，绳子变成9段，即9=1+23；
……
由此规律，得将一根绳子对折10次，从中间剪一刀，全部剪断后，绳子变成210+1=1025(段).
答案：1025
解后反思
从特殊情形入手，由易到难，写出前几次的关系式，所得结果要与每一次的次数建立关系，进而找出其变化规律.
题型三与乘方有关的规律探究题
【例3】(湖南郴州中考改编)观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……试猜想，32020的个位数字是 .
审题关键：利用题中给出的数据，观察其个位数字的特点，发现每四个数据为一个循环，即3，9，7，1，进而可确定答案.
解析：因为2020÷4=505，所以32020的个位数字和34的个位数字相同，即32020的个位数字是1.
答案：1
方法技巧
探究规律的妙招——由特殊到一般
求解规律探究问题时，一般要先从特殊情况入手，归纳出一般情况，再猜想验证，得出一般规律.
变式训练
5.已知12=1，112=121，1112=12 321……则依据上述规律，的计算结果中，从左向右数第12位上的数字是 .
易误易混·精辨析
易错点一 对乘方的意义理解不透彻
【例1】计算：(1)(-1)100； (2)-24.
解：(1)(-1)100=1.
(2)-24=-(2×2×2×2)=-16.
防错警示
底数与指数相乘是最易犯的错误，如(-1)100=-100. -24与(-2)4不同，-24表示24的相反数，与(-2)4恰好互为相反数，这也是易混淆的地方.
易错点二对有理数混合运算的运算顺序理解不透彻
【例2】计算：-22×÷(-)2×(-2)3.
解：-22×÷(-)2×（-2）3
=-4×÷×（-8）
=4××4×8
=32.
防错警示
在进行有理数的混合运算时，应注意以下顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，按照从左到右进行.当计算中有除法时，切忌轻易使用结合律，如本例中易出现“原式=-4×÷×(-8)=-1÷(-2)”的错误·
真题解密·探源头
中考真题
(江苏镇江中考)计算：(-2)3＝ .
解析：(-2)3＝-23＝-8.
答案：-8
教材原型
教材第42页例l(2)
计算：(-2)4.
解：(-2)4-(-2)×(-2)×(-2)×(-2)＝16.
命题人解密：教材例题很典型地考查了有理数的乘方.中考题就是针对这一考点进行设置的，不同的是，教材例题考查的是负数的偶次幂，中考题考查的是负数的奇次幂.
阅卷人解密：这类问题在中考中为基础题，很少失分.但在求解时要注意幂的符号，尤其是负数的奇次幂的符号.
高效训练·速提能
【基础达标】
1.(山东滨州中考)-12等于 ( )
A.1 B.-l C.2 D.-2
2.(-5)6表示的意义是 ( )
A.6个-5相乘的积 B.-5乘6的积
C.5个6相乘的积 D.6个-5相加的和
3.在-｜-4｜3，-(-4)3，(-4)3，-43中，最大的数是 ( )
A.-｜-4｜3 B.-43
C.(-4)3 D.-(-4)3
4.若a是任意有理数，则下列说法正确的是( )
A.(a+1)2的值总是正的
B.a2+1的值总是正的
C.-(a+1)2的值总是负的
D.a2+1的值中，最大值是l
5.一根1 m长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次剪后剩下的绳子的长度为 ( )
A.()3m B.()5 m C.()6m D.()12m
6.观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256……通过观察，用你所发现的规律确定22019的个位数字是 .
7.先阅读下列运算式子，再回答问题：
(1)12+2×1×2+22=(1+2)2；
(2)22+2×2×3+32=(2+3)2；
(3)32+2×3×4+42=(3+4)2.
利用你发现的规律求82+2×8×9+92的结果是 .
8.计算：(1)(广西南宁中考)-(-1)+32÷(1-4)×2；
(2)-12020-(1-0.5)××[2-(-3)2].
9.(湖北宜昌中考)在“-”“×”两个符号中选一个自己想要的符号，填人22+2×(1口)中的口，并计算.
10.图1.5.1-2是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30 min便由1个分裂成2个.根据此规律回答：
(1)这样的一个细胞经过第四个30 min后可分裂成多少个细胞
(2)这样的一个细胞经过3 h后可分裂成多少个细胞
【素养创新题】
11.问题：你能比较20192020和20202019这两个数的大小吗
为了解决这个问题，我们首先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较nn+1和(n+1)n的大小(n为自然数).然后，我们从分析n=1，n=2，n=3……这些简单情形人手，从中发现规律.经过归纳，猜想出结论.
(1)通过计算，比较下列各组中的两个数的大小(填“>”“=”或“<”)：
①12 21，②23 32，③34 43，
④45 54，⑤56 65……
(2)根据第(1)题的结果归纳，试猜想出nn+1和(n+1)n的大小关系.
(3)根据上面归纳猜想到的一般结论，试比较20192020和20202019这两个数的大小.
1.5.2科学记数法
1.5.3 近似数
基础知识·细解读
知识点一科学记数法
注意：(1)确定a时，要根据科学记数法的规定，使它成为只含有一位整数的数(即1≤|a|<10).
(2)确定n一般有两种方法：
方法1：利用整数的位数来求n，n等于原数的整数位数减1；
方法2：看小数点移动的位数，小数点向左移动了几位，n就等于几.
【例1】用科学记数法表示下列各数：
(1)800； (2)80 700 000； (3)12 365 790.8； (4)-5 180 000.
解：(1)800=8×102.
(2)80 700 000=8.07×107.
(3)12 365 790.8=1.236 579 08×107.
(4)-5 180 000=-5.18×106.
科学记数法可以方便、快捷地表示较大的数.
总结
科学记数法表示数只需三步
特别提醒
(1)用科学记数法表示绝对值较大的负数时，不要漏掉“-”.
(2)用科学记数法表示的数只改变数的形式，而没有改变数的大小.
知识点二 写出用科学记数法表示的数的原数
写出用科学记数法表示的数的原数有两种方法
方法1：a×10n中的指数加上1就得到原数的整数位数，从而确定原数.例如：在8.07×104中，n=4，n+1=5，所以原数的整数位数是5，即8.07×104=80 700.
方法2：原数等于把小数点向右移动n位所得的数，若向右移动的位数不够，用0补上.例如：8.07×104的指数是4，只要把8.07的小数点向右移动4位，即可化为80 700.
【例2】下列用科学记数法写出的数，原来分别是什么数
(1)3×104； (2)4.05×109； (3)-3.801×106.
解：(1)3×104=30 000.
(2)4.05×109=4 050 000 000.
(3)-3.801×106=-3 801 000.
特别提醒
(1)表示成原数后，可以再利用科学记数法验证是否正确，两者是互逆的过程.
(2)用科学记数法表示的负数在还原时不要遗漏“-”.
总结
巧妙还原用科学记数法表示的数
将用科学记数法表示的数还原成原数时，先看10的指数，指数是多少，就将a中的小数点向右移动多少位，位数不足的用0补上，这样就可以将用科学记数法表示的数轻松还原.
知识点三近似数和准确数
【例3】下列实际问题中出现的数，哪些是准确数 哪些是近似数
(1)我班有54名同学； (2)月球离地球的距离约为38万千米；
(3)某市总人口约有2 152万.
解：(1)54是一个准确数.
(2)38万是一个近似数.
(3)2152万是一个近似数.
总结
近似数是由于测量或收集工具(或方法)的限制等原因而出现的，这是判断近似数的重要依据.
特别提可不是
近似数产生的原因
(1)计算结果产生近似数，如结果除不尽、圆周率”参与的运算等；
(2)用测量工具测出的数据大都是近似数；
(3)不容易或不可能得到准确数的情况，如长江的长度；
(4)不必使用准确数，如买1 kg西红柿，可能多一点或少一点.
知识点四精确度
近似数与准确数的接近程度，我们用精确度来表示.
一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.如1.813 5四舍五入到千分位，就是精确到0.001.
注意：确定用科学记数法表示的近似数精确到哪一位时，应将此数还原为原数，再看还原前的末尾数字处于还原后的哪一位上.例如，在确定1.8×103的精确度时，因为1.8×103=1800，所以它精确到了百位.
【例4】用四舍五入法按括号内的要求取各数的近似数：
(1)4.506 49(精确到0.001)；
(2)1.995(精确到0.01)；
(3)4.03×104(精确到千位)；
(4)68 000(精确到万位).
解：(1)4.506 49≈4.506. (2)l.995≈2.00.
(3)4.03×104≈4.0×104. (4)68 000≈7×104.
总结
四舍五入法求近似数
(1)精确到哪一位，只看下一位，够五则进，不够则舍；
(2)当近似数所要保留的数位较大时，一般先写成科学记数法的形式，再按要求取近似数.
特别提醒
一个近似数的精确度的三种表示方法
(1)用数位表示，如精确到千位或千分位等；
(2)用小数点表示，如精确到0.1或0.01等；
(3)对带有单位的数用单位表示，如精确到千克、米等.
特别提醒
近似数1.8与1.80的精确度不同，它们分别精确到0.1和0.01.
应用能力·巧提升
题型一用科学记数法表示大数
角度1 用科学记数法表示带单位的大数
【例1】(甘肃天水中考)我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130 000 000 k的煤所产生的能量.把130 000 000 kg用科学记数法可表示为 ( )
A.13×107kg B.0.13×108kg
C.1.3×107kg D.1.3×108kg
审题关键：将130 000 000表示为a×10n的形式时，先确定a的值，再确定n的值.
解析：130 000 000=1.3×100 000 000=1.3×108.
答案：D
解后反思
不是所有的a×10n都是科学记数法
用科学记数法表示数时，除了准确确定”的值，还要特别注意a的取值，如在本题中，虽然四个选项都是a×10n的形式，但只有a满足1≤a<10，且n正确的才是正确答案.
变式训练
1.(广西柳州中考)2020年是我国全面建成小康社会收官之年，我市将全面完成剩余19700贫困人口脱贫的任务.用科学记数法将数据19 700表示为 ( )
A.0.197×105 B.1.97×104
C.19.7×103 D.197×102
2.(陕西中考)中华民族的母亲河黄河，发源于巴颜喀拉山脉北麓，注入渤海，流域面积约为750 000km2.将750 000 km2用科学记数法表示为 ( )
A.7.5×104km2
B.7.5×105km2
C.75×104km2
D.75×105km2
3.(湖南娄底中考)随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“2l0万”用科学记数法表示为( )
A.0.21×107
B.2.1×106
C.21×105
D.2.1×107
角度2 用科学记数法表示带计数单位的大数
【例2】(浙江宁波中考)宁波栎社国际机场三期扩建工程建设总投资84.5亿元，其中84.5亿元用科学记数法表示为 ( )
A.0.845×1010元 B.84.5×108元
C.8.45×109元 D.8.45×1010元
审题关键：首先把84.5亿转化为不带“亿”的数，然后用科学记数法表示该数.
解析：84.5亿元=84.5×108元=8.45×109元.
答案：C
方法技巧
用科学记数法表示带计数单位的数的两步骤
第1步：将带有计数单位的数改写成不带计数单位的数，其中“万”记作104，“亿”记作108；
第2步：准确地把原数用科学记数法表示出来.
题型二确定近似数的精确度
【例3】指出下列各近似数精确到哪一位.
(1)56.3； (2)5.630； (3)5.63×106；
(4)5.630万； (5)0.017； (6)3 800.
审题关键：看末位数字在哪个数位上则精确到哪一位.
破题思路：带计数单位或用科学记数法表示的数，先将数还原，再看最后一位数确定精确度.
变式训练
4.下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位
(1)230；
(2)18.3；
(3)0.009 8；
(4)7.9万；
(5)20.010；
(6)5.08×103.
解：(1)56.3精确到十分位.
(2)5.630精确到千分位.
(3)5.63×106精确到万位.
(4)5.630万精确到十位.
(5)0.017精确到千分位.
(6)3 800精确到个位.
方法技巧
确定精确度的方法
对带计数单位或用科学记数法表示的数，只看最后一位在哪一位上，即可确定其精确度.
题型三 按精确度求近似数
【例4】用四舍五入法，按下列要求对159 897 000 000分别取近似数：
(1)精确到千万位； (2)精确到亿位； (3)精确到百亿位.
审题关键：先确定要求精确到的那一数位上的数字，再看下一位上的数字是否够5即可.
破题思路：(1)把百万位上的数字7四舍五入即可；
(2)把千万位上的数字9四舍五入即可；
(3)把十亿位上的数字9四舍五入即可.
解：(1)159 897 000 000≈1.599 0×1011.
(2)159 897 000 000≈1.599×1011.
(3)159 897 000 000≈1.6×1011.
方法技巧
求大数的近似数的方法
求大数的近似数时，按要求先找到要求精确到的那一数位上的数字，再看下一位上的数字是否够5，最后按四舍五入法求近似数.
变式训练
5.用四舍五入法，按括号里的要
求对下列各数取近似数：
(1)0.709 6(精确到0.001)；
(2)2.664 8(精确到0.01)；
(3)70 960(精确到千位)；
(4)0.009 403(精确到0.000 01)；
(5)8 647 000(精确到十万位).
题型四科学记数法的实际应用
【例5】地球上的植物每年(按365天计算)能生产l.65×1017g(即6.6×1017大卡)的有机物，但实际上热能只能利用，即6.6×1016大卡，若每人每天消耗2 200大卡植物能量，则地球上最多可以养活多少人 (精确到亿位)
审题关键：生活中的科学记数法主要是把数用科学记数法表示，但要注意需要带单位的要加单位.
破题思路：根据每人每天消耗的能量×天数×人数一总能量，列式求解即可.
解：6.6×1016÷365÷2 200≈8.22×1010。(人).
答：地球上最多可以养活约8.22×1010人.
方法技巧
生活中的科学记数法
生活中一大串数字很麻烦，那就试试科学记数法，因为科学记数法可以表示一个绝对值较大的数，而且省时又简便.另外，科学记数法中用104表示万，用108表示亿.
变式训练
6.(北京中考)被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积.已知每个标准足球场的面积为7 140 m2，则FAST的反射面总面积约为 ( )
A.7.14×103m2
B.7.14×104m2
C.2.5×105m2
D.2.5×106m2
易误易混·精辨析
易错点一对科学记数法理解不透彻而致错
【例1】神威·太湖之光超级计算机的峰值性能为12.5亿亿次／秒.这个数据以亿次／秒为单位用科学记数法可以表示为 ( )
A.1.25×108亿次／秒 B.1.25×109亿次／秒
C.1.25×1010亿次／秒 D.12.5×108亿次／秒
解析：12.5亿亿次／秒=1 250 000 000亿次／秒=1.125×109亿次／秒.故选B.
答案：B
防错警示
把带计数单位的数用科学记数法表示的关键是单位换算，并把换算成的数用科学记数法表示成a×10n时，a应满足1≤a<10，n应比原数的整数位数少1.
易错点二精确度位数搞不清楚，导致错误
【例2】(1)2.86×103精确到 位；
(2)2.4万精确到 位.
解析：(1)2.86×103=2 860，6在十位上，故2.86×103精确到十位.
(2)2.4万=24 000，4在千位上，故2.4万精确到千位.
答案：(1)十 (2)千
防错警示
带计数单位的数或用科学记数法表示的近似数a×10n，精确度由还原后的数中a的末位数字所在的数位决定；当近似数有计数单位时，精确度也由还原后的数中近似数的末位数字所在的数位决定.
真题解密·探源头
中考真题
(山东德州中考)一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即1.496亿km，用科学记数法表示1.496亿是 ( )
A.1.496×107 B.14.96×108
C.0.149 6×108 D.1.496×108
解析：因为1.496亿=149 600 000，所以将1.496亿用科学记数法表示为1.496×108.故选D.
答案：D
教材原型
教材第52页复习题1第13题
一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即1.496 0亿km.试用科学记数法表示1个天文单位是多少千米.
解：1.496 0亿km=149 600 000 km=1.496×108 km.
命题人解密：教材复习题和中考题都是从用科学记数法表示大数的角度命题，实际背景也相同.
阅卷人解密：这类问题在中考中为基础题，很少失分，但在求解时要注意“n=原数的整数位数-1”这一关系.
高效训练·速提能
【基础达标】
1.(湖北宜昌中考)5月18日，新华社电讯：我国利用世界唯一的“蓝鲸1号”，在南海实现了可燃冰(即天然气水合物)的安全可控开采.据介绍，“蓝鲸1号”拥有27 354台设备，约40 000根管路，约50 000个MCC报验点，电缆拉放长度估计1 200 km，其中准确数是 ( )
A.27 354 B.40 000 C.50 000 D.1 200
2.用四舍五入法对3.896 3取近似数，精确到0.01，得到的正确结果是 ( )
A.3.89 B.3.9 C.3.90 D.3.896
3.(湖北黄石中考)地球的平均半径约为6 371 000 m，该数字用科学记数法可表示为 ( )
A.0.637 1×107 B.6.371×106 C.6.371×107 D.6.371×103
4.(山西中考)黄河是中华民族的象征，被誉为母亲河，黄河壶口瀑布位于我省吉县城西45 km处，是黄河上最具气势的自然景观.其落差约30 m，年平均流量1 010 m3／s.若以小时作时间单位，则其年平均流量可用科学记数法表示为 ( )
A.6.06×104m3／h
B.3.136×106m3／h
C.3.636×106m3／h
D.36.36×105m3／h
5.用四舍五入法按括号内要求对0.050 19分别取近似数，其中错误的是 ( )
A.0.1(精确到0.1)
B.0.05(精确到千分位)
C.0.05(精确到百分位)
D.0.050 2(精确到0.000 1)
6.用四舍五入法把3.480 2精确到0.1是 .
7.近似数2.30×104是精确到了 位.
8.下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数
(1)1×107； (2)3.96×104； (3)-7.80×105.
【能力提升】
9.近日，记者从某市统计局获悉，今年第一季度该市实现生产总值1 256.77亿元，将1256.77亿用科学记数法可表示为(精确到百亿位) ( )
A.1.2×1011 B.1.3×1011 C.1.26×1011 D.0.13×1012
10.小丽与小明在讨论问题：
小丽：如果你把7 498精确到千位，你就会得到7 000.
小明：不，我有另外一种解答方法，可以得到不同的答案.首先，将7 498精确到百位，得到7 500，接着再把7 500精确到千位，就得到8 000.
你怎样评价小丽和小明的说法呢
【素养创新题】
11.某车间接受了加工两根轴的任务，车间工人看了看图纸，轴长为2.60 m，他用很短的时间完成了任务，可是把轴交给主任验收时，主任很不高兴，说不合格，只能报废!原来工人加工完的轴一根长为2.56 m，另一根长为2.62 m，请你利用所学的知识解释：为什么两根轴不合格呢
本书习题参考答案
1.5有理数的乘方
1.5.1 乘方
1.解：原式=4×(1-)＝4×＝1.
2.解：原式＝9-×-6÷＝9--＝9-（+）＝9-2l＝-12.
3.C 解析：依题意，得刀鞘数为76.故选C.
4.7 解析：通过观察不难发现，每次捏合后，面条的根数都是捏合前根数的2倍，即变化是沿着2→2×2→2×2×2→…发展下去的，利用分解质因数的方法得128＝2×2×2×2×2×2×2＝27，很自然地找到答案为7.
5.4 解析：由规律，可知11 111 1112＝123 456 787 654 321，所以从左向右数第12位上的数字是4.
高效训练·速提能
1.B 2.A
3.D 解析：-|-4|3＝-64，-43＝-64，(-4)3＝-64，-(-4)3＝64.故选D.
4.B 解析：a+1有可能为0，所以(a+1)2和-(a+1)2均有可能为0，故选项A，C错误；a2+1最小为l，总是正的，故选项B正确，选项D错误.
5.C 解析：第一次剪后剩下m，第二次剪后剩下()2m，第三次剪后剩下()3m……第六次剪后剩下的绳子的长度为()6m. 故选C.
6.8 解析：通过观察发现，这些以2为底数的整数指数幂，指数从l开始，逐渐增大，2的乘方结果的个位数字分别是2，4，8，6，每四个一组进行循环.因为2019÷4＝504…3，所以22019的个位数字与23的个位数字相同，即22019的个位数字是8.
7.289 解析：通过观察，知原式为两个数的平方与它们积的2倍的和，结果为这两个数和的平方，所以82+2×8×9+92＝(8+9)2=172＝289.
8.解：(1)原式＝1+9÷(-3)×2＝1-3×2＝1-6＝-5.
(2)原式＝-1-××(-7)＝-1+＝.
9.解：添加想要的符号“-”，
22+2×(1-)＝4+2×＝4+1＝5.
添加想要的符号“×”，
22+2×(1×)＝4+2×＝4+1＝5.
10.解：(1)第四个30 min后可分裂成24＝16(个)细胞.
(2)因为3 h＝180 min，180÷30＝6，所以经过3 h后可分裂成26＝64(个)细胞.
1I.解：(1)< < > > >
(2)当n＝1，2时，nn+1<(n+1)n；
当n≥3(n为自然数)时，nn+1>(n+1)n.
(3)根据(2)中归纳猜想的一般结论，得20192020>20202019.
1.5.2科学记数法
1.5.3近似数
1.B 2.B
3.B解析：因为210万=2 100 000，所以将2 100 000用科学记数法表示为2.1×106.
4.解：(1)230精确到个位.
(2)18.3精确到十分位.
(3)0.009 8精确到万分位.
(4)7.9万精确到千位.
(5)20.010精确到千分位.
(6)5.08×103精确到十位.
5.解：(1)0.709 6≈0.710.
(2)2.664 8≈2.66.
(3)70 960≈7.1×104.
(4)0.009 403≈0.009 40.
(5)8 647 000≈8.6×106.
6.C 解析：根据题意，得7 140×35=249 900≈2.5×105(m2)，故选C
高效训练·速提能
1.A 2.C 3.B
4.C解析：1 010×3 600=3 636 000＝3.636×106(m3／h).故选C.
5.B 解析：0.050 19≈0.1(精确到0.1)，所以A选项不符合题意；0.050 19≈0.050(精确到千分位)，所以B选项符合题意；0.050 19≈0.05(精确到百分位)，所以C选项不符合题意；0.050 19≈0.050 2(精确到0.000 1)，所以D选项不符合题意.故选B.
6.3.5 7.百
8.解：(1)1×107＝10 000 000.
(2)3.96×104＝39 600.
(3)-7.80×105＝-780 000.
9.B 解析：1 256.77亿＝1.256 77×1011≈1.3×1011.
10.解：小丽的说法是正确的，小明的说法是错误的.把7 498精确到千位，只需把百位上的数字四舍五入.
11.解：车间工人把2.60 m看成了2.6 m，近似数2.6 m的要求是精确到0.1 m，而近似数2.60 m的要求是精确到0.01 m，所以若设加工完成的轴长为x m，则x满足的条件应该是2.595≤x<2.605.
故轴长为2.56 m与2.62 m的产品不合格.
教材参考答案
1.5有理数的乘方
练习(第42页)
1.解：(1)(-7)8中，底数是-7，指数是8.
(2)(-10)8中，-10叫做底数，8叫做指数，
(-10)8是正数.
2.解：(1)(-1)10＝1.
(2)(-1)7＝-1.
(3)83＝8×8×8＝512.
(4)(-5)3＝-125.
(5)0.13＝0.001.
(6)(-)4=.
(7)(-10)4=10 000.
(8)(-10)5=-100 000.
3.解：(1)(-11)6=1 771 561.
(2)167=268 435 456.
(3)8.43=592.704.
(4)(-5.6)3=-175.616.
练习(第44页)
解：(1)(-1)10×2+(-2)3÷4=2+(-8)÷4=2-2=0.
(2)(-5)3-3×(-)4=-125-3×=-125.
(3)×(-)×÷=×(-)××=-.
(4)(-10)4+[(-4)2-(3+32)×2]=104+[16-(3+9)×2]=104+(16-24)=104-8=9 992.
练习(第45页)
1.解：10 000=104，800 000=8×105，
56 000 000=5.6×107，
-7 400 000=-7.4×106.
2.解：1×107=10 000 000，4×103=4 000，
8.5×106=8 500 000，7.04×105=704 000.
-3.96×104=-39 600.
3.解：9 600 000=9.6×106，
370 000=3.7×105.
问题(第46页)
这里的1.8和1.80的精确度不相同，1.8表示精确到0.1，1.80表示精确到0.01.表示近似数时，不能简单地把1.80后面的0去掉.近似数1.8表示的范围是大于或等于1.75且小于1.85；近似数1.80表示的范围是大于或等于1.795且小于1.805.
练习(第46页)
解：(1)0.003 56≈0.003 6. (2)61.235≈61.
(3)1.893 5≈1.894. (4)0.057 1≈0.1.
习题1.5(第47页)
1.解：(1)(-3)3＝-27.
(2)(-2)4＝16.
(3)(-1.7)2＝2.89.
(4)(-)3=-.
(5)-(-2)3=8.
(6)(-2)2×(-3)2＝4×9＝36.
2.解：(1)(-12)8=429 981 696.
(2)1034＝112 550 881.
(3)7.123＝360.944 128.
(4)(-45.7)3＝-95 443.993.
3.解：(1)(-1)100×5+(-2)4÷4
＝5+16÷4
＝5+4＝9.
(2)(-3)3-3×(-)4
=-27-3×
=-27-
=-27-=-27.
(3)×(-)×÷
=×(-)××=-.
(4)(-10)3+[(-4)2-(1-32)×2]
=-1 000+[16-(1-9)×2]
=-l 000+(16+16)
=-1 000+32=-968.
(5)-23÷×(-)2=-8××=-8.
(6)4+(-2)3×5-(-0.28)÷4
＝4+(-8)×5-(-0.07)
＝4-40+0.07＝-35.93.
4.解：(1)235 000 000=2.35×108.
(2)188 520 000=1.885 2×108.
(3)701 000 000 000=7.01×1011.
(4)-38 000 000=-3.8×107.
5.解：3×107＝30 000 000，
1.3×103＝1 300，
8.05×106＝8 050 000。
2.004×105＝200 400，
-1.96×104＝-19 600.
6.解：(1)0.003 56≈0.003 6.
(2)566.123 5≈566.
(3)3.896 3≈3.90.
(4)0.057 1≈0.057.
7.解：平方等于9的数是3或-3.立方等于27的数是3.
8.解：长方体的体积为a2b，
表面积为2a2+4ab.
当a=2 cm，b=5 cm时，
长方体的体积为a2b=22×5=20(cm3)，
表面积为2a2+4ab=2×22+4×2×5＝48(cm2).
9.解1.1×105 km／h＝1.1×105×≈3.06×104m／s.
因为340<3.06×104，
所以地球绕太阳公转的速度大.
10.解：8.64×104×365＝3.153 6×107(s).
答：一年有3.153 6×107s.
11.解：(1)0.12=0.01，12=1，102=100，
1002=100 00.观察这些结果，底数的小数点向左(右)移动一位时，平方数小数点相应向左(右)移动两位.
(2)0.13=0.001，13=1，103=1 000，1003=1 000 000.观察这些结果，底数的小数点向左(右)移动一位时，立方数小数点相应向左(右)移动三位.
(3)0.14=0.000 1，l4=1，104=10 000，
1004=100 000 000.观察这些结果，底数的小数点向左(右)移动一位时，四次方数小数点相应向左(右)移动四位.
12.解：(-2)2=4，22=4，(-2)3=-8，23=8.
(1)a2>0成立.(2)a2=(-a)2成立.
(3)a2=-a2不成立. (4)a3=-a3不成立.
复习题1(第51页)
1.解：如答图1-l所示.
由数轴，知-3.5<-2<-1.6<-<0<0.5<2<3.5.
2.解：如答图1-2，整数x可能取的所有数值为-2，-1，0，1，2，3.
3.解：a的绝对值为|a|=|-2|=2；
a的相反数为-a=-(-2)=2；
a的倒数为==-.
b的绝对值为|b|==；
b的相反数为-b=-(-)=；
b的倒数为==-.
c的绝对值为|c|=|5.5|=5.5；
c的相反数为-c=-5.5；
c的倒数为==.
4.解：互为相反数的两数的和为0，互为倒数的两数的积为1.
5.解：(1)-150+250=100.
(2)-15+(-23)=-(15+23)=-38.
(3)-5-65=-(5+65)=-70.
(4)-26-(-15)=-26+15=-11.
(5)-6×(-16)＝6×16＝96.
(6)-×27＝-9.
(7)8÷(-16)＝-(8÷16)＝-.
(8)-25÷(-)=25×＝.
(9)(-0.02)×(-20)×(-5)×4.5
＝-0.02×20×5×4.5＝-9.
(10)(-6.5)×(-2)÷(-)÷(-5)
＝6.5×2×3×=7.8.
(11)6+(-)-2-(-1.5)
＝6--2+1.5
＝(6+1.5)+(-0.2-2)
＝7.5-2.2＝5.3.
(12)-66×4-(-2.5)÷(-0.1)
＝-264-25＝-289.
(13)(-2)2×5-(-2)3÷4
＝4×5-(-8)÷4
=20+2＝22.
(14)-(3-5)+32×(1-3)
＝-(-2)+9×(-2)
＝2-18＝-16.
6.解：(1)245.635≈245.6.
(2)175.65≈176.
(3)12.004≈12.00.
(4)6.537 8≈6.54.
7.解：(1)100 000 000=1×108.
(2)-4 500 000＝-4.5×106.
(3)692 400 000 000＝6.924×1011.
8.解：(1)-2-|-3|＝-2-3＝-5.
(2)|-2-(-3)|＝|-2+3|＝1.
9.解：估算他们的平均成绩为78，不妨规定以78为标准，超出78的为正，不足78的为负，则10名同学的成绩分别为+4，+5，0，-12，+17，-3，-22，+15，+4，+3.平均成绩为78+(+4+5+0-12+17-3-22+15+4+3)÷10=78+1.1＝79.1.
答：这10名同学的平均成绩为79.1.
10.C
11.解：根据表格，知星期六的盈亏数为
458-188-138.1-200+27.8+70.3+8=38.
所以星期六盈利，盈利38元.
12.解：60-15＝45(℃)，5-60=-55(℃)，
45×0.002＝0.09(mm)，
0.002×(-55)=-0.11(mm)，
-0.11+0.09=-0.02(mm).
答：金属丝的长度先伸长0.09 mm，再缩短0.11 mm，最后的长度比原长度伸长-0.02 mm.
13.解：1.496 0亿km=149 600 000 km=1.496×108 km.
14.解：(1)当a=时，a2=()2=，
a3=()3=.
因此当a为小于1的正数时，a>a2>a3.
(2)当b=-时，b2＝(-)2＝，
b3=（-)3=-.
因此当b为大于-1的负数时，b15.解：(1)错误，因为0的相反数是0，所以任何数都不等于它的相反数是错误的.
(2)正确，因为互为相反数的两个数符号相反，绝对值相等，所以互为相反数的两个数的同一偶数次方相等是正确的.
(3)错误，因为2>-2，但>-，所以如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数是错误的.
16.解：1 121 12 321 1 234 321
(1)规律：
=123…(n-1)n(n-1)…321
(其中n大于或等于1且小于等于9，n为整数).
(2)12 345 678 987 654 321.

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