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专题 线段垂直平分线的性质和判定【七大题型】
【题型1 线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】
【例1】（2022秋 南召县期末）已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．若AB＝8，AC＝4，则AE＝　6　．
【分析】首先连接PB，PC，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，易得PE＝PF，PB＝PC，继而证得△PBE≌△PCF，AE＝AF，又由AB＝8，AC＝4，即可求得答案．
【解答】解：连接PB，PC，
∵点P在BC的垂直平分线上，
∴PB＝PC，
∵AC平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PE＝PF，∠PEB＝∠PFC＝90°，
∴∠APE＝∠APF，
∴AE＝AF，
在Rt△PBE和Rt△PCF中，
，
∴Rt△PBE≌Rt△PCF（HL），
∴BE＝CF，
∵AB＝AE+BE，AF＝AC+CF，
∴AB＝AC+CF+BE，
∵AB＝8，AC＝4，
∴BE＝CF＝2，
∴AE＝AC+CF＝6．
故答案为：6．
【变式1-1】（2022秋 潮安区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E．
（1）判断△DBC的形状并证明你的结论．
（2）求证：BF＝AC．
（3）试说明CEBF．
【分析】（1）根据已知条件得到∠BCD＝45°，求得BD＝CD，于是得到结论；
（2）根据全等三角形的性质和判定即可得到结论；
（3）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）△DBC是等腰直角三角形，
理由：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝45°，
∴BD＝CD，
∴△DBC是等腰直角三角形；
（2）∵BE⊥AC，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∵∠BFD＝∠CFE，
∴∠DBF＝∠ACD，
在△BDF与△CDA中，
，
∴△BDF≌△CDA，
∴BF＝AC；
（3）∵BE是AC的垂直平分线，
∴CEAC，
∴CEBF．
【变式1-2】（2022秋 庐阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．
【分析】连接BD，延长BF交DE于点G，根据线段的垂直平分线的性质得到AD＝BD，求出∠CBD＝45°，证明△ECD≌△FCB，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：DE＝BF，DE⊥BF．理由如下：
连接BD，延长BF交DE于点G．
∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝22.5°．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，
∴∠ABC＝67.5°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BC＝DC．
在△ECD和△FCB中，
，
∴Rt△ECD≌Rt△FCB（SAS），
∴DE＝BF，∠CED＝∠CFB．
∵∠CFB+∠CBF＝90°，
∴∠CED+∠CBF＝90°，
∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF．
【变式1-3】（2022秋 海珠区校级期中）△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB＝60°．
（1）如图①，当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC＝DB；
（2）如图②，当D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【分析】（1）由D点在AC的垂直平分线上，可得AD＝CD，又由∠ADB＝60°，△ABC是等边三角形，可得△ABD是含30°角的直角三角形，继而证得结论；
（2）首先在DB上截取DE＝AD，可证得△ADE是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，易证得△BAE≌△CAD（SAS），继而证得结论．
【解答】证明：（1）∵D点在AC的垂直平分线上，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠ADB＝30°，
∴BD＝2AD＝AD+CD；
（2）成立．
理由：在DB上截取DE＝AD，
∵∠ADB＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD，∠EAD＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD，
∴BD＝DE+BE＝AD+CD．
【题型2 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】
【例2】（2022秋 周村区校级期中）如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝92°，则∠EBD的度数为（　　）
A．168° B．158° C．128° D．118°
【分析】连接CE，依据线段AB，DE的垂直平分线交于点C，可得CA＝CB，CE＝CD，判定△ACE≌△BCD，可得∠AEC＝∠BDC，设∠AEC＝∠BDC＝α，则∠BDE＝72°﹣α，∠CEB＝92°﹣α，∠BED＝∠DEC﹣∠CEB＝72°﹣（92°﹣α）＝α﹣20°，即可得到△BDE中，∠EBD＝180°﹣（72°﹣α）﹣（α﹣20°）＝128°．
【解答】解：如图，连接CE，
∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，
∴CA＝CB，CE＝CD，
∵∠ABC＝∠EDC＝72°＝∠DEC，
∴∠ACB＝∠ECD＝36°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠AEC＝∠BDC，
设∠AEC＝∠BDC＝α，则∠BDE＝72°﹣α，∠CEB＝92°﹣α，
∴∠BED＝∠DEC﹣∠CEB＝72°﹣（92°﹣α）＝α﹣20°，
∴△BDE中，∠EBD＝180°﹣（72°﹣α）﹣（α﹣20°）＝128°，
故选：C．
【变式2-1】（2022秋 龙马潭区校级月考）如图，已知锐角△ABC中，AB、AC边的中垂线交于点O，∠A＝α（0°＜α＜90°），
（1）求∠BOC；
（2）试判断∠ABO+∠ACB是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AO＝BO＝CO，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，根据周角定义即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠OBC＝∠OCB，于是得到∠OBC＝90°﹣α，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：（1）连接AO，
AB、AC边的中垂线交于点O，
∴AO＝BO＝CO，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，
∴∠AOB+∠AOC＝（180°﹣∠OAB﹣∠OBA）+（180°﹣∠OAC﹣∠OCA），
∴∠AOB+∠AOC＝（180°﹣2∠OAB）+（180°﹣2∠OAC）＝360°﹣2（∠OAB+∠OAC）＝360°﹣2∠A＝360°﹣2α，
∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）＝2α；
（2）∠ABO+∠ACB为定值，
∵BO＝CO，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，
∴∠OBC（180°﹣2∠BAC）＝90°﹣α，
∵∠ABO+∠ACB+∠OBC+∠BAC＝180°，
∴∠ABO+∠ACB＝180°﹣α﹣（90°﹣α）＝90°．
【变式2-2】（2022秋 西湖区期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠1＝40°，则∠AOC＝（　　）
A．50° B．80° C．90° D．100°
【分析】连接BO，并延长BO到P，根据线段的垂直平分线的性质得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根据四边形的内角和为360°得∠DOE+∠ABC＝180°，根据外角的性质得∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，相加可得结论．
【解答】解：连接BO，并延长BO到P，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE+∠ABC＝180°，
∵∠DOE+∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝40°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×40°＝80°；
故选：B．
【变式2-3】（2022春 金牛区校级期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝　4∠BPC﹣360°　．
【分析】根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠BAC＝2∠BPC﹣180°；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠BOC＝2∠BAC，进而得出∠BOC和∠BPC的数量关系．
【解答】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（ ∠ABC∠ACB）
＝180°（∠ABC+∠ACB）
＝180°（180°﹣∠BAC）
＝90°∠BAC，
即∠BAC＝2∠BPC﹣180°；
如图，连接AO．
∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，
∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，
∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）
＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），
＝2∠OAB+2∠OAC
＝2∠BAC
＝2（2∠BPC﹣180°）
＝4∠BPC﹣360°，
故答案为：4∠BPC﹣360°．
【题型3 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】
【例3】（2022秋 甘井子区期末）如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在（　　）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出即可．
【解答】解：
根据作图可知：EF是线段MN的垂直平分线，
所以EF上的点到M、N的距离相等，
即发射塔应该建在C处，
故选：C．
【变式3-1】（2022春 浑南区期末）有A、B、C三个不在同一直线上的居民点，现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（　　）
A．△ABC的三条中线的交点处
B．△ABC三边的垂直平分线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处
D．△ABC三条高所在直线的交点处
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得到正确选项．
【解答】解：∵线段垂直平分线的点到线段两段点的距离相等，
∴△ABC三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等．
故选：B．
【变式3-2】（2022春 武功县期末）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC（　　）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三个角的角平分线的交点
【分析】用线段垂直平分线性质判断即可．
【解答】解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条边垂直平分线的交点．
故选：C．
【变式3-3】如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应该修建在（　　）
A．∠1的平分线和线段AB的交点处
B．∠1的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处
C．∠2的平分线和线段AB的交点处
D．∠2的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处
【分析】由线段垂直平分线的性质可知：要两个城镇A，B的距离，发射塔必须建在线段AB的垂直平分线上，再根据角平分线的性质可知要到两条高速公路m和n的距离相等需要建在∠1的平分线上，即可知发射塔要在两线的交点位置．
【解答】解：要两个城镇A，B的距离，发射塔必须建在线段AB的垂直平分线上，要到两条高速公路m和n的距离相等需要建在∠1的平分线上，
∴发射塔应该修建在∠1的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处．
故选：B．
【题型4 线段垂直平分线的性质的综合运用】
【例4】（2022秋 广陵区校级月考）在△ABC中，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
（1）如图（1），连接AM、AN，求∠MAN的度数；
（2）如图（2），如果AB＝AC，求证：BM＝MN＝NC．
【分析】（1）由在△ABC中，∠BAC＝130°，可求得∠C+∠B的度数，然后由AB、AC的垂直平分线分别交BC于点M、N，根据线段垂直平分线的性质，可得BM＝AM，CN＝AN，即可得∠CAN＝∠C，∠BAM＝∠B，继而求得∠CAN+∠BAM的度数，则可求得答案；
（2）先求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可．
【解答】（1）解：
∵∠BAC＝120°，
∴∠B+∠C＝60°，
由（1）证得BM＝AM，CN＝AN，
∴∠C＝∠CAN，∠B＝∠BAM，
∴∠CAN+∠BAM＝∠C+∠B＝60°，
∴∠MAN＝120°﹣60°＝60°；
（2）证明：
∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
∴BM＝AM，CN＝AN，
∴∠MAB＝∠B，∠CAN＝∠C，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAM+∠CAN＝60°，∠AMN＝∠ANM＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM＝AN＝MN，
∴BM＝MN＝NC．
【变式4-1】（2022秋 鄂托克旗期中）如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC于D，连接BD．
（1）若∠ABC＝∠C，∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若AB＝AC，且△BCD的周长为18cm，△ABC的周长为30cm，求BE的长．
【分析】（1）首先计算出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，进而可得∠ABD＝∠A＝40°，然后可得答案；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得AD＝DB，AE＝BE，然后再计算出AC+BC的长，再利用△ABC的周长为30cm可得AB长，进而可得答案．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠C，∠A＝40°，
∴∠ABC＝（180°﹣40°）÷2＝70°．
∵DE是边AB的垂直平分线，
∴AD＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
（2）∵DE是边AB的垂直平分线，
∴AD＝DB，AE＝BE，
∵△BCD的周长为18cm，
∴AC+BC＝AD+DC+BC＝DB+DC+BC＝18cm．
∵△ABC的周长为30cm，
∴AB＝30﹣（AC+BC）＝30﹣18＝12cm，
∴BE＝12÷2＝6cm．
【变式4-2】（2022春 市中区期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM＝CM，BN＝CN，然后求出△CMN的周长＝AB；
（2）根据三角形的内角和定理列式求出∠MNF+∠NMF，再求出∠A+∠B，根据等边对等角可得∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB＝15cm；
（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．
【变式4-3】（2022秋 红花岗区校级月考）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．
（1）若∠A＝60°，∠ABD＝24°，求∠ACF的度数；
（2）若EF＝4，BF：FD＝5：3，S△BCF＝10，求点D到AB的距离．
【分析】（1）根据角平分线定义求出∠ABC＝2∠ABD＝48°，∠DBC＝∠ABD＝24°，根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据线段垂直平分线性质求出FC＝FB，求出∠FCB，即可求出答案；
（2）过D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到DG＝DH，利用面积法求出BC，DH即可．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABD＝24°，
∴∠ABC＝2∠ABD＝48°，∠DBC＝∠ABD＝24°，
∵∠A＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣48°＝72°，
∵FE是BC的中垂线，
∴FB＝FC，
∴∠FCB＝∠DBC＝24°，
∴∠ACF＝∠ACB﹣∠FCB＝72°﹣24°＝48°；
（2）过D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，
∵BD平分∠ABC，
∴DG＝DH，
∵EF⊥BC，EF＝4，
∴S△BCF BC EF＝10，
∴BC＝5，
∵BF：DF＝5：3，
∴S△BDCS△BCF＝16，
∴5×DH＝16，
∴DH，
∴DG＝DH，
∴点D到AB的距离．
【知识点2 线段垂直平分线的判定】
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，（这样的点需要找两个）
【题型5 线段垂直平分线的判定】
【例5】（2022秋 伊川县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
【分析】（1）在Rt△ADE中，求出∠EAD即可解决问题；
（2）只要证明AE＝AC，利用等腰三角形的性质即可证明；
【解答】（1）解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD∠BAC＝25°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠EDA＝90°﹣25°＝65°．
（2）证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°＝∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAC，
∵AD＝AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE＝AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，AD平分线段EC，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．
【变式5-1】（2022秋 奈曼旗期中）如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G，求证：AD垂直平分EF．
【分析】求出DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，根据HL证Rt△AED≌Rt△AFD，推出AE＝AF，根据等腰三角形性质推出即可．
【解答】证：∵AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分EF．
【变式5-2】（2022春 市北区期末）如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D．
求证：（1）OC＝OD，
（2）OE是线段CD的垂直平分线．
【分析】（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OC＝OD即可；
（2）由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线．
【解答】证明：∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴DE＝CE，OE＝OE，
在Rt△ODE与Rt△OCE中，，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），
∴OC＝OD；
（2）∵△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线．
【变式5-3】（2022秋 平邑县期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）连接EF，求证：AD垂直平分EF．
【分析】（1）由于D是BC的中点，那么BD＝CD，而BE＝CF，DE⊥AB，DF⊥AC，利用HL易证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得DE＝DF，利用角平分线的判定定理可知点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC；
（2）根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵D是BC的中点
∴BD＝CD，
又∵BE＝CF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE＝DF，
∴点D在∠BAC的平分线上，
∴AD平分∠BAC；
（2）∵Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∵BE＝CF，
∴AB﹣BE＝AC﹣CF，
∴AE＝AF，
∵DE＝DF，
∴AD垂直平分EF．
【题型6 线段垂直平分线的作法】
【例6】（2022秋 武城县期末）已知：如图，在△ABC中，∠C＝120°，边AC的垂直平分线DE与AC、AB分别交于点D和点E．
（1）作出边AC的垂直平分线DE；
（2）当AE＝BC时，求∠A的度数．
【分析】（1）分别以点A、C为圆心，以大于AC长度为半径画弧，两弧在AC两边相交于，然后过这两点作直线DE即可；
（2）连接CE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝CE，设∠A＝x，然后根据等边对等角的性质以及等腰三角形两底角相等表示出∠ACB，然后列出方程求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，DE即为所求作的边AC的垂直平分线；
（2）如图，连接CE，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴∠A＝∠ACE，
∵AE＝BC，
∴CE＝BC，
∴∠B＝∠CEB，
设∠A＝x，
则∠CEB＝∠A+∠ACE＝x+x＝2x，
在△BCE中，∠BCE＝180°﹣2×2x＝180°﹣4x，
∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝x+180°﹣4x＝120°，
解得x＝20°，
即∠A＝20°．
【变式6-1】（2022秋 祁阳县期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝8，则△ABC的周长为（　　）
A．8 B．10 C．18 D．20
【分析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，再根据△ADC的周长为10可得AC+BC＝10，又由条件AB＝8可得△ABC的周长．
【解答】解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．
∴MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝10，
∵AB＝8，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB＝10+8＝18．
故选：C．
【变式6-2】（2022 榆林模拟）如图，在△ABC中，DE⊥BC于点D，交AB于点E．请用尺规作图法，在线段DC上求作一点P，使AP∥ED．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】过点A作AP⊥BC于点P，即可解决问题．
【解答】解：如图，点P即为所求．
【变式6-3】（2022 长安区一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且CD＝2BD，请用尺规作图法，在边AC上找一点P，使得△PAD的面积等于△BAD的面积（保留作图痕迹，不写作法）．
【分析】作CD的垂直平分线交CD于E，交AC于P，连接DP、AE，由于CD＝2BD，则DE＝BD，所以△ADE的面积等于△ABD的面积，再利用PE∥AD得到△ADP的面积等于△ADE的面积，从而得到△PAD的面积等于△BAD的面积．
【解答】解：如图，点P为所作．
【题型7 线段垂直平分线的判定与性质的综合】
【例7】（2022秋 伊通县期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10．请你解答下列问题：
（1）求BC的长；
（2）试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DA，同理EA＝EC，于是得到结论；
（2）连接AO，BO，CO，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵l1垂直平分AB，
∴DB＝DA，
同理EA＝EC，
∴BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝10；
（2）点O在边BC的垂直平分线上，
理由：连接AO，BO，CO，
∵l1与l2是AB，AC的垂直平分线，
∴AO＝BO，CO＝AO，
∴OB＝OC，
∴点O在边BC的垂直平分线上．
【变式7-1】（2022 阜宁县校级月考）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长；
（2）设直线DM、EN交于点O．
①试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；
②若∠BAC＝100°，求∠BOC的度数．
【分析】（1）根据垂直平分线性质得AD＝BD，AE＝EC．所以△ADE周长＝BC；
（2）①如图，连接AO，BO，CO，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；
②根据四边形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
C△ADE＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝10；
（2）①如图，点O在BC的垂直平分线上，
理由：连接AO，BO，CO，
∵DM，EN分别是AB，AC的垂直平分线，
∴AO＝BO，OA＝OC，
∴OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上；
②∵OM⊥AB，ON⊥AC，
∴∠AMO＝∠ANO＝90°，
∵∠BAC＝100°，
∴∠MON＝360°﹣90°﹣90°﹣100°＝80°，
∴∠BOC＝2∠MON＝160°．
【变式7-2】（2022 宜昌）已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于直线BC对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由点D与点A关于点E对称易证AC＝CD，再根据角平分线，及垂直得到AC＝AB，可得答案AB＝CD；
（2）易证∠CAD＝∠CDA＝∠MPC，∠CMA＝∠BMA＝PMF，可得到∠MCD＝∠F．
【解答】（1）证明：∵AF平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠DAB∠BAC，
∵D与A关于E对称，
∴E为AD中点，
∵BC⊥AD，
∴BC为AD的中垂线，
∴AC＝CD．
在Rt△ACE和Rt△ABE中，（注：证全等也可得到AC＝CD）
∠CAD+∠ACE＝∠DAB+∠ABE＝90°，∠CAD＝∠DAB，
∴∠ACE＝∠ABE，
∴AC＝AB（注：证全等也可得到AC＝AB），
∴AB＝CD．
（2）解：∠F＝∠MCD，理由如下：
∵∠BAC＝2∠MPC，
又∵∠BAC＝2∠CAD，
∴∠MPC＝∠CAD，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA，
∴∠MPC＝∠CDA，
∴∠MPF＝∠CDM，
∵AC＝AB，AE⊥BC，
∴CE＝BE（注：证全等也可得到CE＝BE），
∴AM为BC的中垂线，
∴CM＝BM．（注：证全等也可得到CM＝BM）
∵EM⊥BC，
∴EM平分∠CMB（等腰三角形三线合一）．
∴∠CME＝∠BME（注：证全等也可得到∠CME＝∠BME．），
∵∠BME＝∠PMF，
∴∠PMF＝∠CME，
∴∠MCD＝∠F．
【变式7-3】（2022秋 信都区期末）如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，且AD＝CD＝BC．
（1）求∠A的大小；
（2）如图2，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连接EF交CD于点H．
①求证：CD垂直平分EF；
②直接写出三条线段AE，DB，BF之间的数量关系．
【分析】（1）设∠A＝x，由等腰三角形的性质得∠ACD＝∠A＝x，∠CBD＝∠CDB＝∠ACD+∠A＝2x，∠ACB＝∠CBD＝2x，再由三角形内角和定理求出x＝36°即可；
（2）①证△DEC≌△DFC（AAS），得DE＝DF，∠EDH＝∠FDH，再证△DEH≌△DFH（SAS），得EH＝FH，∠DHE＝∠DHF＝90°，即可得出结论；
②在CA上截取CG＝CB，连接DG，由全等三角形的性质得DE＝DF，CE＝CF，再证△DEG≌△DFB（SAS），得DG＝DB，∠DGE＝∠B，然后证AG＝DG，即可得出结论．
【解答】（1）解：设∠A＝x，
∵AD＝CD，
∴∠ACD＝∠A＝x，
∵CD＝BC，
∴∠CBD＝∠CDB＝∠ACD+∠A＝2x；
∵AC＝AB，
∴∠ACB＝∠CBD＝2x，
∴∠DCB＝x，
∵x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝36°；
（2）①证明：由（1）得：∠ACD＝∠A＝x，∠DCB＝x，
∴∠ACD＝∠DCB，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC＝∠DFC＝90°，
∵CD＝CD，
∴△DEC≌△DFC（AAS），
∴DE＝DF，∠EDH＝∠FDH，
∵DH＝DH，
∴△DEH≌△DFH（SAS），
∴EH＝FH，∠DHE＝∠DHF＝90°，
∴CD垂直平分EF；
②解：三条线段AE，DB，BF之间的数量关系为：AE＝DB+BF，理由如下：
在CA上截取CG＝CB，连接DG，如图2所示：
由①得：△DEH≌△DFH，
∴DE＝DF，CE＝CF，
∵CG＝CB，
∴CG﹣CE＝CB﹣CF，
即GE＝BF，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEG＝∠DFB＝90°，
∴△DEG≌△DFB（SAS），
∴DG＝DB，∠DGE＝∠B，
由（1）得：∠B＝2x，∠A＝x，
∴∠DGE＝2∠A，
∵∠DGE＝∠A+∠GDA，
∴∠A＝∠GDA，
∴AG＝DG，
∴AE＝AG+GE＝DG+BF＝DB+BF．中小学教育资源及组卷应用平台
专题 线段垂直平分线的性质和判定【七大题型】
【题型1 线段垂直平分线的性质在求线段中的应用】
【例1】（2022秋 南召县期末）已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．若AB＝8，AC＝4，则AE＝　　．
【变式1-1】（2022秋 潮安区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E．
（1）判断△DBC的形状并证明你的结论．
（2）求证：BF＝AC．
（3）试说明CEBF．
【变式1-2】（2022秋 庐阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．
【变式1-3】（2022秋 海珠区校级期中）△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB＝60°．
（1）如图①，当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC＝DB；
（2）如图②，当D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【题型2 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】
【例2】（2022秋 周村区校级期中）如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝92°，则∠EBD的度数为（　　）
A．168° B．158° C．128° D．118°
【变式2-1】（2022秋 龙马潭区校级月考）如图，已知锐角△ABC中，AB、AC边的中垂线交于点O，∠A＝α（0°＜α＜90°），
（1）求∠BOC；
（2）试判断∠ABO+∠ACB是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．
【变式2-2】（2022秋 西湖区期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠1＝40°，则∠AOC＝（　　）
A．50° B．80° C．90° D．100°
【变式2-3】（2022春 金牛区校级期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝　 　．
【题型3 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】
【例3】（2022秋 甘井子区期末）如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在（　　）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【变式3-1】（2022春 浑南区期末）有A、B、C三个不在同一直线上的居民点，现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（　　）
A．△ABC的三条中线的交点处
B．△ABC三边的垂直平分线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处
D．△ABC三条高所在直线的交点处
【变式3-2】（2022春 武功县期末）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC（　　）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三个角的角平分线的交点
【变式3-3】如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应该修建在（　　）
A．∠1的平分线和线段AB的交点处
B．∠1的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处
C．∠2的平分线和线段AB的交点处
D．∠2的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处
【题型4 线段垂直平分线的性质的综合运用】
【例4】（2022秋 广陵区校级月考）在△ABC中，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
（1）如图（1），连接AM、AN，求∠MAN的度数；
（2）如图（2），如果AB＝AC，求证：BM＝MN＝NC．
【变式4-1】（2022秋 鄂托克旗期中）如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC于D，连接BD．
（1）若∠ABC＝∠C，∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若AB＝AC，且△BCD的周长为18cm，△ABC的周长为30cm，求BE的长．
【变式4-2】（2022春 市中区期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
【变式4-3】（2022秋 红花岗区校级月考）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．
（1）若∠A＝60°，∠ABD＝24°，求∠ACF的度数；
（2）若EF＝4，BF：FD＝5：3，S△BCF＝10，求点D到AB的距离．
【知识点2 线段垂直平分线的判定】
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，（这样的点需要找两个）
【题型5 线段垂直平分线的判定】
【例5】（2022秋 伊川县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
【变式5-1】（2022秋 奈曼旗期中）如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G，求证：AD垂直平分EF．
【变式5-2】（2022春 市北区期末）如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D．
求证：（1）OC＝OD，
（2）OE是线段CD的垂直平分线．
【变式5-3】（2022秋 平邑县期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）连接EF，求证：AD垂直平分EF．
【题型6 线段垂直平分线的作法】
【例6】（2022秋 武城县期末）已知：如图，在△ABC中，∠C＝120°，边AC的垂直平分线DE与AC、AB分别交于点D和点E．
（1）作出边AC的垂直平分线DE；
（2）当AE＝BC时，求∠A的度数．
【变式6-1】（2022秋 祁阳县期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝8，则△ABC的周长为（　　）
A．8 B．10 C．18 D．20
【变式6-2】（2022 榆林模拟）如图，在△ABC中，DE⊥BC于点D，交AB于点E．请用尺规作图法，在线段DC上求作一点P，使AP∥ED．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式6-3】（2022 长安区一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且CD＝2BD，请用尺规作图法，在边AC上找一点P，使得△PAD的面积等于△BAD的面积（保留作图痕迹，不写作法）．
【题型7 线段垂直平分线的判定与性质的综合】
【例7】（2022秋 伊通县期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10．请你解答下列问题：
（1）求BC的长；
（2）试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由．
【变式7-1】（2022 阜宁县校级月考）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长；
（2）设直线DM、EN交于点O．
①试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；
②若∠BAC＝100°，求∠BOC的度数．
【变式7-2】（2022 宜昌）已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于直线BC对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
【变式7-3】（2022秋 信都区期末）如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，且AD＝CD＝BC．
（1）求∠A的大小；
（2）如图2，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连接EF交CD于点H．
①求证：CD垂直平分EF；
②直接写出三条线段AE，DB，BF之间的数量关系．

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