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22.1 比例线段
【基础训练】
一．选择题
1．若，则的值是　　
A． B． C． D．
【解答】，．故选：．
2．如图，已知，那么下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
【解答】，，，
故、、错误，正确． 故选：．
3．线段，是的黄金分割点，且，则的长度为　　
A． B． C． D．
【解答】线段，是的黄金分割点，且，
． 故选：．
二．填空题
4．若，则的值为　 　．
【解答】设，，，则．故答案为：．
5．如图，如果，，，那么　 　．
【解答】，，①，
，， ②，
①②得， ， ；
故答案为：15．
6．如图，在平行四边形中，点是边上的黄金分割点，且，与相交于点．那么的值为　 　．
【解答】点是边上的黄金分割点，且， ，
四边形是平行四边形，，，
，
， ， 故答案为．
三．解答题
7．如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果，，，求的长．
【解答】，，即，解得，
．
8．如图，已知，求证：．
【解答】证明：， ，
， ，
①②，得：，
即．
9．如图，在中，，，，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点．
（1）求线段的长；
（2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值．
【解答】（1）平分，， ，
在中，，，， ，
在中，，，， ，
，
， ， ；
（2）如图，
点是线段的中点， ，
， ， ，
， ， ，
，，，
．
【提升训练】
10．如图，中，点、分别在边、上，，若，，，则 的长是　　
A．4 B．4.5 C．2.5 D．2
【解答】， ，
，，， ，
， 故选：．
11．把长为的线段黄金分割后，其中较短的线段长度是　 　．
【解答】由题意知，则较短线段． 故本题答案为：．
12．已知点、是线段的黄金分割点，，求线段与的长．
【解答】点、是线段的黄金分割点，
，，
， ．
13．如图，已知中，，．线段的垂直平分线分别交边、、所在的直线于点、、．
（1）求线段的长； （2）求的值．
【解答】（1）作于，如图，
， ，
在中，，
垂直平分， ，
， ，
，即，
，；
（2）作交于，如图，，， ，
，，
， ．
【真题训练】
14．（2021·四川内江）已知非负实数，，满足，设的最大值为，最小值为，则的值为 ．
【解答】设，则，，，
．
，，为非负实数， ∴ 解得：．
当时，取最大值，当时，取最小值．
， ．
． 故答案为：。
15．（2020 乐山）把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E为AD的中点，连结BE交AC于点F．则　 　．
【解答】连接CE，∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，E是AD的中点，
∴ACAD，CEAD＝AE，
∴∠ACE＝∠CAE＝30°
∵∠BAC＝30°，∠ABC＝90°，
∴ABACAD，∠BAC＝∠ACE，
∴AB∥CE， ∴△ABF∽△CEF，
∴， ∴。
【自主招生】
16．正三角形，、、是、、的中点，、、分别在、、上，、、共线，、、共线，、、共线，求．
【解答】如图，不妨设边长为2，，，，
则，，．
由，得，同理，1，
于是，，，．
所以，．22.1 比例线段
【基础训练】
一．选择题
1．若，则的值是　　
A． B． C． D．
2．如图，已知，那么下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
3．线段，是的黄金分割点，且，则的长度为　　
A． B． C． D．
二．填空题
4．若，则的值为　 　．
5．如图，如果，，，那么　 　．
（第5题图） （第6题图）
6．如图，在平行四边形中，点是边上的黄金分割点，且，与相交于点．那么的值为　 　．
三．解答题
7．如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果，，，求的长．
8．如图，已知，求证：．
9．如图，在中，，，，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点．
（1）求线段的长；
（2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值．
【提升训练】
10．如图，中，点、分别在边、上，，若，，，则 的长是　　
A．4 B．4.5 C．2.5 D．2
11．把长为的线段黄金分割后，其中较短的线段长度是　 　．
12．已知点、是线段的黄金分割点，，求线段与的长．
13．如图，已知中，，．线段的垂直平分线分别交边、、所在的直线于点、、．
（1）求线段的长； （2）求的值．
【真题训练】
14．（2021·四川内江）已知非负实数，，满足，设的最大值为，最小值为，则的值为 ．
15．（2020 乐山）把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E为AD的中点，连结BE交AC于点F．则　 　．
【自主招生】
16．正三角形，、、是、、的中点，、、分别在、、上，、、共线，、、共线，、、共线，求．

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