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专题:天体运动的基本计算
一.学习目标
1.掌握解决天体运动问题的思路和方法
2．理解赤道物体、同步卫星和近地卫星的区别
二.学习过程
㈠知识回顾
1．一种模型
无论自然天体(如地球)还是人造天体(如宇宙飞船)都可以看做质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。
2．两条思路
(1)在中心天体表面或附近时，万有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天体表面的重力加速度)，此式两个用途：①GM＝gR2，称为黄金代换法；②求g＝，从而把万有引力定律与运动学公式相结合解题。
(2)天体运动的向心力来源于中心天体的万有引力，即G＝m＝mrω2＝mr＝ma。
㈡模型探究
天体运行的各物理量与轨道半径的关系
设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动.
(1)由G＝m得v＝，r越大，v越小.
(2)由G＝mω2r得ω＝，r越大，ω越小.
(3)由G＝m2r得T＝2π，r越大，T越大.
(4)由G＝man得an＝，r越大，an越小.
以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”.
例1地球半径为R0，地面重力加速度为g，若卫星在距地面R0处做匀速圆周运动，则(　　)
A．卫星速度为　　　　 B．卫星的角速度为
C．卫星的加速度为　　　　 D．卫星周期为2π
例2.2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙－2251”卫星和美国的“铱－33”卫星在西伯利亚上空约805 km处发生碰撞，这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件.碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境.假定有甲、乙两块碎片绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是(　　)
A.甲的运行周期一定比乙的长
B.甲距地面的高度一定比乙的高
C.甲的向心力一定比乙的小
D.甲的向心加速度一定比乙的大
赤道上的物体与同步卫星、近地卫星的比较
1．三个物体
求解卫星运行问题时，一定要认清三个物体(赤道上的物体、近地卫星、同步卫星)之间的关系。
比较内容 赤道表面的物体 近地卫星 同步卫星
向心力来源 万有引力的分力 万有引力
向心力方向 指向地心
重力与万有引力的关系 重力略小于万有引力 重力等于万有引力
线速度 v1＝ω1R v2＝ v3＝ω3(R＋h) ＝
v1角速度 ω1＝ω自 ω2＝ ω3＝ω自＝
ω1＝ω3<ω2
向心加 速度 a1＝ωR a2＝ωR ＝ a3＝ω(R＋h) ＝
a1例3.如图所示，同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是(　　)
A.＝ B.＝()2
C.＝ D.＝
例4.如图所示，地球赤道上的山丘e、近地资源卫星p和同步卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动。设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则(　　)
A．v1>v2>v3　　　　B．v1a2>a3　　　　D．a1㈢方法总结
1．赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度和周期，如同一圆盘上不同半径的两个点，由v＝ωr和a＝ω2r可分别判断线速度、向心加速度的关系．
2．不同轨道上的卫星向心力来源相同，即万有引力提供向心力，由＝ma＝m＝mω2r＝mr可分别得到a＝、v＝ ，ω＝ 及T＝2π，故可以看出，轨道半径越大，a、v、ω越小，T越大．
㈣拓展训练
1.如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径).下列说法中正确的是(　　)
A.a、b的线速度大小之比是∶1
B.a、b的周期之比是1∶2
C.a、b的角速度大小之比是3∶4
D.a、b的向心加速度大小之比是9∶2
2.如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带，假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动.下列说法正确的是(　　)
A.太阳对各小行星的引力相同
B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值
D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值
参考答案
例1.答案　B
解析　由＝man＝m＝mω2(2R0)＝m(2R0)及GM＝gR，可得卫星的向心加速度an＝，角速度ω＝，线速度v＝，周期T＝2π，所以A、C、D错误，B正确。
例2.答案　D
解析　甲的速率大，由G＝m，得v＝ ，由此可知，甲碎片的轨道半径小，故B错；由G＝mr，得T＝ ，可知甲的周期小，故A错；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故C错误；由＝man得an＝，可知甲的向心加速度比乙的大，故D对.
例3.答案　AD
解析　地球同步卫星：轨道半径为r，运行速率为v1，加速度为a1；
地球赤道上的物体：轨道半径为R，随地球自转的向心加速度为a2；
以第一宇宙速度运行的卫星为近地卫星，其轨道半径为R.
对于卫星，其共同特点是万有引力提供向心力，则G＝m，故 ＝.
对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同特点是角速度相等，则a＝ω2r，故 ＝.
例4.答案　D
解析　卫星的速度v＝，可见卫星距离地心越远，即r越大，则速度越小，所以v3v1＝ωr1，选项A、B均错误；由G＝ma，得a＝，同步卫星q的轨道半径大于近地资源卫星p的轨道半径，可知q的向心加速度a3拓展训练
1.答案　C
解析　两卫星均做匀速圆周运动，F万＝F向，向心力选不同的表达式分别分析.
由＝m得＝＝＝，故A错误.
由＝mr2得＝＝，故B错误.
由＝mrω2得＝＝，故C正确.
由＝man得＝＝，故D错误.
2.答案　C
解析　根据万有引力定律F＝G可知，由于各小行星的质量和到太阳的距离不同，万有引力不同，A项错误；由G＝mr，得T＝2π ，因为各小行星的轨道半径r大于地球的轨道半径，所以它们的周期均大于地球的周期，B项错误；向心加速度an＝＝G，内侧小行星到太阳的距离小，向心加速度大，C项正确；由G＝m得线速度v＝ ，小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，线速度小于地球绕太阳的线速度，D项错误.

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